高中数学导数及其应用
一、知识网络
二、高考考点?1、导数定义的认知与应用;
?2、求导公式与运算法则的运用;
? 3、导数的几何意义;
?4、导数在研究函数单调性上的应用;
5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;
6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?1、导数的概念?(1)导数的定义
(Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x(△x可正可负),则函数y相应地有增量,这两个增量的比
,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果
时,有极限,则说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处的导数(或变化率),记作 ,即
。
?(Ⅱ)如果函数在开区间()内每一点都可导,则说在开区间()内可导,此时,对于开区间()内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间()内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知:
(Ⅰ)函数的导数是以x为自变量的函数,而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当
时的函数值。
(Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲:
①求函数的增量 ;?
②求平均变化率;
③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数,是曲线在点
处的切线的斜率。?
(3)函数的可导与连续的关系
函数的可导与连续既有联系又有区别:?(Ⅰ)若函数在点处可导,则在点处连续;?若函数在开区间()内可导,则在开区间()内连续(可
导一定连续)。??事实上,若函数在点处可导,则有
此
时,?
?
?
?记 ,则有即在点处连续。?(Ⅱ)若函数在点处连续,但在点处不一定可导(连续不一定可导)。?反例:在点处连续,但在点处无导数。
事实上,在点处的增量?当
时,, ;?当时,,
由此可知,不存在,故在点处不可导。??2、求导公式与
求导运算法则
(1)基本函数的导数(求导公式)
公式1 常数的导数:(c为常数),即常数的导数等于0。??公式2 幂函
数的导数:。?
公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数:
??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ);
?(Ⅱ)
公式6 指数函数的导数:
(Ⅰ);
(2)可导函数四则运算的求导法则
?(Ⅱ)。??
设为可导函数,则有?法则1 ;
法则2 ;
?法则3 。??3、复合函数的导数?(1)复合函数的求导法则
设,复合成以x为自变量的函数,则复合函数
对自变量x的导数,等于已知函数对中间变量的导数 ,乘以中间变量u对自变量x的导数 ,?即。??引申:设
,复合成函数,则有
(2)认知? (Ⅰ)认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即从外向内分析:首先由最外层的主体函数结构设出,由第一层中间变量的函数结构设出,由第二层中间变量的函数结构设出 ,由此一层一层分析,一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条:
;?
(Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路?①分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数;
?②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求;??③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。
1、函数的单调性
二、导数的应用?
(1)导数的符号与函数的单调性:?一般地,设函数在某个区间内可导,则
若为增函数;若为减函数;若在某个区间内恒有 ,
则在这一区间上为常函数。??(2)利用导数求函数单调性的步骤?(Ⅰ)确定函数
的定义域;?? (Ⅱ)求导数;??(Ⅲ)令,解出相应的x的范围当时,在相应区间上为增函数;当时在相应区间上为
减函数。?
(3)强调与认知
(Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式确定的x的取值集合为A,由确定的x的取值范围为B,则应用 ;??(Ⅱ)在某一区间内(或)是函数在这一区间上为增(或减)函数的充分(不必要)条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,它们也可能是增、减区间的分界点。??举例:(1)是R上的可导函数,也是R上的单调函数,但是当x=0时,。? (2)在点x=0处连续,点x=0处不可导,但在(-∞,0)内递减,在(0,+∞)内递增。
2、函数的极值
(1)函数的极值的定义
设函数在点附近有定义,如果对附近的所有点,都有 ,则说是函数的一个极大值,记作 ;
如果对附近的所有点,都有,则说是函数的一个极小值,记作。
?极大值与极小值统称极值
认知:由函数的极值定义可知:? (Ⅰ)函数的极值点是区间内部的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得;?
(Ⅱ)极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值;?
(Ⅲ)当函数在区间上连续且有有限个极值点时,函数在内的极大值点,极小值点交替出现。?
(2)函数的极值的判定?设函数可导,且在点处连续,判定是极大(小)值的方法是? (Ⅰ)如果在点附近的左侧,右侧,则为极大值;
(Ⅱ)如果在点附近的左侧,右侧 ,则为极小值;
注意:导数为0的不一定是极值点,我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。??(3)探求函数极值的步骤:?(Ⅰ)求导数;?
(Ⅱ)求方程的实根及不存在的点;?
考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号:若左正右负,则在这一点取得极大值,若左负右正,则在这一点取得极小值。?
3、函数的最大值与最小值
(1)定理?若函数在闭区间上连续,则在上必有最大值和最小值;在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。
?认知:?(Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。??(Ⅱ)函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能在区间内点取得;函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝
对性),最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。??(Ⅲ)若
在开区间内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值。
(2)探求步骤:
设函数在上连续,在内可导,则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:?(I )求在内的极值;
( II)求在定义区间端点处的函数值 ,;
?( III )将的各极值与 ,比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值。?
引申:若函数在上连续,则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。
对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化:
( I )求出的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);? ( II )计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最
大值与最小值。??(3)最值理论的应用
解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:
( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系;
?( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;
( III )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如果所得函数在区间内只有一个点满足,并且在点处有极大(小)值,而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。??四、经典例题?例1、设函数在点处可导,且,试求
(1);
?(2) ;
?(3);??(4)
(为常数)。
解:注意到
当 )
(1);?(2)
? =A+A=2A (3)令 ,则当时 ,
∴?
?
?
(4)?
?
?
?
??点评:注意
的本质,在这一定义中,自变量x在处的增量的形式是多种多样的,但是,不论选择哪一种形式,相应的也必须选择相应的形式,这种步调的一致是求值成功的保障。?若自变量x在处的增量为 ,则相应的
,
于是有;?若令 ,则又有
?例2、? (1)已知 ,求;
(2)已知 ,求??解:
(1)令,则,且当时,。?注意到这里
∴?
?(2)∵
∴?
①
注意到,
∴由已知得②?∴由
①、②得
?例3、求下列函数的导数
(1);(2);?
(3); (4) ;??(5)
;(6)??解:?(1)
?
(2) ,
∴
(3),?∴??(4),?∴
?(5) ,?∴
??(6)
∴当时, ;
∴当时,?∴?即。?
点评:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为零,而后再实施求导运算,特别是积、商的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时,“先变后求”的手法显然更为灵巧。?
例4、在曲线C:上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线C关于该点对称。
解: