1.1.2 集合的表示方法
[教学目标]
掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.
[教学重点]
集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.
[教学难点]
集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.
一、复习引入
1.回忆集合的概念
2.集合中元素有那些性质? 、 、
3.集合的分类: 、 、
二、集合的表示方法
集合的表示方法常用列举法和描述法
列举法:将集合中的元素一一列举出来(不考虑元素的顺序),并且写在大括号内,这
种表示集合的方法叫做列举法,例如,方程0652=+-x x 的解的集合,可表示为{2,3},
也可表示为{3,2}
描述法:在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖线,在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性,即:}{p x x A 满足性质=(集合A 中的元素都具有性质p ,而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中),这种表示集合的方法叫做描述法.例如,方
程0652=+-x x 的解的集合可表示为}065{2=+-x x x .
集合可以用封闭的图形或数轴表示,有限集一般用文氏图表示,无限集一般用数轴表示.
三、概念应用
【例1】 用列举法表示下列集合
(1)},110{Z m Z m m ∈∈+ },1
10110){2(Z m Z m m ∈∈++ },,3|),){(3(N y N x y x y x ∈∈=+ },,3|){4(N y N x y x x ∈∈=+
【例2】用描述法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数所构成的集合
(2)平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合
(3)函数122+-=x x y 的图像上所有的点
(4)}75,64,53,42,31{
【答案】(1)},15{N k k x x ∈+=;(2)},,0),{(R y R x xy y x ∈∈>;
},,12),{(2R y R x x x y y x ∈∈+-=;(4)}5,,2
{*≤∈+=n N n n n x x
1、哪些性质可作为集合{}1,1-的特征性质?
2、平行四边形的哪些特征性质,可用来描述所有平行四边形构成的集合?
3、问题:以下集合
①}1|),{(2+=x y y x ;②2{|1}x y x =+;③}1|{2+=x y y ;④2{1}y x =+ 是同一个集合吗?
集合表示法的应用:
【例3】(1)已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B =
(2)若}4,3,2,2{-=A ,},|{2A t t x x B ∈==,用列举法表示B=
【例4】已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=,且A 中只有一个元素,求x 的值. 【答案】01==a a 或
【例5】设集合},12{},,2{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==.若B b A a ∈∈,,试判断b a +与B 、A 的关系.
【答案】A b a B b a ?+∈+,
【例6】设()()(){}
22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.
分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.
四、课堂练习:
1、下列表示同一个集合的是( )
A .)}3,2{()},2,3{(==N M
B .}3,2{},2,3{==N M
C .)}3,2{(},2,3{==N M
D .φ==N M },0{
【答案】B
2、用列举法表示下列集合:(1)},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+
(2)},032{2R x x x x ∈=--
(3)},032{2R x x x x ∈=+-
(4)},512{Z x N x x ∈∈-
【答案】(1)()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0;
(2){}3,1-;(3)?;(4){}7,1,1,3,4--
1、知识:
2、题型与方法:
3、注意问题:
五、课后作业:
1、用适当的方法表示下列集合
(1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A
(2)被3除余2的自然数全体组成的集合B
(3)直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C
【答案】(1)}6,4,2{;(2)},23{N n n x x ∈+=;(3)},,0,0),{(R y R x y x y x ∈∈><
2、已知集合},1{},,2{2A x x y y B Z x x x A ∈-==∈≤=,用列举法分别表示集合B A 、
【答案】}3,0,1{},2,1,0,1,2{-=--=B A
3、设集合{}
,3A n n Z n =∈≤,集合{}21,B y y x x A ==-∈, 集合,试用列举法分别写出集合A 、B 、C.
(){}2,1,C x y y x x A ==-∈
第I卷(选择题) 评卷人得分 一、选择题 已知集合A={a﹣2,2a2+5a,12},﹣3∈A,则a的值为() A.﹣1 B.C.D. 2. 集合{x∈N*|x﹣3<2}的另一种表示法是() A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 3. 集合{x∈N|x<5}的另一种表示法是() A.{1,2,3,4} B.{0,1,2,3,4} C.{1,2,3,4,5} D.{0,1,2,3,4,5} 4. 下列集合中表示空集的是() A.{x∈R|x+5=5} B.{x∈R|x+5>5} C.{x∈R|x2=0} D.{x∈R|x2+x+1=0} 5. 下列各组对象中不能形成集合的是() A.高一数学课本中较难的题 B.高二(2)班学生家长全体 C.高三年级开设的所有课程 D.高一(12)班个子高于的学生 6.设,集合,则() A .1B. C.2D.答案: C 7. 方程组的解集是() A.(2,1)B.{2,1} C.{(2,1)} D.{﹣1,2} 8.集合{x∈N|x﹣3<2},用列举法表示是() A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 9.设不等式3﹣2x<0的解集为M,下列正确的是() A.0∈M,2∈M B.0?M,2∈M C.0∈M,2?M D.0?M,2?M 10.已知集合A={1,2,3},则B={x﹣y|x∈A,y∈A}中的元素个数为()
A.9 B.5 C.3 D.1 11.若1∈{2+x,x2},则x=() A.﹣1 B.1 C.﹣1或1 D.0 12.已知x∈{1,2,x2},则有() A.x=1 B.x=1或x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=1或x=2 13. 下列四个集合中,是空集的是() A.{?} B.{0} C.{x|x>8或x<4} D.{x∈R|x2+2=0} 14.已知A={x|3﹣3x>0},则有() A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.﹣1?A 15.已知集合A={x|x2﹣1=0},用列举法表示集合A=()A.{1} B.{﹣1} C.(﹣1,1) D.{﹣1,1} 16.已知集合A={1,a,a﹣1},若﹣2∈A,则实数a的值为( ) A.﹣2 B.﹣1 C.﹣1或﹣2 D.﹣2或﹣3 17.下列关系式中,正确的是( ) A.∈Q B.{(a,b)}={(b,a)} C.2∈{1,2} D.?=0 18.已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式错误的是( ) A.0∈A B.?A C.﹣1?A D.6∈A 19.设A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则B的元素个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 20.下面四个命题正确的是() A.10以内的质数集合是{0,2,3,5,7} B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2} C.方程x2﹣2x+1=0的解集是{1,1} D.0与{0}表示同一个集合 21.下面给出的四类对象中,构成集合的是() A.某班个子较高的同学B.长寿的人 C.的近似值D.倒数等于它本身的数 下列命题正确的是() A.很小的实数可以构成集合 B.集合{y|y=x2﹣1}与集合{(x,y)|y=x2﹣1}是同一个集合 C.自然数集N中最小的数是1 D.空集是任何集合的子集 23.下面各组对象中不能形成集合的是()
集合及集合的表示 【学习目标】 1.了解集合的含义,会使用符号“∈”“?”表示元素与集合之间的关系. 2.能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如常用数集、解集和一些基本图形的集合等. 【要点梳理】 集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用. 要点一:集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集. 要点诠释: (1)对于集合一定要从整体的角度来看待它.例如由“我们班的同学”组成的一个集合A,则它是一个整体,也就是一个班集体. (2)要注意组成集合的“对象”的广泛性:一方面,任何一个确定的对象都可以组成一个集合,如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象;另一方面,就是集合本身也可以作为集合的对象,如上面所提到的集合A,可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合B的元素. 3.关于集合的元素的特征 (1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则x或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性:集合中的元素的次序无先后之分.如:由1,2,3组成的集合,也可以写成由1,3,2组成一个集合,它们都表示同一个集合. 要点诠释: 集合中的元素,必须具备确定性、互异性、无序性.反过来,一组对象若不具备这三性,则这组对象也就不能构成集合,集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据.解决与集合有关的问题时,要充分利用集合元素的“三性”来分析解决,也就是,一方面,我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”;另一方面,问题被解决之时,应注意检验元素是否满足它的“三性”. 4.元素与集合的关系: (1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a∈A ? (2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作a A 5.集合的分类 (1)空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作:?. (2)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集. 6.常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集),记作N 正整数集,记作N*或N + 整数集,记作Z 有理数集,记作Q 实数集,记作R 要点二:集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合. 1.自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法.如:大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
第一章 准备知识 §1.1 集合与符号 一、集合 1.定义:由确定的一些对象汇集的总体称为集合; 组成集合的这些对象被称为集合的元素. 2.表示:用大写字母A 、B 、C …表示集合; 用小写字母a 、b 、c …表示集合的元素. x 是集合E 的元素,记为E x ∈(读作:x 属于E ); y 不是集合E 的元素,记为E y ?(读作:y 不属于E ). 不含任何元素的集合称为空集合,记作Φ 3.集合间的关系 (1)子集合:如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素,那末我们就说E 是F 的子集合,简称为子集,记为 (F E ?读作E 包含于F ), 或者 E F ?(读作F 包含E ). (2)相等:如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素,并且集合F 的任何元素也都是集合E 的元素(即F E ?并且E F ?),那末我们说集合E 与集合F 相等,记为 F E =. 我们约定:空集合Φ是任何集合E 的子集,即 Φ?E . 二、数集 1. N 自然数集; Z 整数集; Q ——有理数集; R ——实数集; C 把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z +,Q +和R +,显然有 N ?Z ?Q ?R ?C . 和 N ?Z +?Q +?R +. 2.区间 ——数轴上的一段所有点组成的集合