圆锥曲线综合1(教师版) 绝对推荐!

圆锥曲线综合问题

高考要求

圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域

(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值

(3) 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法

(4) 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解

例1如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为

4

π

的直线l

与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积

命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”

知识依托弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 错解分析将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件

技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算

解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0

由方程组???=+=x

y m

x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①

∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，

∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -

点A 到直线l 的距离为d

∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(

3

5522m m m ++++-)3

=128

∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号

故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为

解法二 由题意，可设l 与x 轴相交于B （m,0）, l 的方程为x = y +m ,其中0＜m ＜5

由方程组24x y m

y x

=+??=?,消去x ,得y 2－4 y －4m =0 ①

∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，

∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m =16(1+m )＞0必成立, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m , ∴

S △=

1211

(5)||(522m y y m --=- ＝451(

)2

2

m -

≤=∴S △≤82,当且仅当5

1

()(1)22

m m -

=+即m =1时取等号 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为

例2已知双曲线C 2x 2－y 2=2与点P (1，2)

(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点

(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在

命题意图 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归

结为方程组解的问题 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题

的第二种方法——“点差法”

知识依托二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式

错解分析 第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论 第二问，算得以Q 为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了

技巧与方法 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化

解 (1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得

(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)

(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时

Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =2

3

时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点 ②当Δ＞0,即k ＜

23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜2

3

时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点

③当Δ＜0，即k ＞

2

3

时，方程(*)无解，l 与C 无交点 综上知 当k =±2,或k =2

3

，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点；

当2＜k ＜23

,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；

当k ＞2

3

时，l 与C 没有交点

(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得 2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)

又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1

即k AB =

2

12

1x x y y --=2

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在

例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，

且OP ⊥OQ ，|PQ |=

2

10

，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)

由???=++=1

12

2ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,

Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,

由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴

n

m n

n m n --

+-2)1(2+1=0, ∴m +n =2

①

又2

)2

10()(4=+-+n m mn n m 2

,

将m +n =2,代入得

m ·n =

4

3 ②

由①、②式得m =

21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+2

1y 2

=1

(练习1)如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件

|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列 (1)求该弦椭圆的方程；

(2)求弦AC 中点的横坐标；

(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范

围

命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强

知识依托椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法

错解分析 第三问在表达出“k =

36

25

y 0”时，忽略了“k =0”时的情况，理不清题目中变量间的关系

技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m 表示出弦AC 的中点P 的纵坐标y 0,利用y 0的范围求m 的范围

解 (1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3

故椭圆方程为9

252

2y x +=1 (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B 9 因为椭圆右准线方程为x =4

25,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(4

25

－x 2)，

由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得

54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×5

9,由此得出 x 1+x 2=8 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=2

2

1x x +=4

(3)解法一 由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上

得221122

22925925 925925 x y x y ?+=? ??+=???①②

①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(

2

12

12121x x y y y y x x --?+++=0(x 1≠x 2) 将

k

x x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k

1

)=0 (k ≠0) 即k =

36

25

y 0(当k =0时也成立) 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－

925y 0=－9

16y 0 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部， 得－

59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜5

16 解法二 因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为

y －y 0=－

k

1

(x －4)(k ≠0) ③

将③代入椭圆方程9

252

2y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0

所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =36

25

y 0 (当k =0时也成立)

(以下同解法一)

(练习2) 已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A (2，0)为圆心，1为半

径的圆相切，双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称

(1)求双曲线C 的方程

(2)设直线l 过点A ，斜率为k ,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直

线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标

解 (1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =

1

|2|2

+k k =1,解得k =±1

即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0，2)

∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2

(2)设直线l y =k (x －2)(0＜k ＜1),

依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l

设直线l ′ y =kx +m ,应有

21

|2|2

=++k m k ,

化简得m 2+22k m=2

②

把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2－2)=0 可得m 2+2k 2=2 ③

②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=5

2

,解得m =510,k =552,

此时x =

221

2=--k mk

,y =10 故B (22,10) 向量与解析几何结合

平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的 几何意义，利用其几何意义解决有关问题。 考点1 利用向量求曲线方程和解决相关问题

利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：

例4．(2006年山东卷）双曲线C 与椭圆22184

x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==

，且3

821-=+λλ时，求Q 点的坐标.

考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.

解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22

22

1x y a b

-=,

由椭圆22

184

x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，

∴

对于双曲线:2C c =，又y 为双曲线C 的一条渐近线

∴

b a

=

解得 22

1,3a b ==，

∴双曲线C 的方程为2

213

y x -=

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.

设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k

-.

1PQ QA λ=

,11144(,4)(,)x y k

k

λ∴--=+.

1111111

14444()44x k k x k k y y λλλλ?

=--??-=+??

∴?????-==-???

11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴212

11

11616()10k λλλ+--=.

∴222211161632160.3

k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3

k k λλ-++-=

同理有：2222216(16)32160.3

k k λλ-++-=

若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠ 12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3

k x x k -++-=的两根.

122328163

k λλ∴+=

=-

-,24k ∴=，此时0,2k ?>∴=±. ∴所求Q 的坐标为(2,0)±.

解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k

-.

1PQ QA λ=

， Q ∴分PA 的比为1λ.

由定比分点坐标公式得

11111

11111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ??

-==-+??+??→??

+??=-

=??+??

下同解法一

解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k

-.

12PQ QA QB λλ==

， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k

k

k

λλ∴--=+=+.

11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，22

4y λ=-，

又1283

λλ+=-， 12

1123

y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.

将4y kx =+代入2

2

13

y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.

230k -≠ ，否则l 与渐近线平行.

212122224483,33k y y y y k k -∴+==

--.

222244833233k k k -∴?=?

--.2k ∴=±

(2,0)Q ∴±.

解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k

-

1PQ QA λ=

,11144(,4)(,)x y k

k

λ∴--=+.

∴1114

444k kx x k λ-

==-++

.同理 1244kx λ=-+.

1212448

443

kx kx λλ+=--=-++.

即 2121225()80k x x k x x +++=. （*）

又 2

24

13y kx y x =+???-=??

消去y 得22(3)8190k x kx ---=.

当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠.

由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ?

+=

??-?

?=-?-?

代入（*）式得 24,2k k ==±.

∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.

例5．（2007年江西卷理）

设动点P 到点A (－l ，0)和B (1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；

（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围,

使·＝0,其中点O 为坐标原点．

[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222

121222cos2d d d d θ=+-，

2212124()4sin d d d d θ=-+

，即122d d -（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，

为焦点，实轴长2a =

方程为：22

11x y λλ

-=-．

（2）设11()M x y ，，22()N x y ，

①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．

即2111101λλλλλ-=?+-=?-，因为01λ<<

，所以λ ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．

由22

11(1)x y y k x λλ?-=?

-?

?=-?

得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ??--+---+=??， 由题意知：2(1)0k λλ??--≠??

，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122

(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22

21212

2

(1)(1)(1)k y y k x x k

λλλ=--=

--． 因为0=?ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以

2121222

122212(1)0(1)210

11310

01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-?+=?-?=?>???+-+>???<<+--??????>+->>???-?

．

23

λ<．

解法2：（1）同解法1

（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ

=-=?+-=-，

因为01λ<<

，所以λ=

②当12x x ≠

时，002

2222

12111

11

1y x k y x y x MN ?-=????????=--=--λλλλλ

λ． 又001

MN

BE y k

k x ==

-．所以22000

(1)y x x λλλ-=-；

由2MON π=∠得2

22002MN x y ??+= ???，由第二定义得2

212()222MN e x x a ??+-??= ????

???

2

20001(1)21x x λλ

==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．

C B

A o

y x

于是由22

000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x λλλλλλλ?-=-??-=--+-??

得20(1).23x λλ-=- 因为01x >，所以2

(1)123λλ->-，又01λ<<，

23

λ<<

23

λ<．

考点2 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.

例6．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x

C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =

，求当AOB ?的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.

222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为

my x 1=+，

由222x 3y t my x 1

?+=?=+?得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则122

4m y y 2m 3

+=+…………① 又CA 2BC =

，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………② 由①②得：12

8m y 2m 3

=

+，224m y 2m 3-=+， 则AOB 1221m

S |y y |6|

|2

2m 3

?=-=+

＝

632|m ||m |

≤

+

， 当23m 2

=

，即m =AOB ?面积取最大值，

此时2122

222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-

++，即t 10=，

所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.

小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.

例7

．已知PA (x y)=

，PB (x y)= ，且|PA ||PB|6+= ， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值.

解答过程：设P(x,y)

，A(

，，

因为|PA ||PB|6+=

，且|AB|6=，

所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆， 椭圆方程为2

2

x y 19

4

+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，

则|2x 3y 12|--

＝|)12|4

πθ+-，

当cos()14

πθ+=-时，|2x 3y 12|--

取最大值12+

当cos()14

πθ+=时，|2x 3y 12|--

取最小值12-小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点3 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.

例8．（2006年福建卷）

已知椭圆2

212

x y +=的左焦点为F ，

O 为坐标原点.

（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-

圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12

x =-上.

设1(,),2

M t -则圆半径13()(2).22

r =---=

由,OM r =

3,2

解得t =

∴

所求圆的方程为2219()(.24

x y ++=

（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠ 代入2

21,2

x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=

直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根.

记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y

则2

122

4,21

k x x k +=-+

AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k

-=--

令0,y =得

222002222211

.

2121212421

0,0,

2

G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<<

∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2

-

练习1．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b

-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |,|OB|,|OF|

成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的

垂线l ，垂足为P ，

（1）求证：PA OP PA FP ?=?

；

（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程：（1）因|OA |,|OB|,|OF| 成等比数列，故22

|OB |a |OA |c |OF |

==

，即2a A(,0)c ，

直线l ：a y (x c)b

=--，

由2a y (x c)

a a

b b P(,)b

c c y x a ?=--?

???

?=??

， 故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c

=-==- 则：222a b PA OP PA FP c

?=-=?

，即PA OP PA FP ?=? ；

（或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0?-=?-=?=

，即PA OP PA FP ?=? ）

（2）由44422

222222222222

a y (x c)a a a c (

b )x 2cx (a b )0b

b b b b x a y a b ?=--??-+-+=??-=?

， 由42

222124

22

a c (a

b )b x x 0a b

b -+=<-得：4422222b a b

c a a e 2e >?=->?>?> （或由DF DO k k >?a b

b a

->-?22222

b c a a e 2e =->?>?>

小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求

出各个点的坐标.

练习2．已知a (x,0)= ，

b (1,y)=

，(a (a ⊥ ，

（1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；

（2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=，

C

y

试求m 的取值范围.

解答过程：（1

）a

＝(x,0),y)(x =，

a

＝(x,0),y)(x =，

因(a (a ⊥

，故(a (a 0?= ，

即22(x (x x 3y 30?=--=，

故P 点的轨迹方程为2

2x y 13

-=. （2）由22

y kx m

x 3y 3

=+??-=?得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )

则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0?=----=+->，

1226km x x 13k +=

-，1202x x 3km x 213k +==-，00

2

m y kx m 13k =+=-， 即A 、B 的中点为22

3km m

(,)13k 13k

--， 则线段AB 的垂直平分线为：22

m 13km

y ()(x )13k k 13k -=----， 将D(0,1)-的坐标代入，化简得：2

4m 3k 1=-，

则由222

m 13k 04m 3k 1?+->??=-??得：2

m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>， 又2

4m 3k 11=->-，所以1m 4

>-

， 故m 的取值范围是1

(,0)(4,)4

-

+∞ . 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点4 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.

例9．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中

心O ，且AC BC 0?= ，|BC|2|AC|=

，

（1）求椭圆的方程；

（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数

λ，使得PQ λAB =

？请说明理由；

解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，

设椭圆方程为

22

2x y 14b

+=，不妨设C 在x 轴上方， 由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|==?=

，

又AC BC 0?=

AC OC ?⊥，即ΔOCA 为等腰直角三角形，

由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：2

4b 3

=

， 即，椭圆方程为22

x 3y 144

+=； （2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =

，即AB //PQ ， 由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1

k 2(1)3

--=

=--，

若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，

由22

222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044

y k(x 1)1?+

=??+--+--=??=-+?

， 由C(1,1)得x 1=是方程222

(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，

由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=?=+，以k -代k 得2Q 2

3k 6k 1

x 13k

+-=+， 故P Q P Q PQ P Q

P Q

y y k(x x )2k

1

k x x x x 3

-+-=

=

=--，故AB //PQ ， 即总存在实数λ，使得PQ λAB =

.

评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点5 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题

直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.

例10．设G 、M 分别是ABC ?的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且G M A B =λ

，

（1）求点C 的轨迹方程；

（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OP OQ 0?=

？

若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则x y G(,)33

，

因为GM AB =λ ，所以GM //AB ，则x

M(,0)3

，

由M 为ABC ?的外心，则|MA ||MC |=

= 整理得：22

22x y 1(x 0)3a a

+=≠；

（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，

由22

22y k(x a)x y 1(x 0)

3a a =-???+=≠??得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=， 设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则2122

6k a x x 13k +=+，221223a (k 1)

x x 13k -=+，

2

2

2

12121212y y k (x a )(x a )

k [x x a (x x )a ]=-

-

=-++＝

22

22k a 13k

-+， 由OP OQ 0?=

得：1212x x y y 0+=，

即

2222

22

3a (k 1)2k a 013k 13k --+=++

，解之得k = 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)， 故存在直线m

，其方程为y a)=-.

小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结

果，然后做出正确的判断；

（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.

练习1.已知1＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1MF ＋||2MF ＝10。（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、Q 是曲线C 上任意两点，且·OQ =0，

求

2

2

2

OQ

OP ?的值

【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10

根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：

1

2

2=+y x （2）∵点P 、O 是

116

252

2=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)

（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） ∵·=0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①

而2

、2

2

?都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：

2

2

2

PQ

?＝

400

41

练习 2.已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：·AN 为定值；

（3）若O 为坐标原点，且·＝12，求k 的值。 【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）

∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入⊙C ：1)3()2(2

2

=-+-y x ，得：07)1(4)1(2

2

=++-+x k x k ①

由题意：△＝07)1(4)]1(4[2>?+?-+-k k 得：

3

7

4374+<

<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，

d

（2）利用切割线定理可以证明||·||＝||2

=7,AT 为切线，T 为切点。 根据向量的运算：·＝||·

||·cos00＝7为定值。 （注意：本题也可以设出M （11,y x ）、N （22,y x ）的坐标，把、用坐标表示，

由①利用韦达定理来证明）

（3）设M （11,y x ），N （22,y x ），则由①得：

???

???

?+=

++=+2212

2117144k x x k k x x ∴·＝21x x ＋21y y ＝1)()1(21212++++x x k x x k ＝

81)

1(42

+++k

k k ＝12?k ＝1（代入①检验符合题意） 练习3.已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 1满足OF =(1,0),OT =(－1，t)，=, M P 1⊥,T P 1∥。

（1）当t 变化时，求点P 1的轨迹方程； （2）若P 2是轨迹上不同与P 1的另一点，且垂直非零实数λ，使得1=λ·2FP |

|1FP ||2FP =1

【解】设P 1（x ，y ），则由：FM =MT 得M 是线段FT 的中点，得M )2

1

,0( ∴M P 1＝（－x ，

2

1

－y ）， 又∵＝－＝（－2，t ），P 1＝（－1－x ，t －y ） ∵P 1⊥ ∴2x ＋t(

2

t

－y)＝0 ① ∵T P 1∥ ∴（－1－x ）

·0＋（t －y ）·1＝0化简得：t ＝y ② 由①、②得：x y 42

= （注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。） （2）易知F （1，0）是抛物线x y 42=的焦点，由1FP =λ·2FP ， 得F 、P 1、P 2三点共线，即直线P 1P 2为过焦点F 的弦

设P 1（11,y x ）、P 2（22,y x ）,直线P 1P 2的方程为：y ＝k(x －1)代入x y 42

=得：

0)2(22

2

2

2

=++-k x k x k 则1x ·2x ＝1，1x ＋2x ＝2

24

2k

k + |

|1FP 2111+x ＋11

2+x ＝1

)(2212121+++++x x x x x x ＝1

（注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达定理进行证明。）

经检验：当斜率k 不存在时，结论也成立。

练习4..已知＝)1,3(，（O 为坐标原点），||=1，且与的夹角为600，A 、O 、B 顺时针排列，点E 、F 满足OE =λOA ，OF ＝λ

1

OB ，点G 满足EG ＝

2

1

（1）当λ变化时，求点G 的轨迹方程； （2）求||的最小值。

【解】∵EG ＝

21

，∴点G 是EF 的中点， ∴＝21(＋)＝21(λ＋λ

1

)

∵与的夹角为600，||＝2， ∴OA ·OB ＝|OA |·||·cos600＝1

设OB ＝（00,y x ），则?????=+=+1

132

02000y x y x ???==?1000y x 或???

????-==2123

00y x （不合，舍） OG ＝)]1,0(),3[(21λλλ+＝))1

(21,23(λ

λλ+

设G （x ，y ），则???

?

??

?

+==)1(2123

λ

λλy x 消去λ得：033442=+-xy x （2）2

||OG ＝)214(412222++=

+λ

λy x ≥41×（4＋2）＝23

∴||的最小值为

2

6

（当λ＝21±时等号成立）

练习5.如图，点F （a ，0）（a>0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为

动点，且·

＝0，＋0=PN （1）求点N 的轨迹C ； （2）过点F （a ，0）的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点，设点K （－a ，0），

与的夹角为θ，求证0<θ<

2

π. 【解】（1）设点P （0，p ），M （m,0），则＝（m ，－p ），＝（a ，－p ）

∵PM ·PF ＝0 ∴02

=+p am ∴a

p m 2

-

= 设N （x ，y ），由＋=得),(),0(=-+--p m p y x

∴???=-=+020p y m x 即??

???==p

y a p x 22

消去p 得：ax y 42= （2）设AB 的方程为：y ＝k(x －a)，代入

20)2(22

2222=++-a k x k a x k ，

设A （11,y x ）、B （22,y x ），则：

????

?=+=+22

122

2

1)2(2a x x k k a x x ＝（1x ＋a ，1y ）＝（2x ＋a ，2y ） ·＝2121))((y y a x a x +++

＝)4()(12

2121ax a x x a x x -++++·（24ax ）

＝222

22

22

44)2(2k

a a a k k a a a =-+++>0 与的夹角为θ，与不共线，则θ≠0

∵cos θ|

|||KB KA ?>0 ∴0<θ<

2

π

练习6.设平面内向量＝（x ，0）、＝（1，y ），满足：(＋3)⊥(－3)（1）求点P （x ，y ）的轨迹方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋m （km ≠0）与所求曲线C 交于A 、B 两点，D （0，－1）且||AD ＝||BD ,求m 的取值范围。

【解】（1）∵(＋3)⊥(－3) ∴(＋3)·(－3)＝0

∴2

－32

＝0 ∴0)1(32

2=+-y x

即13

22

=-y x 为所求曲线的轨迹方程。 （2）设A （11,y x ）、B （22,y x ），

由?????=-+=13

2

2y x m kx y 得：0)1(36)31(222=+---m kmx x k ①

则???

????

-+-=-=+22

2122131)1(3316k m x x k km x x ② ∵)1,(11y x AD ---=，)1,(22y x BD ---= ∵||AD ＝||BD ∴2121)1(y x ++＝222

2)1(y x ++

即：0))(2())((21212121=-+++-+y y y y x x x x

∴0)2(2121=++++++m kx m kx k x x 把②代入，解得m ＝4

132-k ③

由①得：△＝)1)(31(12362222+-+m k m k ＝12(2

231k m -+)>0

把③代入化简得：m m 42->0 m>4或m<0

又∵m ＝

4

132-k 41

-> （k ≠0） ∴0>m 4

1

-

>或m>4为所求的m 的取值范围。 练习7（本小题满分12分）

已知椭圆C 1的方程为14

22

=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；

（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2

的两个交点A 和B 满足6

解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12

2

22=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为.13

22

=-y x （II ）将.0428)41(14

22222

=+++=++=kx x k y x kx y 得代入

曲线运动单元测试题(最新整理)

曲线运动单元测试题 一、选择题（共48分，1-4单选题，5-8题多选题） 1．我国“嫦娥二号”探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在2010年10月1日18时59分57秒发射升空．如下图所示，“嫦娥二号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小．在此过程中探月卫星所受合力方向可能是( ) 2．一个物体在相互垂直的恒力F1和F2作用下，由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去F2，则物体的运动情况将是( ) A．物体做匀变速曲线运动B．物体做变加速曲线运动 C．物体做匀速直线运动D．物体沿F1的方向做匀加速直线运动 3.(2010·江苏高考)如图4－1－17所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧 水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( ) A．大小和方向均不变B．大小不变，方向改变 C．大小改变，方向不变D．大小和方向均改变 4.一个人水平抛出一小球，球离手时的初速度为v0，落地时的速度为v t，空气阻力忽略不计，下列正确表示了速度矢量变化过程的图象是( ) 5．(2011·广东高考)如图4－1－3所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离

为L ，重力加速度取g ，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( ) A ．球的速度v 等于L B ．球从击出至落地所用时间为 g 2H 2H g C ．球从击球点至落地点的位移等于L D ．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关 6.(2012·新课标全国高考)如图4－1－14，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向．图中画出了 从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的：不计空气阻力，则( ) A ．a 的飞行时间比b 的长 B ．b 和c 的飞行时间相同 C ．a 的水平速度比b 的小 D ．b 的初速度比c 的大 7.　(2011·海淀区质检)河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图4－1－8甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( ) A ．船渡河的最短时间是60 s B ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C ．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 8.　如图4－1－13所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P 以速度v 0抛出一个小球，落在斜面上某处Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v 0，则( ) A ．空中的运动时间变为原来的2倍 B ．夹角α将变大

教师招聘圆锥曲线经典总结

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n

曲线运动测试题及答案完整版

曲线运动测试题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

曲线运动单元测试 一、选择题（总分41分。其中1-7题为单选题，每题3分；8-11题为多选题，每题5分，全部选对得5分，选不全得2分，有错选和不选的得0分。）1．关于运动的性质，以下说法中正确的是（） A．曲线运动一定是变速运动 B．变速运动一定是曲线运动 C．曲线运动一定是变加速运动 D．物体加速度大小、速度大小都不变的运动一定是直线运动 2．关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（） A．合运动的时间等于两个分运动的时间之和 B．匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线 C．曲线运动的加速度方向可能与速度在同一直线上 D．分运动是直线运动，则合运动必是直线运动 3．关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间（不计空气阻力），以下说法正确的是（） A．速度大的时间长 B．速度小的时间长 C．一样长 D．质量大的时间长 4．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（） A．大小相等，方向相同 B．大小不等，方向 不同 C．大小相等，方向不同 D．大小不等，方向 相同 5．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2 ，转动半径之比为1∶2 ，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为（） A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16 6．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（）Array A．绳的拉力大于A的重力 B．绳的拉力等于A的重力 C．绳的拉力小于A的重力 D．绳的拉力先大于A的重力，后变为小 于重力

圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+

曲线运动综合测试题

曲线运动综合测试题 1、对于曲线运动中的速度方向，下述说法中正确的是： A、曲线运动中，质点在任一位置处的速度方向总是通过这一点的切线方向。 A、在曲线运动中，质点的速度方向有时也不一定沿着轨迹的切线。 C、旋转的雨伞，伞面上水滴由内向外做螺旋运动，故水滴速度方向不是沿其轨迹切线方向。 D、旋转的雨伞，伞面上水滴由内向外做螺旋运动，故水滴速度方向总是沿其轨迹切线方向。 2、下面说法中正确的是： A、物体在恒力作用下不可能做曲线运动。 B、物体在变力作用下有可能做曲线运动。 B、做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上。 C、物体在变力作用下不可能做曲线运动。 3、物体受到几个外力作用而做匀速直线运动，如果撤掉其中的一个力，保持其它力不变，它可能做：①匀速直线运动；②匀加速直线运动；③匀减速直线运动；④匀变速曲线运动。下列组合正确的是： A、①②③ B、②③ C、②③④ D、②④ 4、关于互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是： A、一定是直线运动。 B、一定是曲线运动。 C、可能是直线运动。 D、可能是曲线运动。 5、质量为m i的子弹在h=10m的高度以800m/s的水平速度射出枪口，质量为m2 (m2>m i) 的物体也在同一高度同时以10m/s的水平速度抛出(不计空气阻力)则有： A、子弹和物体同时落地。 B、子弹落地比物体迟。 B、子弹水平飞行距离较长。D、子弹落地速率比物体大。 6、一飞机以150m/s的速度在高空某一水平面上做匀速直线运动，相隔is先后从飞机上落下 A、B两个物体，不计空气阻力，在运动过程中它们所在的位置关系是： A、A在B之前150m处。 B、A在B之后150m处。 C、正下方4。9m处。 D、A在B的正下方且与B的距离随时间而增大。 7、以速度v在平直轨道上匀速行驶的车厢中，货架上有一个小球，货架距车厢底面的高度为h,当车厢突然以加速度a做匀速加速直线运动时，这个小球从货架上落下，小球落到车厢面上的距货架的水平距离为： ah 8、在高度为h的同一位置向水平方向同时抛出两个小球A和B，若A球的初速度大于B 球的初速度，则下列说法中正确的是：

高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线(下)理(教师版)

【名师备考建议】 鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议： 1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具 有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握； 2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循； 复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识； 3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题 目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式； 4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现， 这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求. 【高考冲刺押题】 e=，椭圆上的点到焦点【押题6】已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率 2 M m，且与椭圆C交于相异两点,A B，且的最短距离为2，直线l经过y轴上一点(0,) =． 3 AM MB

高一物理曲线运动综合练习题(一)

曲线运动 一．选择题 1．关于力和运动的关系，下列说法中正确的是() A．做直线运动的物体一定受到外力的作用 B．做曲线运动的物体一定受到外力的作用 C．物体受到的外力越大，其运动速度越大 D．物体受到的外力越大，其运动速度大小变化得越快 2．(多选题)如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，若使三角板沿刻度尺向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断，其中正确的有() A．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线 B．笔尖留下的痕迹是一条抛物线 C．在运动过程中，笔尖的速度方向始终保持不变 D．在运动过程中，笔尖的加速度方向始终保持不变 3．(多选题)如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则() A．A物块不受摩擦力作用 B．物块B受5个力作用 C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B所受摩擦力也增大 D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴 4．如图所示，一架在2000m高空以200m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别炸山脚和山顶的目标A和B，已知山 高720m，山脚与山顶的水平距离为1000m，若不计空 气阻力，g取10m/s2，则投弹的时间间隔应为() A．4s；B．5s；C．9s；D．16s。 5．某老师在做竖直面内圆周运动快慢的实验研究，并给运动小球拍了频闪照片，如图所示(小球相邻影像间的时间间隔相等)，小球在最高点和最低点的运动快慢比较，下列说法中不正确的是() A．该小球所做的运动不是匀速圆周运动 B．最高点附近小球相邻影像间弧长短，线速度小，运动较慢 C．最低点附近小球相邻影像间圆心角大，角速度大，运动较快 D．小球在相邻影像间运动时间间隔相等，最高点与最低点运动一样快

圆锥曲线经典结论总结(教师版)

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.

智行数学-圆锥曲线(带答案,教师专用)

智行数学-圆锥曲线（带答案，教师专用） 一、单选题(注释) 1、已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D． 2、F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线 与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（） A．B．C．2 D． 3、在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( ) A．B．C．D． 4、已知圆M经过双曲线的两个顶点，且与直线相切，则圆M方程为（） A．B． C．D． 5、已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是， 的等差中项，则椭圆的方程是（） A．B． C．D． 6、以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 A．B．C．D． 7、若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 =" 1" 所表示的曲线不可能是（）A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线 8、方程的两个根可分别作为的离心率。 A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆

评卷人得分 二、填空题(注释) 10、若一条抛物线以原点为顶点，准线为，则此抛物线的方程为 . 11、双曲线的渐近线方程是_▲____ 13、中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 . 14、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当 的周长最大时，的面积是． 17、若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且 ，则此双曲线的离心率为▲ . 评卷人得分 三、解答题() 与直线相切，是 抛物线上两个动点，为抛物线的焦点，的垂直平分线与轴交于点，且. （1）求的值; （2）求点的坐标; （3）求直线的斜率的取值范围. 19、已知抛物线，为抛物线的焦点，椭圆；（1）若是与在第一象限的交点，且，求实数的值； （2）设直线与抛物线交于两个不同的点，与椭圆交于两个 不同点，中点为，中点为，若在以为直径的圆上，且 ，求实数 的取值范围. 20、（本小题满分12分） 已知定直线l:x=1和定点M(t,0)(t∈R),动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍。（1）求动点P的轨迹方程，并讨论它表示什么曲线； （2）当t=4时，设点P的轨迹为曲线C，过点M作倾斜角为θ(θ>0)的直线交曲线C

高中物理必修二曲线运动测试题

高中物理曲线运动单元测试题 一、选择题 1．关于运动的性质，以下说法中正确的是（） A．曲线运动一定是变速运动 B．变速运动一定是曲线运动 C．曲线运动一定是变加速运动 D．物体加速度大小、速度大小都不变的运动一定是直线运动 2．关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（） A．合运动的时间等于两个分运动的时间之和 B．匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线 C．曲线运动的加速度方向可能与速度在同一直线上 D．分运动是直线运动，则合运动必是直线运动 3．关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间（不计空气阻力），以下说法正确的是（） A．速度大的时间长 B．速度小的时间长 C．一样长 D．质量大的时间长 4．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（） A．大小相等，方向相同 B．大小不等，方向不同 C．大小相等，方向不同 D．大小不等，方向相同 5．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2 ，转动半径之比为1∶2 ，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为（）

A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16 6．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动 时，物体A的受力情况是（） A．绳的拉力大于A的重力 B．绳的拉力等于A的重力 C．绳的拉力小于A的重力 D．绳的拉力先大于A的重力，后变为小于重力 7．如图所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O 点，有两个质量为m的小环（可视为质点），同时从大环两侧的 对称位置由静止滑下。两小环同时滑到大环底部时，速度都为v， 则此时大环对轻杆的拉力大小为（） A．（2m+2M）g B．Mg－2mv2/R C．2m(g+v2/R)+Mg D．2m(v2/R－g)+Mg 8．下列各种运动中，属于匀变速运动的有（） A．匀速直线运动 B．匀速圆周运动 C．平抛运动 D．竖 直上抛运动 9．水滴自高处由静止开始下落，至落地前的过程中遇到水平方向吹来的风， 则（） A．风速越大，水滴下落的时间越长 B．风速越大，水滴落地时的瞬时速度越大 C．水滴着地时的瞬时速度与风速无关

圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题(教师版)

圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；

高一物理曲线运动测试题及答案

曲线运动单元测试 一、选择题（总分41分。其中1-7题为单选题，每题3分；8-11题为多选题，每题5分，全部选对得5分，选不全得2分，有错选和不选的得0分。） 1．关于运动的性质，以下说法中正确的是（ ） A ．曲线运动一定是变速运动 B ．变速运动一定是曲线运动 C ．曲线运动一定是变加速运动 D ．物体加速度大小、速度大小都不变的运动一定是直线运动 2．关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（ ） A ．合运动的时间等于两个分运动的时间之和 B ．匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线 C ．曲线运动的加速度方向可能与速度在同一直线上 D ．分运动是直线运动，则合运动必是直线运动 3．关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间（不计空气阻力），以下说法正确的是（ ） A ．速度大的时间长 B ．速度小的时间长 C ．一样长 D ．质量大的时间长 4．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（ ） A ．大小相等，方向相同 B ．大小不等，方向不同 C ．大小相等，方向不同 D ．大小不等，方向相同 5．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2 ，转动半径之比为1∶2 ，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为（ ） A ．1∶4 B ．2∶3 C ．4∶9 D ．9∶16 6．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A 的受力情况是（ ） A ．绳的拉力大于A 的重力 B ．绳的拉力等于A 的重力 C ．绳的拉力小于A 的重力 D ．绳的拉力先大于A 的重力，后变为小于重力 7．如图所示，有一质量为M 的大圆环，半径为R ，被一轻杆固定后悬挂在O 点，有两个质量为m 的小环（可视为质点），同时从大环两侧的对称位置由静止滑下。两小环同时滑到大环底部时，速度都为v ，则此时大环对轻杆的拉力大小为（ ） A ．（2m +2M ）g

圆锥曲线的方程(教师版)

圆锥曲线的方程 一、单选题 1．（2020·全国课时练习）一动圆P 过定点(4,0)M -，且与已知圆22:(4)16N x y -+=相切，则动圆圆心 P 的轨迹方程是（ ） A ．22 1(2)412x y x -= B ．221(2)412 x y x -=- C ．22 1412 x y -= D ．221412 y x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得4PN PM -=，结合双曲线的定义可求出其圆心的轨迹方程. 【详解】 由已知得(4,0)N ，当两圆内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有||||4PN PM =-； 当两圆外切时有||||4PN PM =+，故4PN PM -=，由双曲线的定义知， 点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线，且24,4a c ==，所以224,12a b ==， 故圆心P 的轨迹方程为22 1412 x y -=. 故选：C 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于基础题. 2．（2020·全国课时练习）已知点(,)P x y =P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．双曲线的一支 【答案】B 【解析】 【分析】

根据两点间距离公式化简条件，再根据双曲线定义判断，即可选择. 【详解】 设(1,0),(1,0)A B -，则由已知得||PA PB -=‖∣P 到两个定点A ?B 的距离之差的绝对值等于常 ，又||2AB =2<，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】 本题考查双曲线的定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．（2020·全国课时练习）已知平面上的定点12,F F 及动点M ，甲：12MF MF m -=(m 为常数)，乙：点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义以及必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】 根据双曲线的定义，乙?甲，但甲乙，只有当120m F F <<时，点M 的轨迹才是双曲线. 故选：B. 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了必要不充分条件，属于基础题. 4．（2020·全国课时练习）若方程22 141 y x m -=+表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m -<< B ．1m >- C ．3m > D ．1m <- 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的标准方程列式可得结果. 【详解】

曲线运动综合测试题及答案详解

曲线运动综合检测 一、选择题：（本题共10小题；每小题5分，共计50分.） 1．某质点同时受到在同一平面内的几个恒力作用而平衡，某时刻突然撤去其中一个力，以后这物体将（） ①可能作匀加速直线运动②可能作匀速直线运动 ③其轨迹可能为抛物线④可能作匀速圆周运动 A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④ 2．一只小船在静水中的速度大小始终为5m/s，在流速为3m/s的河中航行，则河岸上 的人能看到船的实际航速大小可能是（） A．1m/s B．3m/s C．8m/s D．10m/s 3．若物体以速度υ进入某空间后，受到一个逐渐减小的合外力的作用，且该合外力 的方向始终是垂直于该物体的速度方向，则物体的运动将是 ( ) A．速率增大，曲率半径也随之增B．速率逐渐减小，曲率半径不变C．速率不变，曲率半径逐渐增大D．速率不变，曲率半径逐渐减小4．某人在距地面某一高度处以初速度v水平抛出一物体，落地速度大小为2v，则它在空中飞行的时间及距地面抛出的高度为 （） A．B．C．D． 5．如图甲所示，在一个向右行驶的车厢内有一高h的货架，货架边缘有一小球。当车突然加速行驶时，小球从货架边缘脱落，若小球下落过程中未与车厢后壁相碰，则以地面为参考系，小球下落时的运动轨迹应是图乙中的 （） 6．下面关 于匀速圆 周运动的 说法正确 的是（） A．匀速圆周运动是一种平衡状态 B．匀速圆周运动是一种匀速运动 C．匀速圆周运动是一种速度和加速度都不断改变的运动 D．匀速圆周运动是一种匀变速运动 7．两个质量不同的小球，被长度不等的细线悬挂在同一点，并在同一水平面内作匀速圆周运动，如图所示。则两个小球的： （） A．运动周期相等B．运动线速度相等

84《圆锥曲线-双曲线》基础知识--教师版

二.双曲线 注意:牢记双曲线的两种定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。

一.过焦点弦长公式的推导(注意分类,不要求记忆,但要熟练推导过程) ㈠焦点在x 轴上: 1.过左焦点且相交于同一支: 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF --=焦点弦a x x e AB 2)(21-+-= 2.过左焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF +=焦点弦a x x e AB 2)(21++= 3.过右焦点且相交于同一支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12a ex AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21-+= 4.过右焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12ex a AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21++-= ㈡焦点在y 轴上:分别同上面的情况 1.过下焦点且相交于同一支 2.过下焦点且相交于两支 3.过上焦点且相交于同一支 4.过上焦点且相交于两支 二.焦点三角形:如图 设若双曲线方程为22 221x y a b -=,21,F F 分别为它的左右焦点,),(00y x P 为双曲线上任意一点,则有: 性质1.若12F PF ,∠=θ则2 cot .2 21θ b S F PF =?;特别地,当12F PF 90∠=时,有2 21b S F PF =? 021y c S PF F ?=? 性质2.双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P 点在双曲线右支时,切点为右顶点。 性质3.双曲线的焦点21F PF ?中,1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β

最新圆锥曲线轨迹问题(教师版)

第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O

专题-圆锥曲线与方程(教师)

专题-圆锥曲线与方程 抓住3个高考重点 重点1 椭圆及其性质 1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>= 椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有 || ,(01)MF e e d =<< 2．求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定2 2 ,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程． （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2 2 ,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？ （1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22 221x y m n += （2）与椭圆2222 221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222 21(,)x y k m k n m k n k +=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22 122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或 22 222 y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略 （1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了． （2）椭圆的离心率2 21c b e a a ==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时， 椭圆越接近于圆， 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2 2 2 a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度] 角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2 1,1(作圆12 2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好 经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14 52 2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1 (1)2 y k x =-+，即22120kx y k -+-=

曲线运动测试题及答案

《曲线运动》单元测试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但选不全的得2分，有选错的得0分） 1．下列说法正确的是（） A．做曲线运动的物体一定有加速度 B．平抛运动是匀变速运动，任意相等时间内速度的变化都相同 C．匀速圆周运动虽然不是匀变速运动，但任意相等时间内速度的变化仍相同 D．当物体受到的合外力为零时，物体仍可以做曲线运动 2．关于合运动和分运动的概念，下列说法中正确的有（） A.合运动一定指物体的实际运动 B.合运动的时间比分运动的时间长 C.合运动与分运动的位移、速度、加速度的关系都一定满足平行四边形定则 D.合运动与分运动是相对来说的，可以相互转化 3. 关于匀速圆周运动的向心力，下列说法错误的是（） A．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的 B．向心力可以是多个力的合力，也可以是其中一个力或一个力的分力 C．对稳定的圆周运动，向心力是一个恒力 D．向心力的效果是改变质点的线速度的方向 4．小船在静水中的速度为5m/s，它要渡过一条宽为50m的河，河水流速为4m/s，则（） A．这只船过河位移不可能为50m B．这只船过河时间不可能为10s C．若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变 D．若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变 5．如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在最高点的速度v0下列说法中错误的是（） A．v gR B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C．当v gR D．当v gR 6．横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示。 它们的竖直边长都是底边长的一半．现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度 向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。下列判断正确的是（） A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短 B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大 C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快 D．无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直 7．质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为l a、l b，如图所示。当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a

圆锥曲线(教师版全套)

圆锥曲线与方程 考纲导读 1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用． 高考导航 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点： 1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容： ①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解． ②圆锥曲线的几何性质的应用． 2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法． 3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现． 4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势． 第1课时椭圆 基础过关

1．椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在． (2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程 (1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12 22 2=+ b y a x ，其中 ( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12 22 2=+b x a y ，其中a ，b 满 足： ． （3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对 12 22 2=+b y a x ,a > b >0 进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ． (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则 =1PF ，1 22PF a PF -== 。 4．焦点三角形应注意以下关系补充画出图形）： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a