3.3.2 两点间的距离
(一)教学目标
1.知识与技能:掌握直角坐标系两点间的距离,用坐标证明简单的几何问题。2.过程与方法:通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。;3.情态和价值:体会事物之间的内在联系,能用代数方法解决几何问题。
(二)教学重点、难点
重点,两点间距离公式的推导;难点,应用两点间距离公式证明几何问题。(三)教学方法
启发引导式
设问一:
识解决以下问题:
,
由此得到两点间的距离公式
.
,于是有
.
由学生思考,再讨论提出
+ 11
= 1
且的斜率为
因此
.
0).
,
备选例题
例1 已知点A (3,6),在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10,求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ,0),由|P A | = 10,得:
10
= 解得:x = 11或x = –5.
所以点P 的坐标为(–5,0)或(11,0).
例2 在直线l :3x – y – 1 = 0上求一点P ,使得: (1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大; (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小. 【解析】(1)如图,B 关于l 的对称点B ′(3,3). AB ′:2x + y – 9 = 0 由290310
x y x y +-=??
--=? 解25
x y =??
=?
得
P
(2,5).
(2)C 关于l 对称点324
(
,)55
C '
由图象可知:|P A | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126(
,)77
P 时“=”成立, ∴1126(
,)77
P . 例3 如图,一束光线经过P (2,1)射到直线l :x + y + 1 = 0,反射后穿过点Q (0,2)求:(1)入射光线所在直线的方程; (2)沿这条光线从P 到Q 的长度.
【解析】(1)设点Q ′(a ,b )是Q 关于直线l 的对称点
因为QQ ′⊥l ,k 1 = –1,所以21,
10
Q Q b k a '
-==-
又因为Q ′Q 的中点在直线l 上,所以
0210
2
2
a b +++
+=
所以2
10
21022
b a a b -?=??-?
+?++=??得31
a b =-??
=-?,所以Q ′(–3,–1)
因为Q ′在入射光线所在直线l 1上,设其斜率为k , 所以1(1)22(3)5
k
--=
=
--
l 1:21(2)
5
y x -=
-即2x – 5y + 1 = 0
(2)设PQ ′与l 的交点M ,由(1)知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′
| = 所以沿这光线从P 到Q
入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.