高考数学立体几何部分典型例题
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实用文案（一）
1.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表
面积为()．
A．92＋14π B.82＋14π
C．92＋24π D.82＋24π
命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察面积
易错点：（1）三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误
解析由三视图可知：原几何体为一个长方体上面放着半个圆柱，其中长方体的长宽高分别为5,4,4，圆柱的底面半径为2，高为5，所以该几何体的表面积为：S＝5×4＋2×4×4＋2×5×4＋π×22＋12π×2×5×2＝92＋14π.
答案A
2．（本小题满分12分）命题人：贺文宁
如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2.（12分）
(1)求证：AF∥平面CDE；
(2)求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；
(3)求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．
命题意图：线面平行的位置关系，线面角、二面角的求法
易错点：（1）直接建系，不去证明三条线两两垂直（2）数据解错（3）线面角求
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实用文案成正弦值
(1)证明法一取CE的中点为G，连接DG，FG. ∵BF∥CG且BF＝CG，∴四边形BFGC为平行四边形，则BC∥FG，且BC＝FG. ∵四边形ABCD 为矩形，……………………………………..1分
∴BC∥AD且BC＝AD，∴FG∥AD且FG＝AD，
∴四边形AFGD为平行四边形，则AF∥DG. ∵DG?平面CDE，AF?平面CDE，
∴AF∥平面CDE. ……………………………………..3分
(2)解∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，
又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，
BC⊥CE，∴DC⊥平面BCEF. …………………………………….4分
以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， (5)
分
根据题意我们可得以下点的坐标：
A(2,0,4)，B(2,0,0)，C(0,0,0)，D(0,0,4)，E(0,4,0)，F(2,2,0)，则AD→＝(－2,0,0)，
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实用文案DE→＝(0,4，－4)．
设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则?????AD→·n1＝0，DE→·n1＝0，
∴???－2x＝0，4y1－4z1＝0，
取z1＝1，得n1＝(0,1,1)．
∵DC⊥平面BCEF. ……………………………………7分
∴平面BCEF的一个法向量为CD→＝(0,0,4)．
设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，
则cos α＝????????CD→·n1|CD→|·|n1|＝44×2＝22，
因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为22.…………………………………….9分
(3)解根据(2)知平面ADE的一个法向量为
n1＝(0,1,1)，∵EF→＝(2，－2,0)，
∴cos 〈EF→，n1〉＝EF→·n1|EF→|·|n1|＝－222×2＝－12，……………………….10分
设直线EF与平面ADE所成的角为θ，
则cos θ＝|sin 〈EF→，n1〉|＝32，
因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为32.…………………………………….12分
（二）
1.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()．
A．8－2π B．8－π C．8－π 2 D．8－π4
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实用文案
命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积
易错点：（1）三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误
解析这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，且该几何体的高为2，V＝23－12×π×1×2＝8－π，故选B. 答案 B
2.（本小题满分12分）命题人：贺文宁
如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平
面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．
命题意图：异面直线所成角；利用空间向量解决探索性问题
易错点：（1）异面直线所成角容易找错（2）异面直线所成角的范围搞不清
（3）利用空间向量解决探索性问题，找不到突破口
解(1)如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz. 依题意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，
B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(12，1,0)， (1)
分
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实用文案所以NE→＝(－12，0，－1)，
AM→＝(－1,0,1)．…………………………………….2分
设直线NE与AM所成角为θ，
则cos θ＝|cos〈NE→，AM→〉| (3)
分
＝|NE→·AM→||NE→|·|AM→|＝1252×2
＝1010.…………………………………….5分
所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010.
(2)如图，假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，连接AE. 因
为AN→＝(0,1,1)，可设AS→＝λAN→＝(0，λ，λ)，
又EA→＝(12，－1,0)，
所以ES→＝EA→＋AS→＝(12，λ－1，λ)．…………………………………….7分
由ES⊥平面AMN，得????? E S→·AM→＝0， E S→·A N→＝0，即?????－12＋λ＝0，?λ－1?＋λ＝0，
故λ＝12，此时AS→＝(0，12，12)，| A S→|＝22.…………………………………….10分
经检验，当AS＝22时，ES⊥平面AMN.
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实用文案在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝22.………………12分
（三）
1．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为
(
)．
A.233
B.476 C．6
D.7
命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积
易错点：（1）三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误
解析
如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为
V＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233. 答案A
2.（本小题满分12分）命题人：贺文宁
如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．
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实用文案
(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；
(2)求证：PM∥平面AFC；
(3)求多面体CD－AFEB的体积V.
命题意图：面面垂直，线面平行的判定，空间几何体的体积
易错点：（1）判定时条件罗列不到位失分（2）求体积时不会分割
(1)证明∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，…………………………………….1分
又AF?平面ABEF，所以CB⊥AF，
又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，
∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，…………………………………….2分
BF∩CB＝B，
∴AF⊥平面CFB，
又∵AF?平面ADF；
∴平面ADF⊥平面CBF. …………………………………….4分
(2)证明连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵CF?平面AFC，PH?平面AFC，
∴PH∥平面AFC，…………………………………….6分
连接PO，则PO∥AC，
又∵AC?平面AFC，PO?平面AFC，
PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，
∴平面POH∥平面AFC，…………………………………….7分
又∵PM?平面POH，
∴PM∥平面AFC. …………………………………….8分
(3)解多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD 的体积之和
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实用文案在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝32.
所以V C－BEF＝13S△BEF×CB＝13×12×1×32×1＝312，
V F－ABCD＝13S矩形ABCD×EE1＝13×2×1×32＝33，…………………10分
所以V＝V C－BEF＋V F－ABCD＝5312.……………………………………
.12分
（四）
1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________
．．
命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积
解析由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1,2,2，所以几何体的体积为8－23＝223
. 答案223
2.（本小题满分12分）命题人：贺文宁
在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，E是线段AD的中点．如图所示，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD.
(1)求证：C′D⊥平面ABD；
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实用文案(2)求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．
命题意图：空间几何体的“翻折”问题，考察学生空间想象能力和知识迁移能力
易错点：把平面图形转化为空间几何体，数据错误，垂直平行关系错误(1)证明平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，
可知C′D＝CD＝6，BC′＝BC＝10，BD＝8， (2)
分
即BC′2＝C′D2＋BD2∴C′D⊥BD.
又∵平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，
C′D?平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD. …………………………4分
(2)解由(1)知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D－xyz.
则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C′(0,0,6)．……………………
6分
∵E是线段AD的中点，
∴E(4,3,0)，BD→＝(－8,0,0)．…………………………7分
在平面BEC′中，BE→＝(－4,3,0)，BC′→＝(－8,0,6)，
设平面BEC′法向量为n＝(x，y，z)，
∴?????BE→·n＝0，BC′→·n＝0，即???－4x＋3y＝0，－8x＋6z＝0，
令x＝3，得y＝4，z＝4，故n＝(3,4,4)．………………………10分
设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则
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实用文案sin θ＝|cos 〈n，BD→〉|＝|n·BD→||n||BD→|
＝34141.
∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为34141 (12)
分