随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度
（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）
（b）由于：
因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：
因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；
（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：
（b）当的时候，和线性相关，即
3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为
，且是一个周期为T的函数，即，试求方差
函数。
解：由定义，有：
4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）
（b）
第二讲作业：
P33/2．解：
其中为整数，为脉宽
从而有一维分布密度：
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
反函数，因此有一维分布：
P35/4. 解：(1) 其中
由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：，及雅克比行列式：
我们有的联合分布密度为：
因此有：
且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且
所以。
（4）由于：
所以因此
当时，
当时，
由（1）中的结论，有：
P36/7．证明：
(1)
(2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1）
当i =j 时；否则
令
，则有
第三讲作业：
P111/7．解：
（1
）是齐次马氏链。经过
次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：
P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：
（2）由齐次马氏链的性质，有：
（2）
，
因此：
P112/9．解：
（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：
；
计算有：
，递推得到
，因此有：
P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：
由此可得特征值为：
，及特征向量：
，
则有：
因此有：
（1）
令矩阵
P112/12．解：
设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：
第四讲作业：
P113/13．解：画出状态转移图，有：
P113/14. 解：画出状态转移图，有：
P113/16．解：画出状态转移图，有：
（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。
（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、
2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故
，所以状态1为非常返态。
（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，
故2为常返态；，故3、4为非常返态。
第六讲作业：
P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：
（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：
解得极限分布即可。
P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，
因此可计算极限分布如下：
解以上方程，得极限分布：
P115/19．解：见课上讲稿。
P116/21．解：记，则有：
（1）因为：
(A)
当时，有：
由（A）可得：
当且时，有：
由（A）可得：
当且时，有：
由（A）可得：
另外：下列等式是明显的
因此我们有：
即{是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：
（2）画出转移矩阵图，可得：
由：及，并且取，由递归可得：
（3）由于：
因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。
（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T 就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有：
随机过程习题解答（二）
P228/1。证明：由于t s <，有
{}{}
{}
{}{}
n t N P k n s t N P k s N P n t N P n t N k s N P n t N k s N P =-=-?==
=
====
==)(}
)({)()()(,)()(/)(
其中
{})
()!
())
((!
)(})({)(s t k
n s
k
e
k n s t e
k s k n s t N P k s N P ------?
=
-=-?=λλλλ
{}t
n
e
n t n t N P λλ-=
=!
)()(
所以
{}k
n k
k
n k
n k
k t
n
s t k
n s
k
k s k s k n k n k n t
s t t
s e
n t e
k n s t e
k s n t N k s N P --------??? ?
?-??? ?????? ??=--=
--?
=
==1)!(!!
)(!
)
()!())
((!
)
()(/)()
(λλλλλλ
证毕。
P229/3. 解：（1）因为}0),({≥t t N 是一Poission 过程，由母函数的定义，有：
()(
)
()()
()()
)
()(})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({)()()(0
0000000
)(s s s
j t N P s l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P l t N P s
k t N P s t N t N j j
l l
l k l
k l l
l l k l k l k k l l k l k k
k l k k
t t N ?∞=∞
=∞=-∞=∞
=∞=-∞
==-∞
==∞
=?+ψ?ψ=?=
??==
?-=??==??
?
????-=???==
??
?????-=???==???????-=??==?==
ψ∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑ （2）有上面（1）的结果，可得：
t
s s t s s s t
s s t
s t N t t N t N t N t N t t N t t N t t N ?-ψ?ψ=?ψ-ψ?ψ=
?ψ-ψ=?ψ??→??→??+→?1
)()()
()()()
()(?
)
()(0
)()()()(0
)()(0
)(lim
lim
lim
（3）当t ?充分小时，由于：
[][]∑∑∞
=∞
=???+
??+?+??+?-=?=?=
ψ2
1
)()()()(1})({)(k k
k k
t N s
t s t t s t t s
s t N P s οολολ
因此，当1
)
1()
()
(1
)(2
)(0
lim
lim
-=???+
??+?+?-=
?-ψ∑
∞
=→??→?s s t
t t
t s t t t
s k
k t t N t λοολλ
由（2）的结果，我们有：
)
()1()
()()(s s t
s t N t N ψ-=?ψ?λ
P229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：
t
s t N N t N t N e
s s s s t s )1()()0()()()(1)()()1()
(-=ψ?
??
?
?
?=ψψ-=?ψ?λλ
（2）由于)()(s t N ψ是随机过程)(t N 的母函数，且t s t N e s )1()()(-=ψλ，将函数t s e )1(-λ关于)1(
∑
∞
=--??=
=ψ0
)1()(!
)()(k k
t
k
t
s t N s e
k t e
s λλλ
由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：
2,1,0,
!
)(})({=?=
=-k e
k t k t N P t
k
λλ
P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：
{
}
{}
[]
{
}
{
}()
n
Y u i n t
n
Y Y Y u i n t
n
t X u i n t X u i t X e
E e
n t e
E e
n t n
t N e
E n t N P e
E u n 1
210
0)
(0)
()(!
)(!)()(})({)(??=
??==?==
=Φ∑
∑
∑∞
=-++∞
=-∞
=λλλλ
令{})(1
1
u e E Y Y u i φ=，则有：
[]{}
1)(exp !
))
(()(110
)(-=?=
Φ∑
∞
=-u t e
n u t u Y n t
n
Y t X φλφλλ （*）
若),2,1( =n Y n 的概率分布为：
2
122
11}1{,
}1{λλλλλλ+=
-=+=
=n n Y P Y P
则
{}u
i u
i Y u i Y e
e
e
E u n
n
-?++
?+=
=2
122
11)(λλλλλλφ （**）
将（**）代入（*），我们有：
{
}
t
e
t e
t e e t u u
i u
i u
i u i t X )(exp 1)(exp )(21212
1221121)(λλλλλλλλλλλλ+-+=??
??
????????-?++?++=Φ--
P230/7. 解：先求}0),({0≥t t N 的特征函数：
{}{}
{}{}
{}{
}{}
t e t e t e
e
t e
e
t e
m e
t e
n e t e
e m t e
e
n t e
E e
E e E e
E u u
i u
i t
u i t
u i m t
m
u i n t
n
u i m
u i m t
m
n
u i n t
n
t N u i t N u i t N t N u i t N u i t N )(exp exp exp !
)
(!
)
(!
)(!
)()(2
121
)
(210
)
(20
1)(0201)
()()
())
()(()
()(212121212100λλλλ
λλλλλλλλλλλλ+-+=???=???=
?????=
?===Φ----∞
=--∞
=--∞
=-∞
=---∑
∑
∑
∑
由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知}0),({0≥t t N 是复合
Poission 过程。
P231/10. 解：由于
{}{}{}
n t X t X t X P n t X t X t X j t X k t X P n t X t X t X j t X k t X P =++=++===
==++==)()()()()()(,)(,)()()()()(,)(3213212132121
因为)(t X i 的母函数为：
{}t s s i t N )1(exp )()(-=ψλ，
由独立性，可知)()()(321t X t X t X ++的母函数为：
()(){}∏=-++=ψ
=
ψ3
1
321)
()(1exp )()(i t X t X t s s s λλλ，
所以)()()()(321t X t X t X t X ++=是参数为321λλλ++的泊松过程，即
{}()()()t
n
e
n t n t X t X t X P 3
21!
)()()(3
2
1321λ
λλλ
λ
λ++-++=
=++
因此我们有：
{}()()()()()
()n
j
k n j
k
t
n
t
k
j n t
j
t
k
j k n j k n e
n t e
k j n t e
j t e
k t n t X t X t X j t X k t X P )
()!(!!!
!
)!
(!
!
)()()()(,)(3213
213
2
1111321213
21321
λλλλλλλ
λ
λλλλλ
λλλλλ
++?--=
++--??
=
=
=++==--++------
P231/12. 解：（1）由
{}())
(}1)({1})({}1)(,1)({}0)(,)({)(t o t P k t X P t P k t X P t X k t X P t X k t X P k t t X P r r ?+?-=+?-==+=?-=+=?===
=?+λλ 令0→?t ，有
)
()()(1t P P t P P dt
t dP k r k r k -=+λλ
解得
{}t
P k
r r e
k t P k t X P λλ-=
=!
)()(
（2）由（1）知，)(t X 服从参数为r P λ的泊松分布。
P232/15. 解：（1）以)(t ξ表示t 时刻系统中不正常工作的信道数，则}0),({≥t t ξ是一马氏过程，其状态空间为：}2,1,0{=S ，Q 矩阵为：
????? ?
?-+--=μμ
λμλμ
λλ220)(0
22Q （2）令：
????
?
??=)()
()()()()
()()()
()(222120
121110020100t p t p t p t p t p t p t p t p t p t P 则前进方程为：
??
?
?
?==?33)0()()
(I P Q t P t d t P d （3）令：
})({)(j t P t p j ==ξ
)0,0,1()0(,))(),(),(()(210==p t p t p t p t p
写出福克－普朗克方程：
???
??==)
0,0,1()0()()
(p Q t p t
d t p d
即有：
???
???
??
???===-=++-=+-=0
)0(,0)0(,1)0()(2)()
()(2)()()(2)()()(2)
(2102122101100p p p t p t p t d t p d t p t p t p t d t p d t p t p t
d t p d μλμμλλμλ
做Laplace 变换，令：
2
,1,0,
))(()(==n t p L s n n π
则有：
???
??-=++-=+-=-)
(2)()()(2)()()(2)()()(21)(212
2101100s s s s s s s s s s s s s πμπλππμπμλπλππμπλπ 由上解得：
)
()
(2)]
()][(2[2)3()(2
2
0μλμλμλμλμ
λμπ+++
+++
=
+++++++=
s C s B s
A s s s s s s
其中：
2
2
2
2
2
)
(2,)
(,)
(μλμλμλλ
μλμ
+=
+=
+=
C B A
因此求
))
(()(01
0s L t p π-=
即可。
（4）t t t B A B A e e e t T P t T P t T t T P λλλ2}{}{},{---==>>=>>
P233/16. 解：（1）令)(t ξ表示t 时刻系统中正在用电的焊工数，则}0),({≥t t ξ是一马氏过程，其状态空间为：},,2,1,0{m S =。 （2）Q 矩阵为：
??
??????
?
?---+---+--
=μμ
λλμμλλμμλλ
m m m m m m m m Q 0
0)2(]
)2(2[2000)1(]
)1([0
00 （3）令：
})({)(j t P t p j ==ξ
)0,,0,0,1()0(,))(,),(),(),(()(210
==p t p t p t p t p t p m
写出福克－普朗克方程：
??
?
??==+?)1(1)0,,0,0,1()0()()
(m p Q t p t
d t p d
（4）画出状态转移率图，可得∞→t 时的平衡方程：
??
???
???
???
?
?==+++-=+-+=+-=∑=-+-1)1()1(])[(2])1[(0
11
120110m n n m m n n n p p m p p n p n m p n n m p p m p m p p m μλμλμλμλμλμλ 由此可得：
)1()1()(1011=-=
=-+-=+---+p p m p n p n m p n p n m n n n n μλμλμλ
即有：
0)1()(1=+--+n n p n p n m μλ
m n p n n m p n n ,,2,1,0,
)1()(1 =??+-=
+μ
λ
由此可以求得：
m n p C p m n n m n n m p n
n m n n ,,1,0,1
1)()1(00 =???
?
??=????? ????
?--?+-=μλμλ
由 10
=∑=m
n n p ，即可确定0p ，最终得到所要的结果。
P233/17. 解：（1）由于：)0,,(,>=+=a n a n n n μλμ
μλλ
可以得到此过程的Q 矩阵：
?????????
?
?
?+++-+++-+++--=
a
n a n n a
a a
a a a
Q λμλμ
λμλμ
λμλμ])([0
2)
22(2000)
(000
令：
})({)(j t P t p j ==ξ
),)(,),(),(),(()(210
t p t p t p t p t p n =
写出福克－普朗克方程：
???????
????????+++++-+-=+++-+=+++-=+-=+-
)
()1()(])([)(])1[()()
(3)(])(2[)()()()(2)(])[()()()
()()(1132122101100t p n t p a n t p a n t d t p d t p t p a t p a t d t p d t p t p a t p a t d t p d t p t p a t d t p d n n n n μμλλμμλλμμλμ
初始条件：)(0
)0(,
1)0(00
n j p p j n ≠==。
（2）由数学期望的定义：
∑∑∞
=∞
===
=1
)()()(?)}({n n n n
t p n t p
n t M t E ξξ
由此，我们有：
{}
[]
[]
)
()()()()()1()()()()1()()()1()()()()1()()()()1()(])([)(])1[()()()(1
1110
1
11
1
1
1
111
1
1
t M a t p n a t p n t p n t p n n t p
a t p n t p n t p
n n t p na t p
na t p n t p a n t p
a n n t
d t p d n
t p n t
d d t
d t M d n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n ξξμλμλμμλλμμλλμμλλ-+=-+=+++--+=
+++--+
+
-=
++++-+-==
=
=
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑
∞
=∞
=+-∞
=∞
=+-∞
=∞
=-∞
=+-∞
=∞=
即可得到描写)(t M ξ的微分方程：
??
?
??=-+=0)0()()()
(n M t M a t
d t M d ξξξμλ （3）解上面的微分方程，我们有：
[]t
t
e
a
e
n t M )()(01)(μλμλξλ
μ----+
=
P233/19. 解（1）根据题意得到Q 矩阵为
?????????
?
?????
?????+-+-+--=
λ
λμμλ
λμμλ
λμμλ
λ)
(0)
2(2000
)(000n n Q 由福克－普朗克方程得：
????
?≥+++-=+-=+-)1()()1()()()()()()()
(11100n t p n t p n t p dt
t dp t p t p dt
t dp n n n n μμλλμλ （2）
∑∑∑∑∑
∞
=-∞
=∞
=+∞
=+-∞
=+
+-=
=+++-+
++-='=
??0
1
1
11110
0)()()()()]()1()()()([)()()(),(n n n
n n
n n n n n n n n n
n n
n
u
t p
n u t p n u
t p t p n t p n t p t p t p u t p t
t u G μμλλ
μμλλμ
μλ
而
∑∞
=--=??-0
1
)()1(),()
1(n n n u
t np u u
t u G u μμ
因此
左边=∑∑∞
=∞
=+-
1
)()(n n
n
n n n u
t p
u
t p λλ
右边=∑∑∑∞
=∞
=+∞
=-=-=-0
1
)()()()1(),()1(n n
n n n n n n
n u
t p u
t p u t p u t u G u λλλλ
左边=右边，证毕。
（3）将)]1([),(-=-u e
f e
t u G t
u
μμ
λ
代入左边。
右边
),()1()]1([)1()
)]1([)]1([(
)1()()1()]1([左边=-=-???-=?-'+-???-+?-?-?-'?=-----t u G u u e
f e
u e
u e
f u e
f e
u e
u u e f e
t
u
u
t
t
u
t t u
λλμ
λμμμμ
λ
μ
λ
μμμ
λ
μμμ
λ
（4）由1)0,(=u G ，有
1)1(=-u f e
u
μ
λ
即
u
e
u f μ
λ-
=-)1(
进而有
)
1()(+-
=u e u f μ
λ
所以
)
1)(1())1((),(t
e
u t
u
e
u e
f e
t u G μμ
λ
μμ
λ
----=-=
（5）令
x e
t
=--)1(μμ
λ，由(4)的结论
+-+
+-+-+==-!
)
1(!
2)
1()1(1),(2
2
)
1(n u x u x u x e
t u G n
n u x
其中n u 对应的系数为
(
)
()
x
n
n n
n n
n
e
n x
n x
C
n x
C
n x
-++=
++++-+!
)!
2()!
1(!
2
21
1
所以
?
??
???-=---
-n t e
n e
n e
t p t
)]1([!1)()
1(μμ
λμλμ （6）
)
1()1()]1([!1)1()]
1([
)!
1(1
)]1([!1)()()
1()
1(0
)
1(1
)1(1
)
1(1t
e
t
e
n n
t t
e
n n
t
e
n n t e
n n e
e
e
e e n e
e
e
n e
e n ne t np t M t
t
t
t
t
μμ
λ
μμ
λμμμ
λμμ
λμμ
λξμ
λμλμ
λμλμ
λμλμμμμμ-----
∞
=----
∞
=---
∞
=---
∞
=-=
?-?
=-?-?
=--=?
??
???-=
=
-----∑
∑∑
∑
（7）由(5)的结论，知
μ
λμ
λμ-
--
→∞
→∞
==-e
e
t p t
e
t t )1(0lim )(lim
P236/24解：
(1) 根据题意得Q 矩阵
???????
?
????????+-+--=
0)
(000)
(0000λλμαμαλλμαμαλλQ 由平衡方程，有
?????
??
??=++-=++-=+-+-
0)(0)(0
1121010n n n p p p p p p p p αμαμλλαμαμλλαμλ 因此有 αμλ
=+i i p p 1，进而 ),2,1,0(0 =???
?
??=n p p n
n αμ
λ
因为
11000
=???
?
???=∑∑
∞
=∞
=n n
n n p p αμ
λ
所以，当
1<αμ
λ 时系统平稳。
),2,1,0(1 =???
?
?????? ??-=n p n
n αμλαμλ
(2) λ
αμλ
μμ
μ
-?
=
=
=
∑∑
∞
=∞
=1
1
n n n n Q np p n
W
(3) 前)1(-n 次以概率α-1重新排队，第n 次以概率α离开，所以()α
α?--1
1n 即为所求。
(4) ()
()αμ
αμ
α
ααμ1
110
1
1
=
-=
?-=∑∑∞
=-∞
=-n n n n n n
T
26．解
(1) 设系统状态为不工作机器的数量，则{}3,2,1,0=S ，得Q 矩阵
??
???
???????-+-+--=
μμ
λλμμλλμμλλ
330
)
2(200
2)
2(0033Q 列出平衡方程
???
??
?
?=-=-+-=++-=+-0303)2(20
2)2(3033232121010p p p p p p p p p p μλμμλλμμλλμλ 其中：8
110
1=
=μλ
解得
729
64,
729
240,
729
300,
729
1253210=
=
=
=
p p p p
所以
729
972)(3
=
=
∑
=n n np t M ξ
(2) 729
2432)729
64729
240(8)(832=
+=+=p p T
P237/28. 解：（1）设泊松分布第1-n 个事件发生与第n 个事件发生的时间间隔n X 的特征函数为：)(u n
X Φ，则有：
)}1(exp{)(-=Φu
i X e
u n μ
由于}{n X 是独立同分布的，根据 ∑==
n
k k
n X S 1
以及特征函数的性质可知：
[
]
[
]
)}1(exp{)}
1(exp{)()(-=-=Φ
=Φu
i n
u
i n
X S e
n e
u u n
n μμ
因此可知n S 是服从参数为μn 的泊松分布，即：
,2,1,0,
!
)(}{==
=-k e
k n k S P n k
n μ
μ
（2）由：}{}{)})({1t S P t S P n t N P n n ≤-≤==+可知：
∑
∑
=+-=-+-
=
=]
[0
)1(]
[0
!
]
)1[(!
)(})({t k n k
t k n k e
k n e
k n n t N P μ
μ
μμ
附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：
一阶拟线性方程的一般形式：
),,(),,(),,(u y x c u u y x b u u y x a y x =+
一阶线性方程的一般形式：
),(),(),(),(y x d u y x c u y x b u y x a y x +=+
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析： 天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且()Y X Y X g Z +==2 11,，()Y X Y X g Z /,22==， 求： 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得 2010级硕士生《随机过程》考试题 解：状态转移概率如下图所示： ，， （1）由图可知： 状态空间S 可分为C1：{1 ,2,3}，C2：{4,5}，C3：{6}三个不可约闭集，三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为1。 （2） 21)1(11=f 2723132312131313221)4(11 =???+???=f （3） 由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求解。 平稳分布的计算公式为： ???? ?≥==∑∑∈∈I j j j I i ij i j p 0,1ππππ 对C1：{1 ,2,3} ???????? ???=+++=+=+=1 32313221312132132 32 12311ππππππππππππ 解得： 838 341 321= ==πππ，， 对C2：{4 ,5} ??? ?? ? ???=++=+=121212121545 45544ππππππππ 解得： 2154= =ππ 对C3：{6} 易得：16=π （4）C1：{1 ,2,3}中， 各状态的平均返回时间分别是： 4 1 1 1== πμ 3 81 2 2= =πμ 3 81 3 3= =πμ C2：{4 ,5}中， 2 1 4 4== πμ 2 1 5 5==πμ C3：{6}中， 1 1 6 6== πμ 1. 5.设质点在区间[0,4]的整数点做随机游动，到达0点或者4点后以概率1停留在原处，在其他整数点分别以概率1/3向左、向右移动一格或者停留在原处，画出转移概率图并求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解： 转移概率图如下： 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24，共12小题，每空1分） 1、数字通信系统的有效性用 传输频带利用率 衡量，可靠性用 差错率 衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可 连续 取值的信号，数字信号是指信号的参量可 离散 取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与 时间 无关，自相关函数只与时间间隔有关。 4、一个均值为零方差为2 n σ的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布， 相位的一维分布服从均匀分布。 5、当无信号时，加性噪声是否存在？ 是 乘性噪声是否存在？ 否 。 6、信道容量是指： 信道传输信息的速率的最大值 ，香农公式可表示为： )1(log 2N S B C + =。 7、设调制信号为f （t ）载波为t c ωcos ，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 t t f c ωcos )(，频域表达式为)]()([2 1 c c F F ωωωω-++。 8、对最高频率为f H 的调制信号m （t ）分别进行AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调信号的带宽分别为 2f H 、 2f H 、 f H 。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为 2W 波特。 10、PSK 是用码元载波的相位来传输信息，DSP 是用前后码元载波的 相位差 来传输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的 码间串扰，二是传输中叠加的 加性噪声 。 12、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时，A 律对数压缩特性采用 13 折线近似，μ律对数压缩特性采用15 折线近似。 二、简答题（总分18，共4小题） 1、随参信道传输媒质的特点？（3分） 答：对信号的衰耗随时间变化、 传输的时延随时间变化、 多径传播随机过程习题答案A
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