正弦与余弦定理练习题及答案

正弦定理练习题

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )

A.6

B. 2

C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )

A ．4 2

B ．4 3

C ．4 6 D.32

3 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )

A ．45°或135°

B ．135°

C ．45°

D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )

A ．1∶5∶6

B ．6∶5∶1

C ．6∶1∶5

D ．不确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )

A ．1 B.12 C ．2 D.1

4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b

a ，则△ABC 是( )

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )

A.32

B.34

C.32或 3

D.34或32 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )

A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，

c ＝3，C ＝π

3，则A ＝________.

10．在△ABC 中，已知a ＝43

3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.

12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则

a ＋

b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝________，c ＝________.

14．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1

3，S △ABC ＝43，则b ＝________.

15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .

16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

余弦定理练习题

1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1

3，那么AC 等于( )

A ．6

B ．2 6

C ．3 6

D ．4 6 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )

A. 3

B. 2

C. 5 D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )

A ．60°

B ．45°

C ．120°

D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )

A.π6

B.π3

C.π6或5π6

D.π3或2π3 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．以上均不对 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，

则AB →·AC

→的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 7．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )

A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2

8．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．

9．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．

10．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.

11．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1

3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 12．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.

13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．

14．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；

(2)求sin(2A －π

4)的值．

正弦定理

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )

A.6

B. 2

C. 3 D ．2 6

解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B

sin A

＝ 6.

2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )

A ．4 2

B ．4 3

C ．4 6 D.32

3

解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B

sin A

＝4 6.

3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )

A ．45°或135°

B ．135°

C ．45°

D ．以上答案都不对

解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝2

2

，又∵a >b ，∴B <60°，∴B

＝45°.

4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )

A ．1∶5∶6

B ．6∶5∶1

C ．6∶1∶5

D ．不确定

解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )

A ．1 B.12 C ．2 D.1

4

解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°

sin45°

＝1.

6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b

a

，则△ABC 是( )

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B

sin A

，

sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B

即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π

2

.

7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )

A.32

B.34

C.32或 3

D.34或32

解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝3

2

，∵AB ＞AC ，

∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.

再由S △ABC ＝1

2

AB ·AC sin A 可求面积．

8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )

A. 6 B ．2 C. 3 D. 2

解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2

sin C

，

∴sin C ＝1

2

.

又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.

9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π

3

，则A

＝________.

解析：由正弦定理得：a sin A ＝c

sin C

，

所以sin A ＝a ·sin C c ＝1

2

.

又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π

6

.

答案：π6

10．在△ABC 中，已知a ＝43

3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.

解析：由正弦定理得a sin A ＝b

sin B

?sin B ＝b sin A a ＝4×12433

＝3

2

.

答案：3

2

11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.

解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，

由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 3

12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．

解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0.

∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形

13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝________，

c ＝________.

解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°

＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴

1

2×12×sin60°×c ＝183，

∴c ＝6.

答案：12 6

14．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1

3

，S △ABC ＝43，则b ＝________.

解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝1

2

ab sin C ＝43，

解得b ＝2 3. 答案：2 3

15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝1

4

，sin B sin

C ＝cos 2A

2

，求A 、B 及b 、c .

解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝1

2

，

又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π

6.

由sin B sin C ＝cos 2A

2，得

sin B sin C ＝1

2

[1－cos(B ＋C )]，

即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，

即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，

即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π

6

(舍去)，

A ＝π－(

B ＋

C )＝2π

3.

由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

，得

b ＝

c ＝a sin B

sin A ＝23×123

2

＝2.

故A ＝2π3，B ＝π

6，b ＝c ＝2.

＝255×31010－55×1010＝22

.

又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π

4

.

(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝2

2.

由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

得

5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .

∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.

16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

解：由S ＝12ab sin C 得，153＝1

2×603×sin C ，

∴sin C ＝1

2

，∴∠C ＝30°或150°.

又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.

又∵ab ＝603，a sin A ＝b

sin B

，∴b ＝215.

当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.

余弦定理

1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1

3

，那么AC 等于( )

A ．6

B ．2 6

C ．3 6

D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B

＝ 42＋62－2×4×6×1

3

＝6.

2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D ．2

解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2

＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.

3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°

解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－3

2

，

∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.

4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )

A.π6

B.π3

C.π6或5π6

D.π3或2π3

解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2

)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得

cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .

显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π

3

.

5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对

解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2

2c

＝c .

6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →

的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．4

D ．－4

解析：选A.S △ABC ＝3＝12

|AB →|·|AC →

|·sin A

＝12

×4×1×sin A ， ∴sin A ＝3

2，又∵△ABC 为锐角三角形，

∴cos A ＝1

2

，

∴AB →·AC →

＝4×1×12

＝2.

7．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2

解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.

8．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．

解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π

3

.

在△ABD 中，

AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B

＝

1＋4－2×1×2×1

2

＝ 3.

答案： 3

9．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．

解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝3

2，∴C ＝60°或120°.

∴cos C ＝±1

2

，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，

∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或61 10．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，

cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ 2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k ＝11

16

，

同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－1

4

，

∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)

11．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1

3

，S △ABC ＝43，则b ＝________.

解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝22

3.

又S △ABC ＝1

2

ab sin C ＝43，

即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3. 答案：2 3

12．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2

4

，则角C ＝________.

解析：1

2ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2

＝1

2

ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°

13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．

解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，

∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－1

2

.

又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，

∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C

＝a 2＋b 2－2ab (－1

2

)

＝a 2＋b 2

＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.

14．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .

(1)求AB 的值；

(2)求sin(2A －π

4

)的值．

解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC

sin A

，

得AB ＝sin C

sin A

BC ＝2BC ＝2 5.

(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得

cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝25

5

，

于是sin A ＝1－cos 2A ＝5

5.

从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝4

5，

cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝2

10

.

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案教学内容

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3， cos C ＝－ 41，则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝ 150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC 中，已知3 2sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝ 1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝ 45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________.

8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形. 9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B ＝60°，则c＝________. 10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC. 12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13. (1)求角B的大小； (2)若D是BC的中点，求中线AD的长. 13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案精选.

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案 一、选择题 1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3＋1 答案：B 解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°. 由余弦定理可得b ＝2 3. 2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝ 22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 答案：B 解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B b B ．a

C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 答案：A 解析：由正弦定理，得c sin120°＝a sin A ， ∴sin A ＝a ·3 22a ＝64>1 2. ∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b . 5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5 18 B. 3 4 C. 3 2 D. 7 8 答案：D 解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ， ∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7 8. 方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1 4， ∴cos α＝1－2sin 2α 2 ＝1－2×116＝7 8. 6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2或 3 D. 32或3 4 答案：D 解析：∵sin C 3＝sin B 1， ∴sin C ＝3·sin30°＝3 2.

正弦定理练习 含答案上课讲义

正弦定理练习含答 案

课时作业1 正弦定理 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π 12 B.π 6 C.π4 D.π3 【答案】 D 【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝3 2， ∴∠A ＝π 3. 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π 3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B 【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12， 故∠B ＝30°或150°，

由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝5 6π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】 102 【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝10 10.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π 1010 ＝10 2. 4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长． 【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A . 【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ， 又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°. (1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；

2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.5 正弦定理和余弦定理(原卷版)文

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高考复习·归纳训练

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题4.5 正弦定理和余弦定理 目录 一、题型全归纳 (1) 题型一利用正、余弦定理解三角形 (1) 类型一用正弦定理解三角形 (2) 类型二用余弦定理解三角形 (2) 类型三综合利用正、余弦定理解三角形 (3) 题型二利用正、余弦定理边角互化 (5) 题型三与三角形面积有关的问题 (7) 二、高效训练突破 (10) 一、题型全归纳 题型一利用正、余弦定理解三角形 【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及a sin A＝ b sin B＝ c sin C，可先求出角C及b，再求出c. (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C. (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理a sin A＝b sin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)， 可求出角C，再由a sin A＝c sin C可求出c，而通过a sin A＝ b sin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．

类型一 用正弦定理解三角形 【例1】．(2020·北京朝阳区模拟)在△ABC 中，B ＝π6，c ＝4，cos C ＝53 ，则b ＝( ) A ．3 3 B ．3 C.32 D.43 【例2】．(2020·丹东模拟)在△ABC 中，C ＝60°，AC ＝2，AB ＝3，则A ＝( ) A ．15° B ．45° C ．75° D ．105° 类型二 用余弦定理解三角形 【例3】(2020·贵阳模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，AC ＝4，则BD ＝( ) A ．4 B.10 C.19 D.7 【例4】．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72 ，则BC ＝________． 类型三 综合利用正、余弦定理解三角形 【例5】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C. △求A ； △若2a ＋b ＝2c ，求sin C. 【例6】在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12 .

2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题4-6 正弦定理和余弦定理【含答案】

2021届高三高考数学文科一轮复习知识点 专题4.6 正弦定理和余弦定理【考情分析】 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【重点知识梳理】 知识点一正弦定理和余弦定理 1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2 ＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C 常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝ a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝ b2＋c2－a2 2bc； cos B＝ c2＋a2－b2 2ac； cos C＝ a2＋b2－c2 2ab 2.S△ABC＝1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ac sin B＝ abc 4R＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R， r. 3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形 关系式a＝b sin A b sin Ab a≤b 解的个数一解两解一解一解无解知识点二三角函数关系和射影定理 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4， 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin C A =2， ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0 150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5 ，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中， 75 6,8,cos 96BC AC C === ，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A.14 B.23 C.23- D.1 4- 10．在ABC ?中，a b c ， ，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4 ，b=4 ，则B 等于（ ）

正余弦定理练习题(答案)

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°， 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

《正弦定理、余弦定理》单元测试题

高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题（1） 班级 姓名 1．在ABC ?中，?=∠?=∠=15,30,3B A a ，则=c ( ) A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 3 2．在ABC ?中，若 B b sin 2=，则∠A 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60° D ．30°或150° 3．在ABC ?中，?=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 4．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则 B A A 2cos cos sin +＝( ) A ．－12 B.1 2 C ．－1 D ．1 5.在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1206.在ABC ?中，已知 45,1,2=== B c b ，则a 等于 （ ） A. 226- B. 2 2 6+ C. 12+ D. 23- 7.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ） A. 30,14,7===A b a ，有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D. 60,10,9===A c b ，无解 8．在ABC ?中，?===30,3,1A b a ，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．无解 9.在ABC ?中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ?的形状是（ ） A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在ABC ?中， 60=A ,3=a ，则 =++++C B A c b a sin sin sin （ ） A. 338 B.3392 C.3 3 26 D. 32 11．在ABC ?中，已知3,45,60=?=∠?=∠C ABC BAC ，则AC ＝________；

-正弦定理和余弦定理高考题

温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点16 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则 2sin cos cos A A B +=（ ） (A)- 12 (B)1 2 (C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D. 由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B = 所以222 sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=． 二、填空题 2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ? 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列， 则ABC ?的面积为_______________. 【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ?的面积. 【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么 所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 6102 1 =???= ? ABC S 【答案】153 3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形， ?∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ， ABD ?然后在中，由正弦定理解得AD. 【精讲精析】在ABC ?中，由余弦定理易得

正弦定理练习题(经典)

正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,?=120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45° ＝1. 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对

(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案

课时作业3应用举例 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里 【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°， 则∠C＝45°， 由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()

A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根 据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，

设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB， 即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．

考点17 正弦定理和余弦定理【2019年高考数学真题分类】

温馨提示： 此题库为Word版, 请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴, 调节合适的观看比例, 关闭Word文档返回原板块。 考点17 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1 4,则b b = () A.6 B.5 C.4 D.3 【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用. 【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-1 4=cos A=b2+b2-b2 2bb ,所以b2-4b2 2bb =-1 4 ,所以3b 2b =1 4 ,所以 b b =3 2 ×4=6,故选A. 二、填空题 2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π 3 ,则△ABC的面积为. 【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用. 【解析】因为cos B=b2+b2-b2 2bb , 又因为b=6,a=2c,B=π 3 ,可得c2=12, 1

解得c=2√3,a=4√3, 则△ABC的面积S=1 2×4√3×2√3×√3 2 =6√3. 答案:6√3 3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用. 【解析】已知b sin A+a cos B=0,由正弦定理可得sin B sin A+sin A cos B=0,即sin B=-cos B, 又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=√2 2,cos B=-√2 2 ,故B=3π 4 . 答案:3π 4 4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD= . 【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 【解析】在△ABD中,由正弦定理有:bb sin∠bbb =bb sin∠bbb , 而AB=4,∠ADB=3π 4 ,AC=√bb2+bb2=5, sin∠BAC=bb bb =3 5 ,cos∠BAC=bb bb =4 5 ,所以BD=12√2 5 . cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC) =cosπ 4cos∠BAC+sinπ 4 sin∠BAC=7√2 10 . 2

正弦定理、余弦定理单元测试及答案

正弦定理、余弦定理 一、选择题 1．在△ABC 中，已知,30,10,25?===A c a 则B= （ ） （A ）105° （B ）60° （C ）15° （D ）105°或15° 2．在△ABC 中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB 的值是 （ ） （A ） 7 21 （B ） 19 57 （C ） 383 （D ）19 57- 3．在△ABC 中，有a=2b ，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是 （ ） （A ）直角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）以上都有可能 4．△ABC 中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是 （ ） （A ）一解 （B ）二解 （C ）无解 （D ）无法确定 5．在△ABC 中，中，若2 cos sin sin 2 A C B =，则△ABC 是 （ ） （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 6．在△ABC 中，已知13 5 cos ,53sin == B A ，则 C cos 等于 （ ） （A ） 6556 （B ） 65 16 （C ） 6516或65 56 （D ） 65 33 7．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是 （ ）

（A ）2 （B ）1 （C ） 2 2 （D ）12- 8．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(2 2 2 2 2 2 c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图 象是 （ ） （A ）在x 轴的上方 （B ）在x 轴的下方 （C ）与x 轴相切 （D ）与x 轴交于两点 二、填空题 9．在△ABC 中，∠C=60°，c=22，周长为),321(2++则∠A= ． 10．三角形中有∠A=60°，b ∶c=8∶5，这个三角形内切圆的面积为12π，则这个三角形 面积为 ． 11．平行四边形ABCD 中，∠B=120°，AB=6，BC=4，则两条对角线的长分别是 ． 12．在60°角内有一点P ，到两边的距离分别为1cm 和2cm ，则P 到角顶点的距离为 ． 三、解答题 13．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A ＜B ＜C ，B=60°，且满足 ).13(2 1 )2cos 1)(2cos 1(-= ++C A 求：（1）A 、B 、C 的大小； （2）c b a 2+的值．

正弦余弦历年高考题及详细答案

正 余 弦 定 理 1．在 ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c . A B 3 23 π

1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??= ，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=， 所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得 1sin 60 A =得1 sin 2 A = ，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33 a a π +-???=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A. 【规范解答】由sin cos B B += 12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0

正弦定理练习题DOC

一、单选题 1、若的内角所对的边满足,且,则的值为（） A．B． 1 C．D． 2、若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且=60°,则的值为（） A． B．1 C． D． 3、在中，已知，则角为 ( ) A．B．C．D．或 4、某人先朝正东方向走了km，再朝西偏北的方向走了3km，结果它离出发点恰好为km，那么等于（） A． B． C．3 D．或 5、若的三角，则A、B、C分别所对边=（） A． B． C． D． 6、在△ABC中，若，则此三角形是 ( ) A．正三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形 7、在中，若，则的形状一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形 8、在中，（） A．B．或C．D．或 9、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为() A．2+2 B．+1

C．2-2 D．-1 10、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（） A．a=1, b="2" , c=3 B．a=1, b=2,∠A=100° C．a=1, b=, ∠A=30°D．b="c=1," ∠B=45° 11、在中，，，面积，则 A．B．C．D． 12、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）. A. B. C. D. 13、在△中，角所对的边分别为，若，则△ 的面积等于（） A．10 B．C．20 D． 14、在△ABC中，（a，b， c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 15、在中，若，则等于（） A．B．C．D． 16、在中，若，则是（） A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形 17、（本小题考查正弦定理）在三角形ABC中，，则B等于A或 B. C. D. 以上答案都不对。 18、在△ABC中，三个内角分别是A，B，C，若sinC=2cosAsinB。则此△ABC一定是（）A．直角三角形 B.正三角形 C。等腰三角形 D.等腰直角三角形

正弦定理和余弦定理测试题

正弦定理和余弦定理测试题 1.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.4 3 B ．8－4 3 C ．1 D.2 3 2．(文)在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝43，为使此三角形只有一解，a 满足的条件是( ) A ．0

正弦定理和余弦定理专题试题及答案

正弦定理和余弦定理专题试题及答案 1．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定 3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2 ＝b 2 ＋c 2 －bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.1 2 B ．1 C. 3 D ．2 4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2 B －sin 2 A sin 2A 的值为( ) A ．－19 B .13 C ．1 D .72 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( ) A ．1 B . 2 C . 3 D ．3 7.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( ) A. B. C.2 D.4 8.在△ABC 中,若a 2 +b 2

正弦定理练习题(含答案)

正弦定理 复习 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝ a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4 3，b ＝4 2，则角B 为( ) A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝ b sin A a ＝22 ，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则c ＝( ) A ．1 B.1 2 C ．2 D.14 解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝ 2×sin 30° sin45° ＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B 即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π 2. 7．已知△ABC 中，AB ＝ 3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32 或 3 D.34或32