搜档网
当前位置:搜档网 › 补形法的应用

补形法的应用

补形法的应用
补形法的应用

补形法的应用

一些几何题的证明或求解,由原图形分析探究,有时显得十分繁难,若通过适当的“补形”来进行的,即添置适当的补助线,将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形,则能使原问题的本质得到充分的显示,通过对新图形的分析,使原问题顺利获解。这种方法,我们称之为补形法,它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下,以供参考。

一、补成三角形

1.补成三角形

例1.如图1,已知E为梯形ABCD的腰CD的中点;

证明:△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。

分析:过一顶点和一腰中点作直线,交底的延长线于一点,构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。

略证:

2.补成等腰三角形

例2 如图2.已知∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD,求证:BD=2CE

分析:因为角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故根据对

称性作出辅助线,不难发现CF=2CE,再证BD=CF即可。

略证:

3.补成直角三角形

例3.如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90°,

F、G分别是AD、BC的中点,若BC=18,AD=8,求FG的

长。

分析:从∠B、∠C互余,考虑将它们变为直角三角形的角,

图3

故延长BA、CD,要求FG,需求PF、PG。

略解:

4.补成等边三角形

例4.图4,△ABC是等边三角形,延长BC至D,延长BA至E,使AE=BD ,连结

1

2

CE 、ED 。

证明:EC =ED

分析:要证明EC =ED ,通常要证∠ECD =∠EDC ,但难以实现。这

样可采用补形法即延长BD 到F ,使BF =BE ,连结EF 。

略证:

二、补成特殊的四边形

1.补成平行四边形

例5.如图5,四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点,并且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上,求证:EF 和GH 互相平分。

分析:因为平行四边形的对角线互相平分,故要证结论,需考虑四边形CEDF 是平行四边形。

略证:

2.补成矩形

例6.如图6,四边形ABCD 中,∠A =60°,∠B =∠D =90°,AB =200m ,CD =100m ,求AD 、BC 的长。

分析:矩形具有许多特殊的性质,巧妙地构造矩形,可使问题转化

为解直角三角形,于是一些四边形中较难的计算题不难获解。

略解:

3.补成菱形

例7.如图7,凸五边形ABCDE 中,∠A=∠B =120°,EA =AB =

BC 图7

图6

单纯形法的综述及其应用-文献综述

毕业论文文献综述 数学与应用数学 单纯形法的综述及其应用 一、 前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关 主题争论焦点) 1.写作目的 本文主要在于介绍单纯形法的历史背景,基本计算方法,改进的计算方法,以及单纯形法的应用.目的在于对单纯形法的历史背景,计算方法等进行综述,并总结单纯形法在生活各个领域的应用,单纯形法是求解线性规划问题很有效的方法,通过对单纯形法的进一步了解,最后提出一实际问题利用单纯法进行分析求解. 2.有关概念 LP 问题的一般形式[1] ()1122. Max min n n ob Z c x c x c x =+++L ()()()11112211 211222221122 12..: ,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x +++≤≥?? +++≤≥?? ??+++≤≥??≥? L L L L L 线性规划问题的标准型为[2] ()()()11221111221121122222 m1122 12min a a s.t.a 01,2,,,,,n n n n n n m mn n m j n S c x c x c x S x a x a x b x a x a x b x a x a x b x j n x x x =+++?+++=? +++=?? ??+++=??≥=? L L L L L L 为目标函数(1)为决策变量 其矩阵形式为 min s.t.0 S CX AX b X ==?? ≥?(2)

其中,()12,,,n C c c c =L ,决策向量()()1212,,,,,,,T T n m X x x x b b b b ==L L . A 为约束条件中的系数矩阵, 即 1112121 22212 n n m m mm a a a a a a A a a a ??????=??????L L M M M M L 本文除了介绍线性规划问题的一般形式、标准形式和矩阵形式以外还列举了一些定义. 定义1[3]:设矩阵A 的秩为m ,矩阵B 是A 中的一个m 阶满秩子方阵,则B 为一个基矩阵.矩阵A 中剩余元素组成的子阵为N ,即[]A BN =.把x 的分量相应地分成两部分,记成B x 和N x ,B x 的分量与B 的列对应,称为基变量;N x 的分量与N 中的列对应,称为非基 变量.在约束Ax b =中令所有的非基变量取值为零时,得到解10B N x B b x x -?? ??==???????? ,称为相 应于B 的基本解. 定义2[3]:基本解得基变量都取非负值时,即满足1 0B x B b -=≥的基本解为基本可行解. 定义3[4]:满足式(1)各约束条件的解()12,,,T n X x x x =L 称为可行解.全部可行解的集合称为可行域.目标函数1 min n j j j Z c x == ∑达到最大值的可行解称为最优解. 定义4[4]:设 A 为约束方程组1 (1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑的m n ?阶系数矩阵, 设(n m >),其秩为m ,B 为矩阵A 中的一个m m ?阶的满秩子矩阵,称B 为线性规划问题的一个基.不失一般性,设 11111...(,...,)...m m m mm a a B a a αα?? ??==?? ???? M M B 中每一个向量(1,..,)j j m α=称为基向量;与基向量j α对应的变量j x 称为基变量. 基变量以外的的变量称为非基变量. 定义5[4] :在约束方程组 1 (1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑中,令所有非基变量

“割补法”求解不规则几何体体积

“割补法”求解不规则几何体体积 我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体,称为不规则几何体.而解决不规则几何体的方法,常用割补法,即通过分割或补形,将它变成规则的几何体.我们可以从不规则几何体的来源上,即它是由何种常见的几何体所截得的来分类. 一、来自三棱柱的截体 例1 如图1,正四面体A BC D -中,E F G H ,,,分别是棱 A B A C B D C D ,,,的中点,求证:平面EFH G 把正四面体分割成 的两部分几何体的体积相等. 分析:显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体, 因此我们可使用割补法来推导.那么我们应选择割,还是补呢? 如果选择补,那么补成什么样子呢?显然只能是正四面体,这就 说明我们应该选择割. 证明:连结C E C G A G A H ,,,,左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥,如图1.易证左右的两个四棱锥的体积相等,两个三棱锥的体积也相等,于是两部分体积相等. 当然此题还有其他的分割方法,比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等,也同样好证. 二、来自正方体的截体 例2 如图2,已知多面体ABC D EFG -中,A B A C A D ,,两两互相垂 直,平面ABC ∥平面D E F G ,平面BEF ∥平面A D G C , 2AB AD D C ===,1AC EF ==,则该多面体的体积为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解法一(割):如图3,过点C 作C H D G ⊥于H ,连结EH ,这样就 把多面体分割成一个直三棱柱D EH ABC -和一个斜三棱柱BEF C H G -. 于是所求几何体的体积为: DEH BEF V S AD S DE =?+?△△11212212422????=???+???= ? ?????. 解法二(补):如图4,将多面体补成棱长为2的正方体,那么显然 所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半. 于是所求几何体的体积为31242V = ?=. 三、来自圆柱的截体 例3 如图5,如图5,一圆柱被一平面所截,已知被截后几何体的 最长侧面母线长为4,最短侧面母线长为1,且圆柱底面半径长为2,则 该几何体的体积等于_______. 解法一(割):如图6,该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上

中考复习数学思想方法之二:割补法“补形”在初中几何问题中的应用

中考复习数学思想方法之一:割补法“补形”在初中几何问题中的应用 平面几何中的“补形”就是根据题设条件,通过添加辅助线,将原题中的图形补成某种熟悉的,较规则的,或者较为简单的几何基本图形,使原题转化为新的易解的问题.从“补形”的角度思考问题,常能得到巧妙的辅助线,而使解题方向明朗化,所以,补形是添加辅助线的重要方法.下面举例加以说明,供参考. 例1 如图1,六边形ABCDEF的六个内角都相等,若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于. 解析题中六边形是不规则的图形,现将它补形为较规则的正三角形,分别向两方延长AB、CD、EF相交于G、H、I (如图2). ∵六边形ABCDEF的六个内角都相等, ∴六边形的各角为120°, ∴△AFI、△BCG、△DEH均是正三角形,从而△GHI为正三角形,则有 GC=BC=3,DH=EH=DE=2, IF=AF, IH=GH=GC+CD+DH =3+3+2=8, ∴IE=IH-EH=8-2=6. ∴六边形的周长等于: AB+BC+CD+DE+EF+F A =AB+BC+CD+DE+IE =1+3+3+2+6=15. 注:本题亦可补成平行四边形求解,如图3. 例2 如图4,在Rt△ABC中,AC=BC,AD是∠A的平分线,过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E,求证:AD=2BE. 解析从等腰三角形的性质得到启示:顶角平分线垂直底边且平分底边.结合AE平分∠CAB,B E⊥AE,启发我们补全一个等腰三角形.所以延长BE交AC的延长线于点F(如

图5),易证△ABF 为等腰三角形,∴ BF =2BE ,再证△ACD ≌△BCF ,全等的条件显然满足,故结论成立. 例3 某片绿地的形状如图6所示,其中∠A =60°,A B ⊥BC ,C D ⊥AD ,AB =200m ,CD =100m ,求AD ,BC 的长. 解析 由题设∠A=60°,A B ⊥BC ,可将四边形补成图7所示的直角三角形. 易得∠E =30°,AE =400,CE =200,然后再由勾股定理或三角函数求出BE , DE 由此得到AD =400-200。 例4 如图8,在平面直角坐标系中直线y =x -2与y 轴相交于点A ,与反比例函数在第一象限内的图像相交于点B (m ,2). (1) 求反比例函数的关系式; (2) 将直线y =x -2向上平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点C ,且△ABC 的面积为18,求平移后的直线的函数关系式. 解析 (1) 所求解析式为y =8 x ; (2) 本题方法不一,下面着重对此题进行分析解答.

三角法与向量法解平面几何题(正)

第27讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在ABC ?中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2 a b c p ++=,则 1,正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===, 2,余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+-,2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R = ==== = (sin sin sin )rR A B C ++ 2 221(cot cot cot )4 a A b B c C = ++. A 类例题 例1.在ΔABC 中,已知b =asinC ,c =asin (900 -B ),试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin (900 - B ) = acosB = c b c a ac b c a a 222 22222-+=-+ 2 2222c b c a =-+? 是直角A b c a ?+=?2 22 1sin sin sin =?=A A C c A a 是直角?? ?C a c C c a sin sin =?=?. Q C a b sin =?=? c b ΔABC 是等腰直角三角形。 例2.(1)在△ABC 中,已知cosA =13 5,sinB =53 ,则cosC 的值为( ) A .6516 B .6556 C .65566516或 D . 65 16- 解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13 12,而sinB =53 显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 4 ∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65 1654135531312=?-?.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ?A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 (2)在Rt △ABC 中,C =90°,A =θ,外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,

高考数学用补形法解立体几何题

高考数学用补形法解立体几何题 1. 正四面体补为正方体 例1. 求棱长为1的正四面体的体积。 图1 分析:常规的思路是直接用三棱锥的体积公式去求,但要首先求出此三棱锥的高,求高比较繁琐。如果将正四面体ABCD补形为正方 体(如图1),那么此正方体的棱长为,因此,求正四面体的体 积便有了新的求解思路: 例2. 如图2,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长都相等,如果E、F、G分别是SC、AB、AC的中点,那么异面直线EF与BG所成角 的余弦值等于__________。图2

分析:常规的思路是“平移法”,取GA的中点H,连结EH、FH,则∠EFH即为所求,但解△EFH的运算量较大。联想到正四面体可补形为正方体(如图3),相当于求与BG所成角的余弦值。在此正方体的左边补上一个大小相同的正方体,构成一个长方体(如图4),则相当于求长方体对角线BD与侧棱所成角的余弦值。 设正方体边长为1,则长方体对角线BD的长为。在中, 2. 三条侧棱两两垂直的三棱锥或对棱相等的三棱锥或一条侧棱垂直于底面的三棱锥都可以考虑补形为长方体 例3. 如图5,是直二面角, ,,那么AB与面β所成的角等于() 图5 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

分析:由α⊥β,BD⊥CD,得BD⊥α同理得:AC⊥β因此,AC ⊥CD,BD⊥CD,AC⊥BD不妨把三棱锥A-BCD补形为长方体(如图5),易得∠ABC为所求的角。在Rt△ABC中,,选D。例4. 如图6,四面体P-ABC中,侧棱PA、PB、PC两两垂直,O为面ABC 上一点,且O到平面PAB、平面PAC、平面PBC的距离分别为2,3,4,求OP的长度。 分析:可补一个“小”长方体(如图6),由此可得“小”长方体的长、宽、高分别为2,3,4,求OP长可转化为求该“小”长方体的对角线长,得: 3. 一般三棱锥(三棱柱)可补形为三棱柱(平行六面体) 例5. 已知三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PA=BC=a,PA、BC的公垂线段DE=h,求证三棱锥的体积是。分析:以ABC为底面,PA为侧棱补形为一个三棱柱ABC-,进一步补形为平行六面体ABCD-(如图7),那么

初中数学常用知识点及方法技巧补充人教版

一:关于计 算面积的规律。 2 22高 底高底)(底高底?=?+=? 2 2高 上下底高下底)(上底?=?+ 2 20高 底高下底)(?=?+ 3602r n π=22 高 底?=? r l D B B C

二:射影定理:(已知直角三角形斜边AB 边上的高CD ) A B 相似 右边直角三角形和左直角三角形利用右左相似大直角三角形和右边直角三角形利用全右相似大直角三角形和左边直角三角形利用全左)()(.............)()(..............)()(.. ..........222?=?=?= ?=?=?=BD AD CD BA BD BC AB AD AC 三:常用的几个关系: 高2 S ΔABC 4 2=4 等腰直角三角形 斜边是直角边的2倍 知道直角边求斜边?2,知道斜边求直角边÷2 B C 四:实用的模型测量旗杆(树 山 建筑物)高度: 1:选择两个观测点B 和D 2:分别测出两个仰角α和 β 的度数 3:以及线段BD 的长(三个量) 旗杆高度βαβ α 注意..........cot cot -= BD AC B

五:《垂径定理》的灵活选用 任意满足2个条件 其余3个条件 六 :圆周角 圆心角 弦 弧 弦心距 ----------------(在 同圆 或 等圆 中) 七:与圆有关的一些定理 (1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等 即:在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P ∵弦AB ⊥CD ∴PA ·PB=PC ·PD ∴CE 2=EA ·EB D B B A

改进单纯形法matlab程序

clear clc X=[1 2 3 4 5]; A=[ 1 2 1 0 0; 4 0 0 1 0; 0 4 0 0 1]; C=[2 3 0 0 0 ]; b=[8;16;12]; t=[3 4 5]; B0=A(:,t); while 1 CB0=C(:,t); XN01=X; for i=1:length(t); for j=1:length(X); if XN01(j)==t(i) XN01(j)=0; end end end j=1; for i=1:length(X); if XN01(i)~=0 XN0(j)=XN01(i); j=j+1; end end for j=1:length(XN0); CN0(j)=C(XN0(j)); end N0=[]; for i=1:length(XN0); N0=[N0,A(:,XN0(i))]; end xiN0=CN0-CB0*B0*N0; j=1; z=[]; for i=1:length(xiN0) if xiN0(i)>0 z(j)=i; j=j+1; end end if length(z)+1==1; break; end n=1; for i=1:length(z) if z(i)>z(n) n=i; end end k=XN0(z(n));%换入变量 B=B0*b; P=B0*A(:,k); j=1; for i=1:length(P)

if P(i)>0 x(j)=i; j=j+1; end end y=1; for i=1:length(x) if B(x(y))/P(x(y))>B(x(i))/P(x(i)) y=i; end end y1=x(y); y=t(y1);%换出变量 for i=1:length(t) if t(i)==y m=i; break; end end t(m)=k; P2=B0*A(:,k); q=P2(y1); P2(y1)=-1; P2=-P2./q; E=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; E(:,m)=P2; B0=E*B0; end CB0*B0*b

巧用旋转法解几何题

巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转,由旋转的性质可知旋转前后的 图形全等,对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时,可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点,旋转另一位置的引辅助线的方法,主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来,从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明,供同学们参考。 例1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 是AB 的中点,E ,F 分别AC 和BC 上,且DE ⊥DF , 求证:EF 2 =AE 2 +BF 2 分析:从所证的结论来看,令人联想到勾股定理,但注意到EF ,AE ,BF 三条线段不在同一个三角形中,由于D 是中点,我们可以考虑以D 为旋转中心,将BF 旋转到和AE 相邻的位置,构造一个直角三角形,问题便迎刃而解。 证明:延长FD 到G ,使DG=DF ,连接AG ,EG ∵AD=DB ,∠ADG=∠BDF ∴⊿ADG ≌⊿BDF (SAS ) ∴∠DAG=∠DBF ,BF=AG ∴AG ∥BC ∵∠C=90°∴∠EAG=90° ∴EG 2 =AE 2 +AG 2 =AE 2 +BF 2 ∵DE ⊥DF ∴EG=EF ∴EF 2 =AE 2 +BF 2 例2,如图2,在⊿ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,P 是⊿ABC 内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC 的度数. 分析:题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角,但已知的三条线段不在同一三角形中,故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中,由于⊿ACB 是等腰直角三角形,宜以直角顶点C 为旋转中心。 解:作MC ⊥CP ,使MC=CP ,连接PM ,BM G F E D C B A

巧用补形法解平面几何题

巧用补形法解平面几何题 王立文王兴林 补形法就是根据题设的条件和图形,经过观察、分析和联想,运用添加辅助线的方法,将其拓展为范围更广的、其特征更明显、更为熟悉的几何图形,从而沟通条件和结论之间的联系.下面就补形法,谈谈它在解平面几何题中的应用. 一、补成直角三角形 例1如图1,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,CD=1,AB=2,求BC、AD的长。 解:延长BC交AD的延长线于E。 ∵∠A=60°,∠B=90°, ∴∠E=30° 在△CED中, ∵∠CDE=∠ADC=90°,CD=1, ∴CE=2CD=2,DE=。 在△AEB中,同理有:AE=2AB=4,。 ∴BC=BE-EC=2-2, AD=AE-DE=4-。 二、补成等腰三角形

例2已知:如图2,△ABC中,,∠ABC的平分线交AC于E,CD⊥BE 于D,求证:BE=ED。 证明:延长BA交CD的延长线于F。 易证△BCF是等腰三角形(ASA)。 ∴。 ∵, ∴。 作DG∥CA交BF于点G。 ∴, ∴BE=ED。 三、补成等边三角形 例3如图3,凸五边形ABCDE,有∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,求这个五边形的面积。

简解延长DE、BA相交于K,延长DC、AB相交于M。易知△DKM为等边三角形。 S 五边形ABCDE =S 等边三角形DKM -2S 等边三角形AKE = 四、补成平行四边形 例4如图4,已知六边形ABCDEF中,若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,且AB+BC=11,AF-CD=3,求BC+DE的长。 解:延长FA、CB交于点P,延长CD、FE交于点Q。 ∵∠A=∠B=120°, ∴∠PAB=∠PBA=60°, ∴∠P=60°, ∴△ABP是等边三角形。 同理可得:△DEQ是等边三角形。

单纯形法及其应用

单纯形法及其应用 摘要 单纯形法是一种主要的解决线性规划问题的方法,它在生活的成本问题、交通选择或规划学术问题等方面得到广泛应用.本文系统的研究了单纯形法的相关概念以及原理.并阐述了用单纯形法解决线性规划问题的步骤与方法及不同方法的特殊性.正确的应用单纯形法解决问题能够提高准确率,从而进行合理的规划安排,使得效果或收益达到期待化或最优化. 关键词:单纯形法;单纯形表;最优性

The Simplex Method and its Application Abstract:Simplex method is a main to solve linear programming problems, it in life cost, the choice of traffic or academic planning problems are widely used. This paper study the simplex method of the related concepts and principles. It describes the steps and methods to use simplex method to solve linear programming problems, and the different method. Correct application of the simplex method problem solving is able to improve the accuracy, in order to carry out reasonable planning arrangements, makes the effect or income reached expectations or optimization. Keywords:simplex method;simplex tableau;optimality

用补形法解立体几何题的常用策略

用补形法解立体几何题的常用策略 罗建中 一、棱锥补成棱柱 例1 一个四面体的所有棱长都为 2,四个顶点在同一球面上,则球的表面积为 A. π3 B. π 4 C. π3 3 D. π 6 分析:正四面体可看作是正方体经过切割而得到,因而构造一个棱长为1的正方体ABCD1 1 1 1 D C B A -,则四面体D BC A 1 1 -就是棱长为2的正四面体,而正方体的外接球就是四面体的外接球,又正方体的对角线长就是球的直径,易知对角线长度为3,故球表面积 2 2 3 4 S?? ? ? ? ? π = π =3。 评注:对棱长全相等的正四面体通常把它补成正方体。若是相对棱长相等的四面体,则可考虑把它补成长方体。 例2 如图1,在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S-中,∠ABC=? 90,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=2 1 。 (1)求四棱锥ABCD S-的体积; (2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。 解:(1)解答略。 (2)以SA为棱,构造正方体AECB-SFGH,如图2,分别取棱SF、HG中点M、N,连结DM、MN、SN、ND,设ND与SC相交于O,连接MO。 则有面MDN∥面SAB,且SM⊥面MDN, 所以所求的二面角等于二面角S-DN-M。 在正方体AECB-SFGH中,△NSD与△NMD都是等腰三角形,所以SO⊥DN, MO⊥DN,所以∠SOM是二面角S-DN-M的平面角。又MO2 1 = SB=2 2 ,SM=2 1 ,所以2 2 MO SM SOM tan= = ∠ ,故所求二面角的正切值是2 2 。

评注:从一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体通常可考虑把它补成长方体或正方体。 二、三棱柱可补成四棱柱 例3 已知斜三棱柱的侧面11ACC A 与平面ABC 垂直,∠ABC=?90,BC=2,AC=32,且C A AA 11⊥,C A AA 11=,求点C 到侧面11ABB A 的距离。 解:把斜三棱柱ABC 111C B A -补成如图3所示的平行六面体,设所求的距离为d ,则d 也是平面11A ABB 与平面 11C CMM 间距离,作AC D A 1⊥于点D ,作AB E A 1⊥于点F ,因为C A AA 11=,32AC =,C A AA 11⊥,所以 3 D A 1=,又∠ABC=?90,BC=2,所以22AB =,因侧面11ACC A 与底面ABC 垂直,AC D A 1⊥于点D ,所以 AB D A 1⊥,又AB E A 1⊥,知AB ⊥面ED A 1,因而AB ⊥ED ,又∠ABC=?90,所以DE ∥BC ,D 为AC 中点,且 1BC 21 DE == , 故 2 DE D A E A 2211=+=,而 d S D A S V 11ABB A 1ABMC ?=?=平行六面体。 所以 3 2 3 2S D A S d 11ABB A 1ABMC ==?= 。 评注:本例通过斜三棱柱补成四棱柱,从而达到把线面距离转化为面面距离,再通过等积变换达到简化解题之目 的。 三、棱台补成棱锥 例4 如图4,三棱柱ABC 111C B A -中,若E 、F 分别为AB 、AC 的中点,平面F C EB 11将三棱柱分成体积为1V 、2 V 的两部分,那么21V :V 等于多少?

单纯形法在经济管理中的应用

单纯形法在经济管理中的应用 [摘要]发展生产力,提高经济效益是人类发展不可或缺的要求,是合理利用现有的人力,物力资源,使经济效益达到最好的重要途径,而这些正是线性规划所研究的主要内容。本篇论文主要探讨单纯形法在经济管理中的应用,即应用单纯形法及其改进的方法来求解经济管理中的线性规划问题。详细介绍线性规划问题的基本思想和数学模型,深入研究单纯形法的原理和解法,将方法运用到生产计划模型和投资模型中。分析模型的求解结果,比较各种算法之间的优劣性,进一步说明单纯形法的实用性。 [关键字]线性规划单纯形法生产计划模型投资计划模型

The application of simplex method in economic management [Abstract]Development of productivity and economic efficiency are indispensable requirement of human development. Rational use of human and material resources is an important way to achieve the best economic benefits, which is the main contents the linear programming studies. This paper mainly discusses the application of the simplex method in economic management, namely Simplex method and the improved methods are applied to solving the economic management of the linear programming problem. The basic ideas and mathematical models of linear programming problems will be introduced in detail the research on the theory and solution of the simplex method is studied, and apply these methods to the production planning model and investment model . The results of the model will be analyzed. By comparing the advantages and disadvantages between various algorithms, the practicality of the simplex method is further illustrated. [Key words]Linear Programming Simplex Method Production planning model Investment Planning Model

高三数学立体几何的难点突破3常见的补形法

1 几种常见的补形法 1 四面体的补形法 【例1】 在四面体ABCD 中,设AB = 1,CD =3,直线AB 与CD 的距离为 2,夹角为3 π ,则四面体的体积等于______. 【解析】 法1:如图,将四面体ABCD 补成四棱锥A – BDCE , 且BE ∥CD ,BE = CD ,则∠ABE = 3π或3 2π,BE =3,CD ∥面ABE ,∴CD 与AB 的距离即为CD 到平面ABE 的距离,亦即C 到平面ABE 的距离就是三棱锥C – ABE 的高h = 2,∴V A – BCD = V A – BEC = V C – ABE =?h 3 1 S △ABE 3sin 21231π???? ?BE AB =2 1. 法2:如图,把四面体ABCD 补成三棱柱ABE – FCD ,则面ABE ∥面CDF ,AB ∥CF ,且CF = 1,则AB 与CD 的距离就是平面ABE 与平面FCD 的距离,即三棱柱的高h = 2,且∠DCF = 3π或3 2π. ∴V 柱 = S △FCD · h = 23 23sin 21=????πCF CD , 故四面体的体积为2 1 31=柱V . 法3:如图,把四面体ABCD 补成平行六面体,则四面体的体积是平行六面体体积的 31,V 平行六面体 = S 底· h =2323sin 3121=????π,故四面体的体积为2 1 . 【评注】三棱锥补成四棱锥、三棱柱或正方体可以简化求体积,本题将两异 面的直线段构成的四面体用三种不同的补形探究出. 结论:在四面体ABCD 中,设AB = a ,CD = b ,直线AB 与CD 的距离为h ,夹角为θ,则四面体的体积为V = θsin 6 1 abh . 2.三侧棱两两垂直的三棱锥补形成长方体 【例2】已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若PA ,PB , PC 两两相互垂直,则正三棱锥P -ABC 球心到截面ABC 的距离为________. 【解析】正三棱锥补成正方体如图,可知球心O 为体对角线PD 的中点,且PO =3,又P 到平面ABC 的距离为h ,则13×34×(22)2 ·h =13×12×2×2×2.∴h =233 . 【评注】 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体;如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则可以补形为一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R 2 = a 2+ b 2+ c 24 =l 2 4 (l 为长方体的体对角线长). 【变式1】利用四个面为直角三角形的三棱锥补成长方体求外接球的面积 在三棱锥V A B C -中,VA ⊥底面ABC ,90ABC ∠=?,若 A B F E C D A B V C A B E D C

单纯形法在线性规划中的实际应用

单纯形法在线性规划中的实际应用 摘要:线性规划是以数学模型为基础,研究如何在一定条件下实现目标最优化,而单纯形法是求解线性规划问题的主要方法,有效提升了数学规划的应用。本文介绍了线性规划的基本理论及单纯形法的基本理论和具体算法,然后将两者结合进行实际的应用。最终以的公交排班表和蛋糕店的加工计划为例通过模型的建立与求解制定了更加合理的公交排班时刻表和各时段的司机分配数量;解决在激烈竞争市场中如何利用有限的资源、人力、时间进行统筹安排,提高效率,降低成本使总的经济效益达到最佳。 关键词 : 线性规划;单纯形法;最优性;Lingo Abstract:Linear programming is based on the mathematical model to study how to achieve th e goal optimization under certain conditions, and the simplex method is the main method to solve t he linear programming problem, which effectively improves the application of mathematical progra mming. This paper introduces the basic theory of linear programming and the basic theory and spec ific algorithm of simplex method, and then combines the two into practical application. Finally, the bus schedule and the processing plan of the cake shop in Chongqing second Teachers ' College (Na nshan Campus) are used as examples to establish a more reasonable bus scheduling timetable and t he number of drivers assigned to each period. To solve the problem of how to make use of the limit ed resources, manpower and time in the competitive market to improve the efficiency Reduce costs to achieve the best overall economic benefits. Key words: Linear programming; Simplex method; Optimality; Lingo

高中数学:用补形法解立体几何题

高中数学:用补形法解立体几何题 1. 正四面体补为正方体 例1. 求棱长为1的正四面体的体积。 图1 分析:常规的思路是直接用三棱锥的体积公式去求,但要首先求出此三棱锥的高,求高比较繁琐。如果将正四面体ABCD补形为正方体(如图1),那么此正方体的棱长为,因此,求正四面体的体积便有了新的求解思路: 例2. 如图2,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长都相等,如果E、F、G分别是SC、AB、AC的中点,那么异面直线EF与BG所成角的余弦值等于__________。

图2 分析:常规的思路是“平移法”,取GA的中点H,连结EH、FH,则∠EFH即为所求,但解△EFH的运算量较大。联想到正四面体可补形为正方体(如图3),相当于求与BG所成角的余弦值。在此正方体的左边补上一个大小相同的正方体,构成一个长方体(如图4),则相当于求长方体对角线BD与侧棱所成角的余弦值。 设正方体边长为1,则长方体对角线BD的长为。 在中, 2. 三条侧棱两两垂直的三棱锥或对棱相等的三棱锥或一条侧棱垂直于底面的三棱锥都可以考虑补形为长方体

例3. 如图5,是直二面角, ,,那么AB与面β所成的角等于() 图5 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 分析:由α⊥β,BD⊥CD,得BD⊥α 同理得:AC⊥β 因此,AC⊥CD,BD⊥CD,AC⊥BD 不妨把三棱锥A-BCD补形为长方体(如图5),易得 ∠ABC为所求的角。 在Rt△ABC中,,选D。 例4. 如图6,四面体P-ABC中,侧棱PA、PB、PC两两垂直,O为面ABC上一点,且O到平面PAB、平面PAC、平面PBC的距离分别为2,3,4,求OP的长度。

单纯形法的简述及应用

单纯形法的简述及应用 摘要 自1947年G.B.Dantzig提出单纯形法以来,他一直是求线性规划的最有效的计算方法。但是,单纯形法要求已知一个基本可行解,且线性规划需化典式。而在一般情况下,线性规划问题并无明显的可行解。如用两阶段法获得基本可行解,必须增加人工变量,从而增加计算量。针对这一问题,本文提出了改进单纯形法(一),在不增加人工变量的前提下,采用较简单的方法,求出一基本可行解,并在求解过程中剔除多余约束,判断问题是否有解,同时将线性规划的约束方程化为典式。此方法减少了比较次数,且简单易行,容易在计算机上实现。本文针对线性规划问题在变量和约束的个数较多时,传统单纯形法占据较大的内存空间,且有不少多余计算的情况提出改进单纯形法(二),能以较少的计算量及较小的占用存储空间方法从基的逆矩阵计算出新基的逆矩阵。从而既能使迭代过程持续进行下去,又能克服上述单纯形法的不足,是解决这些问题的一种实用且较有效的方法。 关键词:线性规划、单纯形法、基本可行解、初等变换。 绪论 引言 运筹学是近六十年发展起来的一门学科。运筹学在生产管理、工程技术、军事作战、科学实验。财政经济。社会科学以及自然科学和其他学科都应经取得了很多令人瞩目的成果。线性规划是运筹学的一个重要分支,是运筹学中最重要的一种数量方法,其应用范围非常广泛。主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题,即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有力的使用,以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。从数学的角度来说,也就是在对决策变量施加一组线性等式、不等式以及等号的约束下,求决策变量的线性目标函数的最大化和最小化。 与其他的数学学科相比,线性规划是一个相当年轻又非常活跃的应用数学分支。自从一般线性规划问题求解的方法——单纯形法被提出之后,线性规划在理论上趋向成熟,在使用中日益广发与深入。线性规划的广泛应用以及涉及到的数学理论和计算方法,都引起了专业人员和学者们的很大兴趣。 线性规划基础及单纯形法 线性规划问题及数学模型 凡是同时满足以下三个条件的问题,就叫做线性规划问题: (1)可用一些变量表示问题的待定方案,这些变量的一组定值就代表一个具体的方案。因此,可将这些变量称为决策变量,并往往要求它们为非负的。 (2)存在一定的约束条件,这些约束条件都能用关于决策变量的线性等式或线性不等式来表示。 (3)有一个期望达到的目标,它可用决策变量的线性函数(称为目标函数)来表示,根据具体问题的不同,要求目标函数实现最大化或最小化。 线性规划就是研究并解决上述问题的一种理论和方法。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学期望,简称线性规划模型。期一般形式如下:

单纯形法在线性规划中的应用

单纯形法在线性规划中的应用 摘要 求解线性规划问题,就是在各项资源条件的限制下,如何确定方案,使预期的目标达到最优。本文重点介绍了求解线性规划问题目前最常见的两种方法,图解法和单纯形法。图解法适合于只含两个变量的线性规划问题,文中只做了简单的描述。而单纯形法是求解线性规划问题的通用方法,适合于求解大规模的线性规划问题,本文作了重点描述,对单纯形法中的基本概念如基变量、非基变量、基向量、非基向量、可行基以及基本可行解等概念作了详细的陈述,在此基础上,介绍了线性规划问题的标准化、单纯形法的基本原理、确定初始可行解、最优性检验、解的判别、基本可行解的改进、换入变量的确定-最大增加原则、换出变量的确定-最小比值原则、表格单纯形法、大M法、两阶段法等。 关键词:线性规划图解法单纯形法基变量基向量可行基基本可行解

正文 引言 在生产管理和经济活动中,经常遇到这些问题,如生产计划问题,即如何合理利用有限的人、财、物等资源,以便得到最好的经济效果;材料利用问题,即如何下料使用材最少;配料问题,即在原料供应量的限制下如何获取最大利润;劳动力安排问题,即如何用最少的劳动力来满足工作的需要;运输问题,即如何制定调运方案,使总运费最小;投资问题,即从投资项目中选取方案,使投资回报最大等等。对于这些问题,都能建立相应的线性规划模型。事实上,线性规划就是利用数学为工具,来研究在一定条件下,如何实现目标最优化。 解线性规划问题目前最常见的方法有两种,图解法和单纯形法。单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。 1 线性规划问题的求解方法 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题,可以通过在平面上作图的方法求解,步骤如下: (1)以变量x 1为横坐标轴,x 2 为纵坐标轴,适当选取单位坐标长度建立平面 坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知,满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件,找出可行域(所有约束条件共同构成的图形)。 (3)画出目标函数等值线,并确定函数增大(或减小)的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而,图解法虽然直观、简便,但当变量数多于三个以上时,其实用意义不大。

平面几何证明常用方法

目录 1.引言??????????????????????? 2.利用平行四边形性质添加平行线证题???????? 3.利用圆中的等量关系巧作辅助圆证题????????? 4.利用平移、旋转, 翻折,几何证明中的三种基本变换证题 5.反证法证题??????????????????? 6.巧用面积法解几何题???????????????? 结论??????????????????????? 参考文献????????????????????? 致谢???????????????

平面几何证明题的常用技巧 数学计算机科学学院 摘要灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题 ,都要应用这样或那样的方法 , 而选择哪一种方法 , 就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。 【关键词】平面几何证明题思路技巧 The plane geometry proving the commonly used skill College of Mathematics and Computer Science Abstract: Flexible, properly choose the problem solving method is a good way of solving plane geometry. Any solve a plane geometry proving, one way or the other method, and the choice of which method, it depends on what kind of way we use. This article try to plane geometry proving that is commonly used in several problem-solving ideas and methods are analyzed. Key words:Plane geometry To prove the topic Train of thought skills 1 引言平面几何难学 , 是很多初中生在学习中的共识 , 这里面包含了很多主观和客观因 素 , 而学习不得法 ,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过 ,“解 题的成功要靠正确 思路的选择 , 要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确 , 哪一个方 向可接近它 ,就要试探各种方向和思路。”由此可见 , 掌握证明题的一般思路、探索证题 过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。 2利用平行四边形性质添加平行线证题 在同一平面内, 不相交的两条直线叫平行线. 平行线是初中平面几何最基 本的, 也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时, 若能依据证题的需要,添加恰当的平行线, 则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题, 一般有如下四种情况.

相关主题