函数模型及其应用教案 人教课标版(实用教案)

第二章函数、导数及其应用

吉林人民出版社五编室刘小平

第十节函数模型及其应用

模

型

增

长

速

度

的

比

较

参考答案：一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型

对数函数模型幂函数 增函数增函数 增函数 越来越快越来越慢 相对平稳

快于 x n a x >慢于 log n a x x >log (1)x n a a x x a >>>

基础题自测

.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为元，不收附加税时,每年大约销售万瓶,若每销售元国家要征附加税为元（税率）,则每年销售量减少万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额

不少于万元，则的最小值为 （ ）

【提示】依题意解得(10010)70112,100

x

x -??≥≤≤,则的最小值为.

故选

.从年月日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为，由各银行储蓄点代扣代收，某人年月日存入若干万元人民币，年利率为，到年月日取款时被银行扣除利息税元,则该存款人的本金介于 （ ） 万元 万元 万元 万元

【提示】设存入的本金为， 则··，1386400

34660.40

x ∴==

故选

.某物体一天中的温度(单位:℃)是时间(单位) 的函数()3t 表示中午∶，其后取正值,则下午时温度为 （ ） ℃℃℃℃

【提示】由题意，下午时，，∴()℃. 故选

．某种商品降价后，欲恢复原价，则应提价≈

【提示】设商品原来的价格为，现应提价,由题意得：(110%)(1%)a x a -+= 得≈

.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一 种方式其加密、解密原理如下：

加密 发送解密

明文 密文 密文明文

已知加密为2x y a =-（为明文为密文）,如果明文“”通过加密后得到密文为“”，再发送，接受方通过解密得到明文“”，若接受方接到密文为“”，则原发的明文是.

【提示】依题意中，当时，,故，解得.所以加密为，因此，当时，由,解得. 课堂导与练 一、【重点、难点】

题型一：一次、二次函数模型

例．某旅游点有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过元,则自行车可以全部租出; 若超出元，则每超过元，租不出的自行车就增加辆. 为了便于结算，每辆自行车的日租金(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用（元）表示出租自行车的日净 收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）. ()求函数()的解析式及其定义域；

()试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 ：（）当≤时，,令>，解得>. ∵∈，∴≥，∴≤≤，∈， 当>时，[（）]. 令[（）]>,有23x <,

上述不等式的整数解为≤≤ (∈）, ∴<≤ (∈).

故2

50115

(36,N ),368115(620,N )x x x y x x x x ++-≤≤∈?=?-+-<≤∈?定义域为{≤≤∈}. ()对于 (≤≤∈).

显然当时，max y (元)，对于2x

234811

3()(620,N ).33

x x x +=--

+<≤∈ 可以用示意图表示

当时，

y（元）.

max

∵>，∴当每辆自行车的日租金定在元时，才能使一日的

净收入最多.

题型二：指数函数模型与幂函数模型

例．某城市现有人口总数为万人,如果年自然增长率为，试解答以下问题：()写出该城市人口总数（万人）与年份（年)的函数关系式；

()计算年以后该城市人口总数(精确到万人);

()计算大约多少年以后，该城市人口将达到万人（精确到年）.

()如果年后该城市人口总数不超过万人，年自然增长率应该控制在多少？（参考数据≈，≈，≈≈≈≈）

解: （）设每年人口平均增长率为，年前的人口数为，

则·()，则当时，，

即()，∴()，

两边取对数，则（），

则（），∴≈，得.

（）依题意，≤()，

得≤×,

∴≤，故人口至多有亿.

答：每年人口平均增长率为，年人口至多有亿.

题型三：分段函数模型

例．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为＝()－(为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

()从药物释放开始，每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)之间的函数关系为；()据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

解：()设＝，由图象知＝过点()，则

＝×，＝，∴＝(≤≤)；

由＝()－过点()得＝()－，

＝，∴＝()－(＞).

()由()－≤＝得≥，故至少需经过小时.

答案：()＝??

???t-0.110t,0≤t ≤0.11(),0.1>t 16

()

题型四 ： 函数模型的综合应用

例．（·湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度x （单位：）

满足关系：()()01035

k

C x x x =≤≤+，

若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．设()f x 为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x 达到最小，并求最小 解：

规律方法总结

．二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图像的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.

．指数和幂指数增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型(1)x y N P =+ (其中是基础数，为增长率，为时间)和幂函数模型(1)n y a x =+ (其中为基础数，为增长率，为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算。

．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏. 三、课堂练习

.某电信公司推出两种手机收费方式种方式是月租元种 方式是月租元.一个月的本地网内打出电话时间(分钟)与打出电话费（元）的函数关系如图，当打出电话分钟时,这两种方式电话费相差 （ ）

元 元 元 .40

3

元

【提示】 设种方式对应的函数解析式为, 种方式对应的

函数解析式为,当时，211

,5

k k ∴-=,当时，

1

1502010.5

?-=故选

.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过元的不纳税;超过元而不超过 元的按超过元部分的纳税;超过元的按全部稿酬的纳税.

已知某人出版一本书,共纳税元，则这个人应得稿费（扣税前）为 （ ）

元 元 元 元

【提示】设扣税前应得稿费为元，则应纳税额为分段函数，由题意，得

(0800)(800)14%(8004000).11%(4000)x y x x x x ≤≤??

=-?<≤???>?

如果稿费为 元应纳税为元,现知某人共纳税元,所以稿费应在 元之间,∴()×,∴.故选

. 某市年新建住房万平方米，其中有万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加，其中经济适用房每年增加万平方米.按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：＝＝＝＝)( ) 年 年年 年

【提示】设第年新建住房面积为＝(＋)，经济适用房面积为＝＋，由＞得：(＋)＞(＋)，利用已知条件解得＞，所以在年时满足题意.故选.

.某产品的总成本(万元)与产量(台)之间的函 关系是20.1x (<<∈),若每台产品的售价为万元,则生产者不亏本时(销售收入

不小于总成本）的最低产量是 （ ） 台 台 台 台 【提示】设利润为（）(万元)，则()() ≥,∴≥. 故选

．手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低，则现在价格为元的手机，两年后价格为

【提示】半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为41

2560(1)4

-＝.

课后跟踪演练

．某产品第三年的销量比第一年的销量增长，若每年的平均增长率相同(设为)，则以下结论正确的是()

．＞．＜．＝．的大小由第一年的销量确定 提示：(＋)＝＋，解得＝＜.故选

．国家规定某行业收入税如下：年收入在万元及以下的税率为，超过万元的部分按(＋)征税，有一公司的实际缴税比例为(＋)，则该公司的年收入是() ．万元．万 ．万元．万元

【提示】设该公司的年收入为万元，则＋(－)(＋)＝(＋).解之得＝＝.故选

．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过立方米的，按每立方米元水费收费；用水超过立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（ ）. . 立方米 . 立方米 . 立方米 . 立方米

【提示】设职工用水立方米时缴纳的水费为元，由题意得：

(010)

10(10)2(10)mx x y m x m x <≤?=?

+-?>?

10(10)2m x m +-?解得故选 ．年月日某人到银行存入一年期款元，若年利率为 ，按复利计算，则到年月日可取款 ()

(＋)元 (＋)元 ＋(＋)元 (＋)元

【提示】因为年利率按复利计算，所以到年月日可取款(＋). 故选

.在一定范围内，某种产品的购买量 吨与单价元之间满足一次函数关系,如果购买

吨,每吨为元；购买 吨,每吨为元;一客户购买 吨,单价应该是 （ ）元 元 元 元

【提示】依题意，可设与的函数关系式为,由 及 可得 ,即 , 将代入得.故选 ．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过小时，才能开车？(精确到小时) 【提示】设小时后，血液中的酒精含量不超过，则有

·()≤，即()≤，估算或取对数计算得小时后，可以开车．

．某市原来的民用电价为元千瓦时，换装分时电表后，峰时段(早上点至晚上点)

的电价为元千瓦时，谷时段(晚上点至次日早上点)的电价为元千瓦时，对于一个平均每月用电量为千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的，刚这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为

【提示】设每月峰时段用电量为千瓦时，则有(－)＋(－)(－)≥××，解得≤.所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为千瓦时

．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)元，在市内通话时每分钟另收话费元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为元．若某用户每月手机费预算为元，则它购买“神州行”卡才合算

【提示】该用户如果选用“全球通”卡，则通话时长为：12050

3500.2

-=分钟

该用户如果选用“神州行”卡，则通话时长为：120

4000.3

=分钟。故选用“神州行”

卡

．长春亚泰足球俱乐部准备为救助失学儿童在吉林省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票万张，票价有元、元和元三种，且票价元和元的张数的积为万张.设是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数＝，则这三种门票的张数分别为万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大. 【提示】该函数模型＝已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题.设元、元、元门票的张数分别为、、，则

??

???

a +b+c =2.4 (1)a

b =0.6 (2)

x =3a +5b+8c (3)（）代入（）有＝－(5a ＋)≤

＝(万元)，当且仅当???5a =3b

ab =0.6时等号成立，解得＝，＝，所以＝.由于＝为增函数，

即此时也恰有最大值.

．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注 意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设() 表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律() 越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析知得：

224100,010,()240,1020,7380,2040.t t t f t t t t ?-++<≤?=<≤??-+<≤?

()讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ ()讲课开始后分钟与讲课开始后分钟比较,何时学生的注意力更集中？

()一道数学难题，需要讲解分钟，并且要求学生的注意力至少达到，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

解 ：(）当<≤时，()() （是增函数，且()；当<≤时，()是减函数，且().所以,讲课开始分钟，学生的注意力最集中，能持续分钟.

（）（），（），

故讲课开始分钟时，学生的注意力比讲课开始后分钟更集中.

（）当<≤时，（），

则；当<≤时，令(),

≈,则学生注意力在以上所持续的时间为>,

所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题