高中竞赛数学讲义第63讲极限
极限及其运算
相关知识
1.数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．
某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞
=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ” 2.几个重要极限：
（1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞
→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 →q q n n 3.函数极限的定义: (1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a . (2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a . (3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞ →x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ， 记作：∞ →x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a . 4 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞→那么 5 对于函数极限有如下的运算法则： 如果B x g A x f o o x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f o x x +=+→)]()([lim , B A x g x f o x x ?=?→)]()([lim , )0()()(lim ≠=→B B A x g x f o x x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=,n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用 6 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且0lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 7.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义： 如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. 8 函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义： 如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→a x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 9 最大值 f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1). 10 最小值 f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2). 11.最大值最小值定理 如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 . A 类例题 例1 （1）n n a a )1(lim -∞→等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.不能确定 分析 因为当|a a -1|＜1即a ＜2 1时，n n a a )1(lim -∞→=0， 当|a a -1|＞1时，n n a a )1(lim -∞→不存在. 当a a -1=1即a =2 1时，n n a a )1(lim -∞→=1 当a a -1=－1时，n n a a )1(lim -∞→也不存在. 答案 D. 例2 已知|a |＞|b |，且n n n n n n n n a b a a b a +<++∞→-∞→11lim lim (n ∈N *)，那么a 的取值范围是( ) A.a ＜－1 B.－1＜a ＜0 C.a ＞1 D.a ＞1或－1＜a ＜0 分析 左边=a a b a a b a n n n n n n 1])(1[lim lim 1=+=+∞→-∞→