2.4一元二次方程系数与根的关系(教师版)

2．4 一元二次方程根与系数的关系(选学)

一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)

如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ,那么a c x x a b x x =?-

=+2121,

注：

（1）注意理解公式中的a 、b 、c 分别是什么。 （2）注意a 、b 、c 的符号是什么。

（3）利用公式a c

x x a b x x =?-=+2121,解题时，注意符号问题，不要丢符号。

一、一元二次方程根与系数的关系

1．一元二次方程x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则下列四个式子中正确的是( B ) A ．x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－3 B ．x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－3 C ．x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝3 D ．x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝3

【解析】 已知一元二次方程的各项系数，直接利用根与系数关系求解．∵x 1，x 2是一元二次方程x 2

＋2x －3＝0的两根．∴x 1＋x 2＝－21－2，x 1·x 2＝－3

1

－3.

2.若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ B ）

A 、x 2+3x ﹣2=0

B 、x 2﹣3x+2=0

C 、x 2﹣2x+3=0

D 、x 2+3x+2=0

3．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积： (1)x 2－3x ＋5＝0；

(2)3x 2

＋2x －4＝0； (3)2x －1＝－6x 2.

解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝5； (2)x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－4

3；

(3)x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－1

6

.

二、利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值

4.已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个根，则x 1+x 2等于（ D ） A 、-4 B 、-1 C 、1 D 、4

5.已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则x 12+x 22的最大值是（ B ） A 、19 B 、18 C 、15 D 、13

6.．若方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为__3__． 【解析】 根据题意，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，所以x 1＋x 2－x 1x 2＝2－(－1)＝3.

7．方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 21＋x 2

2＝__

13

4

__． 【解析】 ∵方程2x 2

－3x －1＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝32，x 1·x 2＝－12

，∴x 21＋x 2

2＝(x 1

＋x 2)2

－2x 1·x 2＝? ????322－2×? ????－12＝13

4

.

8．已知x 1，x 2是方程2x 2－5x ＋1＝0的两实数根，求下列各式的值：

(1)x 1x 22＋x 2

1x 2； (2)x 2x 1＋x 1

x 2

；

(3)(x 1－x 2)2.

解：∵x 1，x 2是方程2x 2－5x ＋1＝0的两实数根， ∴x 1＋x 2＝52，x 1x 2＝1

2

.

(1)x 1x 22＋x 2

1x 2＝x 1x 2(x 1＋x 2

)＝12×52＝54

； (2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 2

1

x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝? ????522

－2×1212＝212

；

(3)(x 1－x 2)2

＝(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝? ??

??522

－4×12＝174.

三、利用根与系数的关系求未知系数的值

9.△ABC 的一边长为5，另两边分别是方程x 2﹣6x+m=0的两根，则m 的取值范围是（ B ） A 、m ＞

B 、

＜m ≤9

C 、

≤m ≤9

D 、m ≤

10.如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1=2，x 2=﹣1，那么p ，q 的值分别是（ B ） A 、1，﹣2 B 、﹣1，﹣2 C 、﹣1.2 D 、1， 2

11.已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x

1，x

2

，若x2

1

＋x2

2

＝11，则实数k

的值为__－3__．

12．已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根是－1，求另一个根及k值．解：(1)证明：∵a＝2，b＝k，c＝－1，

∴Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，

∵无论k取何值，k2≥0，∴k2＋8＞0，即Δ＞0. ∴方程有两个不相等的实数根；

(2)设另一根为x

1，则－1＋x

1

＝－

k

2

，－1·x

1

＝－

1

2

，

解得x

1＝

1

2

，k＝1.

13．已知关于x的一元二次方程x2－(m＋3)x＋3m＝0.

(1)求证：方程总有实数根；

(2)设这个方程的两个实数根分别为x

1，x

2

，且x2

1

＋x2

2

＝25，求m的值．

解：(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝[－(m＋3)]2－12m ＝m2＋6m＋9－12m＝m2－6m＋9＝(m－3)2，

又∵(m－3)2≥0，∴b2－4ac≥0，

∴该方程总有实数根；

(2)∵x

1＋x

2

＝m＋3，x

1

·x

2

＝3m，x2

1

＋x2

2

＝25，

∴(x

1＋x

2

)2－2x

1

x

2

＝25，

∴(m＋3)2－2×3m＝25，

9＋m2＝25，m2＝16，

解得m＝±4.故m的值为±4.

1．一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x

1，x

2

，则下列结论正确的是( C )

A．x

1＝－1，x

2

＝2 B.x

1

＝1，x

2

＝－2

C．x

1＋x

2

＝3 D．x

1

x

2

＝2

2．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为( C ) A．1 B.－3

C．3 D．4

3．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是( B ) A．3 B.1

C ．－1

D ．－3

【解析】 根据根与系数的关系可得α＋β＝－1，αβ＝－2，∴α＋β－αβ＝(α＋β)－αβ＝－1－(－2)＝1，故选B.

4．若方程x 2－3x －4＝0的两根分别为x 1和x 2，则1x 1＋1

x 2

的值是( C )

A ．1 B.2

C ．－34

D ．－43

【解析】 依题意得x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－4，

所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1·x 2＝3－4＝－34

.

5．己知x 1，x 2是方程2x 2－3x －1＝0的两根，则x 21＋x 2

2＝__134

__．

【解析】 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝－12，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2＝? ??

??322－2

×? ????－12＝134

. 6．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程可以是( B ) A ．x 2＋3x －2＝0 B.x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝0

7．已知m ，n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为( C ) A ．9 B.±3 C ．3 D ．5

【解析】 ∵m ，n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根， ∴m ＋n ＝－22，mn ＝1，

m 2＋n 2＋3mn ＝（m ＋n ）2＋mn

（－22）2＋1＝9＝3.故选C.

8．已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是__－4__． 【解析】 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－2，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－2－3＋1＝－4. 9．设x 1，x 2是方程x 2－4x ＋m ＝0的两个根，且x 1＋x 2－x 1x 2＝1，则x 1＋x 2＝__4__，m ＝__3__． 【解析】 由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ，代入x 1＋x 2－x 1x 2＝1，得4－m ＝1，解得m ＝3.

10.已知m ，n 是方程x 2－2x －7＝0的两个根，那么m 2＋mn ＋2n ＝__4__．

【解析】 ∵m ，n 是方程x 2－2x －7＝0的两个根， ∴m ＋n ＝2，mn ＝－7，m 2－2m －7＝0， ∴m 2＝2m ＋7，

∴m 2＋mn ＋2n ＝2m ＋7＋mn ＋2n ＝7＋2×2＋(－7)＝4.

11.已知关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两根x 1，x 2满足x 21＋x 2

2＝14，则m ＝__－2__．

【解析】 ∵关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两根是x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m －1，

∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2

－2(2m －1)，

∵x 21＋x 2

2＝14，

∴m 2－2(2m －1)＝14，解得m ＝6或m ＝－2，

当m ＝6时，方程为x 2－6x ＋11＝0，此时Δ＝(－6)2－4×11＝36－44＝－8＜0，不合题意，舍去， ∴m ＝－2.

12．关于x 的方程mx 2＋x －m ＋1＝0，有以下三个结论：①当m ＝0时，方程只有一个实数解；②当m ≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是__①③__(填序号)．

【解析】 当m ＝0时，x ＝－1，故①正确；当m ≠0时，b 2－4ac ＝4m 2－4m ＋1＝(2m －1)2，当m ＝1

2

时，方程有两个相等的实数解，故②错误；当m ＝0时，方程的解为x ＝－1，当m ≠0时，若x 1＋x 2<0，则两解中必定有一个负数解，满足题意，若x 1＋x 2＝－1m >0，则1m <0，x 1x 2＝－1＋

1

m

<0，也必有负数解，故③正确．

13．关于x 的方程3x 2＋mx －8＝0有一个根是2

3

，求另一个根及m 的值．

解：设方程的另一个根是x 1.

由一元二次方程根与系数的关系，得 ?????23＋x 1＝－m 3，2

3x 1＝－83，

解得???x 1＝－4，

m ＝10.

答：方程的另一个根是－4，m 的值是10.

14．已知关于x 的方程x 2－mx －3＝0的两实数根为x 1，x 2，若x 1＋x 2＝2，求x 1，x 2的值． 解：∵x 1＋x 2＝2，∴m ＝2.

∴原方程为x 2－2x －3＝0，即(x －3)(x ＋1)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝－1.

15.已知关于x 的一元二次方程x 2－(2m －2)x ＋(m 2－2m)＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两实数根为x 1，x 2，且x 21＋x 2

2＝10，求m 的值．

解：(1)证明：根据题意，得Δ＝[－(2m －2)]2－4(m 2－2m)＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；

(2)由一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝2m －2，x 1x 2＝m 2－2m ，

∵x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2＝10. ∴(2m －2)2－2(m 2－2m)＝10.

化简，得m 2－2m －3＝0，解得m 1＝3，m 2＝－1. ∴m 的值为3或－1.

16.已知x 1，x 2是方程x 2－6x ＋k ＋4＝0(k 为实数)的两个实数根． (1)求k 的取值范围；

(2)若x 1，x 2满足3x 1－2＝|x 2|，求k 的值．

解：(1)∵x 1，x 2是方程x 2－6x ＋k ＋4＝0的两个实数根， ∴Δ＝(－6)2－4(k ＋4)＝20－4k ≥0，∴k ≤5； (2)由一元二次方程根与系数的关系，可得 ∴x 1＋x 2＝6①，x 1·x 2＝k ＋4②， ∵3x 1－2＝|x 2|，

第一种情况：当x 2≥0时，有3x 1＝x 2＋2③， 联立①③解得x 1＝2，x 2＝4，∴8＝k ＋4，k ＝4； 第二种情况：当x 2＜0时，有3x 1＝－x 2＋2④， 联立①④解得x 1＝－2，x 2＝8(不合题意，舍去)， ∴符合条件的k 值为4.

1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，则代数式(1＋1x 1)(1＋1

x 2

)的值为( )

A ．11 B.113 C ．13 D.13

3

2．若两个不等实数m ，n 满足条件：m 2－2m －1＝0，n 2－2n －1＝0，则m 2＋n 2的值是____． 3．设x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋6x －5＝0的两根，求下列代数式的值．

(1)x 2x 1＋x 1

x 2

；

(2)|x 1－x 2|.

4．设a ，b 是方程x 2＋x －2 020＝0的两个不相等的实数根， 则a 2＋2a ＋b 的值为____．

点拨：∵a ，b 是方程x 2＋x －2020＝0的根，∴a 2＋a －2020＝0，a ＋b ＝－1，∴a 2＋a ＝2020，

∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2020－1＝2019

5．设x

1，x

2

是一元二次方程x2＋5x－3＝0的两个实根，

且2x

1(x

2

2＋6x

2

－3)＋a＝4，则a＝____．

6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足

1α＋

1

β

＝－1，则m的值是( )

A．3或－1 B．3 C．1 D．－3或1

7．若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝____．

8．已知关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0的两根为x

1，x

2

，且满足3x

1

＋3x

2

＝x

1

x

2

＋4，

求a的值．

9．已知方程x2＋5x－2＝0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数，则此新方程是( )

A．4y2－29y＋1＝0 B．4y2－25y＋1＝0

C．4y2＋29y＋1＝0 D．4y2＋25y＋1＝0

10．已知关于x的方程x2＋(2m－3)x＋m2＋6＝0的两根x

1，x

2

的积是两根和的2倍．

(1)求m的值；

(2)求作以1

x 1，

1

x

2

为两根的一元二次方程．

答案：

1. B

2. 6

3. (1) 解：－28 5

(2) 解：19

4. 2019

点拨：∵a，b是方程x2＋x－2020＝0的根，∴a2＋a－2020＝0，a＋b＝－1，∴a2＋a＝2020，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2020－1＝2019

5. 10

6. B

7. －1

8. 解：由题意，可知x

1＋x

2

＝2－2a，x

1

x

2

＝a2－7a－4，又∵3x

1

＋3x

2

＝x

1

x

2

＋4，∴3(2－2a)

＝a2－7a－4＋4，化简得，a2－a－6＝0，解得a＝－2或3.又∵根的判别式为[2(a－1)]2－4(a2－7a－4)≥0，∴a≥－1，即a＝－2舍去，故a＝3

9. A

10. 解：(1)由b2－4ac≥0，得m≤－5

4

，∵x

1

＋x

2

＝－(2m－3)，

x 1x

2

＝m2＋6，由x

1

x

2

＝2(x

1

＋x

2

)，得m2＋6＝－2(2m－3)，

解得m

1＝0，m

2

＝－4，∵m≤－

5

4

，∴m＝－4

(2)22x2－11x＋1＝0