正态分布及其经典习题和答案汇总
专题：正态分布
例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为
A ．n=4，p=0.6
B ．n=6,p=0.4
C ．n=8，p=0.3
D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X
E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%
B ．50%
C ．97.5%
D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。
（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）
A 32
B 16
C 8
D 20
答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102
)，
8080
9080(8090)(01)0.3413,480.34131610
10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。
∴E(X)=8.5.
（5）如图，两个正态分布曲线图：
1为)(1
,1x σμ?，2为)(22x σμ?，
则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【课练习】
1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。
2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小
答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。
3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()
∑=-n
i i x x n 1
21是指
A ．σ
B ．μ
C ．2σ
D ．2
μ（
）
答案：C 。解析：由方差的统计定义知。
4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4D ξ=，则n 的值是 。 答案：4。解析：()12==np E ξ，()(1)4D np p ξ=-=
5．对某个数学题，甲解出的概率为2
3
，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X 为解出该题的人数，则E
（X ）= 。
答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412
P X P X ==?===?+?=231
(2)342P X ==?=。
∴15117()012212212
E X =?+?
+?=。 6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论正确的是 。 (1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=-<=<-=>-= 答案：(1),(2),(4)。解析：(||)0P a ξ==。 7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X ，则D （X ）= 。 答案：3512。解析：1 (),1,2,,66 P X k k ===，按定义计算得735(),()212E X V X ==。 【作业本】 A 组 1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大，则E （X ）等于 （ ） A 、4 B 、5 C 、4.5 D 、4.75 答案：C 故E （X ）=3?2．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ） A ．()σ σπ22 21)(r x e x f -= B ．2 222)(x e x f - = π π C ．()4 12 221)(-=x e x f π D ．2 221)(x e x f π = 答案：B 。解析：选项B 是标准正态分布密度函数。 3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B 。解析：22 () x f x -= 。 4．已知正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点。 答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x μ=对称，由题意知0.2μ=。 5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。 答案：84；75.6。解析：设X 为该生选对试题个数，η为成绩，则X ～B （50，0.7），η=3X ∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4 故E(η)=E(3X)=3E(X)=84 V(η)=V(3X)=9V(X)=75.6 6．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 3 2 ，求此人试验次数X 的分布列及期望和方差。 解：X 的分布列为 故22113()1233999E X =?+?+?=，22211338 ()149()399981 V X =?+?+?-=。 7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X ，则EX=3 4 ，Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值及Y 的分布列及期望. 答案：解：由已知可得),2(~s B X ，故3 2,342===s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0，1，2. 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是36 1 )31()21(22=?， 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92 )32313132)(21212121(=?+??+?， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是9 1 )3232)(2121(=?? 所以36 13 9192361)0(= ++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361 )31()21(22=?， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是9 1 )3232)(2121(=?? 所以36591361)2(= +==Y P ，故2 1 )2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P 所以 Y 的期望是E （Y ）=9 。 B 组 1．某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X 的方差是 （ ） A 、0.5 B 、0.475 C 、0.05 D 、2.5 答案：B 。解析：X —B （10，0.05），()100.050.950.475V X =??=。 2．若正态分布密度函数()2 12 (),() x f x x R -- = ∈，下列判断正确的是 （ ） A ．有最大值，也有最小值 B ．有最大值，但没最小值 C ．有最大值，但没最大值 D ．无最大值和最小值 答案：B 。 3．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间(]112,88的概率是 A ．0．6826 B ．0．3174 C ．0．9544 D ．0．9974 答案：C 。解析：由已知X —N （100，36）， 故88100112100 (88112)()(22)2(2)10.954466 P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=。 4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得2分，用X 表示得分数，则E （X ）=________；D(X)= _________. 答案： 149；162 165。解析：由题意知，X 可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下： X 0 1 2 3 4 P 16 13 1136 16 136 E(X)=0×16+1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝14 9 V(X)= 2 0×16+21×13＋22×1136＋23×16＋2 4×136－2 914?? ? ??＝162165 注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X 的分布列。 5．若随机变量X 的概率分布密度函数是())(,221)(8 2,2 R x e x x ∈= +- π ?σμ，则)12(-X E = 。 答案：-5。解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=?--=-。 6．一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X 的均值、标准差。 解：∵X —B 1111 (100, ),()1000.2,()100(1)0.1996500500500500 E X V X ∴=?==??-= X 的标准差()0.04468V X σ==。 8．一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池 中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？ 答案：解：电池的使用寿命X —N(35.6,4.42 ) 则35.64035.6 (40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4 X P X P P Z P Z --≥=≥=≥=-≤= 即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。 正态分布 双基自测 1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝1 8πe －x －10 2 8 ，则这个正态总体的 平均数与标准差分别是( )． A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10 解析 由 18πe － x －10 2 8 ＝1 2πσ e －x －μ 2 2σ2 ，可知σ＝2，μ＝10.答案 B 2．(2011·)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2 )，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)等于( )． A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 解析 由P (ξ＜4)＝0.8知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2，故P (0＜ξ＜2)＝0.3.故选C.答案 C 3．(2010·)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X ＞4)等于( )． A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5 解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称，∴P (X ＞4)＝0.5－12P (2≤X ≤4)＝0.5－1 2×0.682 6 ＝0.158 7.故选B 4．(2010·)已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2 )，若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)等于( )． A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 解析 P (－2≤X ≤2)＝1－2P (X >2)＝0.954.答案 C 5．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x ＝2对称，于是 c ＋1＋c －1 2 ＝2，∴c ＝2.答案 B 考向一 正态曲线的性质 【例1】?若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π . (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率． 解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0.由 12πσ ＝ 12π·4 ，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝1 42πe －x 2 32 ，x ∈(－∞，＋∞)． (2)P (－4 【训练1】 设两个正态分布N (μ1，σ2 1)(σ1＞0)和N (μ2，σ2 2)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )． A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2 解析 根据正态分布N (μ，σ2 )函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A. 考向二 服从正态分布的概率计算 【例2】?设X ～N (1,22 )，试求 (1)P (－1 )，∴μ＝1，σ＝2. (1)P (－1 (2)∵P (3 2 [P (－3 ＝12[P (1－4 2[P (μ－2σ 2 ×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)∵P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，∴P (X ≥5)＝12[1－P (－3 2[1－P (1－4 ＝12[1－P (μ－2σ 2 ×(1－0.954 4)＝0.022 8. 【训练2】 随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2 )，已知P (ξ＜0)＝0.3，则P (ξ＜2)＝________. 解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线x ＝1对称，所以P (ξ＞2)＝P (ξ＜0)＝0.3，P (ξ＜2)＝1－0.3＝0.7.答案 0.7 考向三 正态分布的应用 【例3】?2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2 )，已知耗油量 ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆． 解 由题意可知ξ～N (8，σ2 )，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35，而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ＞9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆． 【训练3】 工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N ? ?? ??4，19，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时， 不属于区间(3,5]这个尺寸围的零件大约有多少个？ 解 ∵X ～N ? ?? ??4，19，∴μ＝4，σ＝13.∴不属于区间(3,5]的概率为 P (X ≤3)＋P (X ＞5)＝1－P (3＜X ≤5)＝1－P (4－1＜X ≤4＋1)＝1－P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ) ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003，∴1 000×0.003＝3(个)， 即不属于区间(3,5]这个尺寸围的零件大约有3个． 阅卷报告19——正态分布中概率计算错误 【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误． 【防措施】 对正态分布N (μ，σ2 )中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应