全国优质课——基本不等式教学设计

《3.4基本不等式》教学设计

1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点；

2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材；

3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处；

4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．

二、学情分析：

1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助；

2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少；

3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。

三、教学目标：

1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；

2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养；

3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性.

四、教学重点与难点：

1、教学重点：基本不等式的推导及其简单应用

2、教学难点：分析法证明基本不等式思路的获得和应用基本不等式求最值.

五、教学策略分析：

1、由情景1和情景2引入课题，可明确本堂的主要内容，使学生学习目标明确，进而激发学生的学习兴趣；

2、精心设置“问题串”，由简到难，由感性到理性，一步步引导学生自主探究，小组讨论推导基本不等式，让学生感受知识发生发展深化的过程，也体现学生为主体，老师为主导的教学理念；

3、为突破分析法证明基本不等式思路的获得这一教学难点，采用先学生小组讨论，再师生共同完成的策略；

4、为突破应用基本不等式求最值这一难点，先由例题归纳应用基本不等式求最值的要点，然后趁热打铁设置两个练习，由简到难，由浅入深，采用学生板演，抢答和小组讨论等方式，及时发现问题，及时纠错，让“一正二定三相等”深入人心；

5、对于转化为函数进而用函数的图像和性质求最值的问题，教师只作适当提示，不作为重点；

6、课堂小结重视知识间的联系和研究问题的方法，并强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用。

教学

环节

教学内容师生活动设计意图

一、情境创设导入课题情境1：在农村，为防止家畜家禽对菜地的破

坏，常用篱笆围成一个菜园.

1.如果菜园的面积一定，为节省材料，就

应该考虑所用篱笆最短的问题；最短是？

m；

2.如果所用篱笆的长度一定，为了充分利

用材料，就要考虑所围菜园面积最大的问

题.最大是？m2；

师：引导学生思考

生：思考回答

师：学习了本堂课

的内容就很容易

解决这两个最值

问题

情境1提出的

实际问题新颖

有趣，简单易

懂，贴近生活，

激发学生的学

习兴趣，也为第

三环节实际应

用埋下伏笔.

情境2：观看第24届国际数学家大会视频，注

意观察这个图形在视频中出现了多少次？

问题：你能在这个图形中找出一些相等关系或

不等关系吗？

师：播放视频

生：观看视频后回

答

师：强调会标上的

图形的重要性及

其对数学学习的

意义

情境2通过会

标导入新课，贴

近现实，可激发

学生的探究欲

望，也让学生感

受到数学文化

的同时，激起学

生的爱国情怀.

二、自主探究推导公式问题 1：对于“情景导学”中的图形，把“风

车”抽象成平面图形.在正方形ABCD中有4

个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直

角边长为,a b，正方形ABCD的面积为S，4

个直角三角形的面积和为

1

S，则：

（1）正方形ABCD的边长为

（2）S=

（3）

1

S=

(4)由图可知，S1S，

即

生：思考后回答

师：借助几何画板

动态演示面积变

化过程，尤其注意

归纳取等号的条

件

问题1将问题

细化，以填空形

式呈现问题，并

利用图形的面

积大小关系，循

序渐进地抽象

出重要不等式，

几何画板演示

直观形象，体会

数形结合的思

想.

问题 2：不等式22

2a b ab +≥对任意的实数都成立吗？

重要不等式：2

2

2a b ab +≥(0,0)a b >>，当且仅当a b =时取等号

师：分析问题1中推导出的不等式中,a b 的取值范

围，提出问题2 生：思考后回答 师:如何证明？ 生：思考后证明 师：板书重要不等式，并解释当且仅当的含义 问题2培养学

生学习的严谨

性和逻辑推理

能力.

问题 3：如果0,0a b >>，用,a b 分别代替重要不等式中的,a b ，可得什么？取等号的条件是什么？ 基本不等式：2

a b

ab +≤

(0,0)a b >>，当且仅当a b =时取等号.

生：思考后回答

师：板书基本不等

式

问题3体会代换在数学学习

中的作用，感受

数学知识间的

联系.

问题 4：还有没有其他证明基本不等式的方法？

法（一）作差比较法

2

()022

a b a b ab +--=≥ 法（二）分析法 要证明2

a b

ab +≤

①，只需证明：2a b ab +≥②，要证②只需证明

20a b ab +-≥③，要证③只需证明2()0a b -≥④.显然，④是成立的.当且仅

当a b =时，④中的等号成立. 师:指导学生分组讨论证明基本不等式 生：分组讨论证明基本不等式

师：实物投影展示

学生成果，并和学

生一起分析证明

思路

师生共同完成分析法的证明过程 先从几何图形中的面积关系获得基本不等式，然后从代数的角度推导，实现由感性认识

到理性认识的

升华.

引导学生从多

个角度证明基本不等式，培养逻辑推理能力，

小组讨论可培养学生的合作

交流能力，实物投影可及时发现学生的问题.

探究：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，

,AC a BC b ==.过点

C 作垂直于AB 的弦

师：指导学生分组讨论基本不等式的几何意义 生：分组讨论，探

索基本不等式的

借助初中阶段学生熟知的几何图形，并将问

题细化，以填空

形式呈现问题，

DE ，连接AD 、BD 、OD .则：

（1）半径OD = （2）CD = （3）显然CD

OD ，

即

基本不等式的几何意义：半径不小于弦长的一半.

ab 又可称为a 与b 的几何平均数，

2

a b

+又可称为a 与b 的算术平均数，基本不等式也叫做均值不等式.

基本不等式的代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

几何意义

师：实物投影展示

学生成果，难点是

CD 的求法，及时指出问题，并用几

何画板演示

有利于学生循序渐进地探索

出基本不等式

的几何意义，并

进一步领悟基本不等式中等

号成立的条件，升华理解. 小组讨论可培养学生的合作交流能力，投影展示成果可及时发现学生的问题.

用数学符号语言、日常语言和图形语言表述基本不等式，将几何意义和代数意义一起讲解，有助于学生从多个角度认识基本不等式，培养学生数学表达能力. 问题：重要不等式和基本不等式有什么联系与

区别？

生：思考后回答，基本不等式可由重要不等式推导得到，但它们的适用条件不同.

辨析两个不等式的区别和联系，加深理解 三、实际应用 加深理解

例：（1）用篱笆围一个面积为2

100m 的矩形

菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？ 解：（1）设长为x m ，宽为y m ，则100xy =，

篱笆长为2()x y +m ，由

102

x y xy +≥=可得：2()40x y +≥，当且仅当10x y ==时，

等号成立，所以这个矩形的长和宽都为10m 师：分析解题思路，将实际问题转

化为数学问题，注意分析为何可用基本不等式来解决该问题，PPT 展示（1）的解答过

程，请一学生板演

（2），指导学生完

成（2）

生：一学生板演

（2），其他学生自

己完成（2） 和情景1前后呼应，学以致用，把两个实际问题化归为利用基本不等式求最值的数学模型，体会数学的应用价值，增强学生的学习的动力和信心.

板演有利于及时发现学生解答中的问题，及

时，篱笆最短，最短的篱笆是40m .

（2）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则

2()36x y +=，即：18x y +=，矩形菜园的

面积为xy 2

m .由

92

x y

xy +≤

=可得：81xy ≤，当且仅当9x y ==时，等号成立，

所以这个矩形的长和宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是2

81m .

师：适当引导学生其他解法，比如：（1）也可转化为对勾函数，（2）可转化为二次函数

时纠错.

一题多解可更好的培养学生思维的发散性.

题后反思：结合基本不等式，你能将本题的结论推广为更一般的情况吗？

结论：设0,0a b >>，

1、若ab P =（定值），则当且仅当a b =时，a b +有最小值2P ；

2、若a b S +=（定值），则当且仅当a b =时，ab 有最小值2

4S

.

要点：一正二定三相等 师：引导学生将实际问题抽象为数学问题，明确已知

和所求，将问题一

般化.

生：思考后将例题

的结论推广为更

一般的情况.

师：板书结论，指导学生根据基本不等式的变形理

解记忆该结论

师生共同归纳该结论的三个要点

在学生经历例题中的两个最值问题之后，及时提问，培养学生题后反思的好习惯，将特殊问题一般化，举一反三，总结规律，有利于构建系统完整的知识结构.

四、巩固强化 综合提升

练习1：（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？和的最小值是多少？

（2）把16写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？积的最大值是多少？

解：（1）两个正数都是6时，它们的和最小，和的最小值是12.

（2）两个正数都是8时，它们的积最大，积的最大值是64.

师：指导学生用刚才的结论解决该问题，注意分析三个条件是否都满足

生:抢答练习1

练习1设置较为基础，主要是让学生体会用基本不等式求最值的方便之处，也为练习2做好铺垫.

练习2：判断下列3个命题是否正确，并说明理由.

（1）函数1y x x

=+的最小值为 2.

（ ） （2）函数42

y x x =+- (2)x >的最小值为

6. （ ） 师：让学生小组讨论，解决该问题

生：小组讨论，小组代表回答问题

师：点评学生回答，并指出：运用

基本不等式求最

练习2可加深对用基本不等式求最值的条件的理解，小组讨论可培养学生的合作交流能力，小组代表回答问题可培养学生数学表

（3）函数

2

2

1

99

y x x =++

+ 的最小值是2. （ ）

解：（1）假.

x 可为负数，不能直接用基本不等式，

1

y x x

=+

无最小值. （2）真.

4

(2)22

y x x =-++-2426≥+=，当且仅当4x =时取等号，所以4

2y x x =+-

(2)x >的最小值为6.

（3）假.一正二定满足，但等号取不到

值，三个条件缺一不可，尤其三相等最忽略. 达能力、概括能力和逻辑推理能力.

五、课堂小结 布置作业

归纳回顾本堂课的内容：

1、由会标数学抽象得到几何图形（赵爽弦图）

2、由赵爽弦图直观想象得重要不等式

3、由重要不等式代换可得基本不等式并依据不等式的性质证明基本不等式

4、探索基本不等式的几何意义

5、运用基本不等式求最值：三个条件缺一不可

师：

1、强调课堂中涉及到的数学思想：特殊到一般，分类讨论，数学结合

2、数学核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算

从多个角度总

结归纳本堂课的主要内容，不仅重视知识本身，更重视知识间的联系和研究问题的方法；另外，更强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用. 布置课后作业： 1、必作题：

课本100页：A 组2

101页：A 组3、4，B 组1 2、选作题：

课本101页：B 组2

体现作业的巩固性和发展性原则，分为必做题和选作题，又充分考虑了学生的差异性.

新版人教初二不等式教案

不等式及其解集 [教学目标] 1、了解不等式和一元一次不等式的概念； 2、理解不等式的解和解集，能正确表示不等式的解集。 [重点难点] 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点；不等式解集的 理解与表示是难点 一、课前预习： （1）如图，小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高。小明的身体质量 为 p(kg),小聪的身体质量为q(kg)，书包的质量为2kg ，怎样表示p 、q 之间的关系? （2）如图，天平左盘放三个乒乓球，右盘放5g 砝码，天平倾斜。设每个乒乓球的质量为 x （g ），则根据图形可列出怎样的关系式？ （3）公路上常有这样的标志：限速100km/h ，速度记作a ，则可以写出不等式是 （4）（x+1）0=1，x 必须满足的条件是 二、不等式的概念 1、不等式 “>”、“<”、 “ ≠”叫做不等号，不等号也可以写成“≤”、“≥” 的 形式。 总之，用不等号连接起来的式子叫做不等式。 2、一元一次不等式 类似于一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元 一次不等式。 注意：分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式，这一点与一元一次方程类似。 三、典型例题 1、用不等式表示： （1）x 的一半小于－1 ； （2）y 与4的和大于0.5； （3）a 是负数； （4）b 是非负数； 模仿练习：用不等式表示 （1）a 是正数； （2）a 是非负数； （3）a 与6的和小于5； （4）x 与2的差大于－1； （5）x 的4倍不大于7； （6）y 的一半不小于3. （7）x 2与1的和是非负数 （8）3与x 的差的一半是非正数 2、一辆48座的旅游车载有游客x 人，到一个站上又上来2个人，车上仍有空位，有数学 式子表示上述数量关系 3、某一天的最低气温是-2℃，最高气温 是6℃，该市这一天某一时刻的气温t ℃。

《基本不等式》教案

《基本不等式》教案 教学三维目标： 1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神. 教学重点、难点： 重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导： 基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 教学过程： 一、基础梳理 基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b + （当且仅当a b 时取""=号 ） 代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思 想得到基本不等式） 几何背景：半径不小于半弦。 常见变形： （1）ab 22 2a b + （2）222a b + 2 2a b +?? ??? （3）b a a b + 2（a ，b 同号且不为0） 3、算术平均数与几何平均数

如果a 、b 是正数，我们称 为a 、b 的算术平均数，称 的a 、b 几何平均数. 4、利用基本不等式求最值问题（建构策略） 问题： （1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式： 已知x ，y 都大于0则 （1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ； （2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 . 二、课前热身 1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ） A. 22a b + B. C. 2ab D. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x x x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=?≥+ x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=?≥+ ≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+ >a a a 三、课堂探究 1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。 2、典例分析 例1、设02,x <<求函数y =. 例2、41,3lg lg x y x x >=++ 设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x << 变式2：去掉条件1x > 变式3：将条件改为1000≥x 例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围.

基本不等式教学设计方案

3.4.1基本不等式 教材分析 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。 教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。 课程目标分析 依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标： 1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解 决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几 何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等 式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的 能力。 2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几 何解释→应用（最值的求法、实际问题的解决） 的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽

象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会 数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手 段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学 习数学规律的方法，体验成功的乐趣。 3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从 实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过 数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤 于动手的良好品质。 教学重、难点分析 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本 不等式 2b a a b + ≤的证明过程及应用。 难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）； 2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。 教法分析 本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

必修5 第三章 不等式 3.2 均值不等式（新授课） 一、教学目标确立依据 1.课程标准要求 (,0)2 a b a b +≤ ≥ ①探索并了解基本不等式的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题. 2.课程标准解读 对上述①的解读：首先给学生创设探索的平台得到基本不等式，同时给学生机会让学生用所学方法证明基本不等式； 对上述②的解读：首先教师用问题的方式搭建平台让学生发现基本不等式的限制条件，同时教师由浅入深给学生探究最值的平台，由理论到实践操作将最值问题与实际问题挂钩，让学生在探究和实践过程中学会用基本不等式解决简单的最大（小）问题. 3.学情分析与教材分析 学生已经学习“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．知晓不等式证明以及函数求最值的某些方法. “均值不等式” 是必修5的重点内容，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了分类讨论、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质. 为了帮助学生构建知识体系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的不等式证明入手，在降低难度的基础上让学生体会基本不等式在证明不等式总中的作用；第二层面，通过应用题，体现基本不等式在实际问题的应用，以及让学生体会简单的基本不等式的应用；第三层面，通过分母是一次函数，分子是二次函数的分式形式，循序渐进的增加难度，让学生学会判断条件学会拼凑或者添项转化为公式所需要的条件.本课正处于第一、第二个层面以及第三层面的初级阶段. 本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化与化归、数形结

数学苏教版必修5基本不等式(教案)

基本不等式（一） 教学目标： 1． 学会推导并掌握均值不等式定理； 2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab 4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义 问：a ，b ∈R －？ 例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2.

基本不等式教学设计与反思

“基本不等式”教学设计与教学反思 一、教材背景分析 1.教材的地位和作用 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。 2.学情分析 在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质. 另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用. 3、教学重难点： 教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题. 教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题. 二、教学目标 1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法；

【新教材】 新人教A版必修一 基本不等式 教案

基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）； （4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． （2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立，

对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立． 对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ， 则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1， 当且仅当x ＝－错误!时，等号成立， 所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。 因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2）， 所以1a ＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是

不等式教学设计

9.1 不等式 教材分析：本课由实际问题中的不等关系引出不等式的概念；类比方程的解，明确不等式解和解集的概念，以及不等式解集的两种表示方法。 教学目标：了解不等式概念，理解不等式的解和解集。 教学重难点：不等式及解集概念的理解。 教学过程： 一：引出新知。 现实世界中存在大量的数量关系，包括相等关系和不等关系。用等式（包括方程），我们可以研究相等关系，而研究不等关系需要用本章的不等式，如引言中选择购物商场问题. 二：探索新知。 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 km，要在12：00之前驶过A地.你能用式子表示出车速应满足的条件吗？ 1、汽车在12:00之前驶过A地的意思是什么？ 从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50 km所用的时间不到。 从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶的路程要超过50 km。 2、如何用式子表示以上不等关系？ 设：车速为x km/h． 从时间上看：

从路程上看： （1）对于不等式而言，车速可以是80 km/h吗？78 km/h呢？ 75 km/h呢？72 km/h呢？ （2）类比方程的解，什么叫不等式的解？ 使不等式成立的未知数的值. （3）不等式还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？ 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）除了用不等式表示取值范围，还有其他表示方法吗？ 数轴 三、运用新知。 例1 请用不等式表示： （1）是负数； （2）与5的和小于-7； （3）的一半大于3. 例2 直接说出不等式的解集，并在数轴上表 示出来. 四、归纳总结 （1）什么叫不等式？ （2）什么叫不等式的解？不等式的解和方程的解的区别？（3）什么叫不等式的解集？不等式的解和不等式的解集的区别？

高中数学《基本不等式》优质课教学设计

《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过

一元一次不等式教案

课题: 9.2.1一元一次不等式 课型:新授课主备人:徐宝永审核人: 段海涛二次审核人:七年级数学组

补偿应用补偿提高 ②不大于 3 1 2- x 的值; 小结:⑴什么叫一元一次不等式？解一元一次不等式的一般步骤是：①________ （根据不等式的基本性质2或3）；②________（根据等式的运算法则）；③_________ （根据不等式的基本性质1）；?④_____________（根据整式的运算法则）；⑤ _________（根据不等式的基本性质2或3）．⑵解一元一次不等式的注意点:①移 项要变号(同方程解法) ②当不等式两边都乘以或除以一个负数时,不等号方向改 变. 三补偿应用 1. 下列选项中，是不等式的是_____,是一元一次不等式的是____ (1) 3>2 (2) 3 2 50 < x (3)3x2+2x(4)x<3x+1 (5)x=2x+5 (6)a+b≠c (7)x-2<2x-1 (8)a-1 ≤3 (9)x2+4x<3x+1 2．在解不等式 221 35 x x +- >的下列过程中，错误的一步是（） A．去分母得5（2+x）>3（2x-1） B．去括号得10+5x>6x-3 C．移项得5x-6x>-3-10 D．系数化为1得x>13 3.（2011.重庆）解不等式2x-3< 3 1 + x ，并把解集在数轴上表示出来 4．（2012?嘉兴）解不等式2（x-1）-3＜1并把解集在数轴上表示出来 ． 四补偿提高 1、解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： ()()5 2 5 2 3 3+ > -x x()()3 2 2 14- < - - -x x； 2 2 5 3 1 - - > + x x 2.解不等式 532 1 23 x x ++ -<，小兵的解答过程是这样的． 解：去分母，得x+5-1<3x+2 ① 移项得x-3x<2-5+1 ② 合并同类项，得-2x<-2 ③ 在教学中， 仍要让学 生注意每 一步骤变 形的依据， 从而灵活 运用。

基本不等式教案第一课时

第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】

【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+

高中数学《基本不等式》公开课优秀教学设计

《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

柯西不等式教学设计

3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计 一、设计思想： 本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希 望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学 结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具 体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学 结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。 二、教材分析： 二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生 继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作 用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的 三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊 到一般的研究过程。本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它 的简单应用。 三、学情分析： 学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推 理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最 近发展区”。另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。 四、教学目标 1、知识与技能目标 （1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。 （2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。 2、过程与方法目标 通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生 独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。 3、情感态度与价值观 简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。 五、教学重难点 （1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式 （2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值 六、教学过程 （一）定理探究 设α ，β 为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α =（b a ,） β =（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→?=+而22||a b α→=+，22||c d β=+ ||||cos αβαβθ?=?? ，cos 1θ≤ ||||||αβαβ∴ ?≤? ，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。 定理：（二维柯西不等式的向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则 ||||||αβαβ?≤? ，当且仅当β 是零向量或存在实数k ，使k αβ= 时等号成立。 用向量坐标表示不等式||||||αβαβ?≤? ，得2222||d c b a bd ac +?+≤+

基本不等式完整版(非常全面)教案资料

基本不等式完整版(非 常全面)

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取 “=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时 取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时 取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a + ≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、

3.4基本不等式教学设计

《基本不等式》教学设计 一、教材分析 本节课出自普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修五第三章第四节《基本不等式》的第一课时。本节课是在学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习打下基础，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，学好基本不等式非常重要。 二、学情分析 本节授课对象是高一学生，学生已经学习了不等关系和不等式的性质，在初中学习了和的完全平方公式基础上，引导学生探究基本不等式并进行应用，高一学生学习热情高涨，探索知识兴趣强，但对数学知识迁移和类比的能力还亟待提高，运算能力也不强，探索发现能力也需进一步提高。 三、教学目标 1、知识与技能 （1）掌握基本不等式，了解推导过程； （2）运用基本不等式解决一些简单的求最值问题和证明问题； 2、过程与方法 (1)通过运算，推导，小组合作探究基本不等式； (2)通过观察，分析，探究基本不等式性质，通过实际应用解决问题； 3、情感、态度与价值观 (1)体验类比思想在探究数学知识时的重要意义与价值； (2)培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯； (3)感受学习数学、探索发现的乐趣与成就感。 四、教学重难点 重点：基本不等式及应用和证明； 难点：运用基本不等式应用解题。 五、教法与学法 教法：应用启发式教学，以学生为主体，引导学生在自主探究过程中经历类比发现、归纳、演绎推理等过程，体会类比和数形结合的思想。同时利用PPT 辅助教学。 学法：应用探究式学法，引导学生自主探索，探究向量的表示方法，合作学习，理解和掌握基本不等式。 六、教学过程 【环节一：巧设疑云，导入新课】 【师生活动一】回顾：求函数f （x ）=x +1 x 在（0，+∞）上的最小值 提示：证明函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增； 【师生活动二】请学生重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD 的面积S 和里面的四个小三角形面积之和S ’的大小，有怎样的不等关系？ 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，正方形的面积为222b a S +=。

均值不等式教案

§ 3.2 均值不等式 本节内容是选自人教版高中数学B 版必修五第三章第二节——均值不等式。它在不等式这一章中占有非常重要的地位，在不等式的证明中尤其突出。 一、教学目标 知识与技能：均值不等式的基本表达式；均值不等式所表达的几何意 义；能够应用均值不等式进行简单的证明 过程与方法：掌握数形结合的数学思想方法 情感态度价值观：数学来源于生活，善于从生活中去探索数学的奥秘 二、重难点 重点：均值不等式的证明与应用；“=”成立的条件 难点：均值不等式的几何意义；在怎样的情况下应用均值不等式 三、教学方法 讲授法 四、教学过程 （一）情境引入 某一届国际数学家大会的会标，我们将其中的几何图形抽象出来得到这样一个图形：已知的是直角三角形的两直角边分别为a ，b ，那我们能否从其中找出一些不等关系？ 解答：图中四个直角三角形的面积总和为：1 42 ab

大的正方形的面积为：22a b + 我们可以很直观地得出：22a b +>2ab 问：同学们再想一想，这个“>”可以换成“≥”吗？ 当直角三角形变为等腰直角三角形的时候，也即是a b =时，这时，正方形EFGH 变为一点，可以得到222a b ab +=。 （二）得出结论并证明（基础） 一般地，,a b R ∈,则222a b ab +≥. 证明： 2222()a b ab a b +-=- 当a b ≠时，()2 0a b ->；当a b =时，2()0a b -=. 综上所述，可得222a b ab +≥. （三）均值不等式的变式（重点） 若0,0,a b >>则 2 a b ab +≥（当a b =时，“=”取到） 需明确的两个概念：2 a b +表示a 与b 的算术平均数 ； ab 表示a 与b 的几何平均数 。 证明（几何意义）： 如图：AC 是圆O 的直径，点D 是AC 上任一点，AD a =，CD b =，过点D 做BD AC ⊥交圆周于B ， 连接OB . 则22 AC a b OB += = 又Rt ADB Rt BDC ?? ，则AD AB DB BD BC DC == 所以2BD AD DC ab =?=，也即BD ab = 又OB BD ≥，所以 2 a b ab +≥.

生活中不等式-教学设计

11.1生活中的不等式 主备人：杨仔艳 一、教学目标 1、感受生活中存在的大量不等关系，了解不等式的意义。 2、会用不等式表示实际问 题中数量间的不等关系。 3、经历由具体问题建立不等式的过程，初步体不等式是刻画现实世界的一种数学模型。 二、教学重难点 重点：理解不等式的意义并会列不等式 难点：列不等式 二、教学方法 启发式、讲练式相结合 三、教学过程 （一）情境创设 情境一： 小明和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg 、55kg 和75kg. 周末，他们准备去公园游乐场玩跷跷板，若小明和妈妈玩时，谁会向上跷？若小明和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？你能知道游戏的结果吗？为什么？ 设计此情境的目的：自然引出课题 情境二： 1．用数学式子描述下列数量间的关系 （1）一个边长为a 米的正方形桌子的面积大于1平方米 （2）m （m ≠0）的倒数不大于5. （3）某种袋装牛奶中，每100克牛奶所含的蛋白质（x 克）不少于2.9克，脂肪（有y 克） 不少于3.1克。 （4)48座的客车载有游客x 人，到一个站又上2个人，车内仍有空位 (5)一辆轿车在公路上的行驶速度是akm/h,已知公路对轿车的限速是100km/h,那么 a 与100的关系如何？ 2．学生思考并给出答案 （二）新知探究 探究一： 1．观察刚才所列举的式子有什么特征？ 教师：提示从连接式子的符号观察并引导学生概括问题的答案 学生：都是用“＞”“＜”“≥”或“≤”号连接 教师：对学生给出的这个答案表示赞同并告诉学生这些都是不等号同时给出不等式的一个 描述性的定义。（注意补充常用不等号还有“≠”） 51≤m a ≤100， x ≥2.9， y ≥3.1， x +2＜48， a 2＞1 ， 51≤m

基本不等式公开课教案

基本不等式 2 a b + 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤ 的证明过程。 难点：2a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程

1.课题导入 2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和 是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为222)(2b a ab b a -=-+

新人教A版必修一 基本不等式 教案

基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式a ＋b 2≥ab (1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )； (2)a b ＋b a ≥ 2 (a ，b 同号)； (3)ab ≤( a ＋ b 2)2(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22 ≥ (a ＋b 2)2 . 3．基本不等式求最值 (1)两个 正数 的和为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其积最大． (2)两个 正数 的积为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 A 、C 中，a ＝b 时不成立， B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D. 2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D)

A ．ab ≤a 2＋b 22 B ．ab ≤(a ＋b 2)2 C.a 2＋b 22≥a ＋b 2 D.2ab a ＋ b ≥ab 易知A ，B 成立， 对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b 2，故C 成立． 对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为(A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ，宽为y ， 则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30， 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A. 4．设函数f (x )＝2x ＋1 x －1(x <0)，则f (x )(A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x )＝－[(－2x )＋(－1 x )]－1≤－22－1， 当且仅当x ＝－2 2时，等号成立， 所以函数f (x )有最大值，所以选A. 5．(2017·山东卷)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为 8 . 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， 所以1a ＋2 b ＝1， 所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a b ·b a ＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.

基本不等式 教案

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【基本不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：刘世杰 郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 二、教学目标： 1、知识与技能： （1）掌握基本不等式2 a b ab +≤ ,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法： （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度与价值观： （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 三、教学重点： 应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式 2 a b ab +≤ 的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。 四、教学难点：基本不等式2 a b ab +≤使用限制条件 基本不等式2 a b ab +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用 五、教学准备 1、课时安排： 2课时 2、学情分析：高三的学生对于基本不等式已经有了初步认识，但是知识不成体系，通过课前的预习和课上两个例题及其变式的解决，使得学生对于基本不等式的使用注意点会有更