大学物理第三版下答案
习题八
8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示
(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷
20
220)33(π4130cos π412a q q a q '=?εε
解得
q q 33-
='
(2)与三角形边长无关．
题8-1图 题8-2图
8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示
?????
===22
0)sin 2(π41sin cos θεθθl q F T mg T e
解得
θ
πεθtan 4sin 20mg l q =
8-3 根据点电荷场强公式
204r q
E πε=
，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理
意义的，对此应如何理解?
解:
2
0π4r r q E ε=
仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际
带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相
互作用力f ，有人说f =2
02
4d q πε,又有人说，因为f =qE ,
S q E 0ε=，所以f =S q 02
ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强
S q E 0ε=
看
成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为
S q
E 02ε=
，另一板受它的作
用力
S q S q
q f 02
022εε=
=，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r 与l 的夹角为θ,(见题8-5图)，且
l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为
r E =
302cos r p πεθ, θE =304sin r p πεθ
证: 如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r 的分量θsin p ．
∵ l r >> ∴ 场点P 在r 方向场强分量
30π2cos r p E r εθ
=
垂直于r 方向，即θ方向场强分量
300π4sin r p E εθ=
题8-5图 题8-6图 8-6 长l =15.0cm
的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m
-1
的正电荷．试求：(1)在导线的延长
线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．
解： 如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为
20)(d π41d x a x E P -=
λε
2220)(d π4d x a x
E E l
l
P P -==??-ελ ]
2121[π40
l a l a +
--=ελ
)4(π220l a l
-=
ελ
用15=l cm ，9100.5-?=λ1
m C -?, 5.12=a cm 代入得
21074.6?=P E 1C N -? 方向水平向右
(2)同理
2
220d d π41d +=x x
E Q λε 方向如题8-6图所示 由于对称性?=l Qx
E 0d ，即Q E
只有y 分量，
∵
22
2222
20d d d d π41d ++=
x x x
E Qy
λε
2
2π4d d ελ?==l
Qy
Qy E E ?
-+22
2
322
2
)d (d l
l x x
22
20d 4π2+=
l l
ελ
以9100.5-?=λ1
cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得
21096.14?==Qy Q E E 1
C N -?，方向沿y 轴正向
8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强．
解: 如8-7图在圆上取?Rd dl =
题8-7图
?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为
20π4d d R R E ε?
λ=
方向沿半径向外
则 ?
?ελ
?d sin π4sin d d 0R E E x ==
??ελ
?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -=
-=
积分
R R E x 000
π2d sin π4ελ??ελπ
==?
0d cos π400
=-=?
??ελ
πR E y
∴
R E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向．
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．
解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4q 在P 点产生物强P E
d 方向如图，大小为
()4π4cos cos d 22
021l r E P +
-=
εθθλ ∵
22cos 22
1l r l +
=
θ 12cos cos θθ-= ∴
24π4d 22
220l r l
l r E P +
+=
ελ P E
d 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥
∴
4
2
4π4d 2
2
22
22
l r r l r l r l
E +
+
+=
⊥ελ
题8-8图
由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为
2)4(π44d 422
2
2
0l r l r lr
E E P +
+=
?=⊥ελ ∵
l q 4=
λ ∴
2)4(π42
2220l r l r qr
E P ++=
ε 方向沿OP 8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)
如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平面轴线上的A 点处，求：通过圆平面的电通
量．(
x R
arctan
=α) 解: (1)由高斯定理0
d εq S E s ?=?
立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等
∴ 各面电通量
06εq
e =
Φ．
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上
电通量
06εq e =
Φ
对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则024εq
e =
Φ，
如果它包含q 所在顶点则
0=Φe ．
如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图
题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图
(3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为2
2
x R +的球冠面的电通量，球冠面积*
]
1)[(π22
2
22x
R x x R S +-
+=
∴
)
(π42
2
x
R
S
q
+
=
Φ
ε
2ε
q
=
[
2
2
1
x
R
x
+
-
]
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图
α
α
α
??
=
d
sin
π2r
r
S
α
α
α
??
=
2d
sin
π2r
)
cos
1(
π22α
-
=r
8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×5
10-C·m-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强．
解: 高斯定理0
d
ε
∑
?=
?
q
S
E
s
,0
2
π4
ε
∑
=
q
r
E
当5
=
r cm时，0
=
∑q
,0
=
E
8
=
r cm时，∑q3
π4
p
=3
(r)3内r
-
∴
()
2
2
3
π4
3
π4
r
r
r
E
ε
ρ
内
-
=
4
10
48
.3?
≈1
C
N-
?，方向沿半径向外．
12
=
r cm时,3
π4
∑=ρ
q-
3
(
外
r）
内
3
r
∴
()
4
2
3
3
10
10
.4
π4
3
π4
?
≈
-
=
r
r
r
E
ε
ρ
内
外
1
C
N-
?沿半径向外.
8-11 半径为1
R和
2
R(
2
R＞
1
R)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r＜
1
R；
(2) 1
R＜r＜
2
R；(3) r＞
2
R处各点的场强．
解: 高斯定理0
d
ε
∑
?=
?
q
S
E
s
取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl
Sπ2
=
则
rl
E
S
E
S
π2
d=
?
?
对(1) 1
R
r<0
,0=
=
∑E
q
(2) 2
1
R
r
R<
<λl
q=
∑
∴
r
E
π2ε
λ
=
沿径向向外
(3) 2
R
r>0
=
∑q
∴0
=
E
题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1
σ和
2
σ，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1
σ与
2
σ，
两面间，
n E
)
(
2
1
2
1
σ
σ
ε
-
=
1
σ面外，
n
E
)
(
2
1
2
1
σ
σ
ε
+
-
=
2
σ面外，
n
E
)
(
2
1
2
1
σ
σ
ε
+
=
n
：垂直于两平面由1
σ面指为
2
σ面．
8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O与O'点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
解: 将此带电体看作带正电
ρ的均匀球与带电ρ
-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
(1)
ρ
+球在O点产生电场0
10
=
E
，
ρ
-球在O点产生电场
'
d
π4
π
3
4
3
3
20
OO
r
E
ε
ρ
=
∴O点电场
'
d
33
3
OO
r
E
ε
ρ
=
；
(2)
ρ
+在O'产生电场
'
d
π4
d
3
4
3
3
01
OO
E
ε
ρ
π
=
'
ρ
-球在O'产生电场0
02
=
'
E
∴O'点电场0
03ε
ρ
=
'
E
'
OO
题8-13图(a) 题8-13图(b)
(3)设空腔任一点P相对O'的位矢为r
'，相对O点位矢为r
(如题8-13(b)图)
则0
3ε
ρr
E
PO
=
，
3ε
ρr
E
O
P
'
-
=
'
,
∴0
3
'
3
)
(
3ε
ρ
ε
ρ
ε
ρd
OO
r
r
E
E
E
O
P
PO
P
=
=
'
-
=
+
=
'
∴腔内场强是均匀的．
8-14 一电偶极子由q=1.0×10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105N·C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
解: ∵电偶极子
p
在外场E
中受力矩
E
p
M
?
=
∴
qlE
pE
M=
=
max代入数字
4
5
3
6
max
10
0.2
10
0.1
10
2
10
0.1-
-
-?
=
?
?
?
?
?
=
M m
N?
8-15 两点电荷1
q=1.5×10-8C，
2
q=3.0×10-8C，相距
1
r=42cm，要把它们之间的距离变为
2
r=25cm，需作多少
功?
解:
??==?=22210212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε
)
11(21r r - 61055.6-?-=J
外力需作的功 6
1055.6-?-=-='A A J
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q
从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如题8-16图示
0π41ε=
O U 0)(=-R q
R q 0π41ε=O U )3(R q R q -R q 0π6ε-= ∴
R q
q U U q A o
C O 00π6)(ε=-=
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于
R ．试求环中心O 点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E
d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向
题8-17图
θ
εθ
λπ
π
cos π4d d 222
0??-==R R E E y
R 0π4ελ=
［)2sin(π
-2sin
π
-］ R 0π2ελ-=
(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U
?
?===A
B 200012
ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ
同理CD 产生 2
ln π402ελ
=U
半圆环产生
0034π4πελ
ελ=
=
R R U
∴
0032142ln π2ελ
ελ+=
++=U U U U O
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1
的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量
0m =9.1×10-31kg ，电子电量e =1.60×10-19C)