反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质
一．基本知识：
1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；
2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；
3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；
4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],
(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－
，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。
（A）y＝sin x, x∈[－π, 0]（B）y＝sin x, x∈[, ]
（C）y＝sin x, x∈[,] （D）y＝sin x,
x∈[,]
解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。
例三． arcsin(sin10)等于（C）。
（A）2π－10 （B）10－2π（C）3π－10 （D）10－3π
解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相
等，且该角度在[－, ]上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。（
例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。
（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.
解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2
由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),
∴ x＝－arcsin, ∴ f－1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].
(2) f(x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],
∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝sin y,
∴f－1(x)＝sin x , x∈[,], y∈[－, ]. 例五．求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),
解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).
(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴
≤x≤,
由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋
x≤, ∴ －≤y≤arcsin.
(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴x∈R, y∈(0, ).
例六．求下列函数的值域：
(1) y＝arccos(sin x), x∈(－, ); (2) y ＝arcsin x＋arctg x.
解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ si n x∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).
(2) ∵y＝arcsin x＋arctg x., x∈[－1, 1], 且arcsin x与arctg x都是增函数,
∴ －≤arcsin x≤, －≤arctg x≤, ∴ y∈[－,].
例七．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝x arcsin(sin x); (2) f (x)＝－
arcctg x.
解：(1) f (x)的定义域是R，f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝x arcsin(sin x)＝f (x),
∴ f (x)是偶函数;
(2) f (x)的定义域是R,
f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcct
g x)＝arcctg x－＝－f (－x),
∴ f (x)是奇函数.
例八．作函数y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π]的图象.
解：y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π], 得, 图象略。
例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。
解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大,
设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝ ∴ arctg< arcsin< arccos(－).例十．解不等式：(1) arcsin x 解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsin x＝arccos x, 又arcsin x是增函数,arccos x是减函数， ∴ 当x∈[－1, )时, arcsin x (2) ∵ arccos x＝－arcsin x, ∴ 原式化简得4arcsin x>, ∴ arcsin x>＝arcsin, ∵ arcsin x是增函数, ∴ 二．基础知识自测题： 1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是[0, π] . 3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是. 4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝. 8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝. 9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝. 三．基本技能训练题： 1．下列关系式总成立的是（B）。 （A）π－arccos x>0 （B）π－arcctg x>0 （C）arcsin x－≥0 （D）arctg x－>0 2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。 （A）y＝arcsin x（B）y＝arccos x（C）y＝arctg x （D）y＝arcctg x 3．不等式arcsin x>－的解集是. 4．不等式arccos x>的解集是.