第三章概率

第三章概率

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一．选择题

1.下列事件中:①任取三条线段,这三条线段恰好组成直角三角形;②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,这三条射线交于一点;③实数a,b都

不为0,但;④明年12月28日的最高气温高于今年12月10日的最高气温,其中为随机事件的是( )

A. ①②③④

B. ①②④

C. ①③④

D. ②③④

答案

解:任取三条线段,这三条线段可能组成直角三角形,也可能组不成直角三角形,故①为随机事件;

从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,三条射线有可能平行,也可能交于一点,故②为随机事件;

若实数a,b都不为0,则一定不等于0,故③为不可能事件;

因为明年12月28日还未到来,故明年12月28日的最高气温有可能高于今年12月10日的最高气温,也可能低于今年12月10日的最高气温.

故④为随机事件.所以B选项是正确的.

2. 10个小球分别编号为1,2,3,4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数0.4是指1号球占总体分布的（）

A. 频数

B. 频率

C.

D. 累积频率

答案B

解析因为1号球的个数为4,总体的个数为10,所以0.4是指1号球占总体分布的频率.

3.从装有2个白球和2个蓝球的口袋中任取2个球,那么对立的两个事件是( )

A. “恰有一个白球”与“恰有两个白球”

B. “至少有一个白球”与“至少有-个蓝球”

C. “至少有-个白球”与“都是蓝球”

D. “至少有一个白球”与“都是白球”

答案

C

解:对于A,恰有1个白球,恰有2个白球是互斥事件,它们虽然不能同时发生但是还有可能恰好没有白球的情况,因此它们不对立;

对于B,“至少有1个白球”发生时,“至少有1个蓝球”也会发生,

比如恰好一个白球和一个蓝球,故B不对立;

对于C,“至少有1个白球”说明有白球,白球的个数可能是1或2,

而“都是蓝球”说明没有白球,白球的个数是0,

这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,故C是对立的;

对于D,至少有1个白球和都是白球能同时发生,故它们不互斥,更谈不上对立了所以C选项是正确的

4.不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1，2，3，4，5，若从袋中任取三个球，则这三个球号码之和为5的倍数的概率为（

）

A. B. C. D.

解析用列举法求出从分别标有号码1，2，3，4，5的袋中任取三个球的基本事件数，计算所求的概率即可．

解：从分别标有号码1，2，3，4，5的袋中任取三个球，基本事件数是（1、2、3），（1、2、4），（1、2、5），（1、3、4），（1、3、5），（1、4、5），

（2、3、4），（2、3、5），（2、4、5），（3、4、5）共10种；

其中这三个球号码之和为5的倍数的事件为（1、4、5），（2、3、5）共

2种；所以，所求的概率为P==．故选：B．

5.

某算法的程序框图如图所示，如果从集合{x|-5≤x≤5，x∈Z}任取一数作为x 值输入，则输出的y值大于或等于2的概率为

A. B. C. D.

答案当x=-5时，则输出值y=5，当x=-4时，则输出值y=4，

当x=-3时，则输出值y=3，当x=-2时，则输出值y=2，

当x=-1时，则输出值y= ，当x=0时，则输出值y=1，

当x=1时，则输出值y=2，当x=2时，则输出值y=1，

当x=3时，则输出值y=log 2 3，当x=4时，则输出值y=2，

当x=-5时，则输出值y=log 2 5，综上可得，所有的结果共有11个，其中满足输出的y值大于或等于2的有7个，

故输出的y值大于或等于2的概率等于，故选B．

6.在长为的线段AB上任取点M,并以线段AM为边作正方形,则这个

正方形的面积介于与之间的概率为( )

A. B. C. D.

答案D

解:根据题意可得此概率是几何概率模型.

因为正方形的面积介于与之间,

所以正方形的边长介于到之间,即线段AM介于到之间,所以AM的活动范围长度为:3.由几何概型的概率公式可得:.

7.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种

颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为

______.

考点：等可能事件的概率

分析：首先用分步计数原理分析用两种颜色为3个图形涂色的情况数目，根据题意，分析可得“颜色不全相同”与“颜色全同”为对立事件；易得颜色全同的情况数目，即可得颜色不全相同的情况数目，由古典概型的公式计算可得答案．

解答：根据题意，用红、蓝两种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共2×2×2=8种情况；

其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色和蓝色，

则三个形状颜色不全相同的有8?2=6种情况；

故其概率为68=34；故答案为：34.

8.如图：已知曲线C1:y=2x?x2??????√,曲线C2和C3是半径相等且圆心在x轴上的半圆。在曲线C1与x轴所围成的区域内任取一点,则所取的点来自于阴影部分的概率为()

A. 37

B. 12

C. 47

D. 58

9.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了如下20组随机数：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A. 0.35

B. 0.25

C. 0.20

D. 0.15

10、从字母a、b、c、d、e中任取两个不同的字母,则取到字母a的概率为()

A. 15

B. 25

C. 35

D. 45

解答：

从字母a、b、c、d、e中任取两个不同的字母有：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c)，

(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10种取法，其中取到字母a的有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)共4种取法，∴所求概率P=410=25故选：B.

11. 分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数,依次记为m和n,则m>n的概率为（）

A. 710

B. 310

C. 35

D. 25

12. 甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜得所有12张游戏牌,并结束游戏。比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )

A. 甲得9张，乙得3张

B. 甲得6张，乙得6张

C. 甲得8张，乙得4张

D. 甲得10张，乙得2张

由题意,为了决出胜负,最多再赛两局,用“甲”表示甲胜,用“乙”表示乙胜,于是这两局有四种可能：(甲,甲),(甲,乙),(乙,甲),(乙,乙).

其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率是34,乙获胜的概率是14.

所以甲得到的游戏牌为12×34=9,乙得到圆心牌为12×14=3；

当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌，故选A.

二．填空题

13. 从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)=______.(结果用最简分数表示)

由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，

∴事件A的概率P=152，∵事件B为“抽得为黑桃”，∴事件B的概率是P=1352，

∴由互斥事件概率公式P(A∪B)=152+1352=726.故答案为：726.

14.日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是___.

由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15

分钟满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要2分钟，

记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，∴事件A发生的概率P=215，故答案为：215. 15. 如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为______．

16.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数上为减函数的概率是___.

三．解答题

17一小袋中有3只红色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同)，从袋中随机摸出3个球，(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?

(2)摸出的3个球为2个红球1个白球的概率是多少?

把3只红色乒乓球标记为A. B. C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3.

从6个球中随机摸出3个的基本事件为：

ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、

AC2、AC3、A12、A13、A23、

BC1、BC2、BC3、B12、B13、

B23、C12、C13、C23、123，共20个

(1)事件E={摸出的3个球为白球}，

事件E包含的基本事件有1个，即摸出123:P(E)=120=0.05

20. 为响应工业园区举行的万人体质监测活动，某高校招募了N名志愿服务者，将所有志愿者按年龄情况分为25～30，30～35，35～40，45～50，50～55六个层次，其频率分布直方图如图所示，已知35～45之间的志愿者共20人。

(1)计算N的值；

(2)从45～55之间的志愿者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取2名担任后勤保障工作，求恰好抽到1名女教师，1名男教师的概率。

21. 某港口船舶停靠的方案是先到先停。

(Ⅰ)若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平?请说明理由。

(2)根据已往经验，甲船将于早上7:00～8:00到达，乙船将于早上7:30～8:30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X?Y?0.5，有6次满足X?2Y?0.5.

22. 设关于x的一元二次方程为x2+2ax+b2=0.

(1)若a是从?2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。

(2)若a是从区间[?3,0]中任取的一个数,b是从区间[?2,0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。

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考点1 随机事件的概率

(Ⅲ)由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：

从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有C24=6种方法,红色和紫色的花在同一花坛,有2种方法,红色和紫色的花不在同一花坛,

有4种方法,所以所求的概率为

5. 小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )

从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：

(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)共15种。

其中只有一个是小敏的密码前两位。

由随机事件发生的概率可得,小敏输入一次密码能够成功开机的概率是故选：C.

6从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )

7. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是___.

将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，

出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，

出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：

(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共6个，

∴出现向上的点数之和小于10的概率：

8，从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是

从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，

基本事件总数n=A24=12，

log a b为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9)，共2个，

9.某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动。参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数。记两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy?3，则奖励玩具一个；

②若xy?8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶。

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动。

(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率；

(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由。

Ⅰ)两次记录的数为

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)，共16个，满足xy?3,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)，共5个，

∴小亮获得玩具的概率为516；

(Ⅱ)满足xy?8,(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(3,3),(4,4)共6个,∴小亮获得水杯的概率为；

小亮获得饮料的概率为，

∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率。

考点3 几何概型

10某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为秒。

若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待秒才出现绿灯的概率为（）。

A: B: C: D:

解析本题主要考查事件与概率。

至少需要等待秒才出现绿灯的概率为：。故本题正确答案为B。易错项分析：本题易错之处是利用几何概型计算概率时直接用等待时间与红灯时间的比值，其实应该是用红灯时间与等待时间的差与红灯时间的比值，主要是没有理解题意，不会用概率公式进行运算。

11. 在上随机抽取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_____ 。

解析本题主要考查直线与方程以及事件与概率。

当直线与圆相切时，该圆的圆心到直线的距离

，解得，所以，所求概率。

故本题正确答案为。

刷好题

1. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标,则

点P在直线下方的概率是( )

答案D

解:连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标,共可得到个点,

点P在直线下方的情况有,,,,,

,,,,,10种,

故点P在直线下方的概率为,所以D选项是正确的. 2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为，则函数

有两个不同零点的概率为（）

（A）（B）（C）（D）

答案D

解析抛掷一枚质地均匀的骰子包含个基本事件，由函数有两个不同零点，得，解得．又为正整数，故的取值有

，共种结果，所以函数有两个不同零点的概率为，故选D．考点：1.古典概型；2.二次函数的零点．

3记集合和集合

表示的平面区域分别为

,若在区域内任取一点则点落在区域内的概

率为____. A B C D

答案

A

解析根据题意可得集合所表示的区域即为如

图所表示的圆及内部的平面区域,面积为,

集合表示的平面区域即为图中

的