人教版八年级上册全等三角形证明过程训练(讲义及答案)

全等三角形证明过程训练（讲义）

? 课前预习

1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______．

要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．

2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，

请学习下图中的标注．

①如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．

②如图2，在四边形ABCD 中，连接BD ，∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ．

③如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 相交于点O ，AO =OC ，BO =DO ．

D C

B

A

×

×A

B

C

D

O

A

B

C

D

图1 图2 图3

3. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后，

完整书写过程．

如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB ∥CD ），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．

321

D

C

B

A

? 知识点睛

1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________．

2. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中，∠C =∠C′=90°，AB =A′B′，AC =A′C′．

求证：△ABC ≌△A′B′C′．

C'

B'A'

C

B A

证明：如图，

在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中

AB A'B'

AC A'C'

=??

=?（已知）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（HL ）

? 精讲精练

1. 如图，AC =AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，则___________

≌___________，从而BC ________BD ．

D

C

B

A

2. 如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，AE =AF ，则_____≌______，从而DE =______．

A

B

C

D

E

F

3. 已知：如图，AB =CD ，AF =CE ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．

求证：△ABF ≌△CDE ．

A

B

C

D

E

F

4.已知：如图，∠B=∠D=90°，如果要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，

这个条件可以是_________________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件还可以是_______________，理由是____________．

A

B

C D A

B

C

D

E F

l

第4题图第5题图

5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和

2，则EF的长为_________．

6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB

于E．求证：△ACD≌△AED．

E D

C

7. 已知：如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，AC ∥DF 且AC =DF ，BE =CF ．求证：

△ABC ≌△DEF ．

F

E D

C B A

8. 如图，在正方形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AB =BC ，E ，F 分别是AB ，AD 上

的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ． 求证：BE =AF ．

9. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，

AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ．求证：CF =AE ．

A

D F A

B

C

D

E

F

M

10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，D ，E ，F 分别为边BC ，AB ，AC 上

的点，且BE =CD ，∠EDF =60°．求证：ED =DF ．

F

E

D C

B

A

【参考答案】

?课前预习

1.SAS，SSS，ASA，AAS

3，边

2.略

3.解：如图

∵AB∥CD

∴∠1=∠3

∵∠1=110°

∴∠3=110°

∵∠2+∠3=180°

∴∠2=180°-∠3

=180°-110°

=70°

?知识点睛

1.SAS，SSS，ASA，AAS，HL ?精讲精练

1.Rt△CAB，Rt△DAB，=

2.Rt△AED，Rt△AFD，DF

3.证明：如图，

∵DE⊥AC，BF⊥AC

∴∠DEC=∠BFA=90°

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB CD AF CE =??

=?

（已知）

（已知） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） 4. AB =AD ，HL

BC =DC ，HL ∠BAC =∠DAC ，AAS ∠BCA =∠DCA ，AAS 5. 3

6. 证明：如图，

∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠DEA ∵AD 平分∠BAC ∴∠CAD =∠EAD 在△ACD 和△AED 中

C DEA CA

D AED AD AD ∠=∠??

∠=∠??=?

（已证）（已证）

（公共边） ∴△ACD ≌△AED （AAS ） 7. 证明：如图，

2

1A

B

C D

E 第8题图

∵AC ∥DF

∴∠1=∠2 ∵BE =CF ∴BE +EC =CF +EC 即BC =EF

在△ABC 和△DEF 中

1 2 AC DF BC EF =??

∠=∠??=?

（已知）（已证）

（已证） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 8. 证明：如图，

∵∠ABC =90° ∴∠ABF+∠MBC =90° ∵AE ⊥BF ∴∠CMB =90° ∴∠MBC +∠BCE =90° ∴∠ABF =∠BCE 在△ABF 和△BCE 中

A EBC A

B B

C ABF BCE ∠=∠??

=??∠=∠?

（已知）（已知）

（已证） ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）

∴AF =BE （全等三角形对应边相等） 9. 证明：如图，

第9题图

3

21

A B

D E F

∵∠ACB =90°

∴∠1+∠2=90° ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ∴∠F =∠AEC =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3

在△BCF 和△CAE 中

1 3 F AEC BC CA ∠=∠??

∠=∠??=?

（已证）（已证）（已知） ∴△BCF ≌△CAE （AAS ）

∴CF =AE （全等三角形对应边相等） 10. 证明：如图，

∵∠B =60° ∴∠1+∠2=120° ∵∠EDF =60° ∴∠2+∠3=120° ∴∠1=∠3

在△BDE 和△CFD 中

第10题图

3

2

1A

B

C

D E F

1 3 BE CD B C ∠=∠??

=??∠=∠?

（已证）（已知）（已知） ∴△BDE ≌△CFD （ASA ）

∴ED =DF （全等三角形对应边相等）

全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如DEF ABC? ?与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”． 如图，在ABC ?和DEF ?中 ? ? ? ? ? = = = DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B与点D是对应点， ? = ∠26 BAC，且? = ∠20 B，1 = ?ABC S，求 A C D D C A D∠ ∠ ∠, ,的度数及ACD ?的面积． 例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A5 , 9 , 50= = ? = ∠，求EDF ∠的度数及CF的长． A D

例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF

初二数学全等三角形证明题专题训练

初二数学全等三角形证明题专题训练 1.如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 2.如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 3.如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 4.如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。

6.如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 7.如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。 求证：AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α ∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0 180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系 是 ； （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数 量关系，并给予证明． 9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3

全等三角形证明方法归纳经典-(1)

【第1部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 概念深入理解： （1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质： 全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法 图 3 图 1 图2

（1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三角形的判定：（深入理解） ①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边（HL） 注意：（容易出错） （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）； （2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． A B C D E P D A C B M N

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： E D C B A

八年级上册全等三角形证明题题型归类训练

《全等三角形》证明题题型归类训练 题型1：全等+等腰性质 1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE . 2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ． 题型2：两次全等 1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF F D C B A 2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分 O C E B D A A B E O F D C

3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG 题型3：直角三角形全等（余角性质） 1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ． 2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE A F C B D E G A F D E

全等三角形证明方法

全等三角形得证明方法 一、三角形全等得判定: （１)三组对应边分别相等得两个三角形全等(SSS); (2)有两边及其夹角对应相等得两个三角形全等(SＡS); (3)有两角及其夹边对应相等得两个三角形全等（ＡSＡ) ; (4）有两角及一角得对边对应相等得两个三角形全等（ＡAS) ； (5)直角三角形全等得判定:斜边及一直角边对应相等得两个直角三角形全等(HＬ)、 二、全等三角形得性质: (1)全等三角形得对应边相等；全等三角形得对应角相等; （2)全等三角形得周长相等、面积相等； （３)全等三角形得对应边上得高对应相等; (4）全等三角形得对应角得角平分线相等； (5)全等三角形得对应边上得中线相等; 三、找全等三角形得方法: (1)可以从结论出发,瞧要证明相等得两条线段（或角)分别在哪两个可能全等得三角形中; （2)可以从已知条件出发,瞧已知条件可以确定哪两个三角形相等； (３)从条件与结论综合考虑,瞧它们能一同确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线,构造全等三角形。三角形全等得证明中包含两个要素:边与角。 ①积极发现隐含条件: 公共角对顶角公共边 ②观察发现等角等边： 等边对等角同角得余角相等同角得补角相等 等角对等边等角得余角相等等角得补角相等 ③推理发现等边等角: 图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化 图４：等量与转化图５:等量差转化图６：角平分线性质转化 图7:三线合一转化图8:等积转化图９:中垂线转化图10:全等转化 图１1:等段转化 四、构造辅助线得常用方法: １、关于角平分线得辅助线： 当题目得条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线得性质构造辅助线。 角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性; ②角平分线上得点到角两边得距离相等。 关于角平分线常用得辅助线方法: (１)截取构造全等: 如下左图所示，ＯC就就是∠AOB得角平分线,D为OC上一点,Ｆ为OB上一点,若在OA上取一点Ｅ，使得OE＝OＦ，并连接DＥ，则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

全等三角形相似三角形证明(中难度题型)

全等三角形证明经典50题.doc 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 B C D F A D B C B C

已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 8.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A D B C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A B C D A

10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

15．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交 AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若 AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． P E D C B A D C B A

八年级数学全等三角形证明题

八年级数学全等三角形证 明题 Prepared on 21 November 2021

第十三章全等三角形测试卷 （测试时间：90分钟总分：100分） 班级姓名得分 一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分） 1．对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；② AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 2．下列说法正确的是() A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3．下列数据能确定形状和大小的是（） A ．A B =4，B C =5，∠C =60°B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4．在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB =DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证 明△ABC ≌△DEF () A ．AC =DF B ．B C =EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5．OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6．如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7．如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是 （） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8．如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB =CD ，AE =CF ， 则图中全等三角形共有() A ．1对 B ．2对 C ．3对 （第8题） A D C B E F O A D C B （第7题） A C E D （第6题） 2 1

专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：

八年级全等三角形证明经典题

全等三角形证明经典题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A

6. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ B B A C D F 2 1 E C D B A

9. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

全等三角形证明过程步骤练习

全等三角形训练 一、知识点填空 (1)能够 的两个图形叫做全等形，能够 的两个三角形叫做全等三角形. (2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 . (3)全等三角形的 边相等，全等三角形的 角相等. (4) 对应相等的两个三角形全等（边边边或 ）. (5)两边和它们的 对应相等的两个三角形全等（边角边或 ）. (6)两角和它们的 对应相等的两个三角形全等（角边角或 ）. (7)两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等（角角边或 ）. (8) 和一条 对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边 或 ）. (9)角的 上的点到角的两边的距离相等. 2.如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△CDO ≌ ，其中，CD 的对应边是 ， DO 的对应边是 ，OC 的对应边是 ； (2)△ABC ≌ ，∠A 的对应角是 ， ∠B 的对应角是 ，∠ACB 的对应角是 . 3. 如图，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，填空： (1)利用“角的平分线上的点到角的两边 的距离相等”，已知 ＝ ， 可得 ＝ ； (2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”， 已知 ＝ ，可得 ＝ ； 4.如图，AB ⊥AC ，DC ⊥DB ，填空： (1)已知AB ＝DC ，利用 可以判定 △ABO ≌△DCO ； (2)已知AB ＝DC ，∠BAD ＝∠CDA ，利用 可以判△ABD ≌△DCA ； (3)已知AC ＝DB ，利用 可以判定△ABC ≌△DCB ； (4)已知AO ＝DO ，利用 可以判定△ABO ≌△DCO ； (5)已知AB ＝DC ，BD ＝CA ，利用 可以判定△ABD ≌△DCA. 二、推理填空，完成下面的证明过程： 5. 如图，OA ＝OC ，OB ＝OD. 求证：AB ∥DC. 证明：在△ABO 和△CDO 中， OA OC , AOB __________,OB OD ,?=? ∠=??=? ∴△ABO ≌△CDO （ ）. ∴∠A ＝ . A B C D E O A B C D O 12O A B C

全等三角形经典证明方法归类

【第1部分全等基础知识归纳、?小结】 1、全等三?角形的定义：能够完全重合的两个三?角形叫全等三?角形。两个全等三?角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的 ?角叫对应?角。 概念深?入理理解： （1）形状?一样，?大?小也?一样的两个三?角形称为全等三?角形。（外观?长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三?角形称为全等三?角形。（位置变化） 2、 全等三?角形的表示?方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三?角形全等时，通常把表示对应顶点的字?母写在对应的位置上。 3、全等三?角形的性质： 全等是?工具、?手段，最终是为了了得到边等或?角等，从?而解决某些问题。 （1）全等三?角形的对应?角相等、对应边相等。 （2）全等三?角形的对应边上的?高，中线，?角平分线对应相等。 （3）全等三?角形周?长，?面积相等。 4、寻找对应元素的?方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三?角形全等，那么，以对应顶点为顶点的?角是对应?角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三?角形全等时，对应顶点的字?母都写在对应的位置上，因此，由全等三?角形的记法便便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找全等三?角形对应?角所对的边是对应边，两个对应?角所夹的边是对应边； 图3 图1图2

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三?角形各种不不同位置关系的观察和分析，可以看出其中?一个是由另?一个经过下列列各种运动?而形成的；运动?一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三?角形的判定：（深?入理理解） ①边边边（SSS）②边?角边（SAS）③?角边?角（ASA）④?角?角边（AAS） ⑤斜边，直?角边（HL） 注意：（容易易出错） （1）在判定两个三?角形全等时，?至少有?一边对应相等（边定全等）； （2）不不能证明两个三?角形全等的是，㈠三个?角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中?一?角对应相等，即SSA。 全等三?角形是研究两个封闭图形之间的基本?工具，同时也是移动图形位置的?工具。在平?面?几何知识应?用中，若证明线段相等或?角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三?角形的知识。 6、常?见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平?行行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂?足为D ⑶延?长AB?至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同?一条辅助线，可以说法不不?一样，那么得到的条件、证明的?方法也不不同。

初二全等三角形分类证明题

八年级全等三角形分类证明题 一．SAS 1、 如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。求证：△ABD ≌△ACD 。 2.如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。 求证：△ABC ≌△EDF 。 3.如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 4.如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。求证：（1）∠B=∠C ， （2）BD=CE 5.如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。求证：AC ⊥CE 6.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中 点且BN=BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。 8、如图（13）△ABC ≌△EDC 。求证：BE=AD 。 9.如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。 （1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。 （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A G F E （图6）D C B A N M （图7） C B A E （图13）D C B A F E （图14） D C B A

全等三角形三种证明方法经典例题

全等三角形经典例题 典型例题： 知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。 思路分析： 1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 ; 解答过程： 已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。 证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE 在△AFD 和△CEB 中， ∵ & ∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。 小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。 知识点二：全等三角形判定2 AD CB AF CE DF BE =??=? ?=?

例2：已知：如图，是和的平分线，。 * 求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。 解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP < ∴∠AOB ＝∠COD 在△OAB 和△OCD 中， ∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ） （2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD 解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。 . 例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。 解答过程： 连接BD ∵ AB ∥CD 、 OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =?? ∠=∠??= ?

八年级数学全等三角形的证明归类

八年级数学全等三角形的证明归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相 等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共边是第三个条件 例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?证明：△ABD 和△BAC 中：∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边)∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ） 在△ABC 和△DEF 中∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE A 第2图

∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ） 例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ） 四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件 例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，求证：△ACD ≌△BCE 。 证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ）在△ACD 和△BCE 中， ∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） E F E D C B A B

初二数学第一章全等三角形证明经典例题(含答案)

初二数学全等三角形证明经典例题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 第1题图 第2题图 第3题图 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 第4题图 第5题图 第6题图 4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 7、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 第7题图 第8题图 第9题图 8、 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 第10题图 第11题图 第12题图 10、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

12、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 13、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 14、．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 15、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 17．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图 18、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 19、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。求证：AM 是△ABC 的中线。 20、如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。 21、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 第21题图 第22题图 第23题图 第24题图 第25题图 22、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 23、.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上. 24．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 25.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 F E D C B A M F E C B A D C B A F D C B A F E D C B A D C A F E P E D C B A O E D C B A F E D C B A

全等三角形三种证明方法经典例题

全等三角形经典例题 典型例题： 知识点一：全等三角形判定1 例1:如图，在△AFD和A EBC中，点A, E, F, C在同一直线上，有下面四个论断：(1) AD= CB (2) AE= CF; (3) DF= BE (4) AD// BC请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。 思路分析： 1) 题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2) 解题思路：根据全等三角形判定1 :三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的(1) (2) (3)作为条件，来证明论断(4)。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 解答过程： 已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A, E, F, C在同一直线上，AD= CB AE= CF, DF =BE。求证：AD// BC 证明：?/ AE= CF ??? AE+ EF= CF+ EF ??? AF= CE 在厶AFD和△CEB中， AD CB ?AF CE DF BE ?△AFD^A EBC( SSS ?-Z A=Z C ?AD// BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。 小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生 的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。 知识点二：全等三角形判定2 例2：已知：如图，0P是AOC和BOD的平分线，OA OC, OB OD。求证：(0AB2A OCD (2) AB CD。

全等三角形证明过程训练(习题及答案)

E B 1 2 G C E G ? ? 全等三角形证明过程训练（习题） 例题示范 例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E A D 为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交 BC 于点 G ． 求证：AE =CF ． 【思路分析】 A D ① 读题标注： B C F ② 梳理思路： F 要证 AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现 ，放在△ABE 和△CBF 中进行证明． 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由 已知得，AB =CB ；BE =BF ； 根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图 ∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90° ∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2 在△ABE 和△CBF 中 ? A B = CB ? ∠1 = ∠2 ?BE = BF （已知） （已证） （已知）∴△ABE ≌△CBF （SAS ） ∴AE =CF （全等三角形对应边相等） 过程规划： 1．准备不能直接用的条件： ∠1=∠2 2．证明△ABE ≌△CBF 3．根据全等性质得，AE =CF

E 巩固练习 1. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点 D ，E ，且 P D =PE ， 将 上述条件标注在图中，易得 ≌ ， 从而 A D = ． B D A D A P E B C C 第 1 题图 第 2 题图 2. 已知：如图，AB ⊥BD 于点 B ，CD ⊥BD 于点 D ，如果要使 △ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ． 3. 已知：如图，C 为 BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC = ∠CDE =90°．若 A B =4，DE =2，则 B D 的长为 ． A B C D 4. 已知：如图，点 A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AB 于点 F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ． A C D E F B

全等三角形证明条件归类

全等三角形证明条件归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况： 一是公共边是第三个条件 例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ? 证明：△ABD 和△BAC 中： ∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边) ∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ） 例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ） ∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ， 在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF B F D 第F E D C B A F E D C B A