多边形及其内角和知识点

知识要点梳理

边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）

3、4、6/。

拼成360度的角

：3、4。

知识点一：多边形及有关概念

1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

（1）多边形的一些要素：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：

①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；

②首尾顺次相连，二者缺一不可;

③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间

多边形.

2、多边形的分类:

(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这

条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.

凸多边形凹多边形

图1

(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角

形是边数最少的多边形．

知识点二：正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形

要点诠释：

各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形

知识点三：多边形的对角线

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的

一条对角线。

要点诠释：

(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3)

条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。

知识点四：多边形的内角和公式

1.公式：边形的内角和为.

2.公式的证明：

证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为

，再减去一个周角，即得到边形的内角和为.

证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于.

证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，

即.

要点诠释：

(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。

(2)内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和；

②已知多边形内角和，求其边数。

知识点五：多边形的外角和公式

1.公式：多边形的外角和等于360°.

2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为

，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。

要点诠释：

(1)外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加

1条边，内角和增加180°。

②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。

知识点六：镶嵌的概念和特征

1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。

2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。

3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：

(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。

(2)只用一种正多边形镶嵌地面

对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形。

事实上，正n边形的每一个内角为，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样

360°＝，由此导出k＝＝2＋，而k是正整数，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。

注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。

(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面

用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：

又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边

形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各

角之和恰好为一个周角360°。

规律方法指导

1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；

边数减少，内角和减少. 每增加一条边，内角的和

就增加180°（反过来也成立），且多边形的内

角和必须是180°的整数倍.

2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.

3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角

（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少

没有钝角.

4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值

时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节

问题的常用方法.

5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.

经典例题透析

类型一：多边形内角和及外角和定理应用

1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？

总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.

举一反三：

【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.

【

【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？

【答案】设这个多边形的边数为，这个内角为，

.

【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多

边形的边数。

类型二：多边形对角线公式的运用

2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都

进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？

思路点拨：本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数. 如图：

总结升华：对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决.

举一反三：

【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.

A．6 B．7C．8 D．9

【变式2】一个十二边形有几条对角线。

总结升华：对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。

类型三：可转化为多边形内角和问题

3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.

思路点拨:设法将这几个角转移到一个多边形中，然后利用多边形内角和公式求解.

总结升华：本题通过作辅助线，把∠A与∠G的和转化为∠1与∠2的和，从而把

问题变为求五边形的内角和运算，“转化思想”是解决本题的关键.

举一反三：

【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.

【变式2】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。

类型四：实际应用题

4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？

思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.

解析：如图，

总结升华：旋转的角度是指原来前进的方向与转弯后的方向的夹角.小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处，转过的角度都是360

举一反三：

【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，

又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了

__________m.

【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走

10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。

【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.

思路点拨：本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为540°，又由AB∥CF，CD∥AE，可知∠BAE+∠AEF+∠EFC=360°，从540°中减去80°再减去360°，剩下∠C的度数为100°，所以只需测∠C 的度数即可，同理还可直接测∠A的度数.

总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线.

类型五：镶嵌问题

5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。

(1)正方形和正八边形；

(2)正三角形和正十二边形；

(3)正三角形、正方形和正六边形。

思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。

解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60°、90°、120°、135°、150°。

(1)因为90＋2×135＝360，所以一个顶点处有1个正方形、2个正八边形，如图(1)所示。

(2)因为60＋2×150＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形，如图(2)所示。

(3)因为60＋2×90＋120＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2个正方形，如图(3)

所示。

总结升华：用两种以上边长相等的正多边

形组合成平面图形，实质上是相关正多边形

“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问

题。举一反三：

【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④

解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板，故【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是( )

A、4

B、5

C、6

D、8

【答案】A（提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以2，然后用360°减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）

1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）

A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角

2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（）

A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形

3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（）

A．6条 B．7条 C．8条 D．9条

4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（）

A．增加 B．减小 C．不变 D．不定

5．若多边形的外角和等于内角和的和，它的边数是（）

A．3 B．4 C．5 D．7

6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（）

A．五边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形

7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（）

A．四边形 B，五边形 C．六边形 D．七边形

8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（）

A．180° B．360° C．720° D．1080°

9．n边形的n个内角中锐角最多有（）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（）

A．八边形 B．九边形 C．十边形 D，十一边形

5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数．

6．n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n．

7．五边形ABCDE的各内角都相等，且AE＝DE，AD∥CB吗？

8．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？

9．四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．

10．在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DAC＝2∠BAC．

求证：∠DBC＝2∠BDC．

命题、定理、证明

一、本节学习指导

这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，不能是问句，也不能是省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。

2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。因此命题可以写成“如果······，那么······”的形式。

3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。

4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 二、知识要点 1、命题、定理、证明 ⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 ⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题）

命题 假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。

⑷ 定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以作为判断命题 其他真假的依据，这样的命题叫定理。⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤

① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过

2、常用数学口诀.

平方差公式: 22()()a b a b a b -=+-

口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

完全平方差公式: 222()2a b a ab b -=-+

完全平方和公式：222()2a b a ab b +=++

口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；

首±尾括号带平方，尾项符号随中央。

证明

知识点一 证明的含义

从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。 注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理，得出结论。

（2）证明的过程必须做到步步有据。

知识点二命题的证明

证明几何命题的表述格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。

知识点三折叠问题

1、同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线

翻折180°，使它与另一部分在这条直线

2、折叠的性质：折叠不改变图形的大小和形状，即折叠部分在折叠前后是全等的图形，满足公理“轴反射”知识点四反证法

从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

反证法的关键在于反设所证命题的结论。适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较简单。

反证法证题步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论成立。

例在△ABC中，∠A 、∠B 、∠C是它的三个内角。

求证：在∠A 、∠B、∠C中不可能有两个直角。

逆命题和逆定理

1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

3、每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理。

线段的垂直平分线

1、定理：线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

2、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、线段垂直平分线可以看作和一条线段两个端点距离相等的点的集合。

角的平分线

1、角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。

2、角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线所在的直线。

3、角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

4、角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

5、角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的集合。

直角三角形全等的判定

1、直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用。

2、直角三角形全等的判定定理

定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L.）。

直角三角形的性质

直角三角形的性质，可以从它的角、边以及特殊线段之间构成的各种关系的特征去理解。

1、定理1：直角三角形的两个锐角互余。

2、定理2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于?30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于?30。

勾股定理

1、在直角三角形中，斜边大于直角边。

2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

4、勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用。

两点的距离公式

在直角坐标平面内：

1、x 轴或平行于x 轴的直线上的两点),(11y x P ，),(22y x P 间的距离2121x x P P -=。

2、y 轴或平行于y 轴的直线上的两点),(11y x Q ，),(22y x Q 间的距离2121y y Q Q -=。

3、在x 轴上一点)0,(11x P 与在y 轴上一点),0(11y Q 之间的距离212111y x Q P +=

4、任意两点),(11y x A ，),(22y x B 之间的距离公式是221221)()(y y x x AB -+-=

练习

1．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________．

2．命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A 与∠B 互余”的逆命题是________，它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题．

3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题的条件是___________，结论是_____________．

写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。

1、全等三角形的对应角相等；

2、自然数必为有理数；

3、若|a|＝|b|，则a ＝b ；

4、若a ＝b ，则

33a b =； 5、若x ＝a ，则2()0x a b x ab -++=；

解：1、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形。原命题为真命题，逆命题为假命题；

2、逆命题为：有理数必为自然数。原命题为真命题，逆命题为假命题；

3、逆命题为：若a ＝b ，则|a|＝|b|。原命题为假命题，逆命题为真命题；

4、逆命题为：若33a b =，则a ＝b 。原命题为为真命题，逆命题为真命题；

5、逆命题为：若2()0x a b x ab -++=，则x ＝a 。原命题为真命题，逆命题为假命题。

练习．写出下列命题的逆命题．

(1)如果a+b ＞0，那么a ＞0，b ＞0． (2)如果a ＞0，那么a 2＞0．(3)等角的补角相等．(4)对顶角相等

例：“两直线平行，内错角相等”的题设是______，结论是_____它是命题。

练习

1．命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是_____，结论是

______．

二、互逆命题

1．概念：互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

例1．指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）对顶角相等．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

基础巩固题

1．下列语言是命题的是( )A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题中真命题的个数是( )①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为10；、②直角三角形的最大边长为3，最小边长为1，则另一边长为2；

③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41；④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A．1个B．2个c．3个D．4个

3．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．直角都相B．钝角都小于180。C．如果x2+y2=0，那么x=y=0 D．对顶角相等

4．下列说法中，正确的是()A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的

C．任何命题都有逆命题D．定理、公理都应经过证明后才能用

5．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()A．全等三角形的对应角相等B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形C．等边三角形是锐角三角形D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

7．证明一个命题是假命题的方法有__________．

8．将命题“所有直角都相等”改写成“如果……那么…”的形式为___________。

9．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

10．如图19—4—7所示，已知△A BC的三边长分别为a，b，c，且a+b＝4，a b=1，c=14。试判断△ABC的形状．

探究提高题

11．下列说法中，正确的是( ) A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

12．下列定理中，没有逆定理的是( )

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

拓展延伸题

15．下列命题中的真命题是( ) A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

16．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．

其中，正确命题的个数为( ) A．0个B．1个C．2个D．3个

中考模拟

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

证明下列各个命题

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

多边形及其内角和讲义(学生用)

多边形内角和 第一部分知识点回顾 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类2： 多边形非正多边形： 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 只用一种正多边形：3、4、6/。 镶嵌拼成360度的角 只用一种非正多边形（全等）：3、4。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在同一平面内。多边形的分类：不叫三边形 2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。 实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。 注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌。 第二部分经典习题 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形 【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数. 【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少 . 【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。 类型二：多边形对角线公式的运用 2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗 【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】一个十二边形有几条对角线。

多边形的知识点总结

个性化教学辅导方案 教学 内容 多边形 教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念． 2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算． 重点难点重点：（1）多边形的内角和公式．（2）多边形的外角和公式．难点：多边形内角和的推导。 教学过程知识梳理 一、多边形基础 你能仿照三角形的定义给多边形定义吗 1．定义：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．） 2．多边形的边、顶点、内角和外角． 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．每相邻的两条线的交点叫作多边形的顶点。 总结：对于一个n边形，（n≥3）它有个顶点，个内角。 3．多边形的对角线

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 你能推导出n边形的对角线的条数公式吗 例1：若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 4．凸多边形与凹多边形 在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形． 5、由正方形的特征出发，得出正多边形的概念． 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 例1：画出下图中的六边形ABCDEF的所有对角线．

多边形知识点

《多边形》知识点 1．三角形 （1）三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。这三条线段就是三角形的边。 （2）内角：在三角形里，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，一个三角形有三个内角。 （3）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。 【注】CB的反向延长线是从点B到点C方向延长得到的一条射线 （4）顶点：三角形中，每两边的交点叫做三角形的顶点，三角形共有三个顶点。2．三角形的分类 （1）按内角的大小分类 三角形: 1)直角三角形 2)斜三角形:a、锐角三角形 B、钝角三角形 （2）按边分类 三角形：1）不等边三角形 2）等腰三角形：a、等边三角形（正三角形） b、底和腰不相等的等腰三角形 3．三角形的三种重要线段 （1）角平分线： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）中线：在三角形里，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的中线把三角形平均分成两个面积完全相等的小三角形。 （3）高线：从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。 【注】1）三角形中，角平分线、中线、高线都有三条，都交于一点，都是线段。 2）三角形的角平分线和中线都在三角形的内部。而锐角三角形的三条高线在内 部；直角三角形的两条高在直角边，斜边的高在形内；钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外。 3）锐角三角形的三条高交于三角形的内部，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高不相交，但是钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形的外部。 4．三角形内外角关系 （1）三角形的内角和是180° （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 （4）与三角形的每个内角相邻的外角有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和成为三角形的外角和。 （5）三角形的外角和是360° （6）锐角三角形的两个锐角互余。 5．三角形的三边关系 （1）三角形的任意两边之和大于第三边。 （2）三角形的任意两边之差小于第三边。

三角形--讲义

三角形 讲义 一、 基础知识 （一）与三角形有关的线段 1三角形： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形 叫做三角形。 2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。 3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三 角形的角。 4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。 6三角形具有稳定性。 （二）与三角形有关的角 1三角形的内角和等于（180°） 2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 3三角形的外角和（360°）。 4.直角三角形的两个锐角互余。 （三）多边形及其内角和 1多边形 ：一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成 的平面图形称为n 边形，又叫多边形。 2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正 多边形。 3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形 的对角线，每个多边形有 )3(2 1 n n 条对角线。 4多边形的内角和：n 边形的内角和等于（（2）?180°） 5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也 互补。 6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相 加，得到的和称为多边形的外角和。 任意多边形的外角和等于 （360°）。 （四）三角形的分类 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 按边分类：不等边三角形、等腰三角形 （包含底边和腰不相等的等腰三 角形、等边三角形） （五）镶嵌 1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 2、用相同的正多边形镶嵌

多边形及其内角和练习题及答案初一数学

7.3 多边形及其内角和 (检测时间50分钟满分100分) 一、选择题:(每小题3分,共24分) 1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.不能作为正多边形的内角的度数的是( ) A.120 B.(1284 7)°C.144 D.145° 3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( ) A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4 4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( ) A.都是钝角; B.都是锐角 C.是一个锐角、一个钝角 D.是一个锐角、一个直角 6.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( ) A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形 8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( ) A.90° B.105° C.130° D.120° 二、填空题:(每小题3分,共15分) 1.多边形的内角中,最多有________个直角. 2.从n边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线, 这些对角线可以将这个多 边形分成________个三角形. 3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边 形的边数最少为________. 4.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则 这个多边形的边数为_________. 5.每个内角都为144°的多边形为_________边形. 三、基础训练:(每小题12分,共24分) 1.如图所示,用火柴杆摆出一系列 三角形图案,按这种方式摆下去, 当摆到20层(n=20)时,需要多少 根火柴? 2.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数. 四、提高训练:(共15分) 一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值. 五、探索发现:(共18分) 从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下n边形共有多少条对角线. 六、中考题与竞赛题:(共4分) (2002·湖南)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 n=3 n=2 n=1

讲义-多边形及角度计算

第三讲多边形及角度计算 （补充讲义） Part1 三角形外角 【知识回顾】 1.外角：延长多边形的一边，与邻边的夹角就叫这个多边形的一个外角。 2.三角形的外角等于不相邻两个内角的和。 3.三角形内角和180°，外角和360°。 4.（1）按角分类 直角三角形 三角形锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 （2）按边分类 不等边三角形 三角形等边三角形 等腰三角形 底边和腰不等的等腰三角形 【涉及题型】 1.3个外角模型。 2.利用外角、内角求角度度数。 【精讲例题】 例1.【外角求角度】（1）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（） A．15° B．20°C．25°D．30°

（2）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数为（ ） A ．180° B ．360° C ．540° D ．720° Part2多边形的认识 【知识回顾】 1.多边形内角和公式：180°·（n-2）。 2.多边形外角和：360°。 3.多边形对角线条数公式： 。 4.正多边形：每个内角都相等，每条边都相等的多边形叫正多边形。 【涉及题型】 1.内角与外角结合（设未知数求解）。 2.求不规则图形的角度（看外角、看内角）。 3.对角线 4.砍去与增加的角度问题 【精讲例题】 例2.【内角与外角结合】五边形中，前四个角的比为1：2：3：4，第五个角比最小角多100°，则五边形的五个内角分别为 °， °， °， °， 度． 例3.【求不规则图形的角度】如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G=（ ）度． A ．540 B ．720 C ．360 D ．900 例4.【对角线】从n 边形一个顶点出发，可以作（ ）条对角线． A ．n B ．n ﹣1 C ．n ﹣2 D ．n ﹣3 例5.【砍去与增加角度问题】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ） A ．7 B ．7或8 C ．8或9 D ．7或8或9 23-n n ）（

多边形及其内角和练习题(答案)知识分享

多边形及其内角和练习题(答案)

多边形及其内角和练习 一、选择题 1．从n边形的一个顶点出发共有对角线() A．(n-2)条 B．(n-3)条 C．(n-1)条 D．(n-4)条 2．如图，图中凸四边形有() A．3个 B．5个 C．2个 D．6个 3．下列图形中，是正多边形的是() A．三条边都相等的三角形 B．四个角都是直角的四边形 C．四边都相等的四边形 D．六条边都相等的六边形 4．四边形的内角和等于（） A．180° B．270° C．360° D．150° 5．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为() A．12 B．13 C．14 D．15 6．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和() A．都不变 B．内角和增加180°，外角和不变 C．内角和增加180°，外角和减少180° D．都增加180°

7．(湖南郴州)如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( ) A ．135° B ．240° C ．270° D ．300° 二、填空题 8．一个多边形的每一个外角的度数等于与其邻角的度数的3 1，则这个多边形是 边形. 9．从n 边形的一个顶点出发可作________条对角线，从n 边形n 个顶点出发可作________条对角线，除去重复作的对角线，则n 边形的对角线总数为________条． 10．在有对角线的多边形中，边数最少的是________边形，它共有________条对角线． 11．若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是________． 12．一个多边形的内角和为5040°，则这个多边形是____边形，共有_____条对角线． 三、解答题 13．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．

多边形重要知识点总结

多边形重要知识点总结 导读：一、多边形 1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。 6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。 说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。 7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。 8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。 注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。 二、平行四边形 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。

3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。 4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。 5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。 6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。 （2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。 三、矩形 矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。 1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）

多变形的内角和讲义

19.1多边形的内角和 一、多边形及其相关概念 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①在平面内；②若干条； 首尾顺次相连，三者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图。 把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形. 2、多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 如图 3、多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。 二、典例解读 1、把一张形状是多边形的纸片减去其中某一个角，剩余的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（） A、六边形 B、五边形 C、四边形 D、三角形 三、多边形的内角和 1、n边形的内角和等于（n-2）180°（n为不小于3的整数）。 2、多边形内角和定理的证明是运用归纳法，即将多边形分割成三角形，将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决。 通常有以下四种分割方法 （1）、如图，从n边形的一个顶点出发，

可以引（n-3）条对角线，把n多边形分割成（n-2）个三角形，则这（n-2）个三角形的内角和就是多边形的内角和，即（n-2）180°； （2）如上图，从n边形的一条边上任意一点出发，连接这点与各顶点的线段把n边形分成（n-1）个三角形，因为这（n-1）个三角形的内角和就是（n-1）180°，而以这点为公共顶点的（n-1）个角的度数和为180°，所以n多边形的内角和就是（n-1）180°-180°=（n-2）180°； （3）如图，在n边形的内部任意取一点，连接这点与各顶点的线段将n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为180°n，而以这点为公共顶点的n 个角的和为360°，所以n边形内角和的为180°n-360°=（n-2）180°； （4）如上图在n边形的外部任意取一点，连接这点与各顶点的线段构成了（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和就是180°（n-1），而以这点为公共顶点的一个角的和为180°，所以n边形内角和的为180°（n-1）-180°=180°（n-2）。 四、典例解读 1、四边形的内角和的度数为_____________________。 2、已知一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是 _____________________。 3、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为____________________. 4、在四边形ABCD中∠A=60°，∠B比∠D大20°，∠C是∠D的2倍，求∠B,∠C，∠D的大小。 五、多边形的外角和 1、n边形的外角和都等于360°(n为小于3的整数)。 2、因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n －2)·180°= 360°. 3、多边形的外角和是取同一个顶点上的两个互为对顶角的外角中的一个相

11.3 多边形及其内角和 能力培优训练(含答案)

11.3多边形及其内角和 专题一根据正多边形的内角或外角求值 1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．9 2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°． 3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数． 专题二求多个角的和 4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720° 5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°． 6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

状元笔记 【知识要点】 1．多边形及相关概念 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 2．多边形的内角和与外角和 内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°． 外角和：多边形的外角和等于360°． 【温馨提示】 1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错． 2．多边形的外角和等于360°，而不是180°． 【方法技巧】 1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决． 2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等． 参考答案 1．A解析：∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A． 2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°×10=1440°． 3．解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20． 4．B解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．

多边形知识讲解

多边形（基础）知识讲解 【学习目标】 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)． 要点诠释： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形 凹多边形

(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n n g° ； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n ° ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【典型例题】 类型一、多边形的概念 1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形 【答案与解析】 解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF. 【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个． 举一反三： 【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。 类型二、多边形内角和定理 2.证明： n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 【思路点拨】先写出已知、求证，再画图，然后证明． 【答案与解析】 已知：n边形A1A2……A n，

初二数学经典讲义 多边形(提高)知识讲解

多边形（提高）知识讲解 【学习目标】 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 (3) 2 n n ； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； 凸多边形 凹多边形

(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n n g° ； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n ° ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【典型例题】 类型一、多边形的概念 1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗? 【答案与解析】 解：这个问题，我们可以用图来说明． 按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形． 按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形． 按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形． 答：余下的图形是五边形或四边形或三角形． 【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题． 举一反三： 【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。 【答案】220° 【变式2】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C.

多边形及其内角和知识点及精华练习题

多边形及其内角和知识点 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形 知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 知识点四：多边形的内角和公式：边形的内角和为. 知识点五：多边形的外角和公式：多边形的外角和等于360°. 知识点六：镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面 只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。 注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌。 一、选择题: 1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( ) 个个个个

多边形知识点及经典习题

多边形 一． 考点：三角形的角度，边长关系，内角和与外角和，用正多边形铺设地板 二． 热点：内角和与外角和 三． 知识讲解 ★★★主要知识点： 1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2、三角形的分类. ?????钝角三角形直角三角形锐角三角形 ?? ? ????) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、一般三角形的性质 (1)三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。 推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 (2)三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (3) (4) 三角形具有稳定性 (5)(见下表)： （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 三角形 (按角分) 三角形 (按边分)

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 3. 几种特殊三角形的特殊性质 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一）这条线段所在的直线是等腰三角 形的对称轴。 推论260°。 （1）直角三角形的特殊性质： A/直角三角形的两个锐角互为余角； B/在直角三角形中如果 有一个角等于30°，那么这个角的对边等于斜边的一半； 如果有一条边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角等于30°。 C/直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D/直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 4. 三角形的面积一般三角形：S △ = 2 1 a h （ h 是a 边上的高 ） 4、多边形、 1、任意多边形的外角和恒为360° 2、多边形及多边形的对角线 ①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． ②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的 同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧， 称这样的多边形为凹多边形。 ③多边形的对角线的条数: A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。 B.n 边形共有2) 3(-n n 条对角线。 9、边形的内角和公式及外角和 ①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。 ②多边形的外角和等于360°。 10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。 ①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。 ②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。

多边形及其内角和练习题(答案)

多边形及其内角和练习 一、选择题 1．从n 边形的一个顶点出发共有对角线( ) A ．(n -2)条 B ．(n -3)条 C ．(n -1)条 D ．(n -4)条2．如图，图中凸四边形有( ) A ．3个 B ．5个 C ．2个 D ．6个 3．下列图形中，是正多边形的是( ) A ．三条边都相等的三角形 B ．四个角都是直角的四边形 C ．四边都相等的四边形 D ．六条边都相等的六边形4．四边形的内角和等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．150° 5．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为 ( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 6．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和 ( ) A ．都不变 B ．内角和增加180°，外角和不变 C ．内角和增加180°，外角和减少180° D ．都增加180° 7．(湖南郴州)如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则 ∠1+∠2的度数为( ) A ．135° B ．240° C ．270° D ．300° 二、填空题 8．一个多边形的每一个外角的度数等于与其邻角的度数的 ，则这个多边形是 边3 1 形. 9．从n 边形的一个顶点出发可作________条对角线，从n 边形n 个顶点出发可作________条对角线，除去重复作的对角线，则n 边形的对角线总数为________条． 10．在有对角线的多边形中，边数最少的是________边形，它共有________条对角线．11．若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是________．

多边形的知识点总结

个性化教学辅导方案 教学 容 多边形 教学目标1．使学生了解多边形的角、外角等概念． 2．能通过不同方法探索多边形的角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算． 重点难点重点：（1）多边形的角和公式．（2）多边形的外角和公式．难点：多边形角和的推导。 教学过程知识梳理 一、多边形基础 你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？ 1．定义：在平面，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．） 2．多边形的边、顶点、角和外角． 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．每相邻的两条线的交点叫作多边形的顶点。 总结：对于一个n边形，（n≥3）它有个顶点，个角。 3．多边形的对角线 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 你能推导出n边形的对角线的条数公式吗？ 例1：若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 4．凸多边形与凹多边形

在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形． 5、由正方形的特征出发，得出正多边形的概念． 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 例1：画出下图中的六边形ABCDEF的所有对角线． 例2：如图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 二、多边形角和 以五边形为例，求其角和。

人教版 八年级数学 多边形及其内角和讲义 (含解析)

第2讲 多边形及其内角和 知识定位 讲解用时：5分钟 A 、适用范围：人教版初二，基础一般； B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。 知识梳理 讲解用时：20分钟 凸多边形、凹多边形 1、多边形： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2、凸多边形： 如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各 边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。 3、凹多边形： 如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。 目前我们研究的都是 凸多边形

1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 边形的外角。 3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边 形的对角线。 4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 正多边形。 从同一个顶点引出对角线的条数： 0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数： 0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和： 180° 360° 540° 720° (n-2)·180°

课堂精讲精练 【例题1】 设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°. 解：多边形边数为，则内角和为， 四边形内角和， 多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：． 讲解用时：2分钟 解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题. 难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018 【练习1.1】 下列图形中，多边形有（ ） 总结： 1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 2、n 边形共有2 3) -n(n 条对角线 3、多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180° 4、多边形的外角和：多边形的外角和为360°

多边形的面积知识点

多边形的面积知识点 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

“多边形的面积”知识点 1.将一个平行四边形通过剪、拼的方法转化成一个长方形，这个长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽与平行四边形的高相等，长方形的面积与平行四边形的面积相等。因为长方形的面积等于长×宽，所以，平行四边形的面积＝底×高，用字母表示为S＝a×h。 2.用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成平行四边形的底等于三角形的底，拼成平行四边形的高等于三角形的高，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。因为平行四边形的面积＝底×高，所以三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S＝a×h÷2。 3.用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，拼成平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用字母表示为S＝（a＋b）×h÷2。 4.有关计算公式 （1）平行四边形的面积＝底×高 平行四边形的底＝面积÷高 平行四边形的高＝面积÷底 （2）三角形的面积＝底×高÷2 三角形的底＝面积×2÷高 三角形的高＝面积×2÷底 （3）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2 梯形的高＝面积×2÷（上底＋下底） 梯形的上底＝面积×2÷高－下底 梯形的下底＝面积×2÷高－上底 5.我们学过的面积单位（从小到大排列）：平方厘米（cm2）、平方分米（dm2）、平方米（m2）、公顷（hm2）、平方千米（km2）。 6.1平方千米＝100公顷＝1000000平方米 1公顷＝10000平方米 1平方米＝100平方分米

多边形及其内角和讲义经典!

多边形及其内角和 知识点一、多边形的有关概念 1、多边形：在平面内，由一些线段组成的图形叫做多边形。 2、多边形的内角、外角、对角线 （1）内角：； （2）外角：； （3）对角线：； 3、凸多边形： ； 4、正多边形：。 例1、如图，其中是凸多边形的是（） ①②③④ A、②④ B、①②③ C 、①②④ D、③④ 【针对训练1】 下列说法错误的是（） A、正多边形的每个内角都相等否 B、正多边形的每条边都相等 C正多边形的每条对角线都相等 D正多边形一定是凸多边形知识点二、多边形的对角线条数 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，故边形的对角线共有条。例2、填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形；（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形；（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形；（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形 【针对训练2】如图所示，图中包含的四边形有个，五边形有个，六边形有 个 【针对训练3】从n（n≥3）边形内部一点分向各顶点引线段，可以将n边形分 成个三角形；从n边形一边上的点（不与顶点重合）向各顶点引 线段，可以把n边形分个三角形；从n边形的一个顶点向其余各顶 点引线段，可以将边n形分成个三角形。 【针对训练4】求十二边形的对角线的条数。 知识点三、多边形的内角和公式与外角和 多边形的内角和公式：n边形的内角和= ； n边形的外角和等于。 尖子生笔记：（1）多边形的内角和随着边数的增加而增加，每增加一边，内角和增加180°，但外角和始终不变。 （2）正n边形每一个外角= ，正n边形每一个内角= 。