数据结构,N个城市连接费用最小
题目: 数据结构N个城市连接的最小生成树
目录
一．需求分析 (1)
1.1 设计的任务 (1)
1.2 程序所能达到的功能 (1)
1.3 程序执行命令 (1)
二．概要设计 (2)
2.1 抽象数据类型结构体数组的定义： (2)
2.2 程序模块 (3)
2.3流程图 (3)
三．详细设计 (4)
3.1 数据类型定义 (4)
3.2 程序主要模块 (4)
四．调试分析和测试结果 (6)
4.1 调试分析 (6)
4.2测试结果 (7)
五．总结 (8)
六．参考文献 (8)
七．致谢 (9)
八．附录 (9)
构造可以使N个城市连接的最小生成树
一．需求分析
1.1 设计的任务
给定一个地区的n个城市间的距离网，用Prim算法或Kruskal 算法建立最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。
1.2程序所能达到的功能
1.2.1 城市间的道路网采用邻接矩阵表示，邻接矩阵的存储结构定义采用课本中给出的定义，若两个城市之间不存在道路，则将相应边的权值设为自己定义的无穷大值。
1.2.2 显示出城市间道路网的邻接矩阵。
1.2.3 最小生成树中包括的边及其权值，并显示得到的最小生成树的总代价。
1.3程序执行命令
输入城市数、道路数→输入城市名→输入道路信息→执行Kruskal 算法→执行Prim 算法→输出最小生成树
二．概要设计
2.1 抽象数据类型结构体数组的定义：
#ifndef ADJACENCYMATRIXED //防止该头文件被重复引用
#define ADJACENCYMATRIXED //而引起的数据重复定义
#define INFINITY 32767 //最大值∞
#define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点个数
typedef int VRType; //权值，即边的值
typedef char InfoType; //附加信息的类型，后面使用时会定义成一个指针
typedef char VertexType[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点类型
typedef enum {DG=1, DN, UDG, UDN} GraphKind; //{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef struct ArcCell
{
VRType adj; //VRType 是顶点关系类型。对无权图，用 1 或0 表示相邻否；对带权图，则为权值类型。
InfoType* info; //该弧关系信息的指针
}ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct
{
VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点向量
AdjMatrix arcs; //邻接矩阵
int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和弧数
GraphKind kind; //图的种类标志
}MGraph;
typedef struct //普里姆算法辅助数组的定义
{
VertexType adjvex;
VRType lowcost;
}closedge[MAX_VERTEX_NUM];
#endif //结束if
2.2 程序模块
MGraph G; //网G，唯一的全局变量
int main(int argc, char * argv[]); //主函数
Status LocateVex(MGraph G, VertexType v); //判断城市v 在网G 中的位置Status CreateUDN(MGraph &G); //创建网G 的邻接矩阵
void DisplayNet(MGraph G); //以邻接矩阵的形式显示网G void MiniSpanTree_KRUSKAL(MGraph G); //最小生成树的Kruskal 算法void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType u); //最小生成树的Prim 算法Status Minimum(closedge closeEdge, int n); //Prim 算法中求下一个城市的函数void DeleteInfo(MGraph &G); //释放堆内存上动态申请的空间2.3流程图
2.3.1创建邻接矩阵的流程图(N-S图)
图2.3.2Prim算法流程图（N-S图）
三．详细设计
3.1 数据类型定义
为了用邻接矩阵表示图G ，先是定义二维数组的每一个元素含道路值然后在图的定义中定义一个此二维数组的结构成员。并且在图中还定义一个用来存放城市的一维数组及int 型的城市数级道路数。
用二维数组的两个下标表示道路，这两个下标又在一位数组中对应两个城市。这样就建立起了一个城市到城市之间的道路网。
3.2 程序主要模块
说明：该程序共含5个模块，本人负责其中2个模块构造：
3.2.1 初始化图G
***************LocateVex(MGraph G, VertexType v)****************
Status LocateVex(MGraph G, VertexType v);
{
while (strcmp(G.vexs[i], v)) {i++;}
返回i；
}
**************** CreateUDN*************************
{
输入城市数、道路数；
for (i=0; i<城市数; ++i) 输入城市名；
for (i=0; i<城市数; ++i)
for(j=0; j<城市数; ++j)
初始化邻接矩阵：道路值= INFINITY;
for (i=0; i<城市数; ++i)
for(j=0; j<城市数; ++j)
输入两个城市表示道路，输入道路值；
}
3.2.2PRIM算法
************************** MiniSpanTree_PRIM*********
void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType u)
{
定义辅助数组：closedge closeEdge;
初始化：strcpy(closeEdge[j].adjvex, u);
closeEdge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;
for (i=1; i { 在其余G.vexnum-1个城市中找到离辅助数组中标记的道路最小 值； 显示找到的道路； 标记新找到的城市； } } ********************** Minimum***************** Status Minimum(closedge closeEdge, int n) { 在辅助数组中找到道路值最小的道路的两点城市： if ((closeEdge[i].lowcost != 0) && (minTemp > closeEdge[i].lowcost)) 返回该城市在G 中的位置 } 四．调试分析和测试结果 4.1 调试分析 4.1.1邻接矩阵初始化 本函数的主要功能是对无向网进行邻接矩阵的初始化。构造这种具有n个顶点和e条边的无向网时，关键需要考虑其时间复杂度O（n^+e*n）,其中对邻接矩阵G.arcs的初始化花费了O（n^）的时间。 4.1.2 Prim 算法 Prim 算法的思路是逐步将城市纳入生成树中，这里面的关键步骤是要找到下一个城市。于是通过讨教别人，写了Status Minimum(closedge closeEdge, int n) 函数，这样就可以在辅助数组中找到道路值最小的道路的两点城市了。 4.2测试结果 图4.2.1邻接矩阵初始化运行显示界面 图4.2.2Prim算法运行显示界面 五．总结 通过本周的课程设计，我们小组终于圆满完成了课程设计的任务，我也有不少收获。既巩固和加深了对数据结构的理解，认识到《数据结构》是计算机专业一门重要的专业技术基础课程，还提高了我综合运用本课程所学知识的能力。而且，并不是单纯的看看教材就能解决我们的实际问题，所以还要去查找各种我们所需要的资料，所以这次课程设计也培养了我选用参考书，查阅手册及文献资料的能力。要完成一个课程设计的课题并不是一次就能编译成功的，中间会出现很多的大问题小问题，改错是个很繁琐的问题。通过这次课程设计培养了我独立思考，深入研究，分析问题，解决问题的能力。 在以后的学习过程中我将要注意以下几点：1、认真上好专业实验课，多在实践中锻炼自己。2、写程序的过程要考虑周到，严密。3、在做设计的时候要有信心，有耐心，切勿浮躁。4、认真的学习课本知识，掌握课本中的知识点，并在此基础上学会灵活运用。5、在课余时间里多写程序，熟练掌握在调试程序的过程中所遇到的常见错误，以便能节省调试程序的时间。 六．参考文献 [1].严蔚敏，吴伟民. 数据结构（C语言版）. 清华大学出版社，2007 [2].谭浩强，张基温. C语言程序设计教程（第三版）北京：高等教育出版社，2006 [3].陈维新，林小茶. C++面向对象程序设计教程. 北京：清华大学出版社，2004 [4].苏仕华等.数据结构课程设计. 北京：机械工业出版社，2005 七．致谢 感谢梁英老师对我们《数据结构》课程及其实验的悉心指导，正是因为老师在实验课上的指导，让我能够把书本上的知识化成自己的知识，并运用在编程的过程中。 感谢同学在我的设计过程中提出的宝贵意见，如果没有他们的帮助，我在设计过程中出现的一些错误可能无法迅速查出解决，你们的帮助为我节省了宝贵的时间。 衷心感谢！ 八．附录 //main #include #include #include #include #include "TypeDefine.h" #include "AdjacencyMatrix.h" #include "InitializeFunction.h" #include "MiniSpanTree_KRUSKAL.h" #include "MiniSpanTree_PRIM.h" #include "DisplayNet.h" #include "DeleteInfo.h" MGraph G; //全局变量G int main(int argc, char * argv[]);//主函数 Status LocateVex(MGraph G, VertexType v);//判断城市v 在网G 中的位置Status CreateUDN(MGraph &G);//创建网G 的邻接矩阵 void DisplayNet(MGraph G);//以邻接矩阵的形式显示网G void MiniSpanTree_KRUSKAL(MGraph G);//最小生成树的Kruskal 算法void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType u);//最小生成树的Prim 算法Status Minimum(closedge closeEdge, int n);//Prim 算法中求下一个城市的函数void DeleteInfo(MGraph &G);//释放堆内存上动态申请的空间 int main(int argc, char * argv[]) { CreateGraph(G); DisplayNet(G); MiniSpanTree_KRUSKAL(G); MiniSpanTree_PRIM(G, G.vexs[0]); DeleteInfo(G); cout< system("pause"); return 0; } //intializeFunction.h Status CreateDG(MGraph &G){return 0;}; Status CreateDN(MGraph &G){return 0;}; Status CreateUDG(MGraph &G){return 0;}; Status CreateUDN(MGraph &G); Status LocateVex(MGraph G, VertexType v) { //判断输入的顶点v在G中的位置。 //根据顶点的类型，可重载此函数。目前为char int i=0; while (strcmp(G.vexs[i], v)) {i++;} return i; } Status CreateGraph(MGraph &G) { //采用数组（邻接矩阵）表示法，构造图G. G.kind = UDN; //默认构造无向网 /* printf("+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\n"); printf("|1:有向图2:无向图3:有向网4:无向网\n"); printf("|请选择:[ ]\b\b"); scanf("%d", &G.kind); printf("+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\n");*/ switch (G.kind) { case DG: return CreateDG(G); //构造有向图G case DN: return CreateDN(G); //构造有向网G case UDG: return CreateUDG(G); //构造无向图G case UDN: return CreateUDN(G); //构造无向网G default : return ERROR; } }//CreateGraph Status CreateUDN(MGraph &G) { //采用数组（邻接矩阵）表示法，构造图G. int i, j, k; VertexType v1, v2; VRType w; printf(" 构造可以使N个城市连接的最小生成树\n"); printf("请输入城市数、道路数(至少6个城市，10条道路)："); cin>>G.vexnum>>G.arcnum; for (i=0; i { printf("请输入第%d 个城市名（共%d 个）:", i+1, G.vexnum); cin>>G.vexs[i]; } for (i=0; i { for (j=0; j { G.arcs[i][j].adj = INFINITY; // G.arcs[i][j].info = NULL; } } printf("请输入一条道路连接的两个城市名及权值:\n"); for (k=0; k { printf("共%3d条道路，第%3d条道路：", G.arcnum,k+1); cin>>v1>>v2>>w; //输入一条边依附的顶点及权值 i = LocateVex(G, v1); //确定v1、v2在G中的位置 j = LocateVex(G, v2); G.arcs[i][j].adj = w; //弧 G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j]; //置 } return OK; }//CreateUDN //MiniSpan Tree PRIM.h Status Minimum(closedge closeEdge, int n) { int i, flag, minTemp = INFINITY; for (i=0; i { if ((closeEdge[i].lowcost != 0) && (minTemp > closeEdge[i].lowcost)) { minTemp = closeEdge[i].lowcost; flag = i; } } return flag; } void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType u) { //用普里姆算法从第u 个顶点出发构造网G 的最小生成树T，输出T 的各条边。 //记录从顶点集U 到V-U 的代价最小的边的辅助数组定义见"AdjacencyMatrix.h" int i, j, k, totalCost=0; closedge closeEdge; k = LocateVex(G, u); for (j=0; j { if (j != k) { strcpy(closeEdge[j].adjvex, u); closeEdge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj; } } cout<<"\n\n+^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^\\\n"; cout<<"|用Prim算法求最小生成树的各条边依次为：\n-----"; closeEdge[k].lowcost = 0; //初始，U={u}; for (i=1; i { k = Minimum(closeEdge, G.vexnum); //求出T 的下一个结点：第k 顶点 //此时closeEdge[k].lowcost = MIN{closeEdge[vi].lowcost | closeEdge[vi].lowcost > 0, vi∈V-U} cout<<'<'< totalCost += closeEdge[k].lowcost; closeEdge[k].lowcost = 0; //第k 顶点并入U 集 for (j=0; j { if (G.arcs[k][j].adj < closeEdge[j].lowcost) //新顶点并入U 后重新选择最小边 { strcpy(closeEdge[j].adjvex, G.vexs[k]); closeEdge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj; } } } cout<<"\n|总代价："< cout<<"+^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^/\n"; }//MiniSpanTree 图 1. 填空题 ⑴ 设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。 【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1) 【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。 ⑵ 任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。 【解答】其自身 ⑶ 图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。 【解答】邻接矩阵，邻接表 【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。 ⑷ 已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。 【解答】Ｏ(n+e) 【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。 ⑸ 已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。 【解答】求第j列的所有元素之和 ⑹ 有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。 【解答】出度 ⑺ 图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。 【解答】前序，栈，层序，队列 ⑻ 对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal 算法求最小生成树的时间复杂度为（）。 【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e) 【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。 ⑼ 如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。 【解答】回路 ⑽ 在一个有向图中，若存在弧、、，则在其拓扑序列中，顶点vi, vj, vk的相对次序为（）。 【解答】vi, vj, vk 【分析】对由顶点vi, vj, vk组成的图进行拓扑排序。 2. 选择题 ⑴ 在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的（）倍。 A 1/2 B 1 C 2 D 4 【解答】C 【分析】设无向图中含有n个顶点e条边，则。 上海电力学院 数据结构（JAVA）课程设计 题目:____最小生成树_______ 学生姓名：_****___________ 学号：_____*******_______ 院系：计算机科学与技术学院 专业年级： ______*****___级 20**年 *月**日 目录 1.设计题目 (1) 2.需求分析 (1) 1）运行环境 (1) 2）输入的形式和输入值的范围 (1) 3）输出的形式描述 (1) 4）功能描述 (1) 5）测试数据 (1) 3.概要设计 (1) 1）抽象数据类型定义描述 (1) .2）功能模块设计 (1) 3）模块层次调用关系图 (2) 4.详细设计。实现概要设计中定义的所有的类的定义及类中成员函数，并对主要的模块写出伪码算法。 (2) 5.调试分析。包括调试过程中遇到的问题及解决的方法、算法的时间空间复杂性分析、经验体会。 (6) 6.用户使用说明。详细列出每一步的操作说明。 (7) 7. 测试结果 (7) 8.附录：程序设计源代码 (9) 一、设计题目 1).问题描述 若要在 n 个城市之间建设通信网络，只需要架设n-1 条线路即可。如何以最低的经济代价建设这个通信网，是一个网的最小生成树问题。 2). 基本要求 以邻接多重表存储无向带权图，利用克鲁斯卡尔算法或普瑞姆算法求网的最小生成树。 二、需求分析 1）运行环境 软件在JDK运行，硬件支持windows系统 2）输入的形式和输入值的范围 自动生成顶点数据在10~20之间；各个顶点之间权值在25~50之间；通过程序改动亦可生成已知顶点权值之间的最小生成树，需将随机生成代码改为edge edge[]={new edge(0,1,16),new（0,2,18）......}； 将已知顶点、权值通过其函数输入再生成其所对应最小生成树。 3）输出的形式描述 输出随机生成顶点个数以及各个顶点之间权值；然后输出本次生成顶点之间构成的最小生成树。 榆林学院12届课程设计 《最小生成树问题》 课程设计说明书 学生姓名：赵佳 学号： 1412210112 院系：信息工程学院 专业：计算机科学与技术 班级：计14本1 指导教师： 答辩时间：年月日 最小生成树问题 一、问题陈述 最小生成树问题 设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方 法。存储结构采用多种。求解算法多种。 二、需求分析 1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。 2.求城市之间最经济的架设方法。 3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。 三、概要设计 1、功能模块图 2、功能描述 （1) CreateUDG() 创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。 （2) Switch() 功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。 （3) Adjacency_Matrix() 建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。 （4) Adjacency_List() 建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。 （5) MiniSpanTree_KRSL() kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。 （6) MiniSpanTree_PRIM() PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。 四、详细设计 本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。 1、两种存储结构的存储定义如下： typedef struct Arcell { double adj; }Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct { char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组 AdjMatrix arcs; //邻接矩阵 int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数 }MGraph; typedef struct Pnode //用于普利姆算法 { char adjvex; //节点 double lowcost; //权值 }Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的 河北科技大学 课程设计报告 学生姓名：白云学号：Z110702301 专业班级：计算机113班 课程名称：数据结构课程设计 学年学期： 2 01 3—2 014学年第2学期指导教师：郑广 2014年6月 课程设计成绩评定表 目录 一、需求分析说明 (1) 1.1最小生成树总体功能要求 (1) 1.2基本功能 (1) 1.3 模块分析 (1) 二、概要设计说明 (1) 2.1设计思路 (1) 2.2模块调用图 (2) 2.3数据结构设计 (2) 2.3.1.抽象数据类型 (2) 2.3.2方法描述 (2) 三、详细设计说明 (3) 3.1主函数模块 (3) 3.2邻接表输出子模块 (3) 3.3邻接矩阵输出子模块 (3) 3.4创建邻接矩阵子模块 (3) 3.5创建邻接表子模块 (3) 3.6 Prim子模块 (3) 3.7 Kruscal子模块 (4) 四、调试分析 (4) 4.1实际完成情况说明 (4) 4.2 出现的问题及解决方案 (4) 4.3程序中可以改进的地方 (4) 六、课程设计总结 (7) 七、测试数据 (7) 八、参考书目 (7) 一、需求分析说明 1.1最小生成树总体功能要求 在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用多种。求解算法多种。 1.2基本功能 在n个城市之间建设网络，只需要架设n-1条线路，建立最小生成树即可实现最经济的架设方法。 程序可利用克鲁斯卡尔算法或prim算法生成最小生成树。 1.3 模块分析 主模块：用于生成界面和调用各个子模块。 Kruscal模块：以kruscal算法实现最小生成树。 Prim模块：以prim算法实现最小生成树。 邻接表模块：用邻接表方式存储图。 邻接表输出模块：输出邻接表。 邻接矩阵模块：用邻接矩阵方式存储图。 邻接矩阵模块：输出邻接矩阵。 二、概要设计说明 2.1设计思路 问题的解决分别采用普利姆算法以及克鲁斯卡尔算法。 1) 普利姆算法就是先选择根，把它放入一个集合U中，剩余的顶点放在集合V中。然后选择该顶点与V中顶点之间权值最小的一条边，以此类推，如果达到最后一个则返回上一个顶点。 2) 克鲁斯卡尔算法就是写出所有的顶点，选择权最小的边，然后写出第二小的，以此类推，最终要有一个判断是否生成环，不生成则得到克鲁斯卡尔的最小生成树。 软件综合课程设计 最小生成树问题 学生成绩管理 二〇一四年六月 最小生成树问题 一、问题陈述 最小生成树问题 设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用多种。求解算法多种。 二、需求分析 1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。 2.求城市之间最经济的架设方法。 3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。 三、概要设计 1、功能模块图 2、功能描述 （1) CreateUDG() 创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。 （2) Switch() 功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。 （3) Adjacency_Matrix() 建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。 （4) Adjacency_List() 建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。 （5) MiniSpanTree_KRSL() kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。 （6) MiniSpanTree_PRIM() PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。 四、详细设计 本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。 1、两种存储结构的存储定义如下： typedef struct Arcell { double adj; }Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct { char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组 AdjMatrix arcs; //邻接矩阵 int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数 }MGraph; typedef struct Pnode //用于普利姆算法 { char adjvex; //节点 double lowcost; //权值 }Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义 typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点 { char ch1; //节点1 char ch2; //节点2 double value;//权值 }Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM]; 2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。 （1）普里姆算法(Prim)算法 普里姆算法(Prim)算法是一种构造性算法，生成最小生成树的步骤如下：初始化U={v}。以v到其他顶点的所有边为候选边。 重复一下步骤(n-1)次，使得其他(n-1)个顶点被加入到U中。 ○1从候选边中挑选权值最小的边加入TE，设该边在V—U中的顶点是vk，将顶点vk加入到U中; ○2考察当前V—U中的所有顶点vj ，修改候选边：若(vk,vj)的权值小于原来和vj关联的候选边，则用(vk,vj)取代后者作为候选边。 算法设计与分析课程设计报告 学院计算机科学与技术 专业计算机科学与技术 年级2011 姓名XXX 学号 2013年5 月19 日 题目：最小生成树问题的算法实现及复杂度分析 摘要：该程序操作简单，具有一定的应用性。数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。而最小生成树算法是算法设计与分析中的重要算法，最小生成树也是最短路径算法。最短路径的问题在现实生活中应用非常广泛，如邮递员送信、公路造价等问题。本设计以Visual Studio 2010作为开发平台，C/C++语言作为编程语言，以邻接矩阵作为存储结构，编程实现了最小生成树算法。构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM 经典算法的算法思想，最后用这种经典算法实现了最小生成树的生成。 引言：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。n个城市之间最多可以设置n（n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。而实现这个运算的经典算法就是普利姆算法。 数据结构课程设计报告题目：最小生成树问题 院（系）：计算机工程学院 学生姓名: 班级：学号: 起迄日期: 指导教师: 2011—2012年度第 2 学期 一、需求分析 1.问题描述： 在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用多种。求解算法多种。 2.基本功能 在n个城市之间建设网络，只需要架设n-1条线路，建立最小生成树即可实现最经济的架设方法。 程序可利用克鲁斯卡尔算法或prim算法生成最小生成树。 3.输入输出 以文本形式输出最小生成树，同时输出它们的权值。通过人机对话方式即用户通过自行选择命令来输入数据和生成相应的数据结果。 二、概要设计 1.设计思路： 因为是最小生成树问题，所以采用了课本上介绍过的克鲁斯卡尔算法和 prim算法两种方法来生成最小生成树。根据要求，需采用多种存储结构，所以我选择采用了邻接表和邻接矩阵两种存储结构。 2.数据结构设计： 图状结构： ADT Graph{ 数据对象V：V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。 数据关系R：R={VR} VR={ 初始条件：图G存在。 操作结果：销毁图G。 LocateVex( G, u ) 初始条件：图G存在，u和G中顶点有相同特征。 操作结果：若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中位置；否则返 回其它信息。 GetVex( G, v ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：返回v的值。 PutVex( &G, v, value ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：对v赋值value。 FirstAdjVex( G, v ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：返回v的第一个邻接顶点。若顶点在G中没有邻接顶点， 则返回“空”。 NextAdjVex( G, v, w ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点，w是v的邻接顶点。 操作结果：返回v的（相对于w的）下一个邻接顶点。若w是v的 最后一个邻接点，则返回“空”。 InsertVex( &G, v ) 初始条件：图G存在，v和图中顶点有相同特征。 操作结果：在图G中增添新顶点v。 DeleteVex( &G, v ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：删除G中顶点v及其相关的弧。 InsertArc( &G, v, w ) 数据结构课程设计 目录 一. 设计目的.................................................................................................. 错误！未定义书签。 二. 设计内容 (1) 三．概要设计 (1) 1、功能模块图 (1) 2、各个模块详细的功能描述 (2) 四．详细设计 (3) 1．主函数和其他函数的伪码算法 (3) 2、主要函数的程序流程图 (7) 3、函数之间的调用关系图 (15) 五．测试数据及运行结果 (15) 1．正常测试数据及运行结果 (16) 2、非正常测试数据及运行结果 (17) 六．调试情况，设计技巧及体会 (18) 七．参考文献 (19) 八．附录：源代码 (19) 一. 设计目的 课程设计是软件设计的综合训练，包括问题分析、总体结构设计、用户界面设计、程序设计基本技能和技巧。能够在设计中逐步提高程序设计能力，培养科学的软件工作方法。而且通过数据结构课程设计能够在下述各方面得到锻炼： 1、能根据实际问题的具体情况，结合数据结构课程中的基本理论和基本算法，正确分析出数据的逻辑结构，合理地选择相应的存储结构，并能设计出解决问题的有效算法。 2、提高程序设计和调试能力。通过上机实习，验证自己设计的算法的正确性。学会有效利用基本调试方法，迅速找出程序代码中的错误并且修改。 3、培养算法分析能力。分析所设计算法的时间复杂度和空间复杂度，进一步提高程序设计水平。 二. 设计内容 最小生成树问题: 设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用多种。求解算法多种。 三．概要设计 1、功能模块图 最小生成树算法分析 一、生成树的概念 若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。 对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后一般不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs 或dfs，这样得到的是生成森林。 由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。 可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。 二、求图的最小生成树算法 严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。 对于加权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。 求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。 例1、城市公交网 [问题描述] 有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。 [输入] n（城市数，1<=n<=100） e（边数） 以下e行，每行3个数i,j,w ij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。 [输出] n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。 [举例] 下面的图（A）表示一个5个城市的地图，图（B）、（C）是对图（A）分别进行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20和33，前者比后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19。 [问题分析] 出发点：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。那么选哪n-1条边呢？设图G的度为n，G=（V，E），我们介绍两种基于贪心的算法，Prim算法和Kruskal算法。 1、用Prim算法求最小生成树的思想如下： ①设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE的初始状态均为空集； ②选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S； ③重复下列操作，直到选取了n-1条边： 选取一条权值最小的边（X，Y），其中X∈S，not (Y∈S)； 将顶点Y加入集合S，边（X，Y）加入集合TE； ④得到最小生成树T =（S，TE） 中北大学 数据结构与算法课程设计 说明书 学院、系：软件学院 专业：软件工程 班级： 学生姓名：学号： 设计题目：最小生成树问题 起迄日期: 2015年1月12日- 2015年1月29日指导教师:王秀娟 2015 年1月 29 日 1需求分析 1.1已知一个无向连通网表示n个城市以及城市间可能设置的通信网络线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋于边上的权值表示相应的代价。对于n个点的连通网能建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。我们要选择一棵生成树，使总的耗费最小。 1.2该无向连通图的建立需要使用两种存储结构，即邻接表和邻接矩阵。 1.3实现最小生成树需要使用两种算法。即普里姆算法和克鲁斯卡尔。 1.4程序通过人机交互实现数据的输入和输出。 2选题要求 设计内容： 在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用（邻接表和邻接矩阵）两种，采用课本上的两种求解算法。 设计要求： (1) 符合课题要求，实现相应功能； (2) 要求界面友好美观，操作方便易行； (3) 注意程序的实用性、安全性。 3程序设计方法及主要函数介绍 ADT Graph{ 数据对象V;V是具有相同特性的数据元素的集合，成为顶点集。 数据关系R： R = {VR} VR = {（v,w）|v,w为V集合中的元素，（v,w）表示v和w之间存在的路径} 基本操作P; CreateMGraph(MGraph *G) 初始条件：V是图的顶点集，VR是图的边的集合。 操作结果：按V和VR的定义构造图G，用邻接矩阵存储。 CreateALGraph(ALGraph *G) 实验九图的最小生成树算法的实现 实验预备知识： 1．理解图最小生成树的意义和相应算法。 2．掌握带权图的存储结构。 一、实验目的 1．使学生熟悉最小生成树的算法实现。 2．掌握带权图的存储结构和处理方法。 二、实验环境 ⒈硬件：每个学生需配备计算机一台。操作系统：DOS或Windows； ⒉软件：DOS或Windows操作系统+Turbo C； 三、实验要求 1．能够独立完成带权图的存储和最小生成树的生成 四、实验内容 1．在自己的U盘的“姓名+学号”文件夹中创建“实验9”文件夹，本次实验的所有程序和数据都要求存储到本文件夹中。 2．现在某电信公司要对如下图的几个城市之间进行光纤连接布线，请用合适的存储结构将下图存储到计算机中方便进行处理。 3．现在公司想以最小的代价将所有城市连通，方便所有城市间通信，请用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法实现本图的最小生成树 #include 以邻接矩阵存储的图类型构造n个城市连接的最小生成树代码： #include scanf("%d" ,&(G->vexs[i])) ; /* 输入顶点信息，建立顶点表*/ } for (i=0 ;i 最小生成树的两种经典算法的分析及实现 摘要：数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM和KRUSKAL的两种经典算法的算法思想，对两者进行了详细的比较，最后用这两种经典算法实现了最小生成树的生成。 关键词：连通图，赋权图，最小生成树，算法，实现 1 前言 假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。n个城市之间最多可以设置n （n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。 2图的概念 2.1 定义 无序积 在无序积中， 无向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为无向边，简称边。 有向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为有向边，简称边。 有时，泛指有向图或无向图。 2.2 图的表示法 有向图，无向图的顶点都用小圆圈表示。 无向边——连接顶点的线段。 有向边——以为始点，以为终点的有向线段。 2.3 概念 (1)有限图——都是有限集的图。 阶图——的图。 零图——的图。特别，若又有，称平凡图。 (2)关联 (边与点关系)——设边(或)，则称与(或)关联。 无环 孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所对应的边叫悬挂边。 (3)平行边——关联于同一对顶点的若干条边称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。 简单图——不含平行边和环的图。 2.4 完全图 设为阶无向简单图，若中每个顶点都与其余个顶点相邻，则 称为阶无向完全图，记作。 若有向图的任一对顶点，既有有向边，又有有向边，则 称为有向完全图。 例如： 《数据结构课程设计》题目二：最小生成树的构建 学院：XXXXXXXXXXX 班级：XXXXXXXXXXX 学号：XXXXXXXXXXX 姓名：XXXXXXXXXXX 设计时间：XXXXXXXXXXX 目录： 1.需求分析--------------------------------------------- 1 2.课题设计内容--------------------------------------- 1 (1)课程设计基本流程------------------------------------------ 1 (2)详细设计说明------------------------------------------------1 (3)界面操作流程图：----------------------------------------- 2 (4)主要程序------------------------------------------------------3 (5)运行结果截图----------------------------------------------- 5 3.得意之处--------------------------------------------- 6 4.设计实践过程中的收获与体会------------------ 6 5.设计目前存在的问题------------------------------ 7 6.主要参考文献-------------------------------------- 7 一、需求分析 本课程主要是完成一个最小生成树的构建，要求用克鲁斯卡尔算法或者普利姆算法求网的最小生成树（此程序我用的是 普利姆算法），并输出各条边及他们的权值。要求用户在使用 时可以准确输入顶点及每个顶点的关系，运算出可以建立的关 系网，最后利用普利姆算法准确输出最短路径。 二、课程设计内容 1、课程设计基本流程： 关于此课程的设计，是从设计要求入手的。根据对知识的掌握程度，我选择了用普利姆算法进行设计。 根据实验要求，我定义了一个prims类，在类中定义一个私有成员函数和一个公有成员函数。定义相关变 量和相关函数，并完善程序。 2、详细设计说明： 首先在私有成员private中定义节点个数n、图中边的个数g，树的边的个数t，源节点s。定义二维数组 graph_edge[99][4]和tree_edge[99][4]，分别为图的边 和树的边。因为普利姆算法是把图分为两部分进行运算， 所以我定义了T1[50],t1为第一部分， T2[50],t2为第 二部分。在公有成员public中定义输入函数input()、 算法函数algorithm()、输出函数output()。 1 《数据结构》期末课程设计 题目第8题：最小生成树问题学院计算机学院 专业 班别 学号 姓名陈聪 2015年7月6日 一、需求分析 1、问题描述 若要在n个城市之间建设通讯网络，只需要架设n-1条线路即可。如何以最低的经济代价建设这个通讯网，是一个网的最小生成树问题。 2、基本要求 （1）利用克鲁斯卡尔算法求网的最小生成树。 （2）实现并查集。以此表示构造生成树过程中的连通分量。 （3）以文本形式输出生成树中各条边以及他们的权值。 3、实现提示 通讯线路一旦建立，必然是双向的。因此，构造最小生成树的网一定是无向网。设图的顶点数不超过30个，并为简单起见，网中边的权值设成小于100的整数，可利用C语言提供的随机数函数产生。 图的存储结构的选取应和所作操作向适应。为了便于选择权值最小的边，此题的存储结构既不选用邻接矩阵的数组表示法，也不选用邻接表，而是以存储边(带权)的数组即边集数组表示图。 二、详细设计 根据课设题目要求，拟将整体程序分为三大模块，分别是：图的存储结构，并查集的实现，克鲁斯卡尔算法的实现。 1、边集数组的类型定义： typedef struct { int x, y; int w; }edge; x表示起点，y表示终点，w为权值。 2、并查集功能的实现由以下函数实现： Make_Set(int x)初始化集合； Find_Set(int x) 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径； Union(int x, int y, int w)合并x,y所在的集合。 3、克鲁斯卡尔算法的实现 该算法的实现位于主函数中： qsort(e, n, sizeof(edge), cmp); //将边排序 printf("最小生成树的各条边及权值为：\n"); for (i = 0; i < n; i++) { x = Find_Set(e[i].x); y = Find_Set(e[i].y); if (x != y ) { printf("%c - %c : %d\n", e[i].x + 'A', e[i].y + 'A', e[i].w); Union(x, y, e[i].w); } } 4、设计中还包含以下函数： （1）/* 比较函数，按权值(相同则按x坐标)非降序排序*/ int cmp(const void *a, const void *b) { if ((*(edge *)a).w == (*(edge *)b).w) { return (*(edge *)a).x - (*(edge *)b).x; } return (*(edge *)a).w - (*(edge *)b).w; } （2）快排函数qsort,包含在stdlib.h头文件里 qsort(e, n, sizeof(edge), cmp); （3）C语言提供的随机数函数srand( unsigned int seed ); 使用随机数函数如下： srand( (unsigned)time( NULL ) ); for( i = 0; i < n;i++ ) 构造可以使N个城市连接的最小生成树 专业：_________ 班级：_________ 姓名：_________ 学号：_________ 完成日期：_________ 【问题描述】 给定一个地区的n个城市间的距离网，用Prim算法或Kruskal算法建立最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。 【设计需求及分析】 1、城市间的距离网采用邻接矩阵表示，邻接矩阵的存储结构定义采用课本中给出的定义， 若两个城市之间不存在道路，则将相应边的权值设为自己定义的无穷大值。 2、要求在屏幕上显示得到的最小生成树中包括了哪些城市间的道路，并显示得到的最小生成树的代价。 3、表示城市间距离网的邻接矩阵（要求至少6个城市，10条边）。 【设计功能的实现】（用C或C++语言描述） #include int main(int argc, char * argv[]);//主函数 Status LocateVex(MGraph G, VertexType v);//判断城市v 在网G 中的位置Status CreateUDN(MGraph &G);//创建网G 的邻接矩阵 void DisplayNet(MGraph G);//以邻接矩阵的形式显示网G void MiniSpanTree_KRUSKAL(MGraph G);//最小生成树的Kruskal 算法void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType u);//最小生成树的Prim 算法Status Minimum(closedge closeEdge, int n);//Prim 算法中求下一个城市的函数void DeleteInfo(MGraph &G);//释放堆内存上动态申请的空间 int main(int argc, char * argv[]) { CreateGraph(G); DisplayNet(G); MiniSpanTree_KRUSKAL(G); MiniSpanTree_PRIM(G, G.vexs[0]); DeleteInfo(G); cout< 一、树及生成树的基本概念 树是无向图的特殊情况，即对于一个N个节点的无向图，其中只有N-1条边，且图中任意两点间有且仅有一条路径，即图中不存在环，这样的图称为树，一般记为T。树定义有以下几种表述： (1)、T连通、无圈、有n个结点，连通有n－1条边；(2)、T无回路，但不相邻的两个结点间联以一边，恰得一个圈；(3)、T连通，但去掉任意一边，T就不连通了（即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图）；(4)、T的任意两个结点之间恰有一条初等链。 例如：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任 意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。若用 六个点v1…v6代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话 线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个 电话网就作成一个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图 必须是连通图，且这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去 掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。图5-6是 一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。 生成树（支撑树） 定义：如果图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’是G的一个支撑树或生成树。例如,图5-7b是图5-7a的一个支撑树。 定理：一个图G有生成树的条件是G是连通图。 证明:必要性显然； 充分性:设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一个生成树。若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个生成树。若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G2。依此类推，可以得到图G的一个生成子 图G K，且不含圈，从而G K是一个生成树。 寻找连通图生成树的方法： 破圈法：从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图 重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个生成树。 取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边e3。在剩下的图 中，再取一个圈（v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4。再从圈（v3,v4,v5,v3） 中去掉边e6。再从圈(v1,v2,v5,v4,v3,v1）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。 避圈法：也称为生长法，从图中某一点开始生长边，逐步扩展成长为一棵树，每步选取与已入树的边不构成圈的那些边。数据结构-第六章-图-练习题及答案详细解析(精华版)
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