一元二次方程教案
第一课时 4.1一元二次方程
学习目标
1． 知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02
=++c bx ax （a ≠0）
2． 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。 3． 会用试验的方法估计一元二次方程的解。 学习重点
1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程
一、情境引入：
（1）正方形桌面的面积是2m 2
，求它的边长？
解：设正方形桌面的边长是xm ，
根据题意，得
(2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花圃的面积是24m2，求花圃的长和宽？
解：设花圃的宽是 xm 则花圃的长是(19-2x)m 根据题意，得x(19-2x)=24 整理的
（3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？ 解：设平均每年增长的百分率是x 根据题意，得 整理，得
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
X 米。根据勾股定理，滑动前梯子的顶端
4米，则滑动后梯子的顶端离地面（4－X ）米，梯子的底端3＋X ）米。
根据题意得 整理。得
22=x 241922=+-x x 2.7)1(52=+x 4
.422=+x x 2
225)3()4(=++-x x 0
2
=-x x
二、探究学习：
1.
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown) 2.看谁眼力好:下列方程中那些是二元一次方程。
3.一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把 (a,b,c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式。
4.现学现用：指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
5.典型例题
[例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1) （2） 6.巩固练习
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项
三、归纳总结：
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为02
=++c bx ax （a ≠0），一元二次方程的项及系数 都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性
四、作业P82 1
22=x 24
1922=+-x x 4.422=+x x 02=-x x )
0(0).7(0).6()2)(1(3).5(023).4(1
).3(1
).2(1).1(2222
22的常数为不等于m m x c bx ax x x x y x x x
x x x x ==+++-=-=+-=
==+20ax bx c ++=20ax bx c ++=22=x 241922
=+-x x 4
.422=+x x 02
=-x x )2(5)1(3+=-x x x 0
2=x 2).1(2=-x x 214)2(x x =+132).3(2+-=x x 2)3().4(-=+x x
第二课时 4.2一元二次方程的解法 （1）
学习目标
1、了解形如（x ＋m ）2= n （n ≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法
2、会用直接开平方法解一元二次方程
学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程
学习难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系 教学过程
一、情境引入：
1. 我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。用式子表示：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根。记作x=a ±，即x=a 或x=a -。
如：9的平方根是±3，254的平方根是5
2
±
平方根有下列性质：
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； (2)零的平方根是零；
(3)负数没有平方根。 2如何解方程（1）x 2=4，（2）x 2-2=0呢? 二、探究学习：
1．尝试：
（1）根据平方根的意义， x 是4的平方根，∴x ＝±2 即此一元二次方程的解（或根）为： x 1=2，x 2 =－2 （2）移项，得x 2=2
根据平方根的意义， x 就是2的平方根，∴x=2±
即此一元二次方程的解（或根）为： x 1=2，x 2 =2- 2．概括总结．
什么叫直接开平方法？
像解x 2=4，x 2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x 2
=a （a ≥0）或（x+h ）2=k （k ≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解
3.概念巩固：
已知一元二次方程mx 2+n=0(m ≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m 、n 必须满足的条件是（ ）
A.n=0
B.m 、n 异号
C.n 是m 的整数倍
D.m 、n 同号
4.典型例题： 例1解下列方程
（1）x 2-1.21=0 （2）4x 2-1=0 解：（1）移向，得x 2=1.21 （2）移向，得4x 2=1
∵x 是1.21的平方根 两边都除以4，得x 2=
4
1 ∴x=±1.1 ∵x 是
41
的平方根 即 x 1=1.1，x 2=-1.1 ∴x=21
±
即x 1=21，x 2=2
1-
例2解下列方程：
⑴ （x ＋1）2= 2 ⑵ （x －1）2－4 = 0
⑶ 12（3－2x ）2－3 = 0
分析：第1小题中只要将（x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1=2±
即x 1=-1+2，x 2=-1-2 （2）移项，得（x-1）2=4
∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2 即x 1=3，x 2=-1
(3)移项，得12（3-2x ）2=3 两边都除以12，得（3-2x ）2=0.25 ∵3-2x 是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴x 1=45，x 2=47
例3解方程(2x －1)2=(x －2)
2
分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方
法求解
解：2x-1=2)2(-±x
即2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2 即x 1=-1，x 2=1
5.探究：（1）能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有（x ＋h ）2= k （k ≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
（2）用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解
(3)任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明 6.巩固练习：
（1）下列解方程的过程中，正确的是（ ）
①x 2=-2,解方程，得x=±2 ②(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
③4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x 1=47;x 2=4
1
④(2x+3)2
=25,解方程，得2x+3=±5, x 1= 1;x 2=-4 （2）解下列方程：
①x 2=16 ②x 2-0.81=0 ③9x 2=4 ④y 2-144=0 （3）解下列方程：
①（x-1）2=4 ②（x+2）2=3 ③（x-4）2-25=0 ④（2x+3）2-5=0 ⑤（2x-1）2=（3-x ）2
（4）一个球的表面积是100πcm 2，求这个球的半径。（球的表面积s=4πR 2，其中R 是球半径）
三、归纳总结：
1、不等关系在日常生活中普遍存在.
2、用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
3、列不等式表示不等关系.
四、作业 P93 1
第三课时4.2一元二次方程的解法（2）
学习目标
1、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法
2.、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义
3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想
学习重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 学习难点：把一元二次方程转化为的（x ＋h ）2= k （k ≥0）形式 教学过程
一、情境引入：
1.什么是配方法？什么是平方根？什么是完全平方式？
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square)
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
如果x 2=a,那么x=a ± .x 就是a 的平方根 式子a 2±2ab+b 2叫完全平方式,且 a 2±2ab+b 2 =(a ±b)2
2、用配方法解下列方程：
(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； 3、请你思考方程x 2-
2
5
x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？ 后一个方程中的二次项系数变为1，即方程两边都除以2就得到前一个方程 ，这
样就转化为学过的方程的形式，用配方法即可求出方程的解
二、探究学习： 1．尝试：
问题1：如何用配方法解方程2x 2-5x+2=0呢？
解：两边都除以2，得x 2-2
5
x+1=0 系数化为1
移项，得x 2-2
5
x=-1 移项
配方，得x 2-25x+2
2
45145?
?
?
??+-=??? ??即169452
=??? ?
?
-x 配方
开方，得4
3
45±=-x 开方 ∴x 1=
2
1
，x 2=2 定根 引导学生交流思考与探索（对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以
先将两边都除以二次项系数，再利用配方法求解）
问题2:如何解方程-3x 2+4x+1=0?
分析：对于二次项系数是负数的一元二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可
把二
次项系数化为1，再求解
解：两边都除以-3，得031342
=--
x x 移项，得3
1342
=-x x
配方，得2
2232313234??? ??+=???
??+-x x
即97322
=??? ?
?
-x
开方，得3
7
32±
=-
x ∴3
7
323
73221-
=
+=
x x 2．概括总结．
对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要做什么？
首先要把二次项系数化为1,用配方法解一元二次方程的一般步骤为：系数化为一，移项，配方，开方，求解，定根 3概念巩固
用配方法解下列方程，配方错误的是（C ）
A.x 2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.t 2-7t-4=0化为(t-27)2=465
C.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D.3x 2-4x-2=0化为(x-32)2=9
10
4.典型例题： 解下列方程
（1）4x 2-12x-1=0 (2)2x 2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x 2
解：（1）04132=--x x (2)02522=+-x x (3)023
272=+-x x
4132=-x x
12
5
122+=+-x x 16492347272
2
+
-=??
?
??+-x x 494123322+=??? ??-+-x x ()2712
=-x 1625472
=
??? ?
?-x
410232
=??? ?
?
-x 2141±
=-x 4547±=-x 21023±=-
x ∴2
14
1,214121-
=+=x x ∴21,321==x x ∴2
10
232102321-
=+=
x x
说明：对于二次项系数不为1的一元二次方程化为（x+h ）2=k 的形式后，如果k 是非负数，即k ≥0，那么就可以用直接开平方法求出方程的解；如果k ＜0，那么方程就没有实数解。
5.探究：
一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与抛出后小球运动的时间t （s ）有如下关系：
h=24t-5t 2
经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m 6.巩固练习：
练习1解下列方程
（1）2x 2-8x+1=0 (2)2
1
x 2+2x-1=0 (3)2x 2+3x=0
(4)3x 2
-1=6x (5)-2x 2+19x=20 (6)-2x 2-x-1=0 练习2用配方法求2x 2-7x+2的最小值
练习3用配方法证明-10x 2+7x-4的值恒小于0 三、归纳总结：
运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的方法和步骤是什么？（自己写出）
四、作业 P93 2
第四课时 4.2一元二次方程的解法（3）
学习目标
1、会用公式法解一元二次方程
2、学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2
－4ac ≥0
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
学习重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程
学习难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。 教学过程
一、情境引入：
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方，求解，定根
2、用配方法解下例方程
（1）02722
=--x x （2）05422
=+-x x
3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，
迅速求得一元二次方程ax 2
＋bx ＋c = 0（a ≠0）的实数根呢？
二、探究学习： 1．尝试：
如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2
＋bx ＋c = 0（a ≠0）？
回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：
解：因为0a ≠，所以方程两边都除以a ，得 2
0b c
x x a a
+
+= 移项，得 2
b c
x x a a
+
=- 配方，得 222
)2()2(22a
b a
c a b x a b x +-=+??+ 即 2224()24b b ac x a a
-+= （这样原方程就化成了（x+h ）2
=k 的形式）能用直接开平方解吗？什么条件下就能用
直接开平方解了？
当2
40b ac -≥，且0a ≠时，22
44b ac
a -大于等于零吗？
让学生思考、分析，发表意见，得出结论：
因为0a ≠，所以2
40a >，从而
22
404b ac
a -≥
当2
40b ac -≥时，得22b x a a
+=±
所以 a ac b a b x 2422-±
-= 即 2b x a
-= 到此，你能得出什么结论？
2．概括总结
一般地，对于一般形式的一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠，
当2
40b ac -≥时，它的根是2b x a
-±= （240b ac -≥）
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法。这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解。
问题2、（1）为什么在得出求根公式时有限制条件b 2－4a c ≥0？
（2）在一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，如果b 2-4ac ＜0，
那么方程有实数根吗？为什么？
在用配方法求2
0(0)ax bx c a ++=≠的根时，得222
4()24b b ac
x a a -+=，
因为负数没有平方根，所以240b ac -≥
在一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，如果b 2-4ac ＜0，那么方程
无实数根，这是由于ac b 42-无意义。
3.概念巩固：
（1）把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b 2-4ac= （2）用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）
A.x=
21214412-± B. x=212
14412-±-
C. x=
21214412+± D. x=6
48
14412-±
4.典型例题：
例 用公式法解下列方程：
⑴ x 2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4
分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。
解（1）∵a=1，b=3，c=2 解：移项，得2x2-7x-4=0 b 2-4ac=32-4×1×2=1＞0 ∵a=2，b=-7，c=-4
∴1
21
3?±-=
x b 2-4ac=49-4×2×（-4）=81＞0 ∴x 1=-1，x 2=-2 ∴2
281
7?±=
x ∴，x 1=4，2
1
2-=x
(3)x 2
=3x-8
解：移项，得x 2-3x+8=0 ∵a=1，b=-3，c=8
b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无解
用公式法解一元二次方程的一般步骤？
说明：用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a 、b 、c 的值，再求出b 2-4ac 的值，当b 2-4ac ≥0的前提下，再代入公式求解；当b 2-4ac ＜0时，方程无实数解(根)
5.巩固练习：
练习1用公式法解下列方程
(1)x 2-3x-4=0 (2)2x 2+x-1=0
（3）322=-x x （4）66=-）
（x x (5)4x 2+4x-1=-10-8x （6）2x 2-7x+7＝0
练习2两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数 三、归纳总结：
1、解一元二次方程一般有哪几种方法？一元二次方程的求根公式是什么？ 用公式法解一元二次方程时要注意什么？
2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。
3、若解一个一元二次方程时，b 2－4ac ＜0，请说明这个方程解的情况。
四、作业 P93 3
第五课时 4.2一元二次方程的解法（4）
学习目标
1、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用
3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程
学习重点：一元二次方程的根的情况与系数的关系
学习难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值
教学过程
一、情境引入：
1.一元二次方程的求根公式时什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是
a ac
b
b
x
2
4 2-
±
-
=
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac＜0时，方程无实数解(根)
2.用公式法解下列方程：
⑴x2＋x－1 = 0 ⑵x2－23x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0
3．观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
二、探究学习：
1．尝试：
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴x2＋2x－8 = 0 ⑵x2 = 4x－4 ⑶x2－3x = －3
（答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根）
问题：你能得出什么结论？
可以发现b2－4ac它的符号决定着方程的解。
2．概括总结．
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根
当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根
当b2－4ac ＜0时，方程没有实数根
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0
当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac = 0
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜0
3.概念巩固：
（1）方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是.
（2）下列方程中，没有实数根的方程是（ ） A.x 2=9 B.4x 2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y 2+6y+7=0
（3）方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ） A.b 2-4ac ＞0 B. b 2-4ac ＜0 C. b 2-4ac≤0 D. b 2-4ac≥0
4.典型例题：
例1不解方程，判断下列方程根的情况：
1、06622
=-+-x x ； 2、2
42x x +=；
3、x x 3142
-=+
4、x 2-2mx+4（m-1）=0
解：1.∵b 2
-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0
∴该方程有两个相等的实数根
2. 移项，得x 2
+4x-2=0
∵b 2
-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）=16+8=24＞0 ∴该方程有两个不相等的实数根
3. 移项，得4x 2
+3x+1=0
∵b 2
-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0 ∴该方程没有实数根 4. ∵b 2-4ac=（2m ）2-4×1×4（m-1）=4m 2-16（m-1）=4m 2-16m+16=（2m-4）2
≥0
∴该方程有两个实数根
例2 ：m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。 解：
()[]()[]
()12
53755103710334142
2
2
2
22
2++=+-++=++=+---=-m m m m m m m ac b
∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0 ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0
∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
例3：m 为何值时，关于x 的一元二次方程2x 2-（4m+1）x+2m 2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m 2-1 ∴b 2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m 2-1）=8m+9
（1） 若方程有两个不相等的实数根，则b2-4a c ＞0
即8m+9＞0 ∴m ＞8
9-
（2） 若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0 即8m+9=0 ∴m=8
9-
（3） 若方程没有实数根，则b2-4ac ＜0 即8m+9＜0 ∴m ＜8
9- ∴当m ＞8
9
-时，方程有两个不相等的实数根 当m=89
-
时，方程有两个相等的实数根 当m ＜8
9
-时，方程没有实数根
例4：已知关于x 的方程k x 2－（2k ＋1）x ＋k ＋3 = 0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
解：∵方程有两个不相等的实数根 ∴（2k+1）2-4k （k+3）＞0
4k 2+4k+1-4k 2-12k ＞0
-8k+1＞0即k ＜
8
1 5.巩固练习：
练习1.不解方程，判断方程根的情况：
（1）x 2+3x-1=0;(2)x 2-6x+9=0;(3)2y 2-3y+4=0(4)x 2+5=52x
练习2.k 取什么值时，方程x 2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。
练习3.已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则关于x 的一元二次方程 （a+b ）x 2+2cx+（a+b ）=0的根的情况是（ ）
A 、没有实数根
B 、可能有且仅有一个实数根
C 、有两个相等的实数根
D 、有两个不相等的实数根。 三、归纳总结：
一元二次方程的根的情况与系数的关系？
b 2-4a
c 叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程
的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b 2-4ac 的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。
四、作业 P93 3
第六课时 4.2一元二次方程的解法（5）
学习目标
1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性
3、学会与同学进行交流，勇于从交流中发现最优解法。
学习重点：
用因式分解法解某些一元二次方程
学习难点：
选择适当的方法解一元二次方程 教学过程
一、情境引入：
1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
2、解下列一元二次方程：
（1）822
=x （2）016)2(2=--x （3）142
-=+t t （4）0922
=-+x x
3、式子ab=0说明了什么？
4、把下列各式因式分解.
（1）x 2－x （2） x 2－4x （3）x ＋3－x （x ＋3） （4）（2x －1）2－x 2 二、探究学习： 1．尝试：
（1）、若在上面的多项式后面添上=0，你怎样来解这些方程？
（1）x 2－x =0 （2） x 2－4x=0 （3）x ＋3－x （x ＋3）=0 （4）（2x －1）2－x 2=0 2．概括总结．
1、你能用几种方法解方程x 2
－x = 0？
本题既可以用配方法解，也可以用公式法来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用公式法来解。还有其他方法可以解吗？ 另解：x 2
-x ＝0， x(x-1)＝0， 于是x ＝0或x-3＝0．
∴x 1=0，x 2=3
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？ （1） 方程的一边为0
（2）另一边能分解成两个一次因式的积
3.概念巩固：
（1）一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为 和 ， 方程的根是 .
(2)已知方程4x 2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
A.只有一个根x=43
B.只有一个根x=0
C.有两个根x 1=0,x 2=4
3 D.有两个根x 1=0,x 2=-43
(3)方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ）
A.化为x+1=1
B.化为（x+1）（x+1-1）=0
C.化为x 2+3x+2=0
D.化为x+1=0 4.典型例题：
例 1 用因式分解法解下列方程：
（1）x 2=-4x （2） （x+3）2-x （x+3）=0 （3）6x 2-1=0 （4）9x 2+6x+1=0 （5）x 2
-6x-16=0
例 2 用因式分解法解下列方程
（1）（2x －1）2
=x 2
（2）（2x-5）2-2x+5=0
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积
（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
例 3用适当方法解下列方程 （1）4（2x-1）2-9（x+4）2=0 （2）x 2-4x-5=0 (3)(x-1)2=3 (4)x 2-2x=4 （5）（x －1）2－6（x －1）+9=0 （6）4y （y －5）+25=0
如何选用解一元二次方程的方法？（学生总结）
首选因式分解法和直接开平方，其次选公式法，最后选配方法
5.探究：
思考：在解方程（x＋2）2 = 4（x＋2）时，在方程两边都除以（x＋2），得x＋2=4，于是解得x=2，这样解正确吗？为什么？
6.巩固练习：
练习1下面哪些方程，用因式分解法求解比较简便？
⑴x2－2x－3 = 0 ⑵（2x－1）2－1 = 0
⑶（x－1）2－18 = 0 ⑷ 3（x―5）2 = 2（5―x）
练习2用因式分解法解下列方程：
（1）（x+2）（x-1）=0 （2）(2y+1)(y-3)=0
(3)x2-3x=0 (4)3x2=x
(5)2(x-1)+x(x-1)=0 (6)4x(2x-1)=3(2x-1)
练习3用因式分解法解下列方程：
（1）（x+1）2-9=0 （2）（2x-2）2-x2=0
练习4已知一个数的平方等于这个数的5倍。求这个数。
三、归纳总结：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）通过移项把一元二次方程右边化为0
（2）将方程左边分解为两个一次因式的积
（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
解一元二次方程有哪几种方法?如何选用？
四、作业 P93 4、5
第七课时 4.3用一元二次方程解决问题（1）
学习目标
1.进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，
2.通过对实际问题的决实际问题的过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在
学习重点：认识不等式
学习难点：文字语言转化为数学不等式
教学过程
一、情境引入：
围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2. 求这个公园的长与宽.
二、探究学习：
1．尝试：
通常用一元一次方程解决实际问题要经历怎样的过程？
2．概括总结．
用方程解决实际问题的一般步骤为：找相等关系；设未知数，列方程，解方程，检验，答题。
3.典型例题：
例1、我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元，如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于今为500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？
例2、建造一个池底为正方形、深度为2米的长方体无盖水池，池壁的造价为100元/平方米池底的造价为200元/平方米，总造价为6400元，求正方形池底的长。
例3、两个连续奇数的积是323，求这两个数。
4.巩固练习：
（1）在三位数345中，3，4，5是这个三位数的什么？
（2）如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc 形式？为什么？
（3）有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
（4）已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个是
（5）求 x:(x-1)=(x+2):3 中的x.
（6）三个连续整数两两相乘后，再求和，得362，求这三个数。
三、归纳总结：
1、列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.
2、解的取舍情况.
四、作业 P99 1、2、3
第八课时 4.3用一元二次方程解决问题（2）
学习目标
1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法
2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力
学习重点：学会用列方程的方法解决有关形积问题．
学习难点：如何找出形积问题中的等量关系
教学过程
一、情境引入：
小明有一块长方形铁皮，长是宽的2倍，现他在四角各截去一个正方形后，制成了高是5㎝，cm的无盖长方体容器。你能求这块铁皮的长和宽吗？
容积是5003
二、探究学习：
尝试：
如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？
一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。
2．概括总结．
用方程解决实际问题首先要找出相等关系，然后通过将已知数或含未知数的代
数式代入，从而得到方程。
3.典型例题：
例1、一块起码方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形，做成一个无盖的盒子。
已知盒子的容积是400㎝，求原铁皮的边长。
课堂练习
1.一块长方形菜地的面积是150m2,如果它的长减少5m,那么菜地就变成正方形.求原菜地的长和宽
例2、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅所图所示矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽。
分析：如设金色纸边宽为xcm，根据纸边的面积等于5400-80×50即可得方程。
课堂练习
2、将5个边长为10cm的正方体钢锭，溶化后铸成底面半径为4cm的圆柱型钢，问这圆柱型钢长多少？
一元二次方程的定义教案
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
解一元二次方程--教学设计(张洁)
一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研
一元二次方程教案设计
《一元二次方程》教学设计 四川省旺苍县英萃中学校何剑 教学目标： 1、知识与技能目标 （1）通过对实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，通过观察、归纳一元二次方程的概念。 （2）能对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 2、过程与方法目标 体验数学与日常生活密切相关的联系，认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。 3、情感态度与价值观 体会在解决问题的过程中同学间合作交流的重要性，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习激情。 教学重点： 1、理解什么是一元二次方程，以及一元二次方程的有关概念。 2、经历探索等量关系式，列方程的过程。 教学难点： 分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 教学方法与教学手段 互动式、合作探究；投影仪
教学过程： 一、情景导入，回顾概念 1、求课桌的长和宽 教师利用投影仪向学生展示：你的课桌面积为0.24m 2,已知长比宽多20cm ，求课桌的长和宽是多少？ 学生根据老师给出的信息，寻找正确答案。 老师提问：你是怎样求出课桌的长和宽的？ 运用方程： 设课桌的宽为xm ，长比宽多0.2m ，则长应为(x+0.2)m ，要求课桌的面积，就要用到矩形面积公式：长×宽＝面积，就可以得到方程：x(x+0.2)=0.24，解出方程就可以求得宽。 2、求握手的人数。 游戏：请4个同学上讲台，每两人握一次手，看一共要握多少次手。 学生根据握手的次数，很容易得到答案是6次。 变式训练：一个小组的女生，每两人握一次手，共握了15次，求这个小组有女生多少人。 运用方程：设有x 个女生，每个女生要与其他剩下的(x-1)个女生握手，所以一共要握x(x-1)次，由于甲和乙握手后就不再需要乙和甲握手，所以共握手次数应为)1(2 1-x x 次，则方程为： 15)1(21=-x x ，整理得302=-x x 解出方程便得到女生人数。 请学生回顾：什么是一元二次方程。
一元二次方程优质课教学设计
《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析
一元二次方程的解法教学设计
一元二次方程的解法教学设计Teaching design of solving quadratic equation of one variable
一元二次方程的解法教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目标 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．会用因式分解法解某些一元二次方程。 5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。 教学重点和难点 重点：一元二次方程的四种解法。
难点：选择恰当的方法解一元二次方程。 教学建议： 一、教材分析： 1．知识结构： 2．重点、难点分析 （1）熟练掌握开平方法解一元二次方程 用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。 如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。 配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。 （2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：
一元二次方程教案
学生姓名：闫鹏飞郭 新 教师姓名：李双虎授课日期：7月27日授课科目：数学授课时间：8:30 第几课时：第十八课时 本 次 授 课 内 容 及 授 课 目 标 （教师填写）教学目标：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次 ──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方 法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 教学重点：一元二次方程及其它有关的概念． 教学难点：一元二次方程配方法解题．用公式法解一元二次方程时的讨论． 教学过程： 1、1、）长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，?那么门的高和宽各是多 少？ 2、）如图，如果 AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 3、）如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 3、将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项． 4.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二 次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 5、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元 二次方程．
新航线一线教师授课表 备注：请学生、教师根据实际情况认真填写并签字确认，我们将以此为依据，进行教学调整 学生签字： 学习管理师签字： 6、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x ― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。 7、：解方程：x 2+8x ―9=0 8、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，?上口宽比 渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 作 业 课 后 单元测试题1----8 思考题1 学生 评语
21.1一元二次方程(教学设计)
第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(
一元二次方程全教案
21.1 一元二次方程 一、教学内容：认识一元二次方程 二、教材分析： 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果； 三、学情分析： 初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 （一）知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 （二）过程与方法 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
（三）情感态度价值观 通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 五、教学重难点 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 六、教学方法和手段： 讲授法、练习法 七、学法指导 讲授指导 八、教学过程 一、复习引入 小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次 方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析： 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的 代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x
一元二次方程组教案
5.1.认识二元一次方程组 教学目标： 1.知识与技能：通过实例了解一元二次方程，一元二次方程组及其解的概念，会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题：培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观：激发学生的求知欲，培养他们勇于探索的精神。 教学重难点： 重点：对二元一次方程，二元一次方程组及其解的理解。 难点：二元一次方程，二元一次方程组及其解的个数。 课时安排： 一课时 教学设计 教学准备 幻灯片 教学流程 （一）复习： 1.一元一次方程的定义. 例：下例哪些方程式一元一次方程？ 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注 ： 一元：一个未知数 一次：含有未知数的项的次数都是1次 整式：分母中不含字母 2.方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 例：x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？ 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗？若不是，那又什么呢？ （二）新课讲授 1、老牛与小马 分析：审题 A ：数量问题 B ： 2= -小马老牛 C ：设老牛驮了x 个包裹， 小马驮了 y 个包裹。 ）（小马 老牛121-=+
想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点：1、未知数几个？ 2个 判断点：2、含未知数项的次数是几次？ 1次 判断点：3、整式 分母中不含未知数 练一练： 1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程，那么m ＝___________，n ＝______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解 例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练： 1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 31x y -=的解？ （A ） 2,3.x y =??=? （B ） 4,1.x y =??=? （C ）10,3.x y =??=? （D ）5,2.x y =-??=-?
公式法解一元二次方程教案
公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形
一元二次方程教学案例及反思
一元二次方程教学案例及反思 一、案例背景 1、教材分析： 一元二次方程在初中代数学习中，具有重要的地位，起着承前启后的作用。一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用，比如说整式、开平方、一元一次方程、一次方程组以及不等式的知识在这一章里都有应用，另一方面，一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展，它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础，比如说，二次函数、高中要学习的指数方程、对数方程等等都与一元二次方程有关。这节课是人教版第22章的第一节课时，主要学习一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。本节在引言方程的基础上，首先通过两个实际问题——面积问题和比赛问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察列出这三个具体方程，并发现它们在形式上的共同点，给出一元二次方程的定义。 2、学生分析 在前面学生已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程等等，已经初步地感受了方程的模型作用，并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验，解决了一些实际问题。教师要在这基础上，通过实际问题，引导学生认识一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。 3、教学目标： （1）理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根。 （2）经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念及其一般形式和其它三种特殊形式。 （3）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。 4、教学重点： 一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念。 5、教学难点： 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 6、教学思路： 以实际问题为背景，引出一元二次方程及其有关概念，通过学生分组讨论，得到一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，组织学生分析一元二次方程的根的不唯一性。 二、课堂实录： （一）复习引入 师：我们已经学习了一元一次方程及其解法、可化为一元一次方程的分式方程，知道运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。今天我们来学习一种新的方程——一元二次方程。 师：在学习之前，同学们回忆一下，什么叫一元一次方程？ 生1：含有一个未知数，并且未知数的次数是1的式子是一元一次方程。 生2：不是“式子”应该是整式方程。 师：对了，一定是整式方程才行，要不然有可能是分式方程，大家要记住哦。
一元二次方程的概念教学设计
《一元二次方程的概念》教学设计 河北省景县洚河流镇中学秦艳茶 一、教案背景 1、面向学生：九年级学生 2、学科：九年数学 3、课时：1课时 4、学生情况：我校是一所农村学校，学生的基础较差，因此针对学生的实际特点和学习经验设计本节教案。 二、教材分析 本章的主要内容包括两个方面：1、一元二次方程的基本概念及其解法；2、一元二次方程在实际问题中的应用。全章共包括三节：一元二次方程、降次——解一元二次方程、实际问题与一元二次方程。本节以雕像问题、制作方盒问题和体育比赛中的组合问题这三个问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，让学生感受一元二次方程这一概念的内涵，并通过提出问题，要求学生观察思考方程中未知数的个数和次数，引导学生联想并类比一元一次方程，以便更好地理解一元二次方程的有关概念。这样编排，既有利于学生理解并接受新知识，又充分地反映出一元二次方程及其有关概念来源于现实世界，是刻画现实世界的一个有效数学模型。 三、教学任务分析
四、教学流程安排 五、教学过程设计
「活动2」学习新知 1、观察上面三个方程与一元一次 方程有什么区别？它们有什么共同点？ 2、一元二次方程的概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 3、练习 请抢答下列各式是否为一元二次方程：（多媒体出示） 2、 2、4、讲解一元二次方程的一般 式：教师提出问题，引导学生 思考。 由学生观察归纳这3个方 程的特征，给出名称并类 比一元一次方程的定义， 得出一元二次方程的定 义。 活动中教师应重点关注: (1) 引导学生观察所列出的 3个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过 的一元一次方程定义得到 一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个 特征： ①整式；②一元；③2次。 由学生以抢答的形式 来完成此题，并让学生找 出错误理由。其中(1) (2)题 较为简单，学生可非常容 易给出答案；而(3)(4)两题 有一定难度，可以进行分 类讨论。 此活动中，教师应注 意对学生给出的答案作出 点评和归纳。 引导学生类比一元一 次方程的一般形式，总结 归纳一元二次方程的一般 形式及项、系数的概念。 让学生充分感受所列方 程的特点，再通过类比的方 法得到定义，从而达到真正 理解定义的目的。 这组练习目的在于巩固 学生对一元二次方程定义中 3个特征的理解。 此环节采取抢答的形 式，提高学生学习数学的兴 趣和积极性。 此环节让学生通过自 主探究，类比一元一次方程 一般形式，得出一元二次方 程一般形式和项、系数的概 念，从而达到真正理解并掌 握的目的。 问题与情境师生行为设计意图[活动3]巩固应用 1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：3X（X-1）=5（X+2） 2、方程（2a—4）x2 先由教师在大屏幕上 显示问题,由学生经过思 考,给出符合条件的答案, 全体学生进行判断是否正 确. 此题设置的目的在于 加深学生对一般形式的理解 采取游戏的形式以提
一元二次方程解法复习课教案设计
《一元二次方程解法》复习教案设计复习目标： 、能说出一元二次方程及其相关概念。 2、能熟练应用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。 复习重难点：一元二次方程的解法 教学过程 一、情景导入 前面我们复习了一元一次方程与二元一次方程组的解法，大家掌握得很不错，请同学解方程x=1,（学生略作思考后，示意不会做）忘了吧？看来好多学生都已经忘了如何解一元二次方程呢？那么这节我们就一起来复习一元二次方程的解法（板书题） 二、复习指导（学生按照复习提纲解决问题，师做简单的板书准备后，巡视指导，特别要注意帮助有困难的同学，了解学生的情况，为展示归纳做准备。） 复习提纲 ．－元二次方程的定义：只含有_______叫做一元二次方程。 2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b
是_______，叫做_______项。 3．一元二次方程的解法： 用直接开平方法解方程（2x+1）2=9 形如x2＝p的方程的根为________。 用配方法解方程x2+2x=3 用配方法解方程步骤： ， ， ， 。 用求根公式法解方程x2-3x-＝0，x2-3x+＝0。 一元二次方程ax2＋bx＋＝0的根的判别式△＝________，根x= 。 当△>0时，方程有两个_______的实数根。 当△＝0时，方程有两个_______的实数根。 当△<0时，_______。 三、展示归纳 、教师抽有困难的学生逐题汇报复习结果，学生说教师板书。 2、教师发动全班学生进行评价，补充，完善。 3、教师画龙点睛的强调。
一元二次方程教学案例.
一元二次方程教学案例 教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(?指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。 2、教学目标及确立目标的依据 九年义务教育大纲对这部分的要求是:"使学生了解一元二次方程的概念"，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。 知识目标:使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。 能力目标:通过一元二次方程概念的教学，培养学生善于观察，发现，探索，归纳问题的能力，培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。 德育目标:培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。 3、重点，难点及确定重难点的依据 "一元二次方程"有着承上启下的作用，在今后的学习中有广泛的应用，因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念，一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。 二、教材处理 在教学中，我发现有的学生对概念背得很熟，但在准确和熟练应用方面较差，缺乏应变能力，针对学生中存在的这些问题，本节课突出对教学概念形成过程的教学，采用探索发现的方法研究概念，并引导学生进行创造性学习。 三、教学方法和学法 教学中，我运用启发引导的方法让学生从一元一次方程入手，类比发现并归纳出一元二次方程的概念，启发学生发现规律，并总结规律，最后达到问题解决。 四、教学手段 采用投影仪 五、教学程序 1、新课导入:
一元二次方程教学设计(第一课时)
一元二次方程优质课教案设计 21.1一元二次方程初中数学人教2011课标版 1教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 2学情分析 本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效模型。 3 1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
4教学过程4.1 第一学时评论(0) 新设计 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程． 问题1、教室里有?名教师，每一位教师相互握手一次表示问好，则问好结束时，老师们共握手多少次？ 2、如果教师们共握手210次，则有多少名教师呢？如果设教师为x名，则可列方程为？化简后是？ 二、探索新知 （一）自主学习 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）?都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
《一元二次方程的解法》教案
《一元二次方程的解法》教案 教学内容 1.给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 2.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 3.因式分解的探究及其方法． 教学目标 1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 3.会熟练应用公式法解一元二次方程． 4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程． 重难点关键 重点： 1.讲清配方法的解题步骤． 2.求根公式的推导和公式法的应用． 3.应用因式分解法解一元二次方程． 难点与关键： 1.把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 2.一元二次方程求根公式法的推导． 3.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解． 教学过程 一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0 老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0 (x-4)2=9 x-4=±3即x1=7，x2=1 (2)x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 (x+2)2=3即x+2
x12，x2-2 二、探索新知 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例：解下列方程： (1)x2＝2 (2)4x2－1＝0 分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x2＝a的形式，再用直接开平方法解之. 例：解下列方程： (1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方． 解：(1)移项，得：x2+6x=-5 配方：x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4 由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5 (2)移项，得：2x2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x2+3x=-1 配方x2+3x+(3 2 )2=-1+( 3 2 )2(x+ 3 2 )2= 5 4 由此可得x+3 2 =± 2 ，即x1= 2 - 3 2 ，x2=- 2 - 3 2 (3)去括号，整理得：x2+4x-1=0 移项，得x2+4x=1 配方，得(x+2)2=5 x+2x12，x22 三、应用拓展 用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6 分析：因为如果展开(6x+7)2，那么方程就变得很复杂，如果把(6x+7)看为一个数y，那 么(6x+7)2=y2，其它的3x+4=1 2 (6x+7)+ 1 2 ，x+1= 1 6 (6x+7)- 1 6 ，因此，方程就转化为y的方程， 像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y 则3x+4=1 2 y+ 1 2 ，x+1= 1 6 y- 1 6
解一元二次方程 教学设计
解一元二次方程教学设计 教学设计思想 解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。 教学目标 知识与技能： 1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。 2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。 过程与方法： 1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。 2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。 情感态度价值观： 在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。 教学重难点 重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。 难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。 教学方法 探索发现，讲练结合 教学媒体 多媒体 课时安排 4课时 教学过程设计 第一课时
一、复习引入： 1．一元二次方程的一般形式是什么？其中a 应具备什么条件？ 2．042=-x 是一元二次方程吗？其中二次项的系数，一次项的系数，常数项各是什么？ （是。二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－4） 3．解下列方程： （1）x 2=4 （2）(x+3)2 =9 学生依次回答上述问题。 师总结强调：（1）象这种通过直接开平方求得x 的值的方法，实际上就是求x 2=a （a ≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解方法。 （2）对于形如“(x+a) 2=b (b ≥0)”型的方程，只要把x+a 看作一个整体，就可以转化为x 2=b (b ≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。 （3）在对方程(x+3) 2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生 指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法 二、试着做做 1．如果（x+2）2 =9，那么x=_______________。 2．如果（x-3）2=7，那么x=_______________。 3．完全平方公式是什么？ 4．如果x 2+2x+1=4，那么x=_______________。 学生独立求解 5．对于x 2+2x-3=0这样的方程，该怎样求解呢？能否经过适当变形，将方程转化为（x+m ）2=n （m ，n 是常数，n ≥0）的形式，然后应用直接开平法求解呢？你能总结出你解这个方程的步骤吗？ 学生活动：小组讨论，利用完全平方公式及上述提示寻求解法，将x 2+2x-3=0变形为x 2+2x+1=4，即（x+1）2=4 。并总结出解方程x 2+2x-3=0的一种方法： 三、做一做 把下列方程化为（x+ m ）2 =n （m ，n 是常数，n ≥0）的形式，并求出它们的解。 （1）x 2+2x=48；（2）x 2-4x=12；
九年级上一元二次方程教案教案
22．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2．?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．?难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 10 8 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： 问题2．一个面积为120m的矩形苗圃，它的长比宽多2m，?苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2?中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解．为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：