余弦定理公式
4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形
建构知识网络
1．三角形基本公式：
（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos
2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +
（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2
1
casinB
S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2
c
b a ++, r 为内切圆半径)
（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===外 证明：由三角形面积
111
sin sin sin 222S ab C bc A ac B =
== 得sin sin sin a b c
A B C
== 画出三角形的外接圆及直径易得：
2sin sin sin a b c
R A B C === 3．余弦定理：a 2
=b 2
+c 2
-2bccosA , 222
cos 2b c a A bc
+-=；
证明：如图ΔABC 中，
sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-
222222
2
2
sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A
=+=+-=+-
当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
有三种情况：bsinA （1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力 双基题目练练手 B 1．(2006山东)在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,13 A a b π ===，则c = （ ） A.1 B.2 1 2．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ） A. 223 B.2 3 3 C.23 D.33 3．（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( ) A. 2 B. 2m C. 2 D. 2 20cm 5.（2006全国Ⅱ）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________. 6.(2006春上海)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos . ◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cos B sin A =sin C 得ac b c a 2 22-+×a =c ，∴a =b . 4.组成边长6,7,7时面积最大; 5. 25 7 四、经典例题做一做 【例1】(2006天津)如图，在ABC ?中，2AC =，1BC =，4 3 cos =C ． （1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理， 2 2 2 2..cos AB AC BC AC BC C =+- 3 41221 2.4 =+-???= ∴AB =（Ⅱ）解：由3 cos 4 C = ，且0,C π<<得 sin C == 由正弦定理: ,sin sin AB BC C A = 解得sin sin BC C A AB = =。所以，cos A =。由倍角公式 sin 2sin 2cos 16A A A =?= ， 且2 9 cos 212sin 16 A A =-= ，故 ( )sin 2sin 2cos cos 2sin 8 A C A C A C +=+= . ◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制. 【例2】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b (1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=22 645 sin 75sin 2sin sin +=?= B C b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=22 645sin 15sin 2sin sin -= ?= B C b ◆提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论． 【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少 度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1?）？ [解] 连接BC,由余弦定理得 BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700 于是 ∵ 7 10120sin 20sin ?=ACB , ∴sin ∠ACB=73 , ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援 思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角 形的方法； 【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有 ( )( ) B b a C A R sin 2sin sin 222-= -成立，求△ABC 面积S 的最大值． 解：由已知条件得 ()() ( ) b a B R B A R -=-2sin 2sin sin 222 2 ．即有 2222b ab c a -=-， 又 222cos 222=-+=ab c b a C ∴ 4π =c ．34 A B π+= ∴ B A R ab C ab S sin sin 44 242sin 212?=== 222 23sin sin()4 sin ( )22 (sin 21cos 2)2)1]24A A A A A R A A R A π π=-=+= +-=-+ 当32,()4 2 8 A A B π π π- = = =即时, 2 max 212R S +=． ◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。 2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质． 【研讨.欣赏】 （2006江西）如图,已知△ABC 是边长为1的正三角形, M 、N 分别是边AB 、AC 上的点,线段MN 经过△ABC 的中心G .设2( )3 3 MGA π π αα∠=≤≤ . (1) 试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为1S 与2S )表示为α的函数; (2) 求22 12 11 y S S = +的最大值与最小值. 解: (1)因为G 为边长为1的正三角形ABC 的中心, 所以2,.3236 AG MAG π= ?=∠= 由正弦定理 ,sin sin() 6 6 GM GA π π πα= - -6sin() 6 GM α= +得 11sin sin (212sin()6 S GM GA ααπα= ??==+则或 ,sin sin() 6sin() 6 6 6 GN GA GN π π αα= = --又 得 21sin sin()(212sin()6S GN GA απαπα=??-==-则或 222 2221211144(2)sin ()sin ()72(3cot ).sin 66y S S ππαααα ??= +=++-=+??? ? 因为 23 3π πα≤≤ ,所以当233 ππαα==或时,y 的最大值max 240y =; 当2 π α= 时, y 的最小值min 216y =. 提炼总结以为师 1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理； 2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题： （1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 4．边角互化是解三角形的重要手段． 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 【选择题】 1.（2004浙江）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞2 1 ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2004全国Ⅳ）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为 23 ，那么b 等于 ( ) A.2 3 1+ B.1+3 C.2 3 2+ D.2+3 3..下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 ( ) A.sin A +cos A = 5 1 B.AB ·BC ＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0 D.b =3，c =33，B =30° 4.(2006全国Ⅰ)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则c o s B = ( ) A . 14 B. 34 C. 4 D. 3 【填空题】 5.（2004春上海）在ABC ?中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________ 6.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______. 练习简答：1-4.BBCB; 1.在△ABC 中，A ＞30°?0＜sin A ＜1sin A ＞21 ；sin A ＞ 2 1 ?30°＜A ＜150°?A ＞30°答案：B 2. 2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .由S= 21ac sin30°=41ac =2 3，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.得cos B =ac b c a 2222-+=6212422?--b b =442-b =2 3 ，解得b =1+3.答案：B 3.由tan A +tan B +tan C=tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.答案：C 5.2; 6.若c 最大，由cos C ＞0.得c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5. 【解答题】 7.（2004春北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及 c B b sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、 c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可 变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c B b sin 的值. 解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac . 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得 cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=2 1，∴∠A =60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a A b sin ， ∵b 2=ac ，∠A =60°， ∴ac b c B b ?=60sin sin 2=sin60°=23 . 解法二：在△ABC 中， 由面积公式得 21bc sin A =2 1 ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴ c B b sin =sin A =23. 评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理. 8.（2005春北京）在△ABC 中，sin A +cos A =22 ，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积. 解法一：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）= 2 2， ∴cos （A －45°）=2 1. 又0°＜A ＜180°， ∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）= 3 131-+=－2－3. ∴sin A =sin105°=sin （45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=4 6 2+. ∴S △ABC = 2 1 AC ·AB sin A = 2 1 ·2·3·462+ =4 3 （2+6）. 解法二：∵sin A +cos A =2 2， ① ∴（sin A +cos A ）2= 21.∴2sin A cos A =－2 1. ∵0°＜A ＜180°，∴sin A ＞0，cos A ＜0. ∴90°＜A ＜180°. ∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =23， ∴sin A －cos A =2 6. ② ①+②得sin A =46 2+. ①－②得cos A = 4 6 2-. ∴tan A = A A cos sin =462+·6 24-=－2－3. （以下同解法一） 9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）= 53，sin （A －B ）=5 1 . （1）求证：tan A =2tan B ； （2）设AB =3，求AB 边上的高. 剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）. （1）证明：∵sin （A +B ）= 53，sin （A －B ）=5 1， ∴??????? = -=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ???? ????= =?=2. ∴tan A =2tan B . （2）解： 2 π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53 . ∴tan （A +B ）=－4 3 ， 即 B A B A tan tan 1tan tan -+=－4 3 .将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）. 得tan B =2 6 2+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CD tan =6 23+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6. 评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力. 10. 在△ABC 中，sin A = C B C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”. 解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a =ab c b a ca b a c c b 222 22222-++ -++，所以 222222 22c a b a b c b c c b +-+-+=+, 化简得a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形. 评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0. 【探索题】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +） （C B A A -+cos cos sin 2. （1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论. （2）求y 的最小值. 解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（） （C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2 =cot A +） （）（） （C B C B C B -++-+cos cos sin 2 =cot A + C B C B C B sin sin sin cos cos sin + =cot A +cot B +cot C ， ∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1， ∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+= 2 tan 22tan 12 A A -+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2cot 2tan 3A A ?=3. 故当A =B =C = 3 π 时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3. 可由三数的均值不等式结合cot A +cot B +cot C =cot A cot B cot C 来证. 余弦定理 余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 如下图所示，在△ABC中， 余弦定理表达式1 三角形 同理，也可描述为： 勾股定理是余弦定理的特例，当为时，，余弦定理可简化为，即勾股定理。余弦定理表达式2 余弦定理表达式3（角元形式） 平面几何法证明一 平面几何法证明 如上图所示，△ABC，在c上做高，将c边写： 将等式同乘以c得到： 对另外两边分别作高，运用同样的方法可以得到： 将两式相加： 平面几何法证明二 如图所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC 于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB 在Rt△ACD中， b2=AD2+DC2=（c*sinB）2+（a-c*cosB）2 =c2sin2B+a2-2ac*cosB+c2cos2B =c2（sin2B+cos2B）+a2-2ac*cosB =c2+a2-2ac*cosB 利用正弦定理证法 在△ABC中， sin2A+sin2B-sin2C =[1-cos（2A）]/2+[1-cos（2B）]/2-[1-cos（2C）]/2（降幂公式） =-[cos（2A）+cos（2B）]/2+1/2+1/2-1/2+[cos（2C）]/2 =-cos（A+B）cos（A-B）+[1+cos（2C）]/2（和差化积）=-cos（A+B）cos（A-B）+cos2C（降幂公式） =cosC*cos（A-B）-cosC*cos（A+B）（∠A+∠B=180°-∠C 以及诱导公式） =cosC[cos（A-B）-cosC*cos（A+B）] =2cosC*sinA*cinB（和差化积）（由此证明余弦定理角元形式） 设△ABC的外接圆半径为R ∴（RsinA）2+（RsinB）2-（RsinC）2=（RsinA）*（RsinB）*cosC ∴a2+b2-c2=2ab*cosC（正弦定理） ∴c2=a2+b2-2ab*cosC 平面向量证法 ∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） 正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式，供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角 和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定 理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便 两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β 的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂 足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB ＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点， 建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明. 三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？ 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径） 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径） （4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 正弦余弦公式总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=2+b2其中 tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)= √a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=a/b 基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究 建水县第二中学：贾雪光 从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三 角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理， 大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是sin (A B) si nC、 cos A— sinC的联系是关键。 2 于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转 化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，女口：1、在锐角△ ABC中, a, b, c 分别为内角A, B, C的对边，且cos2 A 1 sin2A，a -.7求厶ABC勺面 2 积的最大值；2、已知向量M (si nA,1)与N (3,s in A ??、3cosA)共线，其中人是厶ABC勺内角，(1) 2 求角A的大小；(2)若BC=2，求△ ABC勺面积S的最大值。,△ ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C 的对边，向量M (4, 1), N (cos2-,cos2A)，M ?N -，(1)求角A的大小；(2)若a . 3是判 2 2 断当b c取得最大值时△ ABC勺形状。面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？ 实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不 等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的 收获哦。 我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2bc cos A, b a c 2ac cosB, cab 2ab cosC 同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：b2 c2 2bc，a2 c2 2ac ，b2 a2 2ab在三角 形中各边都是正数，所以上面三个式子在a、b是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公 式综合后会发现这样的一组公式即：a2 2bc (1 cos A) ,b2 2ac (1 cosC) c2 2ab (1 cosc) 于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是， 一求函数值域；二、导函数；三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-12?[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=12?[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=12?[sin(a+b)+sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1 -2sin2(a) 6.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 7.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 8.其它公式(推导出来的) a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中tan(c)=ba 余弦定理详解 余弦定理定义及公式 余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。 a2=b2+c2-2bccosA 余弦定理证明 如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到： 将等式同乘以c得到： 运用同样的方式可以得到： 将两式相加： 向量证明 正弦定理和余弦定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。 余弦定理 是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三 边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起 来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF?EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的中ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是_____． 答案: ． 解析: 由平面和空间中几何量的对应关系，和已知条件可写出类比结论 解：平面中的点、线、面分别对应空间中的线、面、体，平面中的长度对应空间中的面积，平面中线线的夹角，对应空间中的面面的夹角 故答案为： 证明如下：如图斜三棱柱ABC-A1B1C1 设侧棱长为a 做面EFG垂直于侧棱AA1、BB1、CC1，则∠EFG=θ 又∵ 在△EFG中，根据余弦定理得：EG2=EF2+FG2-2EF?FG?COSθ 正余弦定理及面积公式 一，,知识点回顾： 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21 sin 21sin 21 ===? 三角形内角和 π=++C B A ) tan(tan )sin(sin ) cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π 二，基础训练： 1,在?ABC 中，已知23=a ，62=+c ， 45=∠B ，求b 及A ； 2,在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 3,在?ABC 中,53 cos ,135 cos =-=B A , （1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求?ABC 的面积 4，设锐角?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c, 且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小 （2）若b c a 求,5,33== 5，在?ABC 中，已知54 cos ,3,2-===A a b （1）求B sin 的值 （2）求)62sin(π +B 的值 6，在?ABC 中，53 tan ,41 tan ==B A （1）求C ∠的大小 （2）若AB 的边长为17，求BC 边的长 7，设?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 3,3,1π =∠==c c a ，则A ∠ 的值 8，设?ABC 的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+ （1）求边长AB 的长 （2）若?ABC 的面积为C sin 61 ，求角C 9，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 55 22cos ,4,2==∠=B C a π，求?ABC 的面积。 正弦、余弦定理 解斜三角形 知识网络 1．三角形基本公式： （1）角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2c b a ++, r 为切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 22sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 一、明确复习目标 掌握正弦、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。 二．建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2 B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111s i n s i n s i n 222S a b C b c A a c B = == 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得： 2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， s i n ,c o s ,C H b A A H b A B H c b ===- 2222 222 sin (cos ) 2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。 B 作者：空青山 作品编号：89964445889663Gd53022257782215002 时间：2020.12.13 正余弦定理及面积公式 一，,知识点回顾： 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 三角形内角和 π=++C B A ) tan(tan ) sin(sin ) cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π 二，基础训练： 1,在?ABC 中，已知=a c 45=∠B ，求b 及A ； 2,在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 3,在?ABC 中,5 3cos ,135cos =- =B A , （1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求?ABC 的面积 4，设锐角?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c, 且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小 （2）若b c a 求,5,33== 5，在?ABC 中，已知5 4cos ,3,2- ===A a b （1）求B sin 的值 （2）求)6 2sin(π +B 的值 6，在?ABC 中，5 3tan ,41tan == B A （1）求 C ∠的大小 （2）若AB 的边长为17，求BC 边的长 7，设?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 3 ,3,1π = ∠==c c a ，则A ∠ 的值 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b A R a R R C c B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin = = = ======变形有：为外接圆的半径 三角形的面积公式： A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 ab c b a C ac b c a B bc a c b A C ab b a c B ac c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 22222 222 22222222222-+= -+= -+= -+=-+=-+=变形有： 判断三角形的形状： 为锐角三角形 ，为直角角三角形 为钝角三角形 ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ?+<+<+2222222222 222 22,, 三角形中有： 形为正三角形 成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A C B A C B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+? 两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o s c o s s i n s i n αβα βαβ+=- ()βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n t a n +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- 二倍角公式： α α ααβ β ααααα2 22 2 2t a n 1t a n 22t a n 1 c o s 2s i n 21s i n c o s 2c o s c o s s i n 22s i n -= -=-=-== 半角公式： 倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式. 现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用. 号外: tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2) ·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tan A^8) 九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84 *tanA^6+9*tanA^8) 十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^ 4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tan A^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 22sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 学之导教育中心教案 学生: 伍家濠授课时间: 7.20 课时: 2 年级: 高一教师：廖 课题三角形面积公式、余弦定理 教学构架 一、知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、知识回顾 1、正弦定理及其变形 2、已知两边一角，判断解的情况 二、错题再现 1、在△ABC中，已知a=4,b=26,A=45°，求角B 2、在△ABC中，已知b=3,c=33,B=30°，求a 本次内容掌握情况总结教师签字学生签字 3、在?ABC 中，若1a =， 12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 4、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 5．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为 A ．22 B ．3 2 C ．2 D ．2 三、 知识新授 （一）正弦定理综合应用 1．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为 A ．22 B ．3 2 C ．2 D ．2 2、在ABC ?中，2,45,6000===b C A ，则此三角形的最小边长为（ ） A ．2 B ．232- C ．13- D ．)12(2- 3、在△ABC 中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6，求sinA:sinB:sinC 的值。 4、在△ABC 中，若a:b:c=1:3:5,求C B A sin sin sin 2-的值. 5、在△ABC 中，b=2a ，B=A+60°，求角A 6、△ABC 中，B=3A ，则b a 的取值范围是 7、在△ABC 中，a=2bcosC,试判断△ABC 的形状 8、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC,sin 2A = sin 2B +sin 2C ，试判断△ABC 的形状 9、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，试判断△ABC 的形状余弦定理
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