教学过程
一、复习预习
1. 了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。
2.理解函数的三种表示法:解析法、图像法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3.了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义,会判断简单的函数奇偶性。
5.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值。6.会运用函数图像理解和研究函数的性质。
二、知识讲解
考点1:奇、偶函数的概念和性质
1.奇、偶函数的概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.
2.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;
②两个偶函数的和、积都是偶函数;
③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
一条规律:
奇、偶函数的定义域关于原点对称.(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.)
两个性质:
(1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.
(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
三种方法
判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图像法;(3)性质法.
三条结论
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)=f(x)(其中a<b),则:y=f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数.
(3)若f(x+a)=-f(x)或
1
()
()
f x a
f x
+=
或
1
()
()
f x a
f x
+=-
,那么函数f(x)是周期函数,
其中一个周期为T=2a;
(3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=2|a-b|.
三、例题精析
【例题1】下列函数: ①f (x )=
1-x 2+
x 2-1;②f (x )=x 3-x ;③f (x )=ln(x +x 2+1);④f (x )=
3x -3-x
2
;
⑤f (x )=lg 1-x
1+x .其中奇函数的个数是( ).
A .2
B .3
C .4
D .5
②f(x)=x3-x的定义域为R,
又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),则f(x)=x3-x是奇函数;
x2+
则f(x)为奇函数.
【例题2】已知f (x )=x ?
????
12x
-1+12(x ≠0). (1)判断f(x)的奇偶性;(2)证明:f(x)>0.
【答案】(1)f(x)是偶函数;(2)见解析 【解析】(1)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)
∵f(x)=x ? ??
??12x -1+12=x 2·2x +1
2x -1. ∴f(-x)=-x 2·2-x +12-x -1=x 2·2x +1
2x -1=f(x).
故f(x)是偶函数.
(2)证明 当x >0时,2x >1,2x -1>0,
所以f(x)=x ?
????
12x -1+12>0. 当x <0时,-x >0,所以f(-x)>0,又f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x),所以f(x)>0. 综上,均有f(x)>0.
四、课堂运用
【基础】
1. 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=4-x2
|x+3|-3
;
(2)f(x)=x2-|x-a|+2.
【答案】(1)所以f(x)是奇函数;(2)当a=0时,所以f(x)是偶函数;当a≠0时,f(x)既
不是偶函数也不是奇函数.
【解析】(1)解不等式组?
????
4-x2≥0,
|x +3|-3≠0,
得-2≤x<0,或0 因此函数f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2], 则f(x)= 4-x2 x . f(-x)= 4 x 2 -x =- 4-x2 x =-f(x), 所以f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是(-∞,+∞). 当a =0时,f(x)=x2-|x|+2, f(-x)=x2-|-x|+2=x2-|x|+2=f(x). 因此f(x)是偶函数; 当a ≠0时,f(a)=a2+2, f(-a)=a2-|2a|+2, f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a). 因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数. 2.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-m2) <0的实数m 的取值范围. 【答案】-1≤m <1. 【解析】 ∵f(x)的定义域为[-2,2], ∴有????? -2≤1-m ≤2,-2≤1-m2≤2, 解得-1≤m ≤ 3.① 又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m >m2-1, 即-2<m <1.② 综合①②可知,-1≤m <1. 【巩固】 1.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数,且)(x f 是偶函数,在区间[]3,2上, .4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时,)(x f 的解析式. 【答案】).21(4)1(2)(2 ≤≤+--=∴x x x f 【解析】当[]2,3--∈x ,即[]3,2∈-x , 4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f 又)(x f 是以2为周期的周期函数,于是当[]2,1∈x ,即243-≤-≤-x 时, []). 21(4)1(243)4(2)() 4()(2 2 ≤≤+--=++--=?-=x x x x f x f x f 有 ).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f 2、设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+,=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点. 【答案】在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点. 【解析】(由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称,又由函数的性质得 )(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上, ,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+== 故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点. 而区间[)30,30-有6个周期,故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点. 【拔高】 1、已知f(x)是R 上的偶函数,对R x ∈都有f(x +6)=f(x)+f(3)成立,若f(1)=2,则 f(2007)=_________. 【答案】0 【解析】 (6)()(3)f x f x f +=+令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+f(3),即f(3)=f(-3)+f(3), 又∵f(x)为偶函数 ∴f(3)=f(3)+f(3),解得f(3)=0. ∴f(x+6)=f(x),即函数f(x)的周期为6. 因为2007÷6=334 (3) 所以f (2007)=f (3)=0. 课程小结 【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质,它们之间既有区别又有联系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,在命题时,常常将它们综合在一起命制试题. 【解决方案】根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为f x f x 或相反关系,而根据周期函数的定义知,函数的周期性主要体现为f x+T f x 的关系,它们都与f x 性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律,因此,在解题时,往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性来解决相关问题. 课后作业 【基础】 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 【答案】D 【解析】由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上递增,又f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数f(x)以8为周期, f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1), f(80)=f(0),故f(-25)<f(80)<f(11). 故选D. 【巩固】 2.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. 【答案】(1)见解析(2)f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2](3)f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=1 【解析】(1)证明函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数. (2) 当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 又f(x)的图象关于x=1对称,则f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2]. (3) ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1 又f(x)是以4为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 【拔高】 3.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间. 教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数 二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用 三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个. 考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 . 函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求:了解函数的奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标:1、理解函数奇偶性的概念; 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法; 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法; 4、培养学生观察和归纳的能力,培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点:1、理解奇偶函数的定义; 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法,并探索其中简单的规律。 教学难点:1、对奇偶性定义的理解; 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程: 一、知识要点: 1、函数奇偶性的概念 一般地,对于函数)(x f ,如果对于函数定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f =-,那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地,对于函数)(x f ,如果对于函数定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解: (1)奇偶性是针对整个定义域而言的,单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是,奇偶性是一个“整体”性质,单调性是一个“局部”性质; (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类,函数可分为四类: 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象: 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数,偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质: ①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。 ②常用的结论:若f(x)是奇函数,且x 在0处有定义,则f(0)=0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 . 函数的奇偶性 一、选择题 1.若)(x f 是奇函数,则其图象关于( ) A .x 轴对称 B .y 轴对称 C .原点对称 D .直线x y =对称 2.若函数y f x x R =∈()()是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象 上的是( ) A . (())a f a ,- B . (())--a f a , C . (())---a f a , D .(())a f a ,- 3.下列函数中为偶函数的是( ) A .x y = B .x y = C .2x y = D .13+=x y 4. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数,且最小值是5,那么)(x f 在[]3,7--上是( ) A .增函数,最小值是-5 B .增函数,最大值是-5 C .减函数,最小值是-5 D .减函数,最大值是-5 5. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数,则a 的值为( ) A .1- B .2- C .1 D .2 6.已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增,则下列关系式成立的是( ) A .)2()2 ()(f f f >- >-π π B .)()2 ()2(ππ ->->f f f C .)2 ()2()(π π- >>-f f f D .)()2()2 (ππ ->>- f f f 二、填空题 7.若函数)(x f y =是奇函数,3)1(=f ,则)1(-f 的值为____________ . 8.若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数,且)3()1(f f <,则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________. 9.已知)(x f 是定义在[)2,0-?(]0,2上的奇函数,当0>x 时,)(x f 的图象如右图所示,那么f (x ) 的值域是 . 函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5], 【知识要点】 一、函数的奇偶性的定义 对于函数()f x ,其定义域D 关于原点对称,如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=-,那么函数()f x 为奇函数;如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=,那么函数()f x 为偶函数. 二、奇偶函数的性质 1、奇偶函数的定义域关于原点对称; 2、 偶函数的图像关于y 轴对称,奇函数的图像关于原点对称; 3、偶函数在对称区间的增减性相同,奇函数在对称区间的增减性相反; 4、 奇函数在原点有定义时,必有 (0)0f =. 三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法,一般有三种:定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法 首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求()f x -;最后比较()f x -和()f x 的关系,如果有()f x -=()f x ,则函数是偶函数,如果有()f x -=-()f x ,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数. 2、和差判别法 对于函数定义域内的任意一个x ,若()()0f x f x -+=,则()f x 是奇函数;若()()0f x f x --=,则()f x 是偶函数. 3、 作商判别法 对于函数定义域内任意一个x ,设()0f x -≠,若()1()f x f x =--,则()f x 是奇函数,() 1() f x f x =-,则()f x 是偶函数. 【方法讲评】 方法一 定义法 使用情景 具体函数和抽象函数都适用. 解题步骤 首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求()f x -;最后比较()f x -和()f x 的关 系,如果有()f x -=()f x ,则函数是偶函数,如果有()f x -=-()f x ,则函数是奇函数,否 则是非奇非偶函数. 【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)x x x x f -+-=11)1()( (2)2lg(1) ()22 x f x x -=-- 【点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称,是函数为奇偶函数的必要非充分条件.(3)函数的定义域求出来之后,还要注意在解题中应用,不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简. 【例2】 定义在实数集上的函数()f x ,对任意x y R ∈、,有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =? 且(0)0f ≠ ①求证:(0)1f = ②求证:()y f x =是偶函数 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1 2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域, x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-, 0)()(=--x f x f ,那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ,都有()()x f x f -=-, 0)()(=+-x f x f ,那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 (2)在判断()x f 与()x f -的关系时,只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(,(2) x x x f -=3)( (3) ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(,(8) 提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 (2)常见的奇函数有:x x f =)(,3 )(x x f =,x x f sin )(=, (3)常见的奇函数有:2 )(x x f =,x x f =)(,x x f cos )(= (4)若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 为 偶函数,()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时, ) () (x g x f 为偶函数。 (5)若()x f ,()x g 都是奇函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 是奇函数,()-x f ()x g 是奇函数,()()x g x f ?是偶函数,当()x g ≠0时, ) () (x g x f 是偶函数。 1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________. 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+-- 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-, 0)()(=--x f x f ,那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ,都有()()x f x f -=-, 0)()(=+-x f x f ,那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 (2)在判断()x f 与()x f -的关系时,只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(,(2)x x x f -=3 )( (3)()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(,(8) 提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 (2)常见的奇函数有:x x f =)(,3 )(x x f =,x x f sin )(=, (3)常见的奇函数有:2 )(x x f =,x x f =)(,x x f cos )(= (4)若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 为 偶函数,()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时, ) () (x g x f 为偶函数。 (5)若()x f ,()x g 都是奇函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 是奇函数,()-x f ()x g 是奇函数,()()x g x f ?是偶函数,当()x g ≠0时, ) () (x g x f 是偶函数。 (6)常函数()()为常数c c x f =是偶函数,()f x =0既是偶函数又是奇函数。 (7)在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(8)对于复合函数()()[]x g f x F =;若()x g 为偶函数, ()f x 为奇(偶)函数,则()x F 都为《函数的奇偶性与周期性》教案
函数奇偶性的归纳总结
函数的奇偶性与周期性练习题
函数的奇偶性练习题
函数的奇偶性及周期性综合运用
第07招 函数的奇偶性的判断和证明
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
最新函数的奇偶性的经典总结
1.10基本初等函数奇偶性和周期性
函数的奇偶性和周期性
函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性与周期性试题(答案)