功与能的十二招绝技(四种模型)环保型字体

功与能的十二招绝技（四种模型）

模型一：恒力功的求法

（1）类型一：先求各个分力的功，再算术求和 1、如图，斜面高H ，倾角为θ，滑块质量为m ，与斜面的动摩擦因数为μ，计算滑块由上端滑到底端过程中外力对物体做的

总功。

2、如图，两个与水平面夹角相同的力F 1和F 2作用在质量相等的物体上，使物体在水平面内做匀速直线运动。甲图中F 1为拉力，乙图中F 2为推力，当两物体经相同位移时，F 1和F 2对物体做功分别为W 1和W 2，若两物体与水平面的动摩擦因数相同，则

A ．W 1>W 2

B ．W 1=W 2

C ．W 1

D ．无法判断

（2）类型二：先求合力，再求合力的功

1、如图所示，质量为m 的物块始终固定在倾角为θ的斜面上，下列说法中正确的是（ ）

A 、 若斜面向右匀速移动距离s ，斜面对物块做功为0

B 、 若斜面向上匀速移动距离s ，斜面对物块做功mgs

C 、 若斜面向左以加速度a 移动距离s ，斜面对物块做功mas [来源:学.科.网]

D 、

若斜面向下以加速度a 移动距离s ，斜面对物块做功m （g ＋a ）s

2、起重机以1 m/s 2的加速度将质量为1000 kg 的货物由静止开始匀加速向上提升，若g 取10 m/s 2，则在1 s 内起重机对货物所做的功是( )

A ．500 J

B ．4500 J

C ．5000 J

D ．5500 J

3、如图3所示在倾角为θ的光滑斜面上，木板与滑块质量相等，均为m ，木板长为l .一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别与木板、滑块相连，滑块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时，滑块静止在木板的上端，现用与斜面平行的未知力F ，将滑块缓慢拉至木板的下端，拉力做功为 ( )

A ．μmgl cos θ

B ．2μmgl

C ．2μmgl cos θ D.1

2μmgl

4、如图甲，质量为m 的物块与倾角为

θ的斜面相对静止，

当斜面沿水平面向左匀速运动位移s 时，求物体所受重力、支持力、摩擦力做的功。

图甲 图乙

（3）类型三：图像法

1、如图所示，图线表示作用在做直线运动的物体上的合外力与物体运动距离的对应关系，物体开始时处于静止状态，则当物体在外力的作用下运动30m 的过程中，求合外力对物体做的功？

m

H

θ

m

2、杂技演员在进行“顶杆”表演时，用的是一根质量可忽略不计的长竹竿，质量为30 kg的演员自杆顶由静止开始下滑，滑到杆底时速度正好为零．已知竹竿底部与下面顶杆人肩部之间有一传感器，传感器显示顶杆人肩部的受力情况如图所示，取g= 10 m/s2.

求：(1)杆上的人下滑过程中的最大速度；

(2)竹竿的长度．

3、某物体同时受到两个力在同一直线上的力F1、F2的作用，从静止开始沿光滑水平面做直线运动，其位移与力F1、F2的关系

图像如下所示，在这4m内，物体具有最大动能时的位移是（）

A、1m

B、2m、

C、3m

D、4m

4、（多选）物体沿直线运动的v-t图像如图所示，已知在第一秒内合力对物体做的功为W，则（）

A、从第1s末到第3s末合力做的功为4W

B、从第3s末到第5s末合力做的功为-2W

C、从第5s末到第7s末合力做的功为W

D、从第3s末到第4s末合力做的功为-0.75W

（4）类型四：能量法

1、如图所示，光滑的水平面AB与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC竖直，圆轨道半径为R一个质量为m的物体放在A处，AB=2R，物体在水平恒力F的作用下由静止开始运动，当物体运动到B点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的定点C水平抛出，

求水平力

2、如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑

口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆在重力作用下落回深坑，夯实坑底。已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4 m／s，滚轮对夯杆的压力F N =2×104N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯杆质量m=1×103kg，坑深h=6.4 m，取g=10m ／s2．求：

（1）夯杆自坑底开始匀加速上升，当速度增加到4 m／s时，夯杆上升的高度；

（2）夯杆自坑底上升的最大高度；

（3）每次滚轮将夯杆提起的过程中，电动机对夯杆所做的功

3、如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h ，质量为m 的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A 制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上，另一端恰位于滑道的末端O 点。已知在OM 段，物块A 与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g ，求：

（1）物块速度滑到O 点时的速度大小； （2）弹簧为最大压缩量d 时的弹性势能

（设弹簧处于原长时弹性势能为零） （3）若物块A 能够被弹回到坡道上，则它

能够上升的最大高度是多少？

模型二：变力功的求法 （1）类型一：转化法

1、人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg 的物体，如图1所示，开始绳与水平方向夹角为

60，当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动m s 2=而到达B 点，此时绳与水平方向成 30角，求人对绳的拉力做了多少功？

2、如图３所示，用恒力F 作用在细绳一端，通过光滑定滑轮把静止在水平面的物体从位置A 拉到位置B ，物体的质量为m ，定滑轮距水平面的高度为h ，物体在水平面上位置A 、B 时细绳与水平方向的夹角分别为α、β。求拉动过程中拉力对物体做的功。

（2）类型二：图像法

1、一滑块在水平地面上沿直线滑行，t=0时其速度为1 m/s.从此刻开始滑块运动方向上再施加一水平面作用力F,力F 和滑块的速度v 随时间的变化规律分别如图a 和图b 所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F 对滑块做的功分别为W 1、W

2、W 3,则以下关系式正确的是（ ） A. W 1=W 2=W 3

B.W 1

C.W 1

D. W 1=W 2

2、静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ）

A ．0

B ．

021x F m C ．04x F m π

D ．204

x π

图

1

h

F

α β图

F

F

x

F ?

O

x 0

图2－甲

图2

3、如图5所示，一个劲度系数为的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由

原长开始到伸长量为x 1过程中拉力所做的功。如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x 1增大到x 2的过程中，拉力又做了多少功？

4、一物体放在水平地面上，如图1所示，已知物体所受水平拉力F 随时间t 的变化情况如图2所示，物体相应的速度v 随时间t 的变化关系如图3所示．求：

（1）0～6s 时间内物体的位移； （2）0～8s 时间内拉力的功；

（3）0～10s 时间内，物体克服摩擦力所做的功．

（3）类型三：函数法（或平均力法） 学法指导：求変力做功可通过W

F S =?求，但只有在変力

F 与位移S 成正比例、或一次函数关系时，即成线性关系时，

12

2

F F F +=

才成立。用平均值求变力做功的关键是先判断変力F 与位移S 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力

F 1和末状态的力F 2。

1、用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm ，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？

2、一辆汽车质量为1×105

kg ，从静止开始运动，其阻力f 为车重的0.05倍。牵引力F 的大小与车前进的距离是线性关系，

且f

s F +=310，当该车前进100m 时，牵引力做了多少功？

3、如图5所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块正立方体木块，木块的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。

图5

4、如图2所示，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的滑块，静止在光滑水平面上O 点处，现

将滑块从位置O 拉到最大位移处由静止释放，滑块向左运动了s 米（

）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功。

5、一个质量为m=2kg 的铅球从离地面H=2m 高处自由落下，落入沙坑中h=5cm 深处，如图所示，求沙子对铅球的平均阻力。（g 取10m/s 2

）

（4）类型四：微元法

所谓微元分析，就是将变力做功的空间（位移）无限划分为相等的小段，这样，在每个小段里变力便可看作恒力，每个小段里的功可由公式αcos Fs W

=计算，

整个过程中变力的功就是各小段里“恒力”功的总和，即∑?=αcos s F W 。 1、用水平拉力拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做的功。

2、（较难）如图6所示，质量为m 的小车以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，

试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。

（5）类型五：功率法

1、质量为5000Kg 的汽车，在平直公路上以60kW 的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m /s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间.

2、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？

3、一辆汽车在平直公路上从速度v 0开始加速行驶，经时间t 后，前进了距离s ,此时恰好达到其最大速度v max ,设此过程中发动机始终以额定功率P 工作，汽车所受阻力恒为F ,则在这段时间里，发动机所做的功为

A. Fs

B. Pt

C.

21 mv 2max +Fs -2

1mv 0

2

D.F ·

2

max v v +·t

图

6

图1

h H

（6）类型六：积分法 （7）类型七：能量法

1、如图2所示，原来质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F 做功为（ ） A. θcos FL B. θsin FL

C. ()θcos 1-FL

D. ()θcos 1-mgL

2、人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量为m 的物体。如图所示，已知人拉绳子从A 到B 的过程中，物体由静止被提升了高度为h ，且人在B 处时，物体的速度为v ，求人在整个过程中拉力做的功的大小是多少？（忽略人的高度）

3、如图，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板P 为0s ，以速度0v 沿斜面上滑，

滑块与斜面的动摩擦因数为

μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力，若滑块每次与挡板相碰均无能量损失，求滑块在

斜面上经过的总路程是多少？

4、如图5所示，物体沿曲面从A 点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B 时，下滑的高度为5m ，速度为6m/s 。若物体的质量为1kg 。则下滑过程中物体克服阻力所做的功为多少？

5、如图6所示，质量m ＝2kg 的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O 处。将橡皮条拉直至水平位置OA 处（橡皮条无形变）然后将小球从A 处由静止释放，小球到达O 点正下方h ＝0.5m 处的B 点时的速度为v ＝2m/s 。求小球从A 运动到B 的过程

中橡皮条的弹力对小球所做的功。取g ＝10m/s 2

。

6、如图6所示，质量m 为2kg 的物体，从光滑斜面的顶端A 点以v m s 0

5=/的初速度滑下，

在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B 点时的速度为零，已知从A 到B 的竖直高度h m =5，求弹簧的弹力对物体所做的功。

图

2

图 5

图

6

7、质量为m 的物体由半圆形轨道顶端从静止开始释放，如图4所示，A 为轨道最低点，A 与圆心0在同一竖直线上，已知圆弧轨道半径为R ，运动到A 点时，物体对轨道的压力大小为2.5m g ，求此过程中物体克服摩擦力做的功。

8、如图6所示，m A =4kg ，A 放在动摩擦因数μ=0.2的水平桌面上，m B =1kg ，B 与地相距h=0.8m ，A 、B 均从静止开始运动，设A 距桌子边缘足够远，g 取10m/s 2

，求： （1）B 落地时的速度；

（2）B 落地后，A 在桌面滑行多远才静止。

(8)类型八：转换坐标系法

宇宙中某一惯性参照系中，有两个质点A 和B ，质量分别为m 和M ，相距L ，开始时A 静止，B 具有A 、B 连线延伸方向的初速度v ，由于受外力F 的作用，B 做匀速运动。 （1） 试求A 、B 间距离最大时的F 值； （2） 试求从开始到A 、B 最远时力F 做的功；

【解析】此题中A 在万有引力作用下做变加速运动，要用功能原理来解。若用微元法求变力做功，会因数学知识的限制而不易找出F 作用的位移和A 、B 间的距离的对应关系而很难求解。而本题可通过变换参照系，在同样满足机械能守恒的条件下，避开求变力做功，从而简化了解题过程。

⑴将原来的惯性参照系记为S ，相对B 静止的参照系记为S’，在S’系中，B 没有位移，所以力F 做功为零，计算得以简化。在S’系中，A 开始以v 背离B 运动，最后在万有引力的作用下减速到零，此时A 、B 间的距离最大，记为L m 。在S’系中，据机械能守恒，有

m

L Mm

G

L Mm G mv -=-221 所以

2

22Lv GM LGM

L m -=

此时A 、B 的万有引力为

2

2

24)2(G M L

Lv GM m F -=

⑵回到S 系中，当A 、B 的间距达到Lm 时，A 、B 都以v 速度，根据功能原理，F 力所做的功

)11(21)21()(21222m

m L L GMm mv L

Mm G Mv L Mm G v m M W -+=

---+=

由⑴中知

2111()2

m GMm mv L L -= 因此 2

mv W =

模型三：摩擦力的功

1、质量为M 的长木板放在光滑的水平面上(如图 所示)，一个质量为m 的滑块以某一速度沿木板表面从A 点滑至B 点，在木板上前进了Lm ，而木板前进Sm ．若滑块与木板间动摩擦因数为μ，问：

(1)摩擦力对滑块所做功多大？ (2)摩擦力对木板所做功多大？

2、如右所示的水平传送装置，AB 间距为l ，传送带以速度v 匀速运转，把一质量为m 的零件无初速度地放在传送带的A 处，已知零件与传动带之间的动摩擦因数为μ，试求从A 到B 的过程中，摩擦力对零件所做的功。

3、质量为M 、长为L 的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m 的小物块，如图8－1所示．现在长木板右端加一水平恒力F ，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为μ，求把长木板抽出来所做的功．

4、质量为m 1的长木板放在光滑的水平面上(如图6所示)，一个质量为m 2的滑块以某一速度沿木板表面从A 点滑至B 点，在木板上前进了l ，而木板前进x .若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，问：

(1)摩擦力对滑块所做的功是多大？ (2)摩擦力对木板所做的功是多大？

5、如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d ，木块的位移为s ，木块对子弹的摩擦力大小为F ，则木块对子弹的摩擦力做的功为

___

__ _ __；

子弹对木块的摩擦力做的功为

______ __。

5、如图所示，绷紧的水平传送带始终保持着大小为v ＝4m/s 的速度水平向右匀速运动。一质量为m ＝2kg 的物体轻轻地无初速地放到皮带A 处，物体与皮带间的动摩擦因数μ＝0.2，A 、B 之间的距离s ＝6m ，g 取10m/s 2

，求物体从A 运动到B 的过程中摩擦力对物体做功多少？

v

A

B

s

d

v v 模型四：平均功率、瞬时功率

1、设河水阻力跟船的速度平方成正比,若船匀速运动的速度变为原来的2倍,则船的功率变为原来的( )

A.

2

倍

B. 2

倍

C.

4

倍 D.8倍

2、物体所受到的合外力为一恒力，由静止开始运动，该力的作用时间越长，则( )

A .物体的瞬时速度越大

B .物体的瞬时加速度越大

C .单位时间做功越多

D .瞬时功率越大

3、如图2所示，质量为m 的小球以初速度v 0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，(不计空气阻力)则球落在斜面上时重力的瞬时功率为( )

A ．mg v 0tan θ B.mg v 0

tan θ

C.mg v 0sin θ

D ．mg v 0cos θ 4、一质量为m 的物体，同时受几个力的作用而处于静止状态．某时刻其中一个力F 突然变为F

3，则经过时间t ，合力的功率的

大小是( )

A.

2F 2t 9m B.4F 2t 9m C.2F 2t 3m D.4F 2t

3m

5、某汽车以额定功率在水平路面上行驶，空载时的最大速度为v 1，装满货物后的最大速度为v 2，已知汽车空车的质量为m 0，

汽车所受的阻力跟车重成正比，则汽车后来所装的货物的质量是 ( )

A.v 1－v 2v 2m 0

B.v 1＋v 2v 2m 0 C ．m 0 D.v 1v 2

m 0

6、起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，某速度图象如图1所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是 ( )

7、如图是一汽车在平直路面上启动的速度－时间图象，在0~t1段图像是直线段，t1时刻起汽车的功率保持不变。已知路面阻力不变，则由图象可知（ ）

A ．0~ t1时间内，汽车牵引力增大，加速度增大，功率不变

B ．0~ t1时间内，汽车牵引力不变，加速度不变，功率增大

C ．t1~t2时间内，汽车牵引力减小，加速度减小

D ．t1~ t2时间内，汽车牵引力不变，加速度不变

8、如图6甲所示，质量为m 的一物块在t ＝0时刻，以初速度v 0从足够长的粗糙斜面底端向上滑行，物块速度随时间变化的图象如图乙所示，t 0时刻物块到达最高点，3t 0时刻物块又返回底端．由此可以确定( )

A ．物块返回底端时的速度

B ．物块所受摩擦力大小

C ．返回到低端时重力的功率

D ．3t 0时间内物块克服摩擦力所做的功

9、质量为m=2×103kg 的汽车在平直路面上由静止开始匀加速运动，5s 时汽车的输出功率达到额定功率，之后汽车保持输出功率不变做加速运动，汽车运动的速度图象如图所示．整个过程中汽车所受阻力是恒定的，则（ ） A ．汽车的额定功率为8×104W B ．汽车运动中所受阻力为2×103N C ．5-55s 内汽车的平均速度为18.5m/s

D ．汽车运动速度达到15m/s 时加速度为0.5m/s2

10、某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究．他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v-t 图象，如图所示（除2s-10s 时间段图象为曲线外，其余时间段图象均为直线）．已知在小车

运动的过程中，2s-14s 时间段内小车的功率保持不变，在14s 末停止遥控而让小车自由滑行．小车的质量为1.0kg ，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变．则（ ） A ．小车所受到的阻力大小为1.5N B ．小车匀速行驶阶段发动机的功率为9W C ．小车在加速运动过程中位移的大小为48m

D ．小车在加速运动过程中位移的大小为39m

11、水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0<μ<1)．现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动．设F 的方向与水平面夹角为θ，如图5，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则 ( )

A ．F 先减小后增大

B ．F 一直增大

C ．F 的功率减小

D ．F 的功率不变

12、如图7所示，一质量m ＝4.0 kg 的物体，由高h ＝2.0 m ，倾角θ＝53°的斜面顶端滑到底端．物体与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.2. (g 取10 m/s 2)

(1)求物体所受合外力做功的平均功率． (2)到达低端时重力的瞬时功率

13、一辆质量为2.0×103kg 的汽车以额定功率为6.0×104W 在水平公路上行驶，汽车受到的阻力为一定值，在某时刻汽车的速度为20m/s ，加速度为0.50m/s2，(g 取10m/s2)求：

(1) 汽车受到的阻力是多大？(2)汽车所能达到的最大速度是多大? (3)当汽车的速度为10m/s 时的加速度是多大?

14、图8为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m ＝5×103 kg 的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a ＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm ＝1.02 m/s 的匀速运动．取g ＝10 m/s2，不计额外功．求：

(1)起重机在第2秒末的输出功率．(2)起重机允许输出的最大功率．

15、一列火车总质量为M=500t （t 是吨），机车发动机的额定功率为5

610P W =?，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力

f

为车重的0.01倍，g=10m/s2。求： （1）火车在水平轨道上行驶的最大速率；

（2）在水平轨道上，发动机以额定动率P 工作，当行驶速度为11/v m s =和 210/v m s =时，列车的瞬时加速度各是多少？

（3）在水平轨道上以速度10/v

m s =匀速行驶时，发动机的实际功率是多少？

（4）若火车从静止开始，保持0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间。

16、（20分)某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v —t 图象，如图所示（除2s —10s 时间段图象为曲线外，其余时间段图象均为直线）。已知在小车运动的过程中，2s —14s 时间段内小车的功率保持不变，在14s 末停止遥控而让小车自由滑行，小车的质量为1.0kg ,可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变．求：

（1）小车所受到的阻力大小；（2）小车匀速行驶阶段的功率； （3）小车在加速运动过程中位移的大小．

v /m

t /s

第16题