抛物线的参数方程(教师版)
14. 抛物线的参数方程
主备： 审核：
学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用，
学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程：
一、课前准备：
阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程：
（1）2
23
x t y t t =-??
=+-?（t 为参数），答：2
53x x y --=； （2）224x m y m
?=?=?（m 为参数），答：2
8x y =.
2.将下列普通方程化为参数方程：
（1）2
2x y =，其中1x t t
=-（t 为参数），答：221224
x t t y t t ?=-???=+-?
；
（2）2
34y x =，其中x t =（0t ≥为参数）
，答：x t
y =???=??
. 二、新课导学： （一）新知：
抛物线的参数方程的推导过程：
如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22
ππ
-
内变化时，
点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程.
根据三角函数的定义得，tan y
x
α=，即tan y x α=，联立2
2y px =，得
22tan 2tan p x p y α
α?=???
?=??
（α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1
tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞，则222x pt y pt
?=?=?（t 为参数 ），
当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程.
注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2
2x py =的参数方程
.
【解析】如图，(0,
)(,)2
2
ππαπ∈，根据三角函数的定
义
得，tan y t x
α==，即y xt =，联立2
2x py =，得
2
22x pt
y pt
=??=?（t 为参数）. （2）可选择M 到准线的距离t 为参数，2
2y px =的参
数方程是怎样的？
【解析】如图，||MA t =，则2
p
x t =-
，代入抛物线方程，得y
=
2p x t y ?=-??
?=?
（t 为参数）. （二）典型例题：
【例1】A 、B 是抛物线2
2y x =上异于顶点的两动点，
且OA OB ⊥，OM AB ⊥并与AB 相交于M ，求点M 的轨迹方程.
【解析】方法一 ：设(,)M x y ，211(2,2)A t t ，2
22(2,2)B t t 1212(,0)t t t t ≠?≠且. 由OA OB ⊥，所以0OA OB ?=，
221212(2)20t t t t +=，121t t =-………①
又OM AB ⊥，所以0OM AB ?=，
2221212()2()0x t t t t -+-=.
所以12()0x t t y ++=，12(0)y
t t x x
+=-≠……………②
又211(2,2)AM x t y t =--，2
22(2,2)MB t x t y =--且A ，M ，B 共线.
∴22
1212(2)(2)(2)(2)x t t y y t t x --=--，即1212()20y t t t t x +--=……③
由①，②代入③，得到 2
2
20(0)x y x x +-=≠，这就是所求M 点的轨迹方程.
方法二：设2111(,)(0)2y A y y ≠，2
2
22(,)(0)2
y B y y ≠，
因为OA OB ⊥，所以
22
12
12022
y y y y ?+=，124y y =-， 直线AB 的方程为：211122
()2
y y y x y y -=-+，即122(2)y x y y =
-+， 所以直线AB 过定点(2,0)C p
又OM AB ⊥，所以点M 的轨迹是以OC 为直径的圆，则M 的轨迹方程为 222()(0)x p y p y -+=≠.
动动手：已知O 是坐标原点，A 、B 是抛物线2
22x pt y pt
?=?=?（t 为参数）上异于顶点的两动点，
且OA OB ⊥，求AB M 中点的轨迹方程．
【解析】设)2,2(121pt pt A ，)2,2(22
2pt pt B ，由OA OB ⊥，得121-=t t ，
又中点),(y x M 由???
????+=+=+=+=)
(222)(222212122212
221t t p pt pt y t t p pt pt x ，结合121-=t t ， 得点M 的方程为:)2(2
p x p y -=.
三、总结提升：
1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数t 对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化.
2.抛物线2
2(0)y px p =>上任意一点可以设为2
(2,2)M pt pt . 3.在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐标. 四、反馈练习：
1. 若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
?=?=?为参数上，则PF 等于（ C ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 2. 抛物线2
2x m
y m
=??=-?（m 为参数）的焦点坐标是 （ B ） A ．(1,0)- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(2,0)- 3. 已知曲线2
2()2x pt t p y pt
?=?=?为参数为正常数,上的两点,M N 对应的参数分别为12t t 和，
120t t +=且，那么MN = （ C ）
A ．1p t
B ．12p t
C ．14p t
D ．18p t
4. 若曲线2
22x pt y pt
?=?=?（t 为参数）上异于原点的不同的两点1M 、
2M 所对应的参数分别是1t 、2t ，求12M M 所在直线的斜率.
【解析】由于1M 、2M 所对应的参数分别是1t 、2t ，，所以可设两点1M 、2M 坐标分别为
22111222(2,2),(2,2)M pt pt M pt pt ，
所以，112222
1212
221
22M M pt pt k pt pt t t -=
=-+. 5. A 、B 是抛物线2
2y x =上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，点A 、B 在什么位置时，
AOB ?的面积最小？最小值是多少？
【解析】设211(2,2)A t t ，2
22(2,2)B t t 1212(,0)t t t t ≠?≠且，
则1||2|OA t =
，2||2||OB t =， 因为OA OB ⊥，所以121t t =-，
所以122|AOB S t t ?=
=
=4≥， 当且仅当12t t =-时，即A 、B 关于x 轴对称时AOB ?面积最小，最小面积为4.
五、学后反思：