二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论
教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 .
研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 .
教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 .
基本概念
二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程
2 2 2
a 11x
a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1)
所表示的曲面 .
虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号
F(x,y,z)
F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14
F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44
2 2 2
(x, y,z) a 11x 2
a 22
y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz
1
(x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2
(x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z
2
a 11 x 22
a 22 y a 33 z
2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
3
(x, y,z) a 13x a 23 y a 33z 4
(x,y,z) a 14 x a 24 y a 34 z
即有恒等式成立 : F(x,y,z) xF 1 ( x, y,z) yF 2 (x, y, z) zF 3(x,y,z) F 4(x,y,z)
(x,y,z) x 1(x,y,z) y 2(x, y,z) z 3(x,y,z)
a 11 a 12 a 13 a 14 二次曲面 F(x,y,z) 的系数矩阵
A
a 12
a 22
a 23
a 24
a 13 a 23 a 33 a 34
a 14
a 24 a 34 a 44
a 11 a 12 a 13
而由 (x, y,z) 的系数矩阵为
A
a 12 a 22 a 23
a 13
a 23
a 33
二次曲面(1)的矩阵 A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是 F 1 (x, y,
z) ，
a 11 a 12 a 13
a 11 a 12 a 11 a 13
a 22 a 23
1 a 11 a 2
2 a 3
3 I 2
I 3
a 12 a 22 a 23
a 12 a 22
a 13 a 33
a 23 a 33
a 13 a 23 a 33
a 11 a 12 a 14
a 11 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24
K 2
a 12 a 22 a 24
a 13 a 33 a 34 a 23 a 33 a 34
a 14
a 24
a 44
a 14
a 34
a 44
a 24
a 34
a 44
§6.1 二次曲面与直线的相关位置
2 2 2 F(x, y,z) a 11x a 22 y a 33
z 2a 12xy 2a 13xz
2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
(1)
x x 0 Xt
与过点 (x 0, y 0, z 0 )的直线 y y 0 Yt (2)
z z 0 Zt
将(2)代入(1)得
F 2(x,y,z)， F 3(x, y, z) ， F 4(x,y,z) 的系数。
a 11 a 12 a 13 a 14
a 12 a 22 a 23 a 24
a 13 a 23 a 33 a 34 a 14
a 24
a 34
a 44
K 1
a 11
a 14 a 22
a 24 a 33
a 34
a 14 a 44 a 24 a 44 a 34 a 44
(X,Y,Z)t2 2 XF1(x0,y0,z0) YF2(x0,y0,z0) ZF3( x0 , y0 , z0 ) t F (x0, y0 , z0) 0
(3)
现讨论直线( 2)与二次曲面( 1)相交的各种情况:
1. (X,Y,Z) 0 ,这时方程( 3)是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：XF1(x0,y0,z0) YF2
( x0, y0 ,z0 ) ZF3 ( x0 , y0 , z0 ) 2(X,Y,Z)F(x0,y0,z0)
100 ,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点;
200 ,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点;
300 ,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点
2. (X,Y,Z) 0
10XF1(x0,y0,z0) YF2 ( x0 , y0 , z0) ZF3(x0,y0,z0) 0 ,直线与二次曲面有唯一交点;
20XF1 ( x0 , y0,z0) YF2 ( x0 , y0 , z0 ) ZF3 ( x0 , y0 , z0 ) 0,但F (x0 , y0 , z0 ) 0 直线与二次曲面无交点
30XF1( x0 , y0 , z0 ) YF2(x0,y0,z0) ZF3(x0,y0,z0) 0,且F(x0, y0) 0 ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.
§6.2 二次曲面的渐进方向与中心
1. 二次曲面的渐进方向
定义 5.2.1: 满足(X,Y,Z) 0的方向X :Y：Z 称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.
对于给定的二次曲面F(x,y,z) a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz
2a23 yz 2a14x 2a24 y 2a34z a44 (1)
x x0 Xt
和过点(x0, y0, z0 )的直线y y0 Yt (2)
z z0 Zt
当X : Y ：Z为曲面( 1)的渐进方向时，直线( 2)与曲面(1)总有两个交点；
当X :Y :Z 为曲面( 1)的渐进方向时，直线( 2)与( 1)或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。
2. 二次曲面的中心
当X :Y:Z 为二次曲面的非渐进方向时, 即当
(X,Y) a11X 2 2a12 XY a22Y2 0
x x0 Xt
以非渐进方向为方向的直线y y0 Yt 与二次曲面交于两个点,由这两点决z z0 Zt 定的线段叫二次曲面的弦.
定义 6.2.2 :若点C是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C 是二次曲面的对称中心, 那么点C叫做二次曲面的中心.
定理 6.2.1 若点C( x0 , y0 ,z0)是二次曲面的中心,其充要条件是:
F1(x0,y0,z0) a11x0 a12y0 a13z0 a14 0
F2(x0,y0,z0) a12x0 a23y0 a23z0 a24 0 ( 6.2-1)
F3(x0,y0,z0) a13x0 a23y0 a33z0 a34 0
推论坐标原点是二次曲面的中心, 其充要条件是曲面的方程不含有x,y,z 的
一次项
F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 0 二次曲面的中心坐标，由方程组
F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 0 ( 6.2-2)
F 3(x,y,z) a 13x a 23y a 33z a 34 0
解，二次曲面（ 1）有惟一中心。
20 r R 2 ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。曲面有 无数个中心，这些中心构成一条直线。
30 r R 1，（ 6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。曲面有 无数个中心，这些中心构成一个平面。
40r R ，（ 6.2-2）无解，这时二次曲面（ 1）无中心。
定义 6.2.3 : 有唯一中心的二次曲面叫 中心二次曲面 , 没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面 , 有无数中心构成一条直线的二次曲面叫 线心二次曲面 , 有无数中 心构成一平面的二次曲面叫 面心二次曲面 , 二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面 心曲面统称为 非中心二次曲面 .
推论 二次曲面（ 1）成为中心二次曲面的充要条件为 I 3 0 ，成为非中心
二次曲面的充要条件为 I 3 0
所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为
a 11 a 12 a 13
a 11 a 12 a 13
A
a 12 a 22 a 23
，B
a 12 a 22 a 23
a 13 a 23 a 33
a 13 a 23 a 33
10 r
R 3 ，这时方程组的系数行列式
a 11 a 12 a 13
3
a 12 a 22 a 23 0 ，方程组有惟
一
a 13
a 23
a 33
例1
椭球面
222
xyz
z
2 1 与双曲面 x
2
c 2 2 2 yz b
2
2
1的 I 3分别为
c
1
1
2
0 0
2
0 0 a
a
1
2
2 2 2
0 与
1
2
b 2
a 2
b 2c
2
b 2
1 2
1 2
c
c
1
决定，方程组（ 6.2-2）叫做二次曲面（ 1）的 中心方程组 。
根据（ 6.2-2 ）的系数矩阵 A 与增光矩阵 B
a 24 的秩 r 与 R ，有：
a 34
a
ab
222
abc
22
x
F 1( x, y, z)
2
a 与 F 2(x,y,z) y
2 0 b
F 3(x,y,z) 2 0
c
因此，它们的中心都是坐标原点( 0，0 ，0)
22
例2 抛物面
a
x 2 b
y 2 2z .
00
12 0 0 ， 所 以 抛 物 面 为 非 中 心 二 次 曲 面 ， 它 的
b
2 00
F 3(x, y, z) 1，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。
例 3 对于曲面 y 2 z 2 c 2 0
000
I 3= 0 1 0 0 ，所以他是非中心二次曲面，但由于 F 1(x,y,z) 0 001
y0
F 2( x, y, z) y F 3 (x, y, z) z ，所以曲面有一条中心直线
，所给曲面为线心曲面。
z0
(曲面实际上是一个圆柱面，中心直线就是它的对称轴。 )
作业： P 2542,4,6,8
x F 1(x,y,z) 2 0 a y F 2 (x,y,z) 2 0 b F 3(x,y,z) z
2 0
c
其I
1 2 a 0 0
§ 6.3 二次曲面的切线与切平面
定义 6.3.1: 直线与二次曲面相交于互相重合的两个点, 那么这条直线叫二次曲面的切线. 重合的交点称之为切点.
特殊情形: 直线全部在二次曲面上, 亦称之为二次曲面的切线, 直线上每一点均是切点.
(二次曲面的直母线线也是切线。 )
一. 通过曲面上点( x0, y0, z0 )的切线方程
2 2 2
F(x, y,z) a11x a22 y a33z 2a12 xy 2a13 xz
2a23yz 2a14x 2a24 y 2a34z a44 0 (1)
x x0 Xt
通过曲面( 1)的点(x0, y0, z0 )的直线y y0 Yt (2)
z z0 Zt
1. 直线( 2)曲面( 1)相交于连个重合点的充要条件：
(X,Y,Z) 0 XF1 (x0 , y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 (x0 , y0 , Z0 ) 0
2. 直线( 2)整个属于曲面( 1)的充要条件：
(X,Y,Z) 0 XF1 (x0 , y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 (x0 , y0 , Z0 ) 0
综合1、2、两种情况：通过曲面( 1)上的点( x0, y0 , z0)的直线( 2)成为曲面在这个点处的切线的充要条件是：
XF1(x0,y0,Z0) YF2(x0,y0,Z0) ZF3(x0,y0,Z0) 2 0 (3)
10，F1(x0,y0,z0)，F2(x0,y0,z0) ，F3(x0,y0,z0)不全为零。由( 2)得X：Y：Z (x x0):(y y0):(z z0 ) ，代入( 3)得
(x x0)F1(x0,y0,Z0) (y y0)F2(x0,y0,z0) (z z0)F3(x0,y0,Z0) 0 (6.3-1 ) 定义 6.3.2 二次曲面在一点处的一切切线上的点构成的平面叫做二次曲面的切平面，这一点叫切点。
20F1(x0,y0,z0)，F2(x0, y0,z0) ，F3( x0, y0 ,z0)全为零。( 3)恒成立，它被任何的方向
X :Y: Z所满足，因此通过点( x0 , y0, z0)的任何一条直线都是二次曲面的切线。定义6.3.3 二次曲面( 1)上满足条件
F1(x0,y0,z0) F2(x0,y0,z0) F3(x0,y0,z0) 0的点( x0 , y0, z0 )叫做二次曲面( 1)
的奇异点，简称奇点，二次曲面的非奇异点叫做二次曲面的正常点定理 6.3.1如果( x0 , y0 , z0 )是二次曲面(1)的正常点,那么曲面在点(x0,y0,z0)处存在惟一的切平面，它的方程是( 6.3-1)
推论如果( x0 , y0 , z0 )是二次曲面( 1)的正常点,那么在( x0 , y0, z0 )处曲面的切平面方程是:
a11x0 x a22 y0y a33z0z a12(x0y y0x) a13(x0z xz0)
6.3-3 )
a23(y0z yz0) a14(x x0) a24 (y y0) a34 (z z0) a44 0
例求二次曲面F(x,y,z) x2 y2 z2 4xy 4xz 4yz 2x 2y 2z 18 0
在点(1,2,3) 的切平面方程
解法一因为 F (1,2,3) 1 4 9 8 12 24 2 4 6 18 0 ，所以点(1,2,3)
F1(x,y,z) x 2y 2z 1
在二次曲面上，又因为F2(x,y,z) 2x y 2z 1，
F3( x, y,z) 2x 2y z 1
所以F1(1,2,3) 8，F2 (1,2,3) 5，F3(1,2,3) 2，这说明(1,2,3) 是已知曲面上的正常点，所以根据公式( 6.3-1 )得曲面在点(1,2,3) 处的切平面方程为
8(x 1) 5(y 2) 2(z 3) 0，即8x 5y 2z 24 0
解法二由解法一知(1,2,3)是已知曲面上的正常点，所以根据公式( 6.3-3 ) 得所求切平面的方程是
x 2y 3z 2(2x y) 2(3x z) 2(3y 2z) (x 1) (y 2) (z 3) 18 0
即8x 5y 2z 24 0
作业: P258 3,5,6,8
§ 6.4 二次曲面的径面与奇向
本节讨论二次曲面F(x,y,z) a11x2 a22y2 a33z2 2a12 xy 2a13xz
2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44 (1)
的平行弦的中点轨迹。
定理 6.4.1 二次曲面的一族平行弦的中点的轨迹是一个平面
证明：设X :Y :Z 为二次曲面的任意一个非渐进方向，而( x0 , y0 ,z0)为平行于
x x0 Xt
方向X :Y: Z的任意弦的中点，那么弦的方程可以写成y y0 Yt (2)
z z0 Zt 面弦的两端点是由二次方程
(X,Y,Z)t2 2 XF1(x0,y0,z0) YF2(x0,y0,z0) ZF3( x0 , y0 , z0 ) t F (x0, y0 , z0) 0 的两根t1和t 2所决定，因为(x0,y0,z0) 为弦的中点的充要条件是t1 t2 0，即XF1(x0 , y0, z0 ) YF2 ( x0 , y0 , z0 ) ZF3(x0,y0,z0) 0 ，把上式中的(x0,y0,z0) 改写为(x,y,z) 便得平行弦中点的轨迹方程为XF1( x, y, z) YF2( x, y, z) ZF3(x, y, z) 0 ( 6.4-1)即
X(a11x a12 y a13z a14 ) Y(a12x a22 y a23z a24) Z(a13x a23y a33z a34) 0
(a11X a12Y a13Z)x (a12 X a22Y a23Z ) y
(a13X a23Y a33Z)z (a14 X a24Y a34Z) 0
即1(X,Y,Z)x 2(X,Y,Z)y 3(X,Y,Z)z 4(X,Y,Z) 0 (6.4-2)
因为X :Y: Z为非渐进方向，所以有
(X,Y,Z) X 1(X,Y,Z) Y 2(X,Y,Z) Z 3(X,Y,Z) 0
因此1(X,Y,Z)，2(X,Y,Z)，3(X,Y,Z)不全为零，所以( 6.4-2)或( 6.4-1)为一个三元一次方程，它代表一个平面。
定义 6.4.1 二次曲面的平行弦的中点轨迹，就是( 6.4-1)或( 6.4-2)所代表的平面，叫做共轭于平行弦的径面。而平行弦叫做这个径面的共轭弦，平行弦的方向
叫做这个径面的共轭方向。
定理 6.4.2 二次曲面的任何径面一定通过它的中心（假如曲面的中心存在的话）推论 1 线心二次曲面的任何径面通过他的中心线。
推论 2 面心二次曲面的径面与它的中心平面重合。
如果方向X :Y : Z为二次曲面（1）的渐进方向，那么平行与它的弦不存在，但如果仍有1（X,Y,Z），2（X,Y,Z），3（X,Y,Z）不全为零，那么方程（ 6.4-2）任然表示一个平面，我们把这个平面叫做共轭于渐进方向X :Y:Z 的径面。如果
1（x,y,z） a11X a12Y a13Z 0
2（x,y,z） a12X a22Y a23Z 0 （3）
3（x,y,z） a13X a23Y a33Z 0
那么方程（ 6.4-2）不表示任何平面。
定义 6.4.2 满足条件（3）的渐进方向X :Y:Z 叫做二次曲面（1）的奇异方
向，简称奇向。
定理 6.4.3 二次曲面（1）有奇向的充要条件是I3 0
推论中心二次曲面而且只有中心二次曲面没有奇向。
定理 6.4.4 二次曲面的奇向平行于它的任何径面。
证设二次曲面（ 1 ）的奇向为X0:Y0:Z0 ，那么
1(X0,Y0,Z0) 2(X0,Y0,Z0) 3(X0,Y0,Z0) 0 因此
X0 1(X,Y,Z) Y0 2(X,Y,Z) Z0 3(X,Y,Z)
X0(a11X a12Y a13Z) Y0(a12X a22Y a23Z) Z0(a13 X a23Y a33Z)
X(a11X0 a12Y0 a13 Z0 ) Y(a12 X0 a22Y0 a23 Z0 ) Z(a13X0 a23Y0 a33Z0) X 1(X0,Y0,Z0) Y 2(X0,Y0,Z0) Z 3(X0,Y0,Z0)
所以二次曲面的奇向X0 :Y0 : Z0平行于它的任意径面（ 6.4-2）
2 2 2
例1 求单叶双曲面x2y2z21的径向
abc
解因为单叶双曲面为中心曲面，即I3 0 。所以它没有奇向，任取方向
X Y Z
X :Y:Z ，那么1(X,Y,Z) 2 ，2(X,Y,Z) 2 ，3(X,Y,Z) 2 ，a b c
X Y Z
4(X,Y,Z) 0 ，所以单叶双曲面共轭于方向X :Y:Z 的径面为2x 2y 2z 0 ， a b c
显然它通过曲面的中心(0,0,0) 。
22 例 2 求椭圆抛物面x2y22z的径面。
ab
解因为椭圆抛物面为无心曲面，I3 0 ，所以曲面有奇向X0 : Y0 : Z0，因为XY
1(X,Y,Z) 2 2(X,Y,Z) 2 3(X,Y,Z) 0 ，所以曲面的奇向为ab
X0 :Y0 :Z0 0 : 0 : 1，任取非齐方向X :Y:Z ，又有3(X,Y,Z) Z ，因此根据 (604-2)椭圆抛物面共轭于非齐方向X :Y:Z 的径面为X2x Y2y Z 0，显然它a2b2
平行于奇向0:0:1
作业: P262 1(3),2,4
§ 6.5 二次曲面的主径面与主方向，特征方程与特征根
定义 6.5.1 主径面 :如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向，那么这个径 面就叫做二次曲面的 主径面 。
定义 6.5.2 主方向: 二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向） ， 或者二次曲面的奇向，叫做二次曲面的 主方向
设二次曲面为 F （x,y,z ） a 11x 2 a 22y 2 a 33z 2 2a 12xy 2a 13xz
2a 23 yz 2a 14x 2a 24 y 2a 34 z a 44
方向 X :Y : Z 如果是（ 1）的渐进方向，那么它成为（ 1）的主方向的条件是
a 11X a 12Y a 13Z 0 a 12X a 22Y a 23Z 0 a 13X a 23Y a 33Z 0
成立，即 X :Y :Z 必须是（ 1）的奇向
如果 X :Y :Z 是（1）的非渐进方向，那么它成为（ 1）的主方向的条件是与
它的共轭径面
(a 11X a 12Y a 13Z)x (a 12X a 22Y a 23Z)y
(a 13X a 23Y a 33Z)z (a 14 X a 24Y a 34Z) 0
垂直，所以有 (a 11X a 12Y a 13Z):(a 12X a 22Y a 23Z):(a 13X a 23Y a 33Z) X :Y :Z
a 11X a 12Y a 13Z
X
从而得 a 12X a 22Y a 23Z Y
a 13 X a 23Y a 33Z Z
显然，如果在（ 6.5-1）中取 0 ，那么就得到（ 2），因此方向 X :Y: Z 成为 二次曲面（ 1）的主方向的充要条件是存在 使得（ 6.5-1）成立，把（ 6.5-1）改写
（a 11
）X
a 12Y
a 13Z 0
成 a
12
X
（a
22 ）Y
a
23Z
（6.5-2）
a 13 X
a 23Y （a 33 ）Z 0
这是 一个 关于 X,Y,Z 的 其次 线性方程 组，因此 X,Y,Z 不 能全 为零，因 此
a 11 a 12 a 13
a 12 a 22
a 23
(6.5-3)
a 13
a 23
a 33
(1)
2）
3）
6.5-1)
定义 6.5.3 方程（ 6.5-3）或（6.5-4）叫做二次曲面的特征方程，特征方程的根叫做 二次曲面的特征根。
从特征方程（ 6.5-3）或（ 6.5-4）求得特征根 ，代入（ 6.5-1）或（ 6.5-2），就 可以求出相应的主方向 X,Y,Z ，当 0时，与它相应的主方向为二次曲面的奇向； 当 0时，与它相应的主方向为非奇主方向，将非奇主方向 X :Y: Z 代入（ 6.4-1） 或（6.4-2）就得共轭于这个非奇主方向的主径面。
例 1 求二次曲面 3x 2 y 2 3z 2 2xy 2xz 2yz 4x 14y 4z 23 0 的主方
二次曲面的特征方程为 3 7 2 12 0 ，所以特征根为
4,3,0
XYZ0
1 将 4代入（ 6.5-2）得 X 3Y Z 0 XYZ0
解该方程组得对应于特征根 4的主方向为 X :Y :Z 1:0:（ 1） ，将其代入（6.4-1） 或者（ 6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：
xz0
YZ0
2 将
3代入（ 6.5-2）得 X 2Y Z 0
XY0
解该方程组得对应于特征根 3的主方向为 X :Y:Z 1:（ 1） :1 ，将其代入（6.4-1）
或者（ 6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：
x y z 1 0
即 3 I 1 2 I 2 I 3 0 6.5-4)
向与主径面。
解 这个二次曲面的矩阵是
3
1
3
11
1
2
1 1
1 31
3
3
1
1
2 1 1 1 7
，则 I 1 3 1 3 7
1
1 3 2
2
7
2
23
3 1 1
12 ，I 3
1 1 1 0
1
1
3
3X Y Z 0
3 将0代入（ 6.5-2）得X Y Z 0
X Y 3Z 0 解该方程组得对应于特征根0的主方向为
X :Y :Z
曲面的奇向二次曲面特征根的性质：
定理 6.5.1 二次曲面的特征根都是实数。
定理 6.5.2 特征方程的三个根至少有一个不为零，非奇主方向。
推论二次曲面至少有一个主径面
作业: P269 1(1) (4),21 : 2 : 1 ，这一主方向为二次因而二次曲面总有一个
§ 6.6 二次曲面方程的化简与分类
本节利用空间直角坐标变换,讨论二次曲面的化简与分类。
一.空间直角坐标变换
设在空间给出了两个由标架O;i, j,k 与O;i ,j ,k 决定的右手直角坐标系，为了叙述方便，我们把前面的一个叫做旧坐标系，后面的一个坐标系叫做新坐标系。它们之间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标，以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定。在这里我们先讨论两种特殊的坐标变换，然后研究一般坐标变换
（1）移轴
设标架O;i, j,k 与O;i , j ,k 的原点O与O 不同，O 在极坐标系下的坐标为
（x0 , y0, z0），但是i i ，j j ，k k ，这时新坐标系可以看成由O;i, j,k 平移到使O 与O 重合而得来，我们把这种情况下的坐标变换叫做移轴。
设P 为空间任意一点，它在O;i, j,k 与O;i , j ,k 下的坐标分别是（x,y,z）与（x,y,z），那么OP xi yj zk，（1）
OP xi yj zk xi yj zk （2）
此外又有OO x0i y0 j z0k （3）
OP OO OP
将（1）（2）（3）三式代入（4）得xi yj zk （x x0）i （y y0）j （z z0）k
z z z0
6.6-1)
这就是空间直角坐标系的移轴公式。
从（ 6.6-1）解出（x,y,z）就得到用旧坐标表示新坐标的坐标变换公式，即移轴的x x x0 逆变换公式y y y 0
z z z0
（2）转轴
设两个右手标架O;i, j,k 与O;i , j ,k 的原点相同，但坐标向量不同，这时新坐标系可以看成由旧坐标系绕原点旋转，使得i, j,k 分别与i , j ,k 重合得到的，我们把这种情况下的坐标变换叫做转轴。
具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴之间的交角来
决定，列表如下：
i icos 1 1 1
从表( 5)我们知道j icos 2 jcos 2 kcos 2 ( 6)
k icos 3 j cos 3 kcos 3
设空间任意一点P，它的旧坐标为(x,y,z) ，在新坐标系内的坐标为(x,y,z) ，那么有空间直角坐标变换的转轴公式：
x x cos 1 y cos 2 z cos 3
y x cos 1y cos 2 z cos 3 ( 6.6-3 )
x x cos1 y cos 2 z cos 3
转轴的逆变换公式为：
x xcos 1ycos 1zcos 1
y xcos 2ycos 2zcos 2
z xcos 3ycos 3zcos 3
(6.6-4 )
转轴的正交条件
2 2 2
cos
1
cos
2
cos
3
1
cos 2 1 cos 2 2 cos 2 3 1
cos 2 1 cos 2 2 cos 2 3 1
cos 1 cos 1 cos 2 cos 2 cos 3cos 3 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 2 cos 3 cos 3 0
3)一般变换公式
O;i, j,k 决定的旧坐标系与由标架 O;i , j ,k 决定的新
坐标系，且 O 在旧坐标系的坐标为 (x 0, y 0, z 0 ) ，两坐标系的坐标轴之间的交角由表 格(5)决定，那么在这种一般情况下，由旧坐标系变换到新坐标系可以分两步来 完成，可以先移轴，使原点 O 与坐标系的原点 O 重合，变成辅助坐标系 O x y z 然后再由辅助坐标系转轴变到新坐标系。
则空间直角坐标变换的一般公式为：
x x cos 1 y cos 2 z cos 3 x 0 y x cos 1 y cos 2 z cos 3 y 0 ( 6.6-8 )
x
x cos 1 y cos
2
z cos 3
z 0
上式的逆变换公式是：
x (xx 0 ) cos 1 (y y 0)cos 1 (z z 0)cos 1 y (x x 0) cos 2 (y y 0)cos 2 (z z 0)cos 2 ( 6.6-9 )
z
(x x 0)cos
3
(y
y 0)cos
3
(z z 0 ) cos
3
注：它们的系数分别满足正交条件( 6.6-5 )(6.6-6 )，它们的系数行列式都等
6.6-5 )
cos 1 cos 1 cos 2cos 2 cos 3 cos 3 0
cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 1 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 2 1
与
cos 2 3 cos 2 3 cos 2 3 1 cos 1cos 2 cos 1 cos 2 cos 1cos 2 0
cos 2cos 3 cos 2 cos 3 cos 2 cos 3 0 cos 3cos 1 cos 3 cos
1
cos 3cos 1 0
6.6-6 )
又因为 (ijk ) (i j k ) 1，可得( 6.6-3 )与( 6.6-4 )的系数行列式
cos 1 cos 1 cos 1
cos 2 cos 2
cos 2 1
cos 3 cos 3
cos 3
6.6-7 )
设在空间给出了由标架 cos 1 cos 2 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3
解析几何教案 第六章 二次曲面的一般理论
[9]
于 1.
二. 二次曲面的化简与分类
定理 6.6.1 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列五个简化方程 中的一个：
2 2 2 ( )a 11x a 22
y 2a 34z
0, 22 ( )a 11x a 22 y
a 44 0,
a 11a 22 0;
2 ( V)a 11x
2a 22y 0, a 11a 24 0; 2
(V)a 11x a 44 0,
a 11 0;
定理 6.6.2 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列十七种标准方 程的一种形式：
[1]
2
x
2 a
2 y 2 b 2
2 z 2 2 c
2
2
2
x
y 2
z 2
2
2
2
a
b
c
2
2
2
x
y 2
z 2
2
2 2
a
b
c
2
2 2
x y
z 2
2
2
a
b
c
2 2
2
x
y 2
z 2 2
2
a
b
c
2
2
2
x
y 2
z 2
2
2
a
b
c
2
2
x 2
y 2 2
2z
a
b 2
2 2
x 2
y
2
2z
a b 2
2
2
x
2 y 2 2
1
a
b 2
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
1
1
1
（椭球面 ） （虚椭球面 ）
（点或称虚母线二次锥面 ） （ 单叶双曲面 ） （双叶双曲面 ） （二次锥面 ） （椭圆抛物
面
（双曲抛物
面
（椭圆柱
面 ）
( )a 11x a 22 y a 33z a 44 0, a 11a 22a 33
0;
a 11a 22a 34 0;
解析几何教案第六章二次曲面的一般理论22
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
作业：a
x2 b y2
22
a x
2
2 b y22 0
（虚椭圆柱
面）
（交于一条实直线的一
对
22
x2y21 （双曲柱面）
a
2
b
2
（一对相交平
面）
x2 2py （抛物柱面）
x2 a2（一对平行平面）
x2a2（一对平行的共轭虚平
面）
x2 0 （一对重合平面）
P2861,2,3
共轭虚平
面）
§ 6.7 应用不变量化简二次曲面的方程
一. 不变量与半不变量
2 2 2 F(x, y,z) a 11x a 22 y a 33
z 2a 12 xy 2a 13 xz
2a 23 yz 2a 14x 2a 24 y 2a 34 z a 44 0 (1)
定义: 由(1) 式的左端 F(x,y,z) 的系数组成的一个非常数函数 f,如果经过直角坐标 变换
( 6.6-8)， F(x,y,z) 变为 F (x,y,z)时，有 f(a 11,a 12,...,a 44) f (a 11,a 12,...,a 44)，那 么这个函数 f 就叫做二次曲面( 1)在直角坐标变换( 6.6-8)下的 不变量 。如果这个函数 f 只
是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲面( 1)在直角坐标变换下的 半不变量。
定理 6.7.1 二次曲面( 1)在空间直角坐标变换下，有四个不变量
I 1,I 2,I 3,I 4 与两个半
不变量
K 1,K 2 ，即
K 1
a 11 a 14 a 22 a 24
a 33 a 34
a 14 a 44
a 24 a 44
a 34 a 44
a 11 a 12 a 14
a 11 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24
K 2
a 12 a 22 a 24
a 13 a 33 a 34 a 23 a 33 a 34
a 14
a 24
a 44
a 14
a 34
a 44
a 24
a 34
a 44
推论 在直角坐标变换下，二次曲面的特征方程不变，从而特征根也不变。
定理 6.7.2 K 1是第 V 类二次曲面在直角坐标变换下的不变量，而 K 2 是第 III ， 第Ⅳ与
I 3 a 12
a 22
a 11
a 12
a 12 a 22 a 13 a 23 a 14 a 24
a 13 a 14
a 23 a 24
a 33 a 34 a 34 a 44
I 1 a 11 a 22 a 33
a 11 a 12
a 13 a 23
a 13 a 23
a 33
大班科学(数学)：图形二次分类
大班科学（数学）：图形二次 分类 活动设计意图： 图形二次分类主要让幼儿和教师一起通过图形的形状不同、 颜色不同来分类进行二次分类，再让幼儿二二合作进行分类，根 据图形的形状不同、颜色不同、大小不同进行二次分类。整个活 动采用了三种方法：游戏法、语言讨论法、尝试操作法。1、游戏法：通过“分家家”游戏，达到在玩中学的目的。在游戏中发展 幼儿的思维，变被动为主动。即使知识上得到了巩固和深化，又 使幼儿的分析、比较、概括能力得到了提高。2、语言讨论法：在 数学教育中，讨论是一种常用的方法，但是，讨论的时机选在操 作的不同时间，就会对幼儿的具体操作及思维活动起不同的作用。引导幼儿先讨论用什么方法分类，操作后，再一次请幼儿讨论。 这样，通过不断的交流与讨论，加上教师的帮助归纳，使幼儿在 自己的头脑中形成二次分类的概念。3、尝试操作法：在数学教学 中必须强调让幼儿亲手操作材料。在实际的操作中探索和学习， 获得有关数学概念的感性经验。幼儿只有在“做”的过程中与材 料的相互作用的过程，才可能对某一数学概念属性或规律有所体验，才可能获得直接的经验。在最后的操作活动中，给幼儿投放 了充足丰富的操作材料，并通过商量，一个分一个记录的环节进
行互助学习，对二次分类再一次进行经验归纳。 活动目标： 1、学习按图形的两种(三种)不同特征进行二次分类。 2、培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 活动准备： 第一次操作：颜色2种圆形、正方形图片若干个，第二次操作：颜色2种，大小不同的三角形、正方形图片每二位幼儿一份。分类图。 活动重点： 能根据图形的不同特征进行二次分类。 活动难点： 引导幼儿合作进行分类并记录。 活动过程： 活动过程 幼儿活动 设计意图 教学评价 一 、 开始部分：闯关游戏引发幼儿活动兴趣。 1、老师带领一起去图形宝宝家做客。
大班数学活动图形的二次分类教案反思
（封面） 大班数学活动图形的二次分类教案反思 授课学科： 授课年级： 授课教师： 授课时间： XX学校
设计意图： 大班幼儿的认知、操作、逻辑思维能力在不断提高，同时，他们不 仅仅满足于老师所告诉的、所传授的，他们更希望通过自己的能力加以 证实。因此，他们对操作比较感兴趣。目前，我班幼儿已经基本能单独 进行图形、事物的一级分类，但是对事物图形进行二次分类有点困难。 而数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科。在我选择的“二次分类”这 个数学活动时，我是考虑到，老师们习惯于仅以幼儿认识事物是从具体 到抽象这一特点为依据，只强调直观性，在活动中教师常运用教具演示，并以此为基础讲解基本的数学概念，而实际上，幼儿数学概念的形成不 是通过听老师讲、看老师演示所能解决得了的，必须通过幼儿自己主动 活动的过程。“图形二次分类”主要让幼儿和教师一起通过图形的特征 进行一次分类，再进行第二次分类，等幼儿初步掌握好二次分类的方法后，我们再进行一次直接的二次分类，我希望提供给幼儿充分的操作材料，再加以引导，一步一步深入，使幼儿真正在操作过程中去发现、归 纳“图形的二次分类”的特征。 教学目标： 1、学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 2、大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征，培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 3、能按要求操作，形成良好的操作习惯。 4、引导幼儿积极与材料互动，体验数学活动的乐趣。 5、培养幼儿比较和判断的能力。
教学重点难点： 教学重点：学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 教学难点：大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征，培养幼 儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 教学准备： 幼儿操作材料人手两份，磁性板(板上画好房子、房间)、含两种特 征的图形、标记。 教学方法： 整个活动采用了三种方法：游戏法、语言讨论法、尝试操作法。 1、游戏法：通过“图形宝宝分家”的游戏，达到在玩中学的目的。在游戏中发展幼儿的思维，变被动为主动。即使知识上得到了巩固和深化，又使幼儿的分析、比较、概括能力得到了提高。 2、语言讨论法：在数学教育中，讨论是一种常用的方法，但是， 讨论的时机选在操作的不同时间，就会对幼儿的具体操作及思维活动起 不同的作用。引导幼儿先讨论用什么方法分类，操作后，再一次请幼儿 讨论。这样，通过不断的交流与讨论，加上教师的帮助归纳，使幼儿在 自己的头脑中形成二次分类的概念。 3、尝试操作法：在数学教学中必须强调让幼儿亲手操作材料。在 实际的操作中探索和学习，获得有关数学概念的感性经验。幼儿只有在“做”的过程中与材料的相互作用的过程，才可能对某一数学概念属性 或规律有所体验，才可能获得直接的经验。在最后的操作活动中，给幼 儿投放了充足丰富的操作材料，并通过商量，一个分一个记录的环节进
二次型的几何分类及其应用
二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，
并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵
常见的空间曲面与方程
常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8
例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z
电气二次图纸识图与标号知识
电气二次图纸识图与标号知识 1.1 图形符号的意义按《变电站值班员》一书后的图形符号，记忆常见符号：常闭接点、常开接点、延时打开与延时闭合接点的区别、按钮、线卷的符号、接触器的触点、电阻等。 1D、2D、3D等屏、柜或端子箱内端子排上的端子符号，1n、2n、1-1n等为各装置的端子。 1.2二次回路的标号及标号的规律为便于安装、运行和维护，在二次回路的所有设备之间的连线都要进行标号，这就是二次回路标号。标号一般采用数字或数字和文字的组合，它表明了回路的性质和用途。在图纸展开图的每个元件（触点、线圈、端子排的端子等）之间的线段都标号（常叫回路编号），回路标号通常能表明该回路的用途。在屏柜或端子箱的端子排的端子接线头处均有回路标号（保护人员称为端子黑头上），此处的回路标号与图纸展开图的回路标号对应。在同一个间隔，回路标号相同的端子、引线在电气上连接的电阻为零，即互相之间用导线连接。熟记下列常用的回路标号：1：控制回路电源的正极。如主变有三侧开关，则三侧开关的控制回路电源的正极分别为101、201、301。 2：控制回路电源的正极。 701：信号回路电源的正极。 702：信号回路电源的正极。A4XX、B4XX、C4XX、N4XX：为CT二次电流回路的A、B、C、N相。特点为标号以4开头。A6XX、B6XX、C6XX、N6XX：为CT二次电压回路的A、B、C、N相。特点为标号以6开头。其中A630、B630、C630为Ⅰ母电压，其中A640、B640、C640为Ⅱ母电压。如本站有多个电压等级，则在630和640后增写Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，分别表示本站高压、中压、低压的母线电压回路。 901、902、903…..或J901、J902、J903、…..等为信号回路。 7、37、107、137，3、33、133、233一般为开关控制回路的跳闸或合闸回路。 1、二次回路标号的基本原则是什么？回路标号的基本原则是：凡是各设备间要用控制电缆经端子进行联系的，都要按回路编号的原则进行标号。此外，某些装设备在屏顶的设备与屏内设备进行连接，也需要经过端子排，此时屏顶设备就可看作是屏外设备，而在其连线上同样按回路编号原则给以相应的标号。为了明确起见，对直流回路和交流回路采用不同的标号方法，而在交、直流回路中，对各种不同用途的回路又赋予不同的数字符号。因此在二次回路接线图中，我们看到标号后，就能知道这一回路的性质而便于维护和检修。 2、二次回路标号的基本方法是什么？答：（1）用三位或三位以上的数字组成，需要标明回路的相别或某些主要特征时，可在数字标号的前面（或后面）增注文字符号。（2）
二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 . 研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 . 教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 . 基本概念 二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程 2 2 2 a 11x a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1) 所表示的曲面 . 虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号 F(x,y,z) F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44 2 2 2 (x, y,z) a 11x 2 a 22 y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 1 (x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2 (x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z 2 a 11 x 22 a 22 y a 33 z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1） 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 ≡ ),,(z y x F 44 342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡ yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ
幼儿园大班数学：图形的二次分类
幼儿园大班数学：图形的二次分类 幼儿园大班数学：图形的二次分类 一、设计意图：大班幼儿的认知、操作、逻辑思维能力在不断提高，同时，他们不仅仅满足于老师所告诉的、所传授的，他们更希望通过自己的能力加以证实。因此，他们对操作比较感兴趣。目前，我班幼儿已经基本能单独进行图形、事物的一级分类，但是对事物图形进行二次分类有点困难。而数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科。在我选择的&ldqu;二次分类&rdqu;这个数学活动时，我是考虑到，老师们习惯于仅以幼儿认识事物是从具体到抽象这一特点为依据，只强调直观性，在活动中教师常运用教具演示，并以此为基础讲解基本的数学概念，而实际上，幼儿数学概念的形成不是通过听老师讲、看老师演示所能解决得了的，必须通过幼儿自己主动活动的过程。&ldqu;图形二次分类&rdqu;主要让幼儿和教师一起通过图形的特征进行一次分类，再进行第二次分类，等幼儿初步掌握好二次分类的方法后，我们再进行一次直接的二次分类，我希望提供给幼儿充分的操作材
料，再加以引导，一步一步深入，使幼儿真正在操作过程中去发现、归纳&ldqu;图形的二次分类&rdqu;的特征。 二、教学目标： 1、学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 2、大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征，培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 3、能按要求操作，形成良好的操作习惯。
活动重点：学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 活动难点：大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征，培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 三、教学准备： 幼儿操作材料人手两份，磁性板（板上画好房子、房间）、含两种特征的图形、标记。 四、教学方法
图形的二次分类
大班数学“二次分类”说课稿 南勋幼儿园宋敏 一、教材分析 人是一个能动的个体，学习是学习者主动建构的过程。社会的发展也强烈需要发展幼儿的主动性和创造性。而数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科。在我选择的“二次分类”这个数学活动时，我是考虑到，老师们习惯于仅以幼儿认识事物是从具体到抽象这一特点为依据，只强调直观性，在活动中教师常运用教具演示，并以此为基础讲解基本的数学概念，而实际上，幼儿数学概念的形成不是通过听老师讲、看老师演示所能解决得了的，必须通过幼儿自己主动活动的过程。“图形的二次分类”我希望提供给幼儿充分的操作材料，再加以引导，一步一步深入，使幼儿真正在操作过程中去发现、归纳“图形的二次分类”的特征。 二、幼儿情况分析 大班幼儿的认知、操作、逻辑思维能力在不断提高；同时，他们不仅仅满足于老师所告诉的、所传授的，他们更希望通过自己的能力加以证实。因此，他们对操作比较感兴趣。目前，我班幼儿已经基本能单独进行图形、事物的一级分类，但是不能对事物图形进行二次分类。而且由于幼儿各方面的发展还不成熟，他们的对某一事物也许明白，却无法从具体转化为自己内在抽象的概念，所以通过活动我希望他们能把自己对事物的外部特征的认识转为内在的、有规律的思考。 二、目标确定 新《纲要》指出：科学教育的价值趋向不再是注重静态知识的传递，而是注重儿童的情感态度和儿童探究解决问题的能力。幼儿是教育活动的积极参与者而非被动接受者，活动内容必须与幼儿兴趣、需要、及接受能力相吻合，引导幼儿向最近目标发展区发展。在接触中发现，大班的孩子喜欢探索，喜欢尝试，对于动动，做做，非常感兴趣，于是我启发他们在操作后进行交流和讨论，积累经验，引导他们发现“图形二次分类”的规律特征。因此，根据《纲要》中数学领域的目标以及本班幼儿的实际情况，我将本次活动的目标定位于： 1、通过活动使幼儿能从生活、游戏中感受事物的关系，并体验到发现的乐趣 2、通过幼儿的操作、探索，培养幼儿发现、观察比较、归纳事物特征的逻辑思维能力； 3、引导幼儿说出图形两个层次的特征，体验包含关系，学习二次分类。 这三个目标中蕴涵了数学能力的培养、主动探索的经验获得和对事物归纳总
大班数学图形的二次分类教案反思
大班数学图形的二次分类教案反思 大班数学图形的二次分类教案反思主要包含了活动目标，活动过程，活动反思等内容，幼儿利用层级分类板将三角形、圆形、方形、菱形等若干图形进行二级次分类，观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类，适合幼儿园老师们上大班数学活动课，快来看看图形的二次分类教案吧。 活动目标： 1、幼儿利用层级分类板将三角形、圆形、方形、菱形等若干图形进行二级次分类。 2、观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类。 3、在“闯关游戏”中充分体验分类的快乐。 4、引发幼儿学习图形的兴趣。 5、引导幼儿积极与材料互动，体验数学活动的乐趣。 活动过程： 一、出示图形宝宝，引入主题。“今天除了客人老师，还有谁来到了我们班？是什么图形宝宝？图形宝宝来干什么呢？” 二、在闯关游戏中把图形二次分类。 1、闯关开始：请观看唐老鸭设计的路线图，这个路线图应该怎么走？幼儿尝试操作。 2、幼儿操作，看标记把图形进行第一次分类，并请幼儿讲述操作结果。 3、继续闯关： （1）小组讨论路线图； （2）请个别幼儿介绍操作方法；
（3）幼儿操作，教师巡导； （4）幼儿的操作结果展示在黑板上，一起验证。 三、闯关成功。 请幼儿讲讲在这次闯关游戏中的感觉？ 活动反思： 兴趣能促使幼儿对数学学习产生积极的情感体验，引领幼儿积极思考．在实践中，我的体会是：从幼儿的学习特点和认知规律出发．让孩子们在生动有趣的游戏情境中快乐的学习数学。 在数学《图形的二次分类》教学中，我根据教学内容的特点和幼儿的实际情况，准备了充分的操作材料，让幼儿在多种形式的教学活动中，加深了对二次分类的认识，大班幼儿学习按物体两个以上特征或特性进行分类，按某一特征的肯定与否定进行分类，学习层级分类和多角度分类，我选择了其中的一个点按某一特征的肯定与否定进行分类，重点是观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类。 学习内容和幼儿的生活背景越接近，幼儿自觉接纳知识的程度就越高。从幼儿熟悉的颜色、形状入手，容易让幼儿感受到数学就在身边。整个活动始终注意从生活中取材，无论是形状分类、颜色分类，还是开阔的练习，都赋予有趣的生活情境。让幼儿充分感受到数学知识来源于生活。 提供丰富的操作的材料，为每个幼儿都能运用多种感官、多种方式进行探索提供活动的条件。幼儿只有通过动手操作、摆弄，才能逐步体验抽象的分类概念。在本次分类教学中，我是这样安排操作程序的：活动一开始就让幼儿先复习和观察比较图形的颜色、形状，在动手操作中去发现问题，以保证其有较充足的操作
高数下册常用常见知识点
高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 ； 6、 7、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 | （二） （三） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=
大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //? =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （四） 曲面及其方程 1、 ] 2、 曲面方程的概念： ),,(:=z y x f S 3、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 4、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 5、 @ 6、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x
二次曲面的分类
二次曲面的分类 在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成 222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即 ()1112 1311232122232141242343443132 333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ???? ???++++= ??? ??????? ， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ?? ?= ? ???，那么实二次型()1112131123123212223231 32333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ???? ???Φ= ??? ???????的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ?? ?= ? ??? ，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ?? ?Φ====++ ? ?? ?， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=. 最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面： （一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去 一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。进而得到： 1. 椭圆面 2223122221z z z a b c ++=； 2. 虚椭圆面 2223122221z z z a b c ++=-；
看二次图纸的基本方法讲解
二次图纸的阅图方法 一、电力系统构成 一次设备是指直接生产、输送和分配电能的高压电气设备。包括发电机、变压器、断路器、隔离刀闸、电流互感器、电压互感器、母线、输电线路、电力电缆、电抗器、电容器、电动机等。一次接线系统正是由一次设备相互连接，构成的电气回路。 二次设备是指对一次设备的工作进行监测、控制、调节、保护以及为运行、维护人员提供运行工况或生产指挥信号所需的低压电气设备。如控制开关、熔断器、继电器、控制电缆、继电保护装置、安全自动装置等。 由二次设备相互连接，构成的对一次设备进行监测、控制、调节和保护的电气回路称为二次回路或二次接线系统。 二、二次回路的重要性 在发电厂或变电所中，一次设备是重要的，二次设备也是重要的。因为一次设备和二次设备构成一个整体，只有二者都处在良好的状态，才能保证电力生产的安全。 二次回路的故障常会破坏或影响电力系统的正常运行。例如某变电站差动保护的二次回路接线错误，则当主变带的负荷较大或发生穿越性相间短路时，就会发生误跳闸；若线路保护接线出错，一旦系统发生故障，则可能会使断路器该跳闸的不跳，不该跳闸的却跳了闸，就会造成设备损坏、电力系统瓦解的大事故；（2003年8月14日美加大停电：俄亥俄州某发电厂的工作人员未能及时处理电力线路故障，造成电厂停运，继而导致了美国八个州和加拿大东部大停电。这次历史上最大规模的停电波及美国的很多城市，纽约市在断电29个小时后才全部恢复电力供应，加拿大安大略省的部分城市也受到影响。停电影响了地铁、电梯以及机场的正常运营，在一些地方造成了交通拥堵，给大约5000万左右市民的工作和生活造成了极大不便。）；若测量回路有问题，就将影响计量，少收或多收用户的电费，同时也难已判定电能质量是否合格。因此二次回路虽非主体，但它在保证电力生产的安全，向用户提供合格的电能等方面起着极其重要的作用。 三、常见的二次接线图种类
大班数学《图形的二次分类》教案和教学反思.
大班数学《图形的二次分类》教案和教学反思 2018-01-15 活动目标： 1、幼儿利用层级分类板将三角形、圆形、方形、菱形等若干图形进行二级次分类。 2、观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类。 3、在“闯关游戏”中充分体验分类的快乐。 活动过程： 一、出示图形宝宝，引入主题。“今天除了客人老师，还有谁来到了我们班？是什么图形宝宝？图形宝宝来干什么呢？” 二、在闯关游戏中把图形二次分类。 1、闯关开始：请观看唐老鸭设计的路线图，这个路线图应该怎么走？幼儿尝试操作。2、幼儿操作，看标记把图形进行第一次分类，并请幼儿讲述操作结果。3、继续闯关：（1）小组讨论路线图；（2）请个别幼儿介绍操作方法；（3）幼儿操作，教师巡导；（4）幼儿的操作结果展示在黑板上，一起验证。三、闯关成功。请幼儿讲讲在这次闯关游戏中的感觉？ 反思： 兴趣能促使幼儿对数学学习产生积极的情感体验，引领幼儿积极思考．在实践中，我的体会是：从幼儿的学习特点和认知规律出发．让孩子们在生动有趣的游戏情境中快乐的学习数学。 在数学《图形的二次分类》教学中，我根据教学内容的特点和幼儿的实际情况，准备了充分的操作材料，让幼儿在多种形式的教学活动中，加深了对二次分类的认识，大班幼儿学习按物体两个以上特征或特性进行分类，按某一特征的肯定与否定进行分类，学习层级分类和多角度分类，我选择了其中的一个点按某一特征的肯定与否定进行分类，重点是观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类。 学习内容和幼儿的生活背景越接近，幼儿自觉接纳知识的程度就越高。从幼儿熟悉的颜色、形状入手，容易让幼儿感受到数学就在身边。整个活动始终注意从生活中取材，无论是形状分类、颜色分类，还是开阔的练习，都赋予有趣的生活情境。让幼儿充分感受到数学知识来源于生活。 提供丰富的操作的材料，为每个幼儿都能运用多种感官、多种方式进行探索提供活动的条件。幼儿只有通过动手操作、摆弄，才能逐步体验抽象的分类概念。在本次分类教学中，我是这样安排操作程序的：活动一开始就让幼儿先复习和观察比较图形的颜色、形状，在动手操作中去发现问题，以保证其有较
变电站二次图纸识图
变电站二次图纸识图方法 会识图的重要性：会看变电站的常用图纸资料是变电站值班员的一项基本能力，是值班员通过自学熟悉变电站的前提条件，是分析二次回路异常或故障的基础能力。 一、二次识图须准备的相关知识 1、常用的概念说明 接点的常态：指在变电站图纸中的继电器、接触器或压力等接点的正常状态。对开关、刀闸、地刀的位置辅助接点，是指开关、刀闸、地刀在断开位置时接点的状态。对于压力接点、温度接点、热继电器等，指正常压力下的状态。对于继电器或接触器指它们不励磁时的状态。 励磁与不励磁：对于电压型线圈的继电器或接触器，指在它们的线圈两端施加有足够大的电压，能使其接点分、合状态发生改变的状态。对于电流型线圈的继电器或接触器，指在它们的线圈通过足够大的电流，能使其接点转态发生变化的电压。 接点动作与不动作：接点处于常态，叫不动作。如因设备的继电器或接触器励磁，或者压力改变、温度改变等，导致接点的分、合状态不同于常态，叫接点动作。 原理接线图：用以表示测量表计、控制信号、保护和自动装置的工作原理。原理图反映的整个装置（回路）的完整概念，主要用于了解装置、回路的动作原理。在原理图中，各元件是整块形式，与一次接线有关部分划在一起，并由电流回路或电压回路联系起来。但图中无端子编号、各回路交叉，实际使用常干不便。 展开图：是另一种方式构成的接线图，各元件被分成若干部分。元件的线圈、触点分散在交流回路和直流回路中。在展开图中依电流通过的方向，画出按钮、触点、线圈和它们端子编号，由左至右，由上到下排列起来，最后构成完整的展开图。在图的右侧还有文字说明回路的作用。特点是条理清晰，非常方便对回路的逐一分析与检查。常见的展开图有电流、电压回路图，控制及信号回路图。 平面布置图：反映一个屏（保护屏、控制屏、电度表屏等）上全部设备的安装位置，并指明各设备在整个屏中的设备编号。用于了解一个屏设备的布置情况（安装位置、设备型号和设备的编号）。分屏前布置图、屏后布置图。平面布置图：反映一个屏（保护屏、控制屏、电度表屏等）上全部设备的安装位置，并指明各设备在整个屏中的设备编号。用于了解一个屏设备的布置情况（安装位置、设备型号和设备的编号）。
二次曲面的一般理论
第六章二次曲面的一般理论 教学目的：本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念，从不同角度对二次曲面进行了分类? 研究了二次曲面的几何性质，并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式化二次曲面的一般方程为规范方程，对二次曲面进行了分类和判定，是二次曲面理论的推 广和扩充? 教学重难点：通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规 范方程,既是重点又是难点? 基本概念 二次曲面：在空间，由三元二次方程 2 2 2 a11x a22y - a33z 2a12xy - 2a13xz 2a23yz 2a14x 2a24y 2a34z a44= 0（1） 所表示的曲面? 虚元素:空间中，有序三复数组（x,y,z）叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 F（x,y,z）二 a11x2 a22y2a33Z22a12xy 2a13xz 2a23yz 2 a14x 2a24y 2 a34z a44 F1（x, y,z）=印必a^y a^z a^ F2（x,y,z）二盹乂a23y a?3Z a?4 F3（x,y,z）三33X a23y a33Z a34 F4（x,y,z）三a^x a?4y a34Z a44 ：：」（x, y,z）二印必2 a22y2 a33Z2 Za^xy Za^xz 2a23yz :：J1（x,y, z）= aux a12y a^z :：J2（x, y, z）= a^x *22 y a?3z
?：」3(x, y, z)三 a^x a 23y a 33Z ?：」4(x, y, z)三 a i4x a 24y a 34Z 即有恒等式成立:F (x, y, z) = xF 1(x, y, z) yF 2(x, y, z) zF 3(x, y,z) F 4(x, y, z) :：J (x, y, z) = x ：：、(x, y,z) y ：：」2 (x, y,z) z^(x,y, z) 缶 a i2 a i3 a i4 ' 二次曲面F(x,y,z)的系数矩阵 A = a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 014 a 24 a 34 a 44 J 2ii a i2 a i3 而由①(x, y,z)的系数矩阵为 A* = a i2 a 22 a 23 l a i3 a 23 a 33 J 二次曲面(1)的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是F j (x,y,z), a ii a i2 a i3 a ii a i2 a ii a i3 a 22 a 23 i = aii + 822+ a 33 I 2 = + + 13 = a )2 a 22 a 23 a i2 a 22 a i3 a 33 a 23 a 33 a i3 a 23 a 33 § 6.1二次曲面与直线的相关位置 2 2 2 F(x, y,z)三 a 11x a 22y a 33z 2a 12xy 2a 13xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44 (1) x = x 0 Xt 与过点(X o , y o , z o )的直线 y = y ° Yt (2) z = Zo Zt 将⑵代入(1)得 ：：」(X,Y,Z)t 2 2〔XF i (x °, y o ,z o ) YF 2(x °, y °, zj ZF 3(x °, y °,z g )t F(x o ,y °,z °) = 0 (3) a ii a i2 a i4 a ii a i3 a i4 a 22 a 23 a 24 a i2 a 22 a 24 + a i3 a 33 a 34 + a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 44 a i4 a 34 a 44 a 24 a 34 a 44 K 2 F 2(x, y,z)，F 3(x, y, z)， F 4(x, y,z)的系数。 a ii a i2 a i3 a i4 a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 34 a 44 a ii a i4 + a 22 a 24 + a 33 a 34 a i4 a 44 a 24 a 44 a 34 a 44 K i
幼儿园图形的二次分类教案
教学资料参考范本幼儿园图形的二次分类教案 撰写人：__________________ 部门：__________________ 时间：__________________
一、设计意图:大班幼儿的认知、操作、逻辑思维能力在不断提高,同时,他们不仅仅满足于老师所告诉的、所传授的,他们更希望通过自 己的能力加以证实。因此,他们对操作比较感兴趣。目前,我班幼儿已 经基本能单独进行图形、事物的一级分类,但是对事物图形进行二次分类有点困难。而数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科。在我选择的“二次分类”这个数学活动时,我是考虑到,老师们习惯于仅以幼儿认 识事物是从具体到抽象这一特点为依据,只强调直观性,在活动中教师 常运用教具演示,并以此为基础讲解基本的数学概念,而实际上,幼儿数学概念的形成不是通过听老师讲、看老师演示所能解决得了的,必须通过幼儿自己主动活动的过程。“图形二次分类”主要让幼儿和教师一 起通过图形的特征进行一次分类,再进行第二次分类,等幼儿初步掌握 好二次分类的方法后,我们再进行一次直接的二次分类,我希望提供给 幼儿充分的操作材料,再加以引导,一步一步深入,使幼儿真正在操作过程中去发现、归纳“幼儿园图形的二次分类教案”的特征。 二、教学目标: 1、学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 2、大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征,培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 3、能按要求操作,形成良好的操作习惯。 活动重点:学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 活动难点:大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征,培养幼 儿的分析、归纳能力和操作兴趣。
三、教学准备: 幼儿操作材料人手两份,磁性板(板上画好房子、房间)、含两种特 征的图形、标记。 四、教学方法 整个活动采用了三种方法:游戏法、语言讨论法、尝试操作法。 1、游戏法:通过“图形宝宝分家”的游戏,达到在玩中学的目的。 在游戏中发展幼儿的思维,变被动为主动。即使知识上得到了巩固和深化,又使幼儿的分析、比较、概括能力得到了提高。 2、语言讨论法:在数学教育中,讨论是一种常用的方法,但是,讨论 的时机选在操作的不同时间,就会对幼儿的具体操作及思维活动起不同 的作用。引导幼儿先讨论用什么方法分类,操作后,再一次请幼儿讨论。这样,通过不断的交流与讨论,加上教师的帮助归纳,使幼儿在自己的头 脑中形成二次分类的概念。 3、尝试操作法:在数学教学中必须强调让幼儿亲手操作材料。在 实际的操作中探索和学习,获得有关数学概念的感性经验。幼儿只有在“做”的过程中与材料的相互作用的过程,才可能对某一数学概念属性 或规律有所体验,才可能获得直接的经验。在最后的操作活动中,给幼 儿投放了充足丰富的操作材料,并通过商量,一个分一个记录的环节进 行互助学习,对二次分类再一次进行经验归纳。 五、教学过程: (一)、活动导入: 师:今天,“图形之家”来了一些新朋友,你们看一看,新朋友是谁? 生:圆形宝宝、三角形宝宝。
中班《图形找家》(数学·二次分类)
中班《图形找家》（数学·二次分类）活动目标： 1．创设游戏情境，激发幼儿产生对图形认知的兴趣。 2．在认知的基础上，发展幼儿初步的观察力、分类概括能力及语言表达能力。 3．学习看颜色、形状两种标记把图形进行二次分类。 活动准备： 1.图形宝宝挂图一张、颜色、形状标记若干。 2.三角形、圆形、正方形胸卡若干。 3.教室布置：二次分类板（贴在地上） 4.退场音乐 活动过程： 一、复习导入： 师：(黑板上出示图形娃娃）瞧，我们的新朋友：图形娃娃。看看它的衣服上都有哪些颜色？（幼儿边说，教师边在黑板上出示颜色标记）图形娃娃由哪些图形组成的呢？（幼儿边说，教师边在黑板上出示形状标记）红色的图形娃娃有几个呢？（幼儿边说，教师边在黑板上出示数字）蓝色的呢？（幼儿边说，教师边在黑板上出示数字） 二、学习过程： （一）学习分类： 师：现在请小朋友们来当图形娃娃好不好？在桌上选择一个你最喜欢的戴起来，并向大家介绍一下你自己。（引导幼儿使用句式完整表达：我是X色的X 形娃娃。）你们都是图形娃娃，那我就来当图形妈妈吧！认真听：圆圆圆又圆，圆形的娃娃到身边!（师检查幼儿出示的是否都为圆形）红红红又红，红色的娃娃回家咯！（师检查幼儿出示的是否都为红色）…… （二）认识二次分类板： 1.师介绍已布置好的二次分类板，引导幼儿观察理解颜色标记和图形标记。 2.师幼共同学习二次分类。引导幼儿先看颜色标记再看形状标记。 （此处将二次分类板演化成小房子，标记演化成门牌号，可帮助幼儿理解。） 三、《开火车》游戏结束 师：我们班的小朋友们真棒！现在我们来玩开火车的游戏。看清楚火车头的标记再上车哦！（幼儿自己根据胸前的图形找到火车头站队，老师带着醒目的标记扮演火车头，放音乐，退场。）
中班数学图形的二次分类
中班数学活动：图形的二次分类 一、活动目标： 1.学习按图形的两种(三种)不同特征进行二次分类。 2.培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 3.培养幼儿的合作能力。 二、活动重、难点 活动重点：能根据图形的不同特征进行二次分类。 活动难点：引导幼儿合作进行分类并总结。 三、活动准备： 1. 树叶、花朵若干（保证每个幼儿手中能有一片或一朵））； 2. 三角形、正方形、圆形、心形小图片若干，每种图形颜色不少于两种； 3. 二次分类板，篮子； 4. 找朋友音乐一首，及播放设备。四、 四、活动过程 一、导入活动： 1、教师先把花和树叶的图片分给各个幼儿，然后要幼儿到讲台处排队师：小朋友们，现在我们大家把小耳朵竖起来，我们一起来听听，音响里面放的是什么？我们熟悉吗？叫什么名字？今天我们就来玩玩这个“找朋友”的游戏。教师宣布规则。教师在音乐结束后，看看幼儿的表现情况； 师：现在宝贝们看看自己手里面拿着的是什么，这一次，我们按照手里面拿的东西来站成两队，音乐开始…… 2、游戏结束，让幼儿入座。 师：小朋友们，刚才我们是按照什么规律来排队的呀？那今天图形宝宝们要来我们班做客，教师出示图形。可是图形宝宝说，他要和小朋友们做一个“找朋友”的游戏，考考宝贝们谁最聪明。 二、分类活动一： 1、一次分类，按照图形的形状排成两排（一个特征）图形宝贝们说，自己在篮子里呆的太久了，想出来透透气，可是出来呢？要像小朋友们一样，排整齐了才好看。现在请小友们给我们的图形宝宝找到自己的朋友，然后排一排，看哪
一组排得最棒。 每一组请一个幼儿来分享自己是怎么排的，按照了什么特征。 2、分类活动二、 二次分类，按照图形的形状和颜色。（两个特征）图形宝贝们说，这样排队好像太拥挤了，他们想排成四队，现在请小宝贝们想一想，再观察一线，我们怎么样才能帮助图形宝宝排好队呀？ 3、每一组请一个幼儿来分享自己是怎么排的，按照了什么特征。 师：宝贝们现在我们都分好了，我们一起来看看我们分了几次，第一次是按照什么？（形状）那叫一次分类；第二次我们按照什么？(形状和颜色)，分了几次，那想想这叫几次分类呀？“二次分类”。 三、幼儿操作练习：小小法官本领大（练习卡） 把事先准备好的练习卡发给幼儿，幼儿进行操作练习，教师巡回指导。 四、幼儿作业讲解 五、活动评价 针对在二次分类中出现的问题，引导幼儿分析、解决、帮助幼儿获得层次分类的经验。