章末复习课
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1.有关向量的注意点
(1)零向量的方向是任意的.
(2)平行向量无传递性,即a∥b,b∥c时,a与c不一定是平行向量.
(3)注意数量积是一个实数,不再是一个向量.
2.向量的运算律中的注意点
(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,
两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约).
(2)向量的“乘法”不满足结合律,即(a·b )c ≠a (b·c ).
专题一 有关向量共线问题
有关向量平行或共线的问题,常用共线向量定理:a ∥b ?a =λ b (b ≠0)?x 1y 2-x 2y 1=0.
[例1] 已知a =(1,2),b =(-3,2),若k a +2b 与2a -4b 平行,求实数k 的值.
解:法一:向量k a +2b 与2a -4b 平行,则存在唯一实数λ,使k a +2b =λ(2a -4b ).
因为k a +2b =4(1,2)+2(-3,2)= (k -6,2k +4).
2a -4b =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), 所以(k -6,2k +4)=λ(14,-4).
所以?????k -6=14λ,2k +4=-4λ,
解得??
?λ=-1
2,k =-1.
即实数k 的值为-1.
法二:因为k a +2b =k (1,2)+2(-3,2)= (k -6,2k +4),
2a -4b =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), ka +2b 与2a -4b 平行, 所以(k -6)(-4)-(2k +4)×14=0. 解得k =-1. 归纳升华
1.向量与非零向量a 共线?存在唯一实数 λ使b =λa . 2.在解有关向量共线问题时,应注意运用向量共线的坐标表达式,a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)共线?x 1y 2-x 2y 1=0.
[变式训练] 平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).
(1)求满足a =m b +n c 的实数m 、n ; (2)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k . 解:(1)因为a =mb +nc , 所以(3,2)=(-m +4n ,2m +n ). 所以?
????-m +4n =3,
2m +n =2,解得?????m =59,n =89.
(2)因为(a +k c )∥(2b -a ),a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2).
所以2(3+4k )+5(2+k )=0,即k =-16
13
. 专题二 有关向量的夹角、垂直问题
非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)的夹角为θ,则 a ⊥b ?a·b =0?x 1x 2+y 1y 2=0, cos θ=a·b
|a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 21
. [例2] 已知向量a ,b 满足|a |=3,|b |=2,|a +b |=13,求向量a +b 与a -b 的夹角θ的余弦值.
解:由已知|a |=3,|b |=2,|a +b |=13,所以(a +b )2=13. 所以a 2+2a·b +b 2=13,则(3)2+2a·b +22=13,得2a·b =6. (a -b )2=a 2-2a·b +b 2=(3)2-6+22=1,
所以|a -b |=1.
所以cos θ=(a +b )·(a -b )|a +b ||a -b |=a 2-b 213×1=(3)2-22
13=-
13
13
. 归纳升华
1.本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长,求两对角线构成的向量的夹角,通过模的平方,沟通了向量的模与向量内积之间联系;
2.两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的. [变式训练] (1)若非零向量a ,b 满足|a |=22
3
|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( )
A.π4
B.π2
C.3π
4
D .π (2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x =________.
(1)解析:由(a -b )⊥(3a +2b )得(a -b )·(3a +2b )=0,即3a 2-a·b -2b 2=0.又因为|a |=22
3
|b |,设〈a ,b 〉=θ,即3|a |2-|a |·|b |·cos θ-2|b |2=0,
所以83|b |2-223|b |2·cos θ-2|b |2=0.
所以cos θ=2
2
.又因为0≤θ ≤π,所以θ=π4.
(2)因为a ⊥b ,所以a ·b =0,即x +2(x +1)=0,所以x =-2
3.
答案:A (2)-2
3
专题三 有关向量的模的问题
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:
(1)|a |2=a 2=a·a ; (2)|a ±b |2=a 2±2a·b +b 2; (3)若a =(x ,y ),则|a |=
x 2+y 2;
(4)应用三角形或平行四边形法则.
[例3] 设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC →2=16,|AB →+AC →|=|AB →-AC →|,则|AM →
|=( )
A .8
B .4
C .2
D .1
(2)设向量a =(0,-1),向量b =(cos x ,sin x ),则|a +b |的取值范围为________.
解析:法一:因为BC →2=16,所以|BC →
|=4. 又|AB →-AC →|=|CB →
|=4,
所以|AB →+AC →|=4,因为M 为BC 的中点,所以BM →=-CM →. 所以AM →=AB →+BM →=AC →+CM →,所以AM →=12(AB →+AC →),
所以|AM →|=12|AB →+AC →|=1
2
×4=2.
法二:如图所示,四边形ABDC 是平行四边形,又|AB →+AC →|=|AB →
-AC →|,
所以|AD →|=|CB →
|,所以四边形ABDC 是矩形, 所以|AM →|=12|BC →|,
又BC →2
=16, 所以|BC →
|=4, 所以|AM →
|=2.
(2)a =(0,-1),b =(cos x ,sin x ), 所以a +b =(cos x ,sin x -1).
所以|a +b |=cos2x +(sin x -1)2=2-2sin x = 2(1-sin x )
因为-1≤sin x ≤1,所以0≤|a +b |≤2. 答案:(1)C (2)[0,2] 归纳升华
解答该类题目有以下几个关键点:
1.根据题意寻找或画出三角形或平行四边形,观察图形以便直观地得出一些结论.
2.利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量,并注意一些公式性质的运用,例如模与向量的平方的关系,相反向量的和为0等.
3.数形结合法的运用可使解题简捷.
[变式训练] 已知向量a 和b 的模都是2,其夹角为60°,又知
OP →=a +2b ,OQ →=-2a +b ,则|PQ →
|=________.
解析:PQ →=OQ →-OP →
=-3a -b ,
|PQ →|2=PQ →·PQ →
=(-3a -b )2=9a 2+6a·b +b 2. 因为|a |=|b |=2,a·b =|a ||b |cos 60°=2, 所以|PQ →|2
=9a 2+6a·b +b 2=9×4+6×2+4=52. 所以|PQ →
|=213. 答案:213
专题四 数形结合思想
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想.引入向量的坐标表示,使向量运算完全代数化,将数和形紧密结合起来.运用数形结合的思想解决了三点共线,两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题.
[例4] 已知向量a 与b 不共线,且|a |=|b |≠0,则下列结论正确的是( )
A .向量a +b 与a -b 垂直
B .向量a -b 与a 垂直
C .向量a +b 与a 垂直
D .向量a +b 与a -b 共线
解析:如图所示,作OA →=a ,OC →=b ,以OA 和OC 为邻边作?OABC .由于|a |=|b |≠0,则四边形OABC 是菱形,所以必有AC ⊥OB .
又因为a +b =OB →,a -b =CA →
,所以(a +b )⊥(a -b ). 答案:A 归纳升华
通过本题可以得出:模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直.以上可以作为结论记住.
[变式训练] 已知向量OB →=(2,0),向量OC →=(2,2),向量CA →=(2cos α,2sin α),则向量OA →与向量OB →
的夹角的取值范围为( )
A.??????0,π4
B.??????
π4,5π12 C.????
??5π12,π2 D.????
??π12,5π12 解析:如图,向量CA →
的终点A 在以点C (2,2)为圆心、半径为2的圆上,OA 1,OA 2是圆的两条切线,切点分别为A 1,A 2.
在Rt △OCA 1中,|OC →
|=22, |CA 1→
|=2, 所以∠COA 1=π
6
.
所以∠COA 2=∠COA 1=π
6
.
因为∠COB =π
4
,
所以∠A 1OB =π4-π6=π12,∠A 2OB =π4+π6=5π
12,
所以向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是?
???
??
π12,5π12.
答案:D
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
必修1 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.2 函数及其表示 1.3 函数的基本性质 第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.2 对数函数 2.3 幂函数 第三章函数的应用 3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.2 直线的方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 必修3 第一章算法初步 1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句 1.3 算法案例 阅读与思考割圆术 第二章统计 2.1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案 例 阅读与思考广告中数据的 可靠性 阅读与思考如何得到敏感 性问题的诚实反应 2.2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的 质量控制图 2.3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强 与弱 第三章概率 3.1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认 识过程 3.2 古典概型 3.3 几何概型 必修4 第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图象与性质 1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 1.6 三角函数模型的简单应 用 第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及 基本概念 2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及 坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余 弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业 第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列 2.3等差数列的前n项和 2.4等比数列 2.5等比数列的前n项和 第三章不等式 3.1不等关系与不等式 3.2一元二次不等式及其解法 3.3二元一次不等式(组)与简 单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式(组)与平 面区域 3.3.2简单的线性规划问题 3.4基本不等式 选修1-1 第一章常用逻辑用 语 1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存在量词 第二章圆锥曲线与 方程 2.1椭圆 2.2双曲线 2.3抛物线 第三章导数及其应 用 3.1变化率与导数 3.2导数的计算
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷(12月份组卷)(四) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合M ={m ∈Z|?3
人教版普通高中课程标准实验教科书数学 必修一 第一章集合与函数概念 1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质 第二章基本初等函数(Ⅰ) 2.1指数函数 2.2对数函数 2.3幂函数 第三章函数的应用 3.1函数与方程 3.2函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1.1空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式 必修三: 第一章算法初步 1.1算法与程序框图 1.2基本算法语句 1.3算法案例 第二章统计 2.1随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2.2用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2.3变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3.1随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程3.2古典概型 3.3几何概型 阅读与思考概率与密码 必修四: 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.2任意角的三角函数 1.3三角函数的诱导公式 1.4三角函数的图象与性质 1.5函数y=Asin(ωx+ψ) 1.6三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性运算 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例 第三章三角恒等变换
SM数列高中数学组卷1 一.选择题(共1小题) 1.已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x1,x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f (x2)+2,数列{a n}满足a1=0,且对任意n∈N*,a n=f(n),则f(2010)=()A.4012 B.4018 C.2009 D.2010 二.填空题(共4小题) 2.记集合P={ 0,2,4,6,8 },Q={ m|m=100a1+10a2+a3,且a1,a2,a3∈P },将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列,则此数列的第68项是.3.在等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,. (Ⅰ)求a n与b n; (Ⅱ)求数列{c n}满足,求{c n}的前n项和T n. 4.已知数列{a n}满足a1=33,a n+1﹣a n=2n,则的最小值为. 5.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=,则a n= 三.解答题(共25小题) 6.已知f(x)=(x﹣1)2,g(x)=4(x﹣1).数列{a n}中,对任何正整数n,﹣a n)g(a n)+f(a n)=0都成立,且a1=2,当n≥2时,a n≠1;设b n=a n 等式(a n +1 ﹣1. (Ⅰ)求数列{b n}的通项公式; (Ⅱ)设S n为数列{nb n}的前n项和,,求的值.7.设正项等比数列{a n}的首项a1=,前n项和为S n,且210S30﹣(210+1)S20+S10=0.(Ⅰ)求{a n}的通项;
(Ⅱ)求{nS n}的前n项和T n. 8.已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,其中n∈N*. (1)若a1=b1=2,a3﹣b3=9,a5=b5,试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)设A={k|a k=b k,k∈N*},当数列{b n}的公比q<﹣1时,求集合A的元素个数的最大值. 9.已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列,数列{b n}是公比为q的(q∈R)的等比数列,若函数f(x)=x2,且a1=f(d﹣1),a5=f(2d﹣1),b1=f(q﹣2),b3=f(q). (1)求数列{a n}和{b n}的通项公式; (2)设数列{c n}的前n项和为S n,对一切n∈N*,都有 成立,求S n. 10.已知函数f(x)=x2+2x. (Ⅰ)数列a n满足:a1=1,a n+1=f'(a n),求数列a n的通项公式; (Ⅱ)已知数列b n满足b1=t>0,b n+1=f(b n)(n∈N*),求数列b n的通项公式;(Ⅲ)设的前n项和为S n,若不等式λ<S n对所有的正整数n恒成立,求λ的取值范围. 11.设等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2;数列{b n}满足6n2﹣(t+3b n)n+2b n=0(t∈R,n∈N*). (1)求数列{a n}的通项公式; (2)①试确定t的值,使得数列{b n}为等差数列; ②在①结论下,若对每个正整数k,在a k与a k+1之间插入b k个2,符到一个数列{c n}.设T n是数列{c n}的前n项和,试求满足T m=2c m+1的所有正整数m.12.已知函数f (x)=log a x (a>0且a≠1),若数列:2,f (a1),f (a2),…,f (a n),2n+4 (n∈N﹡)为等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式a n; (2)若a=2,b n=a n?f (a n),求数列{b n}前n项和S n; (3)在(2)的条件下对任意的n∈N﹡,都有b n>f ﹣1(t),求实数t的取值范
平面向量的数量积及平面向量的应用 1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数,而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积,记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ,(λ·a )·b =λ(a ·b ),(a ±b )·c =a ·c ±b ·c . 2.平面向量数量积的重要性质. ①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=| |||) (b a b a ??;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号. ②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |= 21 21y x +;cos θ= 22 22 21 21 2121) (y x y x y y x x + ? + +;|x 1x 2+y 1y 2|≤ 2 2 222121y x y x +?+ 3.两向量垂直的充要条件 若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a |2=a ·a 或|a |=a a ?;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式 |a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.
排列组合高中数学组卷 一.选择题(共9小题) 1.(2016?衡阳校级一模)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有() A.90种B.180种C.270种D.540种 2.(2016?黄冈校级自主招生)方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解(x,y)的组数为()A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2016?新余二模)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为()A.120 B.240 C.360 D.480 4.(2016?内江四模)4名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名大学生的情况有() A.24种B.36种C.48种D.60种 5.(2016?邯郸一模)现有6个白球、4个黑球,任取4个,则至少有两个黑球的取法种数是() A.90 B.115 C.210 D.385 6.(2016?成都校级模拟)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()个. A.324 B.216 C.180 D.384 7.(2016?湖南校级模拟)某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习,每班2人,则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有() A.12种B.24种C.36种D.48种 8.(2016?陕西模拟)某校开设A类选修课2门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有() A.3种B.6种C.9种D.18种 9.(2016?福建模拟)四位男生和两位女生排成一排,男生有且只有两位相邻,则不同排法的种数是() A.72 B.96 C.144 D.240 二.填空题(共3小题) 10.(2016?黄冈校级自主招生)若p和q为质数,且5p+3q=91,则p=, q=. 11.(2016?黄冈校级自主招生)设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数,则a的值是. 12.(2016?绵阳模拟)从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有个.(用数字作答) 三.解答题(共4小题) 13.(2016?新余三模)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,E,F分别是AC,PB的中点. (1)证明:EF∥平面PCD;