B(0,-4)
A(3,0)
x
y
课时31 锐角三角函数
【课前热身】
1.(06黑龙江)在△ABC 中,∠C =90°,BC =2,sinA =2
3
,则AC 的长是( ) A .5 B .3 C .
4
5
D .13 2.Rt ?ABC 中,∠C=?90,∠A ∶∠B=1∶2,则sinA 的值( )
A .
2
1
B .22
C .23
D .1
3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A (3,0),
点B (0,-4),则cos OAB ∠ 等于_______.
4.?
+?30sin 130cos =____________.
【考点链接】
1.sin α,cos α,tan α定义
sin α=____,cos α=_______,tan α=______ . 2.特殊角三角函数值
【典例精析】
例1 在Rt △ABC 中,a =5,c =13,求sinA ,cosA ,tanA .
例2 计算:4sin 302cos 453tan 60?-?+?.
30° 45° 60° sin α cos α tan α
α a
b
c
例3 等腰△ABC 中,AB =AC =5,BC =8,求底角∠B 的四个三角函数值.
【中考演练】
1.(08威海) 在△ABC 中,∠C = 90°,tan A =
1
3
,则sin B =( ) A
.
10 B .23 C .3
4
D
.10 2.若3
cos 4
A =
,则下列结论正确的为( ) A . 0°< ∠A < 30° B .30°< ∠A < 45° C . 45°< ∠A < 60° D .60°< ∠A < 90°
3. (08连云港) 在Rt ABC △中,90C ∠=,5AC =,4BC =,则tan A = .
4.(07济宁) 计算
45tan 30
cos 60sin -的值是 . 5.
已知3tan 0 A =∠A =则 .
6.△ABC 中,若(sinA -
12
)2
+
|2-cosB|=0,求∠C 的大小.
﹡7.(07长春)图中有两个正方形,A ,C 两点在大正方形的对角线上,△HAC?是等边三
角形,若AB=2,求EF 的长. _ D _
C _
O _ H _
G
﹡8. 矩形ABCD中AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿BE将△BDE对折,点D 正好落在AB边上,求tan∠AFE.
F
A B
E
C
D
28.1锐角三角函数 第3课时 教学目标 【知识与技能】 1.理解并掌握30°,45°,60°的三角函数值,能用它们进行有关计算; 2.能依据30°,45°,60°的三角函数值,说出相应锐角的度数. 【过程与方法】 经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义. 【情感态度】 在探索特殊角的三角函数值的过程中,增强学 生的推理能力和计算能力. 教学重难点 【教学重点】 熟记30°,45°,60°的三角函数值,并用它们进行 计算. 【教学难点】 探索30°,45°,60°的三角函数值的指导过程. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入,初步认识 问题 在前面我们已经得到sin3o °= 12 ,sin45°= 2,你能得到30°,45°角的其它三角函数值吗?不妨试试看. 【教学说明】 教师可引导学生从所给结论sinA = sin30°= 12 出发,设 BC = 1, 则 AB = 2,由勾股定理可得,可得到30°的其它三角函数值,同样在图(2)中, 仍可设BC = 1, 则AC = 1,,也能得出45°的其它三角函数值.这里设BC = 1是为了方便计算. 二、思考探究,获取新知
通过对上述问题的思考,可以得到:sin30°= 1 2 ,cos30°= 3 2 ,tan30°= 3 3 ,sin45°= 2 2 ,cos45°= 2 2 , tan45°= 1. 【想一想】 60°角的三角函数值各是多少?你是如何得到的?在学生的相互交流中可得出结论:sin60°= 3 2 ,cos60°= 1 2 ,tan60°= 3.教师再将上述所有结论整理,制成下表. 三、典例精析,掌握新知 例1 求下列各式的值. (1)cos260°+ sin260°;(2) cos45 tan45 sin45 ? -? ? . 解(1)原式 = 1 2 ()2 + 3 2 2 = 1 4 + 3 4 = 1; (2)原式 2 2 2 2 - 1 = 0. 例2 (1)如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,63求∠A的度
28.1锐角三角函数(第一课时)课堂设计 学科数学年级九课题28.1锐角三角函数——正弦 课型新授课课时 1 授课时间总共第()课时 目标要求知识 目标 1.初步了解正弦的概念;掌握正弦的表示方法。 2.学会根据定义求锐角的正弦值。 3.熟记30°、45°、60°角的正弦值,并根据正弦值说出对应的锐 角度数。 能力 目标逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 情感 目标使学生经历从特殊到一般的过程。培养学生对数学的兴趣。 教学重点正弦的定义。 教学难点正弦的表示方法及应用。 教学手段经历探究,分析,归纳,应用的过程,逐步深入理解知识。 校本教研 小课题 培养学生的探究能力 板书板画设计 28.1锐角三角函数——正弦 定义:在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA,即 c a A A= ∠ = 斜边 的对边 sin 2 1 30 sin= ? 2 2 45 sin= ? 2 3 60 sin= ?
教学过程设计(含时间分配)修改完善(一)引入新知识,发现新问题 操场里有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆高度,小明站在离旗杆 底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34度, 并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小 明怎样算出的吗? 这个问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系.直角三角 形中,它的边与角有什么关系?通过本章的学习,你就会明白其中 的道理,并能应用所学知识解决相关的问题. 探究新知 (1)问题的引入 教师讲解:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿 着山坡铺设水管,?在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行 喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的 高度为35m,那么需要准备多长的水管? 教师点拨:这个问题可以归纳为,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,BC=35m,?求AB(课本图28.1-1). 在上面的问题中,?如果使出水口的高度为50m,那么需要准备 多长的水管??要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共 同点. 教师引导学生得出这样的结论:在上面求AB(所需水管的长 度)的过程中,虽然问题条件改变了,但我们所用的定理是一样的: 在一个直角三角形中,?如果一个锐角等于30°,那么不管三角形 的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于1 2 .也是说,只 要山坡的坡度是30°这个条件不变,那么斜边与对边的比值不变.教师提出第2个问题:既然直角三角形中,30°角的斜边与对边的比值不变,那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢??我们再换一个解试一试.?如课本图28.1-2,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,∠A对边与斜边的比值是一个定值吗??如果是,是多少?
C B A C B C B A 第一课时 课题:第28章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数(1) ——正弦 【学习目标】 ⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。 ⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦(sinA )概念,知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值 这一事实. 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时,,它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 【导学过程】 一、自学提纲: 1、如图在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=10m ,?求AB 2、如图在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=20m ,?求BC 二、合作交流: 问题: 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,?在山坡上修 建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ,那么需要准备多长的水管? 思考1:如果使出水口的高度为50m ,那么需要准备多长的水管? ; 如果使出水口的高度为a m ,那么需要准备多长的水管? ; 结论:直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值 思考2:在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗?? 如果是,是多少? 结论:直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨: 从上面这两个问题的结论中可知,?在一个Rt △ABC 中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠ A 的对边与斜边的比都等于1 2 ,是一个固定值;?当∠A=45°时,∠A 的对边与斜边的比 都等于 2 ,也是一个固定值.这就引发我们产生这样一个疑问:当∠A 取其他一定度数的锐角时,?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值? 探究:任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′,使得∠C=∠C ′=90°,
《锐角三角函数》(第一课时)教学设计 一、教材分析 (一)、教材的地位与作用 本节课选自鲁教版实验教科书九年级上册第一章解直角三角形的第一节锐角三角函数(第一课时)。锐角三角函数反映了直角三角形中边角之间的关系,它在解决实际问题中起着重要的作用。相比之下,正切是生活当中应用最多的三角函数概念。通过本节课的学习使学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的联系。感受数形结合的思想,体会数形结合的方法,为一般性的学习锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。(二)、学情分析 1、从学生的年龄特征和认知特征来看 九年级学生的思维活跃,接受能力较强,具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。 2、从学生已具备的知识和技能来看 九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系,能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题,有较强的推理证明能力。 3、从学生有待于提高的知识和技能来看 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系,需要观察、思考、交流,进一步体会数学知识之间的联系,感受数形结合的思想,体会锐角三角函数的意义,提高应用数学和合作交流的能力。
(三)、教学目标 1、知识目标 (1)经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正切的意义,并能举例说明。 (2)能运用tanA表示直角三角形中的两边之比,表示物体的倾斜度、坡度等,能利用直角三角形中的边角关系进行简单的计算。 2、能力目标 (1)经历观察、猜想等数学活动过程,发展合情推理能力。 (2)体验数形之间的联系,提高学生应用数学的意识和能力。 3、情感价值目标 使学生在学习数学的过程中体会数学与生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,增强学好数学的信心。 (四)、教学重点、难点 教学重点: 1、对正切的理解,能运用正切函数表示直角三角形中两边的比。 2、能根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。 3、对坡度的理解并能运用来解决实际问题。 教学难点:对正切函数的理解。 二、教法和学法 本节课的教法采用的是情境引导法和探究发现法。在教学过程中,通过适宜的问题情境引发新的认知冲突;建立知识间的联系。教师通过引导、指导、反馈、评价,不断激发学生对问题的好奇心,使
【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数(第一课时) 教学三维目标: 一.知识目标:初步了解正弦、余弦、正切概念;能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比;熟记功30°、45°、60°角的三角函数,并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标:逐步培养学生观察、比较、分析,概括的思维能力。 三.情感目标:提高学生对几何图形美的认识。 教材分析: 1.教学重点: 正弦,余弦,正切概念 2.教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦,余弦,正切 教学程序: 一.探究活动 1.课本引入问题,再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2.归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1,2,3 二.探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°
2. 求下列各式的值 (1)sia 30°+cos30°(2)2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三.拓展提高P82例4.(略) 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四.小结 五.作业课本p85-86 2,3,6,7,8,10
解直角三角形应用(一) 一.教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯. 二、教学重点、难点和疑点 1.重点:直角三角形的解法. 2.难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用. 3.疑点:学生可能不理解在已知的两个元素中,为什么至少有一个是边. 三、教学过程 (一)知识回顾 1.在三角形中共有几个元素? 2.直角三角形ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢? (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°. 以上三点正是解直角三角形的依据,通过复习,使学生便于应用. (二) 探究活动 1.我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?激发了学生的学习热情. 2.教师在学生思考后,继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?”让全体学生的思维目标一致,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形). 3.例题评析
初中数学人教版九年级下册实用资料 第4课时用计算器求锐角三角函数值 1.能利用计算器求锐角三角函数值. 2.已知锐角三角函数值,能用计算器求相应的锐角. 3.能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题. 阅读教材P67-68的内容,完成练习题. 自学反馈学生独立完成后集体订正 ①用计算器求sin28°、cos27°、tan26°的值,它们的大小关系是. ②用计算器求sin24°37′18″的值,以下按键顺序正确的是( ) ③已知tanA=0.3249,则角A约为. 运用计算器求出已知角的锐角三角函数,或求出已知锐角三角函数值的角的度数. 活动1 独立完成后小组交流 例升国旗时,某同学站在离国旗20 m处行注目礼,当国旗升至顶端时,该同学视线的仰角为42°,若双眼离地面1.6 m,求旗杆AB的高度.(精确到0.01 m)
解:过D作DC⊥AB于C,DC=EB=20 m. ∵tan∠ADC=AC DC , ∴AC=DC·tan∠ADC=20×tan42°≈18(m), ∴AB=AC+CB=18+1.6=19.6(m). 即旗杆AB的高度为19.6 m. 利用矩形的定义和三角函数的有关知识求AB,其中42°角的三角函数值需要用计算器来算. 活动2 跟踪训练(小组讨论完成) 1.如图,一名患者体内某器官后面有一肿瘤,在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必须从侧面照射肿瘤,已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处,射线从肿瘤右侧9.8 cm 的B处进入身体,求∠CBA的度数. 在直角三角形ABC中,直接用正切函数描述∠CBA的关系式,再用计算器求出它的度数. 2.(1)如图①②,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律: ; (2)根据你探索得到的规律,试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值和余弦值大小:①;②; (3)比较大小(在空格处填写“<”“=”或“>”),若α=45°,则sinαcosα;若α<45°,则sinαcosα;若α>45°,则sinαcosα; (4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系,试比较下列大小:sin10°,cos30°,sin50°,cos70°.
第2课时 锐角三角函数 1.掌握余弦、正切的定义. 2.了解锐角∠A 的三角函数的定义. 3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值. 阅读教材P64-65,自学“探究”与“例2”. 自学反馈 学生独立完成后集体订正 ①在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c;∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ,即cosA= ;∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的 ,即tanA= . ②锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的 . ③在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若a=3、b=4,则cosB= ,tanB= . ④在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,则sinA= ()()= ,cosA= ()()= ,tanA= ()()= . ⑤在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,则sinA= ()()= ,cosA= ()()= ,tanA= ()()= . ⑥在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,则sinA= ()()= ,cosA= ()()= ,tanA= ()()= . 锐角三角函数是在直角三角形的前提下. 活动1 小组讨论 例1 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
解:在Rt△ABC中,根据勾股定理得 ∴sinA=cosB=BC AB = 5 13 ,cosA=sinB= AC AB = 12 13 ,tanA= BC AC = 5 12 ,tanB= AC BC = 12 5 .利用勾股定理求出第三边,再直接运用三角函数定义即可. 活动2 跟踪训练(独立完成后小组内展示学习成果) 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,若CD=BC,则tanA= . 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,c=13,a=12,那么sinA= ,cosA= ,tanA= . 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,c=2,sinB=1 2 ,则a= ,b= ,S△ABC= . 均可先求出直角三角形的边长,再用锐角三角函数的关系来做. 活动1 小组讨论 例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA=3 4 ,求sinA和cosB的值. 解:∵tanA=BC AC , ∴BC=AC×tanA=8×3 4 =6. ∵ ∴sinA=BC AB = 6 10 = 3 5 ,cosB= BC AB = 6 10 = 3 5 . 先求Rt△ABC的边长,再求sinA、cosB的值. 例3 如图,在△ABC中,AB=15,AC=13,S△ABC=84,求sinA的值.
第一章直角三角形的边角关系 《锐角三角函数(第2课时)》 教学设计说明 深圳市宝安区塘尾万里学校陈武惠 一、学生知识状况分析 1、学生已经知道的:学生在前一节课学习了有关正切的知识,学会了用直角三角形中两条直角边的关系来描述梯子的倾斜度(即倾斜角的正切) 2、学生想知道的:直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢?是否也能用来刻画梯子的倾斜度呢? 3、学生能自己解决的:探索出直角三角形中,一个锐角的对边与斜边的的比、邻边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的. 二、教学任务分析 本课是九年级下册第一章第一节的第二课时,是让学生在理解了正切的基础上,进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系.同时发现,可以用其它的方式来刻画梯子的倾斜程度,从而拓展了学生的思维和视野.在导学探究过程中,不同学生对问题的理解是不一样的,教师应尊重学生间的差异,不要急于否定学生的答案,而要鼓励学生发表自己的看法,培养学生的逻辑思维能力,培养学生学习数学的自信心. 知识与技能 1、能利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦,理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性,发展实践能力和创新精神.
情感与价值观 1、积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲,学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 教学重点:理解正弦、余弦的数学定义,感受数学与生活的联系. 教学难点:体会正弦、余弦的数学意义,并用它来解决生活中的实际问题. 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:第一环节:复习引入;第二环节:探求新知;第三环节:及时检测;第四环节:归类提升;第五环节:总结延伸;第六环节:随堂小测; 第一环节 复习引入 1、如图,Rt △ABC 中,tanA = ,tanB= . 2、在Rt △ABC 中,∠C =90°,tanA =4 3 ,AC =10,求BC,AB 的长. 3、若梯子与水平面相交的锐角(倾斜角)为∠A ,∠A 越大,梯子越 ;tanA 的值越大,梯子越 . 4、当Rt △ABC 中的一个锐角A 确定时,其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗? 设计意图:以练代讲,让学生在练习中回顾正切的含义,避免死记硬背带来的负面作用(大脑负担重,而不会实际运用),第4题的问题引发学生的疑问,激起学生的探究欲望. 第二环节 探求新知 探究活动1:如图,请思考: (1)Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ; B 1 B 2 A C 1 C 2
28.1 锐角三角函数(第三课时) 一、【教材分析】 二、【教学流程】
21,7==AC BC 高AO 等于圆锥的底面半径)OB 的3倍,求a . 给予指点. 教师出示题目后,让学生认真读题,分析题目条件与要求的结论,分析它们之间的关系,教师关注学生的分析思路,适当时给予指点:如图(1),BC 边是∠A 的邻边,AB 是斜边,由此想到利用∠A 的余弦值来求∠A 的度数.图(2)中,OA 是a 角的对边,OB 是a 角的邻边,由此想到利用a 角的正切值来求a 角的度数. 初次解这种类型的题目,教师要板演解题过程,给学生规范的解题格式. 强化解决此类问题过程中步骤的书写. 补 偿 提 高 1、求下列各式的值: . )21()1(60cos 2 1 45sin 2)4(;30tan 160sin 160cos )3(;60sin 245tan 30tan 3)2(; 30cos 30sin 21)1(02005 -+-+-+++--o o o o o o o o o o 2、在Rt △ABC 中,∠C = 90°, ,求∠A 、∠B 的度数. 3、求适合下列各式的锐角α 教师出示题目,学生读题后,独立完成此练习,教师巡视过程中,观察学生对题目的理解,对学困生给予指点. 教师提出问题,学生相互交流,教师适时给予指点.教师要关注学生: 1. 特殊角的三角函数值必须熟记; 2.在直角三角形中,知道两边,可求出每个锐角的各个三角函数;反之,由特殊角的三角函数值,可求出锐角的度数. 3.能否由任意的锐角求出三角函数值,或知道任意三角函数值都可以求出它所对应的锐角呢? 对内容的升 华理解认识 总结 B A C 721
28.1锐角三角函数(第三课时) 一、【教材分析】 1. 熟记30°、 45°、 60°角的各 个三角函数值,会计算含有这三个知识 目标特殊锐角的三角函数值的式子. 2.会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数. 教 学 1. 加深学生对锐角三角函数的认识,了解特殊与一般的关系,并对学能力 生进行逆向思维的训练. 目 目标 2. 会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子,会由一个特殊锐标 角的三角函数值说出这个角的度数. 情感 目标 1.引导学生积极参加数学活动,增强学习数学的好奇心. 教学 会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子. 重点 教学 会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数. 难点 二、【教学流程】 教学 教学问题设计师生活动教学反思环节 【问题 1】一个直角三角形中, 一个锐角正弦是怎么定义的? 情一个锐角余弦是怎么定义的? 景一个锐角正切是怎么定义的? 创 设 【问题 2】在Rt△ABC中,∠ C=90°, AC=5,BC=12,求∠ B 的锐角三角函数值. 【探究1】请同学们拿出自己 的学习工具——一副三角尺, 思考并回答下列问题: 复习引入,提出问题,学生思考并解答 , 为学习特殊角的三角函数值做准备. 学生通过自主探究的方式,以小组为单位,获得特殊角的三角函数值 .
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自主探究1 2 3 用列表的方法表示特殊角的三角 函数值,教给学生记忆的方法, 1 1 并引导学生观察此表格,归纳出 一些规律. 2 1、这两块三角尺各有几个锐 角?它们分别等于多少度? 30o60o45o 2、每块三角尺的三边之间有 怎样的特殊关系?如果设每 块三角尺较短的边长为 1,请你 说出未知边的长度 . 【探究 2】 锐角三 30°45°60° 角函数 sin a cos a tan a 1、求下列各式的值: ( 1)cos260 sin 2 60 ; 尝(2) cos45 tan 45 . 试sin 45 应2:( 1)如图(1),在 Rt△ ABC 用 6 , 中,∠ C=90°, AB= BC= 3 ,求∠A的度数. ( 2)如图( 2),已知圆锥的 出示题目后,学生观察题目对教材知识特点,找到解题方法,即将特殊的加固 三角函数值代入求值. 学生认真独立完成,巡视, 对学习较困难的学生适当的给予 指点. 出示题目后,让学生认真读 题,分析题目条件与要求的结论, 分析它们之间的关系,关注学生 的分析思路,适当时给予指点: 如图( 1),BC 边是∠ A 的邻边,
28.1《锐角三角函数》第一课时——正弦 【学习目标】 1:经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。 2:能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦(sinA)概念,知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实. 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时,,它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 B 【导学过程】 一、自学提纲:A C 1、如图在△ R t ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=10m,?求AB 2、如图在△ R t ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=20m,?求BC A B C 二、合作交流: 问题:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,?在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管? 思考1:如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?;如果使出水口的高度为a m,那么需要准备多长的水管?; 结论:直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值 思考2:在△ R t ABC中,∠C=90°,∠A=45°,∠A对边与斜边的比值是一个定值吗??如果是,是多少?B A C 结论:直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值
BC B ' C ' 三、教师点拨: 从上面这两个问题的结论中可知,?在一个 △R t ABC 中,∠C=90°,当∠A=30° 时,∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ,是一个固定值;?当∠A=45°时,∠A 的 对边与斜边的比都等于 2 2 ,也是一个固定值.这就引发我们产生这样一个疑问: 当∠A 取其他一定度数的锐角时,?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值? 探究:任意画 Rt△ABC 和 Rt △A ′B′C′,使得∠C=∠C′=90°, ∠A=∠A′=a,那么 与 AB A ' B ' 有什么关系.你能解释一下吗? 结论:这就是说,在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大 小如何,?∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念: 规定:在 Rt △B C 中,∠C=90, ∠A 的对边记作 a ,∠B 的对边记作 b ,∠C 的对边记作 A 斜边c b B 对边a C c . 在 △R t BC 中,∠C=90°,我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦, 记作 sinA ,即 sinA= = a c . sinA = ∠ A 的对边 a = ∠ A 的斜边 c 例如,当∠A=30°时,我们有 sinA=sin30°= ; 当∠A=45°时,我们有 sinA=sin45°= . 四、学生展示: 例 1 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,求 sinA 和 sinB 的值. B 3 B 3 5 13 A 4 C C A (1) (2)
28.1锐角三角函数 第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角 【学习目标】 让学生熟识计算器一些功能键的使用 【学习重点】 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题 【学习难点】 知道值求角的处理 【导学过程】 求下列各式的值. (1)sin30°·cos45°+cos60°; (2)2sin60°-2cos30°·sin45° (3) 2cos60 2sin302 ? ?- ; (4) sin45cos30 32cos60 ?+? -? -sin60°(1-sin30°). (5)tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°tan30° (6) sin45 tan30tan60 ? ?-? +cos45°·cos30° 合作交流: 学生去完成课本68页练习1、2题 学生展示: 用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值 学生去完成课本69页的第4、5题 . 自我反思: 本节课我的收获: 。 (赠品,不喜欢可以删除)
数学这个家伙即是科学界的“段子手”,又是“心灵导师”一枚。它要是给你讲起道理来,那可满满的都是人生啊。 1.人生的痛苦在于追求错误的东西。所谓追求错误的东西,就是你在无限趋近于它的时候,便无限远离了原点,却永远无法和它产生交点。 2.人和人就像数轴上的有理数点,彼此可以靠得很近很近,但你们之间始终存在无理的隔阂。 3.人是不孤独的,正如数轴上有无限多个有理点,在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。但人又是寂寞的,正如把整个数轴的无理点标记上以后,就一个人都见不到了。 4.零点存在定理告诉我们,哪怕你和他站在对立面,只要你们的心还是连续的,你们就能找到你们的平衡点。 5.有限覆盖定理告诉我们,一件事情如果是可以实现的,那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。至于那些在你能力范围之外的事情,就随他去吧。 6.幸福是可积的,有限的间断点并不影响它的积累。所以,乐观地面对人生吧!
1.2.1任意角的三角函数(第一课时)说课稿 说课人:李方岚 各位评委,老师,大家好!我是景洪市职中数学教师李方岚。这次我说课的内容是:人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4第一章三角函数的第二节(1.2任意角的三角函数)第一课时的内容,这部分内容在课本第11页至12页。 下面我根据自己设计的教案,把我对本节课的教学目标、过程、方法、等方面的简单认识作以说明,希望各位老师对我的说课内容多提宝贵意见。 一、关于教学目标的确定 (一)说教材的地位和作用: 三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型,有非常广泛的应用. 以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定 义,紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉,自然地导出三角函数的定义 域. 三角函数的定义直接用于解析几何(如直线斜率公式、极坐标、部分 曲线的参数方程等),定义还是直接解决某些问题的工具,三角函数知识 是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础. 三角函数定义必然是学好全章内容的关键,如果学生掌握不好,将直接影响到后续内容的学习,由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定 了本节教材的重点就是定义本身. (二)说学情分析: 学生在初中已学习过锐角的三角函数,高一必修一已学习了函数的定义, 且上节课已将锐角推广到任意角,学生接受本小节的有关知识应该不是很 难。 (三)说教学目标: 根据以上对教材的地位作用以及学情的分析,结合高中新课标对本节课的要求,确定了本节课的教学目标: 1. 知识目标: (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义; (2)已知角的终边上的一点,会求角的各三角函数; 2. 能力目标: 通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程,培养合情猜测的能力,从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 3. 德育目标: 让学生在任意角的三角函数概念的形成过程中,体会函数思想,体会数形结合思想。 (四)说教学重点、难点: 1. 重点:三角函数的定义; 2. 难点:用单位圆上点的坐标刻画三角函数。 二.说教学过程的设计:
A 2019-2020年九年级数学下册28.1锐角三角函数第2课时学案新 版新人教版 【学习目标】 1.感知当直角三角形的锐角固定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。 2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 【重点难点】 重点:理解余弦、正切的概念. 难点:熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算. 【新知准备】 在Rt△ABC 中,∠C =90° 1.锐角正弦的定义 2.当锐角A 确定时,∠A 的邻边与斜边的比, ∠A 的对边与邻边的比也随之确定吗?为什么?交流并说出理由。 【课堂探究】 一、自主探究 探究1 在Rt△ABC 和Rt△A’B’C’中∠C =∠C ’=90°,∠A =∠A ’那么 与 有什么关系.你能解释一下吗? 探究2 类似于前面的推理情况, 在Rt△ABC 中,∠C =90°,当锐角A 的大小确定时,∠A 的邻边与斜边的比是定值,∠A 的对边与邻边的比也是确定的吗? 结论:余弦: 正切: 二、尝试应用 1.如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,BC =6,AB =10, 求sin A ,cos A ,tan A 的值. A B C a b c
C B C 2、下图中∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D .指出∠A 和∠B 的对边、邻边. 三、补偿提高 1、如图,在Rt △ABC 中,锐角A 的邻边和斜边同时扩大100倍,tan A 的值( ) A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 2.如图,为了测量河两岸A 、B 两点的距离,在与AB 垂直的方向点C 处测得AC =a ,∠ACB =α,那么AB 等于( ) A.a ·sin α B.a ·tan α C.a ·cos α D. 3、如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tan B =cos ∠DAC, (1)求证:AC=BD ; (2)若 ,BC =12,求AD 的长。 【学后反思】 1.通过本节课的学习你有那些收获? 2. 你还有哪些疑惑? B C D A B C a α D B C A
28.1锐角三角函数(第1课时)教学设计 【教学目标】 1、知识技能:初步了解锐角三角函数的意义,初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义,并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2、数学思考:在体验探求锐角三角函数的定义的过程中,发现对同一锐角而言它的对边与斜边的比值不变的规律,从中思考这种对应关系所揭示的数学内涵。 3、解决问题:从实际问题入手研究,经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间的关系的过程,体会研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法。 4、情感态度:在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度,进一步激发学习需求。 学习重点:锐角正弦的定义 学习难点:理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。 【教学过程】 活动一、创设情境,导入新课 问题:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,?在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管? (1)解决问题,初步体验 隐去引例中的背景材料后,直观显示出图中的直角三角形, 追问1:你能用数学语言来表述这个实际问题吗?如何解决这个问题? 师生活动:学生组织语言与同伴交流。教师及时了解学生语言组织情况,并适时引导。把上述实际问题抽象出数学问题为: 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,求AB。
C B A 设计意图:培养学生用数学语言表达的意识,提高数学表达能力。 追问2:在上面的问题中,如果使出水口的高度为50m ,那么需要准备多长的水管? 追问3:对于有一个锐角为30°的任意直角三角形,30°角的对边与斜边有怎样的数量关系?可以用一个怎样的式子表示? 设计意图:在学生用“直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半”解决问题的基础上,引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式—研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系,为下一环节奠定基础。 (2)类比思考,进一步体验 问题:在直角三角形中,如果锐角的大小发生了改变,其对边与斜边的比值还 是吗?如图,任意画一个Rt △ABC ,使∠C=90°,∠A=45°,计算∠A 的对边 与斜边的比值,由此你能得出什么结论? 师生活动:教师提出问题,学生分组讨论,交流展示。 追问:从上面这两个问题的结论中可知,?在一个Rt △ABC 中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠ A 的对边与斜边的比都等于,是一个固定值;?当∠A=45°时,∠A 的对边与斜边的比都等于 ,也是一个固定值.这就引发我们产生这样一个疑问:当∠A 取其他一定度数的锐角时,? 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值? 设计意图:强化学生对“对边与斜边的比”的关注。为获得“角度固定,比值也固定”做进一步铺垫。 活动二、证明猜想,形成概念 (1)证明猜想 1 21 22 2
24.3 锐角三角函数 1.锐角三角函数 第1课时锐角三角函数 【知识与技能】 1.使学生掌握锐角的四种三角函数的定义. 2.使学生掌握锐角三角函数的取值范围. 【过程与方法】 1.使学生会利用三角函数的定义,表示出直角三角形中某个锐角的三角函数值. 2.使学生会利用锐角三角函数的定义求三角函数值. 3.使学生学会运用参数法求三角函数值. 【情感态度】 培养学生的数形结合的思想和探索的精神. 【教学重点】 三角函数的定义及三角函数值的求法. 【教学难点】 引入参数三角函数值. 一、情境导入,初步认识 1.含30°角的直角三角形,有什么性质? 答:30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的比值为1 2 . 2.上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗? 答:无关. 3.含45°角的直角三角形中,45°角所对的直角边与斜边的比值为多少? 这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗? 答: 2 ,无关. 4.一般地,在Rt△ABC中,∠A为其一个锐角,当∠A取一个固定的值时,∠A所对的直角边和斜边的比值固定吗? 答:固定不变.如下图
我们把这个固定的比值,称为∠A的正弦,记作sinA,当∠A看作变量时,sinA常称为∠A的正弦函数,正弦函数是三角函数的一种,今天我们就来研究锐角三角函数. 二、思考探究,获取新知 (一)锐角三角函数的定义 如图,在Rt△ABC中,∠C=90° ∠A的正弦: A BC a sinA AB c ∠ === 的对边 斜边 ∠A的余弦: A AC b cosA AB c ∠ === 的邻边 斜边 ∠A的正切: A BC a tanA A AC b ∠ === ∠ 的对边 的邻边 【教学说明】这三个三角函数的书写和含义,特别是不能看成是乘法的关系,另外角的符号也常常省略. 提问:你能按定义写出∠B的三个三角函数来吗? (二)锐角三角函数的取值范围 在Rt△ABC中,∠A为其一锐角,有00. (三)利用锐角三角函数定义求三角函数值 1.直接利用定义求三角函数值 例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=8,试求出∠A的三个三角函数值.
锐角三角函数第一课时教学设计. 锐角三角函数第一课时教学设计 一、设计思想 通过游戏的的展示极大地调动学生们学习的积极性,让学生体会到了
数学与生活的联系,点燃了学生的求知欲,让学生充分感受到数学来源于生活有应用于数学。 二、教材分析 本节课选自鲁教版实验教科书九年级上册第一章解直角三角形的第 一节锐角三角函数(第一课时)。锐角三角函数反映了直角三角形中边角之间的关系,它在解决实际问题中起着重要的作用。相比之下,正切是生活当中应用最多的三角函数概念。通过本节课的学习使学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的联系。感受数形结合的思想,体会数形结合的方法,为一般性的学习锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。 三、学情分析
1、从学生的年龄特征和认知特征来看 九年级学生的思维活跃,接受能力较强,具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。 2、从学生已具备的知识和技能来看 九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系,能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题,有较强的推理证明能力。 3、从学生有待于提高的知识和技能来看 交流,思考、需要观察、学生要得出直角三角形中边与角之间的关系, 进一步体会数学知识之间的联系,感受数形结合的思想,体会锐角三角函数的意义,提高应用数学和合作交流的能力。 四、教学目标
1、知识目标 (1)经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正切的意义,并能举例说明。 (2)能运用tanA表示直角三角形中的两边之比,表示物体的倾斜度、坡度等,能利用直角三角形中的边角关系进行简单的计算。 2、能力目标 (1)经历观察、猜想等数学活动过程,发展合情推理能力。 (2)体验数形之间的联系,提高学生应用数学的意识和能力。3、情感价值目标 使学生在学习数学的过程中体会数学与生活的密切联系,激发学生学
《锐角三角函数第一课时》教学设计 【教材依据】人民教育出版社、第二十八章、第一节(28.1 锐角三角函数) 【设计思想】 1、指导思想:教学中要充分体现数学教学是数学活动(研究与应用)、学生是数学学习主人的观念,以培养学生自主学习能力和促进探究意识为重点,以诱思探究理论为指导思想。 2、设计理念:在数学教学中渗透数学思想方法,发展思维能力,形成空间观念,提高学生运用所学知识解决实际问题的能力,培养学生的实践能力与创新意识。 3、教材分析:《锐角三角函数》是人教版数学教材九年级下册第二十八章第一节的内容。锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的,它的建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野,也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。 4、学情分析:本节的内容的学习涉及到直角三角形和相似三角形方面的知识,这些内容学生掌握情况良好,教师应在解决实际问题中提出,然后让他们自主探究解决问题的方法。 【教学目标】 知识与能力:1、了解当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都是固定值这一事实; 2、通过实例是学生理解并认识锐角三角函数的概念; 3、正确理解正弦符号的含义,掌握锐角三角函数的表示; 4、学会根据定义求锐角的正弦值。 过程与方法:1、经历锐角的正弦概念的探究过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的思想; 2、三角函数的学习中,初步探索、讨论、论证对学习数学的重要性。 情感与评价:1、通过锐角的正弦概念的建立,是学生经历从特殊到一般的认识过程; 2、让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜 悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,从而培养学生学习数学的兴趣。现代教学手段的运用:用多媒体课件逐步展示出所要探究的四个问题