长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案
长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷
注意：
(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.
一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.
1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上
2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )
(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则a
a a a 1
,
,,33一定是 ( ) (A) a
1
最小，3a 最大 (B) 3
a 最小，a 最大
(C)
a 1最小，a 最大 (D) a
1
最小， 3
a 最大
4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）
(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1 (C) AF 2 = FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC
5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44
6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同
第4题
值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
7．若4sin 2A – 4sinAcosA + cos 2A = 0, 则tanA = ___ ___ .
8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A 、B 两艘船相会之后，A 船以每小时12海浬的速度往南航行，B 船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站h 及A 、B 两船恰成一个直角三角形.
9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 .
10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm ，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.
11．物质A 与物质B 分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质A 按逆时针方向以l 单位/秒等速运动，物质B 按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则
两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .
12．设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下：1C 是半径为a 的圆, 在1C 的圆内作四个相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则
(1) 圆2C 的半径长等于 (用a
表示)；
(2) 圆k C 的半径为 ( k 为正整数，用a 表示，不必证明)
(第9题)
(第11题)
第12题
三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。
13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且
AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC
∥AB.
(1) 求证AD = AE；
(2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积.
第13题
14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M，
(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；
(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.
15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：
A队共积19分。
(1) 试判断A队胜、平、负各几场?
(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.
16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD ，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy 中，使AB 在x 轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =
2
3
x －1经过这两个顶点中的一个. （1）求出矩形的顶点A 、B 、C 、D 的坐标；
（2）以AB 为直径作⊙M ，经过A 、B 两点的抛物线，y = ax 2＋bx ＋c 的顶点是P 点. ① 若点P 位于⊙M 外侧且在矩形ABCD 内部，求a 的取值范围；
② 过点C 作⊙M 的切线交AD 于F 点，当PF ∥AB 时，试判断抛物线与y 轴的交点Q 是位于直线y =
3
2
x －1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.
2009年长郡中学高一招生数学试题（B ）
时间60分钟 满分100分
一.选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案) 1. 下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）
（第16题）
红 黄 绿
红 黄 绿
2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x ％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x ％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ） A ．2x ％ B ． 1+2x ％ C ．（1+x ％）x ％ D ．（2+x ％）x ％
3．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条
2
b
a 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ） A ．a >
b B ．a
S 53 B ． S 74 C ．S 95 D ．S 11
6 5．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（ ）
A ．50
B ．62
C ．65
D ．68
6．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数
字为a ，右图轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对（a ，b ）所有可
能的
个数为n ，其中a +b 恰为偶数的不同数对的参数为m ，则m/n 等于 （ ）
A ．
21 B ．61 C ．125 D ．4
3 7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边 （ ） A ．AB 上 B ．BC 上 C ．CD 上 D ．DA 上
8．已知实数a 满足|2006|2007a a a -+-=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 二．填空题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。) 9．小明同学买了一包弹球，其中
14
是绿色的，18是黄色的，余下的1
5是蓝色的。如果有
12个蓝色的弹球，那么，他总共买了（ ）个弹球
10.已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有（ ）个. 11．不论m 取任何实数，抛物线
y=x 2+2mx+m 2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是（ ）．
12．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，?每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：
（1）黄盒中的小球比黄球多； （2）红盒中的小球与白球不一样多； （3）白球比白盒中的球少．
则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是( )．
13．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ．BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为
2
13
，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则21S S +=（ ）
14．已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为（）
15．已知x、y均为实数，且满足x y+x+y=17，x2y+x y2=66，
则x4+x3y+x2y2+x y3+y4=（）
16．如图5，已知在圆O中，直径MN=10，正方形ABCD的四
个顶点分别在半径OM，OP以及圆O上，并且∠POM=45°，则
AB的长为（）
三．解答题：(本题有2小题,每小题10分，满分20分。)
17．甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？
18．如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，
AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值.
师大附中2011年高一自主招生考试
数学测试题
本卷满分150分考试时间120分钟
题号一二
三
总分复核1 2 3 4 5
得分
阅卷
教师
一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）
1、下列图中阴影部分面积与算式
2
1
31
2
42
-
??
-++
?
??
的结果相同的是………………【】
2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【】
①实数不是有理数就是无理数；②a＜a＋a；③121的平方根是±11；④在实数范围内，
非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4
3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，
女儿按
半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【】
A、甲比乙更优惠
B、乙比甲更优惠
C、甲与乙相同
D、与原标价有关
4、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右
滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为【】
A、2π
B、π
C、3
2D、4
5、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m n+
等于……………………………………………………………………………【】
A、36
B、37
C、38
D、39
二、填空题（每小题6分，共48分）
1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。
2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 。
3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。
笔试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙
90
88
90
4、已知点A 是一次函数x y =的图像与反比例函数x
y =的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OB OA =（O 为坐标原点），则AOB ?的面积
为 。
5、如果多项式212x px ++可以分解成两个一次因式的积，那么整数p 的值是 。
6、如右图所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，
Q 为垂足。延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP =x （01x ≤≤），△BPQ 与△CPR 的
面积之和为y ，把y 表示为x 的函数是 。 7、已知12x x ，为方程2420x x ++=的两实根，
则3
121455x x ++= 。
8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。
三、解答题（本大题6小题，共72分）
1、（10分）在ABC ?中，AC AB =，ο45=∠A 。AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、
E 两点，连结CD ，如果1=AD ，求：BCD ∠tan 的值。
2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，
甲
乙
价格（万元／台） 7 5 每台日产量（个）
100
60
⑴ ⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中2=AF ，1=BF 。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。
4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD CB =,对角线AC 与BD 交于
O ,60ACD ∠=o , 点S P Q 、、分别是OD OA BC 、、的中点。
求证：△PQS 是等边三角形。
5、（12分）如右图，直线OB 是一次函数2y x =的图像，点A 的坐标是（0，2），点C 在直线OB
上且△ACO 为等腰三角形，求C 点坐标。
6、（14分）已知关于x 的方程018)13(3)1(22=+---x m x m 有两个正整数根（m 是
整数）。
△ABC 的三边a 、b 、c 满足32=c ，0822=-+a m a m ，0822=-+b m b m 。 求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积。
2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准
一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
7．21
. 8．2. 9． y = –125x 2 –21x +320.
10．20. 11．( –
3
4
,–2). 12．(1) 圆2C 的半径 a )12(-； (2)圆k C 的半径 (2 –1 )n – 1 a . 三、解答题
13.（本小题满分12分）
（1）证1.∵AD 是圆O 的直径，点C 在圆O 上， ∴∠ACD = 90?，即AC ⊥DE. 又∵OC ∥AE ，O 为AD 中点，
∴AD = AE. 4分
证2 ∵O 为AD 中点，OC ∥AE ，
∴2OC = AE ， 又∵AD 是圆O 的直径，
∴ 2OC = AD ， ∴AD
=
AE.
4分
（2）由条件得ABCO 是平行四边形，
∴BC ∥AD ，
又C 为中点，∴AB =BE = 4， ∵AD = AE ，
∴BC = BE = 4， 4分 连接BD ，∵点B 在圆O 上，
∴∠DBE= 90?， ∴CE = BC= 4，
即BE = BC = CE= 4，
∴ 所求面积为43. 4分
14.（本题满分14分）
解：(1) ∵⊿ = 4p 2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,
∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设A (x 1, 0 ), B( x 2, 0),
则|AB|2 = |x 2 – x 1|2 = [ (x 1 + x 2)2 – 4x 1x 2]2 = [4p 2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2,
∴|AB| = 21)1p (2+-. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .
当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S △ABM = 2
1
|AB||b|取最小值1 . 5分
15 （本小题满分16分）
解：（1）设A 队胜x 场，平y 场，负z 场， 得??
?=+=++19y x 312z y x ，可得：?
??-=-=7x 2z x
319y 4分
依题意，知x ≥0,y ≥0,z ≥0,且x 、y 、z 均为整数，
∴??
?
??≥≥-≥-0
x 07x 20
x 319 解得：27≤x ≤319 ，∴ x 可取4、5、6 4分
∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1；
当x=5时，y= 4,z = 3 ；
当x=6时，y=1,z= 5. 4分（2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= –600x+19300
当x = 4时，W最大，W最大值= –60×4+19300=16900（元）
答略. 4分
16（本小题满分18分）
解：(1)如图，建立平面直有坐标系，
∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，
设A(m 0)（m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3
2), D(m 2);
若C点过y =3
2x－1；则2=3
2
(m＋3)－1,
m = －1与m＞0不合；
∴C点不过y=3
2
x－1；
若点D过y=3
2x－1，则2=3
2
m－1, m=2,
∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )，D(2,2)；5分（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)，
由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，
∴
042
0255
=++
=++
?
?
?
a b c
a b c
∴
b a
c a
=-
=
?
?
?
7
10
2分
∴y = ax2－7ax＋10a
( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a )
∴y = a(x－7
2)2－9
4
a；
∴抛物线顶点P(72, －9
4
a) 2分
∵顶点同时在⊙M 内和在矩形ABCD 内部, ∴
32＜－94a ＜ 2,∴－98＜a ＜–3
2
. 3分 ② 设切线CF 与⊙M 相切于Q ，交AD 于F ，设AF = n , n ＞0；
∵AD 、BC 、CF 均为⊙M 切线，∴CF =n ＋2, DF =2－n ; 在Rt ?DCF 中， ∵DF 2＋DC 2=CF 2； ∴32＋(2－n )2=(n ＋2)2, ∴n =
98, ∴F (2, 9
8
) ∴当PF ∥AB 时，P 点纵坐标为98；∴－94a =98，∴a = －12
; ∴抛物线的解析式为：y = －
12x 2＋7
2
x －5 3分 抛物线与y 轴的交点为Q （0，－5）， 又直线y =
3
2
x －1与y 轴交点（ 0，－1）； ∴Q 在直线y =3
2
x －1下方. 3分
2009年长郡中学高一招生数学试题（B ）
参考答案：
一、1、C 2、D 3、A 4、C 5、A 6、C 7、A 8、C
二、9、 96 10、 8 11、 x+y=-1 12、黄、红、白．13、30 14、
2
)(4b a ab
+
15、 12499 16、
5
三、17．解：
设甲班学生从学校A 乘汽车出发至E 处下车步行，乘车akm ，空车返回至C 处，乙班同学于C 处
上车，此时已步行了bkm.
则???
????-=-+-=-+47520754054020a b b a b
b a a
解得a=60 b=20 ∴至少需要
4
3
64152060=+（h ） 18、 解：连结PM ，设DP=x ，则PC=4－x ，∵AM//OP
1
1211+=∴=?==+=+=∴=∴
????x x S AD AM S PA PE S S x x PA PE AM PD PD PA PE AM PD EA PE MPE APM APM MEP 且又即
同理可求x
x
S MPF --=?54……………………（8分） 因此5
462511125412
++--=--+-=--++=x x x x x x x x S 34
3229
)2(622
=-≤--+
=x ………………（13分） 当x =2时，上式等号成立.………………………（15分）
师大附中2011年高一自主招生考试
数学试题参考答案
一、1、B ，2、B ，3、B ，4、C ，5、B
二、1、2 2、41≤≤x 3、甲、乙 4、2 5、7,8,13±±±6
242)x x -+ 7、7 8、20
三1、有已知可得CDE ADE ??和均为等腰直角三角形，计算得12-=BD ，在直角三
角形BCD 中，12tan -==
∠CD
BD
BCD 。 2、（1）设购买x 台甲机器，则34)6(57≤-+x x ，所以2≤x 。即x 取0、1、2三个值，
有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。
（2）按方案①，所需资金3056=?（万元），日产量为360606=?（个）；按方案②，所需资金325571=?+?（万元），日产量为4006051001=?+?（个）；按方案③，所需资金为344572=?+?（万元），日产量为4406041002=?+?（个）。所以，选择方案②。
3、如图所示，为了表达矩形MDNP 的面积，设 DN ＝x ，PN ＝y ，则面积 S ＝xy ， ① 因为点P 在AB 上，由△APQ ∽△ABF 得
2
1
)4(24=---x y ，即y x 210-=． 代入①，得y y y y S 102)210(2+-=-=，
即225)2
5(22+--=y S ． 因为3≤y ≤4，而y ＝25不在自变量的取值范围内，所以y ＝
2
5
不是最值点，
当y ＝3时，S ＝12；当 y ＝4时，S ＝8．故面积的最大值是S ＝12． 此时，钢板的最大利用率是80％。 4、连CS 。
∵ABCD 是等腰梯形，且AC 与BD 相交于O ，
∴AO=BO,CO=DO.
∵∠ACD=60°，∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形. ∵S 是OD 的中点，∴CS ⊥DO.
在Rt △BSC 中，Q 为BC 中点，SQ 是斜边BC 的中线，∴SQ=12
BC. 同理BP ⊥AC.
Q
N
M
P
A
F B
C
D
E
在Rt △BPC 中，PQ=12
BC.
又SP 是△OAD 的中位线，∴SP=12
AD=12
BC. ∴SP=PQ=SQ. 故△SPQ 为等边三角形.
5、若此等腰三角形以OA 为一腰，且以A 为顶点，则AO=AC 1=2. 设C 1（,2x x ），则得222(22)2x x +-=，解得8
5
x =，得C 1（816
,
55
） 若此等腰三角形以OA 为一腰，且以O 为顶点，则OC 2=OC 3=OA=2.
设C
2（'',2x x ），则得'2'22(2)2x x +=，解得'x =
得C 2 又由点C
3与点C 2关于原点对称，得C 3（
若此等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，从而其横坐标为12，得C 4（1
,12
）.
所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为： （816
,
55），，（，C 4（1,12） 6、（1）方程有两个实数根，则012≠-m ，解方程得
161+=
m x ，13
2-=m x ．由题意，得11,2,3,6,11,3,m m +=??-=? 即?
??==.4,2,5,2,1,0m m 故2=m ．
（2）把2=m 代入两等式，化简得0242=+-a a ，0242=+-b b ， 当b a =时，22±==b a ．
当b a ≠时，a 、b 是方程0242=+-x x 的两根，而△＞0，由韦达定理得，
4=+b a ＞0，2=ab ＞0，则a ＞0、b ＞0．
①b a ≠，32=c 时，由于2222124162)(c ab b a b a ==-=-+=+
故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝
12
1
=ab ． ②22-==b a ，32=c 时，因)22(2-<32，故不能构成三角形，不合题意，
舍去．
③22+==b a ，32=c 时，因)22(2+＞32，故能构成三角形．
S
△ABC ＝12
?=综上，△ABC 的面积为1或2129+．