第4节幂函数与二次函数
第4节幂函数与二次函数【考试要求】
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1
x
，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变
化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
【教学重点】幂函数的概念，三个二次的关系
【教学难点】幂函数性质，三个二次的转换
【教学方法】知识梳理、典例启发讲练
【教学手段】多媒体辅助教学
【教学过程】
【知识梳理】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，
其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)
y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域 ????
??4ac －b 24a ，＋∞ ?
?
???－∞，4ac －b 24a
对称轴 x ＝－
b
2a
顶点 坐标 ? ????
－b 2a
，4ac －b 24a
奇偶性
当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数
单调性
在? ?
???－∞，－b 2a 上是减函数； 在????
??
－b 2a ，＋∞上是增函数 在? ?
???－∞，－b 2a 上是增函数； 在????
??
－b 2a ，＋∞上是减函数 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，则当???a >0，Δ<0时恒有f (x )>0；当???a <0，
Δ<0
时，恒有f (x )<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
【诊 断 自 测】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 1
3是幂函数.( )
(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 2
4a .( )
2.(多填题)(老教材必修1P79T1改编
)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点? ????
12，22，
则k ＝________，α＝________.
3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b B.a