材料力学基本概念
第一章 绪论
第一节 材料力学的任务与研究对象
1、 组成机械与结构的零、构件，统称为构件。构件尺寸与形状的变化称为变形。
2、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失
的变形，称为塑性变形或残余变形。 3、 在一定外力作用下，构件突然发生不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。 4、 保证构件正常或安全工作的基本要求：a 强度，即抵抗破坏的能力；b 刚度，
即抵抗变形的能力；c 稳定性，即保持原有平衡形式的能力。
5、 材料力学的研究对象：a 一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，
称为杆件；b 一个方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件，成为板件，平分板件厚度的几何面，称为中面，中面为平面的板件称为板，中面为曲面的板件称为壳。
6、 研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、
刚度和稳定性分析的基本理论与方法。
第二节 材料力学的基本假设
1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。
2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同
3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第三节 内力与外力
1、 外力：⑴按作用方式分①表面力②体积力⑵按作用时间分①动载荷②静载荷
2、 内力：构件内部相连个部分之间有力的作用。
3、 内力的求法：截面法
4、 内力的分类：轴力N F ；
剪力S F ；扭矩X M ；弯矩Y M ，Z M
5、 截面法求内力的步骤：
①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力
第四节 应力
1、 K 点的应力：0lim
A F
p A ?→?=?；正应力：N 0lim A F A σ?→?=?；切应力：S 0lim A F A
τ?→?=?；
22p στ=+
2、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，
方向均指向或离开交线。
第五节 应变
1、 正应变：0lim
ab ab
ab
ε→?=。正应变是无量纲量，在同一点不同方向正应变一般不
同。
2、 切应变：tan γγ≈。切应变为无量纲量，切应变单位为rad 。 第六节 胡克定律
1、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量
2、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
第一节 引言
1、 杆件受力特点：轴向载荷，即外力或其合力沿杆件轴线
2、 杆件变形特点：轴向拉伸或压缩 第二节 拉压杆的内力、应力分析
1、 轴力符号规定：拉为正，压为负
2、 轴力图（两要素为大小、符号）
3、 拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。即，横
截面上没有切应变，正应变沿横截面均匀分布N
F A
σ=
4、 材料力学应力分析的基本方法：①几何方程：const ε=即变形关系②物理方
程：E σε=即应力应变关系③静力学方程：N A F σ?=即内力构成关系
5、 N
F A
σ=
适用范围：①等截面直杆受轴向载荷（一般也适用于锥角小于5度的变截面杆）②若轴向载荷沿横截面非均匀分布，则所取截面应远离载荷作用区域
6、 圣维南原理（局部效应原理）：力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范
围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺寸 7、 拉压杆斜截面上的应力：
0cos /cos N N
F F p A A αασαα
=
==；20cos cos p αασασα
==，0
sin sin 22
p αασταα
==
；
0o α=，max 0σσ=；45o α=，0
max 2
στ=
第三节 材料拉伸时的力学性能
1、 圆截面试件，标距l=10d 或
l=5d ；矩形截面试件，标距
11.3l A =或 5.65l A =
2、 材料拉伸时经过的四个阶段：
线弹性阶段，屈服阶段，硬
化阶段，缩颈阶段
3、 线（弹）性阶段：E σε=；变形很小，弹性；p σ为比例极限，e σ为弹性极
限
4、 屈服阶段：应力几乎不变，变形急剧增大，含弹性、塑性形变；现象是出现滑
移线；s σ为屈服极限
5、 硬化阶段：使材料继续变形需要增大应力；b σ为强度极限
6、 缩颈阶段：现象是缩颈、断裂
7、 冷作硬化：预加塑性变形使材料的比例极限或弹性极限提高的现象（考虑材料
卸载再加载的σε-图）
8、 材料的塑性或延性：材料能经受较大的塑性变形而不被破坏的能力；延展率：
100%l l
δ?=
?，
延展率大于5%的材料为塑性材料 9、 断面收缩率1
100%A A A
ψ-=
?，1A 是断裂后断口的横截面面积 10、
e ε为塑性形
变，p ε为弹性形变
第四节 材料拉压力学性能的进一步研究
1、 条件屈服极限0.2σ：对于没有明显屈服极限的材料，工程上常以卸载后产生残余应变为0.2%的应力作为屈服强度，叫做名义屈服极限。
2、 脆性材料拉伸的应力—应变曲线：断口与轴线垂直
3、 塑性材料在压缩时的力学性能（低碳钢）：越压越扁
4、 脆性材料在压缩时的力学性能（灰口铸铁）：压裂，
断口与轴线成45度角；可以看出脆性材料的压缩强度极限远高于拉伸强度极限
第五节 应力集中与材料疲劳
1、 实际应力与应力集中因数：
max
n
K σσ=，其中，
max σ为最大局部应力，n σ为名义应力
2、 疲劳破坏：在交变应力的作用下，构件产生可见裂
纹或完全断裂的现象
1灰口铸铁拉伸力学性能
3、 疲劳破坏与①应力大小②循环
特征③循环次数有关；S —N 图，
r σ为持久极限
4、 应力集中对构件强度的影响：
⑴静载荷，对于脆性材料，在
max σ=b σ处首先被破坏；对于
塑性材料，应力分布均匀化⑵疲劳强度问题：应力集中对材料疲劳强度影响极大
第六节 失效、许用应力与强度条件
1、 失效：断裂，屈服或明显的塑性变形
2、 工作应力：构件实际承载所引起的应力
3、 许用应力：构件工作应力最大的允许值[]σ，[]u
n
σσ＝
，其中n 为安全因数，
n 〉1，一般的，s n 取1.5—2.2，b n 取3.0—5.0，u σ为极限应力（强度极限
或屈服极限） 4、 强度条件：[]N max max
A F σσ??
≤
???＝ 5、 工程设计当中的等强度原则
第七节 连接部分的强度计算
1、 剪切强度条件：
[]s
F A
τ≤，对受拉铆钉，A dh π= 2、 挤压强度条件：[]b
bs,max bs bs
F A σσ=
≤，受压面为圆柱面时，A d δ=即圆柱面的投影面积
第三章 轴向拉压变形
3低碳钢的压缩力学性能 2灰口铸铁的压缩力学性能
第一节 拉压杆的变形与叠加原理
1、 拉压杆的轴向变形与胡克定律：N F F A A σ==，l
l ε?=，
E σε=?N
F l l EA ?= 2、 EA 为拉压刚度
3、 拉压杆的横向形变：1b b b ?=-，b
b
ε?'=，一般为负 4、 泊松比：εμε
'
=-
，对于各向同性材料，00.5μ≤≤，特殊情况是铜泡沫，0.39μ=-
5、 ()
21E
G μ=
+，也就是说，各向同性材料独立的弹性常数只有两个
6、 叠加原理：⑴分段叠加：①分段求轴力②分段求变形③求代数和Ni i i i
F l l E A
??=
?∑⑵分载荷叠加：几组载荷同时作用的总效果，等于各组载荷单独作用产生效果
的总合。
7、 叠加原理适用范围：①线弹性（物理线形，即应力与应变之间的关系）②小变
形（几何线形，即用原尺寸进行受力分析）
第二节 桁架节点位移
分析步骤：①平衡方程求各杆轴力②物理方程求各杆变形③切线代圆弧，求节点位移
第三节 拉压与剪切应变能
1、 在外载荷作用下，构件发生变形，载荷在相应位移上作了功，构件变形因此而
储存了能量，且遵循能量守恒
2、 轴向拉压应变能2
F W ?
?=（缓慢加载），222N N F l F l V W EA ε??===。注意：
对于非线弹性材料，以上不成立。 3、 单向受力情况：2
2
dxdz dy
dV dxdydz εσεσε
?=
=
，拉伸应变能密度为
2
v εσε
=
。纯剪切情况：2
2
dxdz dy
dV dxdydz ετγτγ
?=
=
，剪切应变能密度
为2
v ετγ
=
4、 用应变能解题：①不用通过画变形图来确定节点位移②只能求解沿载荷作用线
方向的位移③同时作用多个载荷时，无法求载荷的相应位移
第四节 简单拉压静不定问题
1、 静定问题是由平衡条件即可解出全部未知力的问题；静不定度=未知力数—有
效平衡方程数
2、 静不定问题的求解方法：补充变形协调方程
3、 关于变形图的画法：①若能直接判断出真实变形趋势，则按此画变形图②若不
能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形图即可③对于不能判断出真实变形趋势的情况，一般可设各杆都是拉伸变形，即内力为正（设正法），若计算结果为负，则说明真实方向与所设方向相反
第五节 热应力和预应力
1、 热应力：因温度变化在构件内部产生的应力
2、 预应力：由于实际杆长与设计尺寸不同，当结构不受外力时已经存在的应力
第四章 扭转
第一节 引言
1、 内力分析仍用截面法，扭矩矢量离开截面为正
2、 轴的动力传递：P M ω=，kW N m
r /min
9549
P M n ?=
第二节 圆轴扭转横截面上的应力
1、 扭转应力问题是静不定问题
2、 变形几何方程：d dx
ρ?
γρ
=
，其中，ρ是距轴线的径向距离，ργ是楔形微体在ρ处的矩形平面的切应变，是个角度，d ?是角bO2b ’ 3、 物理方程：横截面上ρ处的切应力为
d dx
G G ρρτγ?ρ
== 4、 静力学方面：圆轴扭转切应力一般公式P
T I ρρ
τ=
，P I 为极惯性矩2P A
I dA ρ=?
5、 最大扭转切应力：max /P P TR T
I I R τ=
=，定义抗扭截面系数P P I W R
= ，max P
T
W τ=
6、 适用范围：①因推导公式时用到了剪切胡克定律，故材料必须在比例极限范围
内②只能用于圆截面轴，因为别的形状刚性平面假设不成立 7、 关于极惯性矩和抗扭截面系数：
44
22
2
2
232
()D
d p A
dA d I D d ρρπρρπ
=
=?-=??，442
16(/)
p p D W D d D
I π-=
=
，
或者有时提出一个D ，令d
D
α=
第三节 圆轴扭转破坏与强度条件
1、 扭转极限应力u τ对脆性材料来说是扭转强度极限b τ，对塑性材料而言是扭转
屈服应力s τ 2、 许用切应力[]u
n
ττ=
，工作应力：max max
P T W τ??
=
???，强度条件：max max
[]P T W ττ??
=≤
??? 第四节 圆轴扭转变形与刚度条件
1、
P d T dx GI ?=，P
T d dx GI ?=，对于常扭矩等截面圆轴，相差l 距离的两截面的
相对扭转角P
Tl
GI ?=
，定义圆轴截面扭转刚度P GI 2、 许用扭转角变化率[]θ，工作时扭转角变化率
P
d T
dx GI ?=
，刚度条件为[]max
p T GI θ??
≤ ? ???，注意，一般[]θ单位为度/米 第五节 扭转静不定问题（找出变形协调条件） 第六节 非圆截面轴扭转（只讨论自由扭转）
1、 非圆截面轴，截面不保持平面，γ和
ρ不成正比，平面假设不适用
2、 矩形截面轴的扭转⑴①τ平行于截
面周边②角点处0τ=③截面长边中点有max τ⑵max 2t T T W hb
τα=
=，h 和b 分别代表矩形的长边和短边，短边
中点处的切应力1max τγτ=，
3t Tl Tl GI G hb
?β=
=，其中α，γ，β与/h b 有关，查表4-1⑶当/h b 10≥时，α和β均接近1/3，max 23T
hb
τ=
，
3
3Tl
Ghb ?=
3、 椭圆等非圆截面杆max t T W τ=
，t
Tl GI ?=，t W 和t I 与圆截面杆的量纲相同，可查附录
第七节 薄壁杆扭转（自由扭转）
1、 闭口薄壁杆的扭转应力：①切应力的方向与中心线平行，且沿壁厚均布②
T dT ds ρτδ==??蜒，ρ是该点离形心的距离，δ为壁厚，ds 为线微元③所
围面积2
ds ρΩ=??，2T
τδ
=
Ω，则max min 2T τδ=Ω④扭转变形t Tl GI ?=，
t Tl
I ds
δ
=
?? 2、 开口薄壁杆扭转概念①切应力沿截面周边形成环流②max
max 3
1
3n
i i
i T h δτδ
==
∑，
3
13n
i i i Tl G h ?δ==
∑③开口薄壁杆抗扭性能很差，截面产生明显翘曲
第五章 弯曲应力
第一节 引言
1、 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲
2、 受力特征是力或力矩矢量垂直于轴线，变形特征是轴线变弯
3、 以弯曲为主要变形形式的杆——梁 第二节 梁的约束与类型
可动铰支，提供一个方向的力；固定铰支提供两个方向的力；固定端提供两个方向上的力以及弯矩
第三节 剪力、弯矩方程及剪力、弯矩图
1、 截面法，求得剪力S F ，使分离体顺时针转为正；弯矩M 使
分离体完成凹形为正
2、 ①求支反力②建立坐标③建立剪力、弯矩方程（截面法）④
画出剪力、弯矩图
3、 在集中力作用处（包括支座）剪力有突变；在集中力偶作用处（包括支座），
弯矩有突变
4、 刚架的内力分析：刚架受轴力、剪力和弯矩作用，轴力、剪力符号同前，弯矩
符号没有明确规定，画在受压一侧，分析方法还是用截面法 5、 平面曲杆内力分析，同前，但是一般用极坐标表示 第四节 剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系
1、 q 为载荷集度，S d d F q x =，S d d M
F x
=，22d d M q x =说明剪力图某点的切线斜率
等于该点处载荷集度的大小，弯矩图某点的切线斜率就等于该点处的剪力大小，
该截面处载荷集度的正负决定弯矩图某点的凹凸性，如图所示
2、 q 向上为正，x 轴方向向右为正
3、 在集中力作用处，弯矩连续，剪力突变；在集中力偶作用处，剪力连续，弯矩
突变
4、 求特征点剪力、弯矩的方法：⑴截面法是基本方法⑵面积法（积分法）由
()S
dF q x dx
=有0()x S F q x dx C =+?，
即x 左边分布载荷的面积加x 左边的集中载荷（包括支反力），q 、F 向上为正；由S dM
F dx
=有0x S M F dx D =+?，即
x 左边剪力图的面积加x 左边集中力偶（包括支反力偶），M 顺时针为正
5、 利用微分关系快速画剪力、弯矩图口诀：剪力图口诀“跟着箭头走——先求支反力，从左往右去”，弯矩图口诀“根据剪力图，两点对一段；若遇到力偶，顺上逆下走”
第六章 弯曲内力
第一节 引言
1、 横截面上内力与应力的关系：
A
M ydA σ=??
2、 中性层和中性轴的概念
3、 几何方程：yd y dx d θερθρ
?=
== 4、 物理方程：y
E E
σερ
==
5、 静力学方程：由
A
y dA M σ=?
有
2A
E
y dA M ρ
=?
，定义2z A
I y dA =?，可确定中性层的曲率半径
1
z
M
EI ρ
=
6、 由上得z My I σ=
，则有max max max
/z z My M
I I y σ==，定义抗弯截面系数
z z I W y
=
，则max z M W σ=
7、 两种典型的抗弯截面系数：矩形截面26
z bh W =，圆截面3
32z d W π=
第二节 极惯性矩与惯性矩
1、 静矩：面积对轴的矩，z A
S ydA =
?
，
y A
S zdA =?，对于均质等厚的板，
z c S y A =?，y c S z A =?，即面积乘形
心到轴的距离
2、 组合截面的静矩与形心：z
S 231123
c c c y A y A y A =?+?+?，
1
1
i
n
n
i
c i
z i i c S
y
A S
y A
A
A
==?==
=
∑∑；对于缺口截面，()()
整孔z z z S S S =-，
()()
()()
整孔整孔z z c S S y A A -=-
3、 （轴）惯性矩：2z A
I y dA =
?
，2y A
I z dA =?
4、 惯性矩的平行轴定理：z I 2
0z I a A =+
5、 组合截面的惯性矩：z I 1
n
i z i I
==
∑，0
21
1
()n n
i i z z z i i i i I I I
a A ===
=+∑∑
6、 极惯性矩：截面对某点的矩2
=?
P I A dA ρ；对圆截面4
32
=
P d I π，对空心圆
截面4
4132
=
-()P D I πα，对薄壁圆截面30
2=P I R πδ
第三节 弯曲切应力
1、 梁在非纯弯曲段，横截面上的弯曲切应力平行于侧边或剪力，沿宽度均匀分布
2、 ?=
?()
()S z z F S y I b
ωτ，其中=?()z ydA S ωω代表y 处横线一侧的部分截面（面
积为ω）对z 轴的静矩，对于矩形截面，()
z S ω22
24=-()b h y ，312
=z bh I ，223412=
-()()S F y y bh h τ，则3322=
=max S S
F F bh A
τ 3、 工字梁的弯曲切应力分布如图。y 处横线下
的截面是由下翼缘与部分腹板所组成，该截面队中性轴z 的静矩为
222
20()()()24424
z h b h h S y δω=-+-，δ为
腹板厚度，腹板上y 处的弯曲切应力为
22220()[()(4)]8z Fs
y b h h h y I τδδ
=
-+-，可见，腹板上弯曲切应力沿腹板高度成抛物线状分布，在中型周处弯曲切应力最大，为,max
22max 0[()]8z z z FsS Fs
bh b h I I τδδ
δ
=
=
--，在腹板与翼缘交接处切应力最小，为22min 0()8z Fs
bh bh I τδ
=
-，沿翼缘侧边的切应力较小，一般不予考虑 4、 盒形薄壁梁的弯曲切应力分布如图。最大弯曲切
应力仍在中性轴上，max 2Fs
A
τ=
，A 为横截面面积
5、 一般对称薄壁梁的弯曲切应力平行于中心线的
切线，且沿壁厚均匀分布 6、 剪流的概念：()
()()s z z
F S q s s t I ωτ==
，利用剪流的概念，可以形象地确定τ的方向
7、 弯曲正应力与弯曲切应力比较：
max max 26z M Fl W bh σ=
=，max 32F
bh τ=，max 2
max
624()3Fl bh l bh F h στ?==?，可见薄壁截面梁和短粗梁弯曲切应力和正应力大小相差不大，而细长非薄壁梁的最大弯曲
正应力远大于最大弯曲切应力
第四节 梁的强度条件
1、 梁危险点的应力状态如图，图4为实心与非薄壁截面
梁，图5为薄壁截面梁
2、 弯曲正应力强度条件：max max
[]z M W σσ??
=≤
??? 3、 弯曲切应力强度条件：,max max
max
[]S z z F S I ττδ??=≤ ???
4、 梁强度问题的分析步骤：①内力分析，确定危险截面
②应力分析，确定危险点③根据强度条件进行校核 第五节 梁强度的合理设计
1、 梁的合理截面
形状：应将尽量多的材料放在远离中性轴的位置。塑性材料一般关于中性轴对称；对于塑性材料，一般
c t t [][]
c y y σσ=，t y 与c y 分别代表最大拉应力与最大压应力所在点距中性轴的距离
2、 变截面梁与等强度梁，横截面沿梁轴变化的梁称为变截面梁，各个截面具有同
样强度的梁称为等强度梁，弯曲等强条件
()
[]()
M x W x σ=，剪切等强条件S 3()
[]2()
F x bh x τ=
3、 合理安排约束力，如图：
图 4
图 5
4、 合理安排加载方式，尽量分散加载
5、 加配重
第六节 弯拉（压）组合与截面核心
1、 弯拉（压）组合时，将弯曲正应力和轴力引起的正应力分别分析再合并，若轴
力有偏心，则先将轴力向形心化简
2、 脆性材料不宜受拉，脆性材料受偏心压缩时，应保证横截面上不出现拉应力，
而要使横截面上只存在压应力，必须对偏心压应力作用点进行限制，使其位于一定范围内，此范围称为截面核心
3、 截面核心的求法：中性轴方程10y z
y
z
e y
e z A I I ++=，截面边界方程(,)0
f y z =，
截面边界上一点的曲线斜率dy
k dz
=
第七章 弯曲变形
第一节 引言
梁变形的表示方法：形心轴的线位移为挠度ω，截面绕形心轴的角位移
为转角θ，变弯的轴线叫做挠曲轴，挠曲轴方程()x ωω=，梁的转角一
般很小'/d dx θθω=≈
第二节 梁变形的基本方程与积分法求位移
1、 在建立纯弯曲正应力公式时，曾得到
用中性层曲率表示的弯曲变形公式()
1
M x EI
ρ=，该式也可用于一般非纯弯曲，
则该式变为
()1
()M x x EI ρ=，由高等数学可知，平面曲线()x ωω=上任意一点的曲率为
()
32
21
()
1[()]w x w x ρ
''=±
'+，有
()
()
32
2()
1[()]M x w x EI
w x ''=±
'+，即挠曲轴微分方程，因为梁的变形一般很小，故21w '<<，即211w '+≈，则挠曲轴微分方程可简化为
()
M x w EI
''=
2、 坐标系如图，
弯矩M 与''ω同号，且x 轴的方向无影响 3、 积分法算梁变形：()M x w EI ''=
，
()M x dw
dx C dx EI
θ==+?，()
M x w dx Cx D EI
=++??
4、 位移边界与连续条件：①固定铰支和可动铰支处， = 0ω②固定端出
= 0=0ωθ③连续条件即分段处挠曲轴应该满足的连续光滑条件，即ω左=ω右
5、 挠曲线大致形状：根据弯矩图定凹凸性，弯矩图过零点为拐点，支座限制支座
处的位移
第三节 确定梁位移的叠加法
1、 叠加法的适用范围：应力不超过比例极限；小变形
2、 叠加法可以分载荷叠加也可以分段叠加
3、 分段叠加用的是逐段刚化法或假象固定法 第四节 简单静不定梁
1、 分析方法：解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满
足位移边界条件（相当系统即左拥有原静不定梁载荷与多余支反力的基本系统） 2、 步骤：①判断静不定数（确定多余约束数）②解除多余约束，建立相当系统③
列出多余约束处的变形协调条件（位移边界条件）④结合平衡方程，求多余支反力
第五节 梁的刚度条件与合理刚度设计
1、 刚度条件[]max w δ≤
，[]max θθ≤
2、 梁的刚度设计与强度设计的不同点：①强度是局部量，刚度是整体量，如小孔，
显著影响强度但对刚度影响甚微，辅梁和等强度梁是增加梁的强度的有效手段，
但增加刚度必须整体加强②强度与材料的s σ和b σ有关，但刚度与E 相关③刚
度对梁的跨度更敏感
3、 提高梁强度的主要措施：①减小M 的数值，如合理安排梁的约束，改善梁的
受力情况，适当增加梁的约束，变静定梁为静不定梁②提高/I A ③减小跨度l ④提高材料的弹性模量⑤整体提高EI
第八章 应力状态分析
第一节 引言
1、 应力状态：通过构件内一点，所作各
微截面的应力状况，称为该点处的应力状态
2、 应变状态：构件内一点在各个不同方
位的应变状况，称为该点处的应变状态
第二节 平面应力状态分析
1、 平面应力状态就是仅在微体四个侧面
作用有应力，且其作用线均平行于微体不受力表面的应力状态
2、 cos2sin22
2
x y
x y
x ασσσσσατα+-=
+
-，sin2cos22
x y
x ασστατα-=
+，
其中，σ以拉伸为正，τ使微体顺时针转
为正，α以X 轴为始边，指向沿逆时针转为正
3、 上述关系建立在静力学基础上，与材料性
质无关
第三节 应力圆
1、 将上节公式改写成如下形式：
cos2sin22
2
x y
x y
x ασσσσσατα
+--
=
-，
0sin2cos22
x y
x ασστατα
--=
+，平方相加，得
2
2
22()(
)2
2
x y
x y
x αασσσσσττ+--
+=+
2、 由上式得出在σ—τ坐标下的圆：圆心坐标
02
（，）x y
σσ+，半径
2
2(
)2
x y x R σσ
τ-=+
3、 应力圆的绘制：做出x 截面的对应点(,)x x D στ，y 截面的对应点(,)y y E στ，
则可确定应力圆，在应力圆上求α截面上的应力，将半径CD 沿方位角α的转向旋转2 α到CH 处，所得到H 点即表示α截面的应力状态
第四节 平面应力状态的极值应力与主应力
1、 平面应力状态的极值应力：2
max 2
min 22x y x y x σσσσστσ+-???=±+? ???
?，最大正
应
力
的
方
位
角
0min max tan x x
x y
ττασσσσ=-
=-
--，
2
max 2
min 2x y x σστττ-???=±+? ???
?，最大正应力的两平面互垂，最大切应力的两平面也互垂，且二者差45o
2、 主平面是切应力为0的截面，主平面微体是相邻主平面互垂，构成一正六面微
体。主应力是主平面上的应力，通常按其代数值，123 σσσ≥≥
3、 纯剪切状态下，t,max στ=，且分别位于45α=-o 和45o 截面上。故圆轴扭转
时滑移和剪切发生在max τ截面，而断裂发生在max α截面（45o ）
第五节 复杂应力状态的最大应力 1、 三向应力圆：三组特殊的平面应力对应
于三个应力圆，任意斜截面的应力值位于阴影区内
2、 任意斜截面的应力为：
222123cos cos cos n σσασβσγ
=++，其中α、β、γ分别是与1σ、2σ、
3
σ的夹角，
2222222123cos cos cos n n τσασβσγσ=++-
3、 最大应力：max 1σσ=，min 3σσ=，()max 131
2
τσσ=
-，max τ位于与1σ和3σ均成45o
的截面
第六节 平面应变状态分析
1、 已知应变x ε，y ε和xy γ，求α方向的αε和αγ，方向角以X 轴为始边，逆时针
转为正，左下直角增大之γ为正 2、 cos2-
sin22
2
2
x y
x y
xy
αεεεεγεαα+-=
+
，
sin2cos22
2
2
x y
xy
α
εεγγαα-=
+
，
且90ααγγ+=-o ，即互垂方向的切应变方向相反，大小相等
3、 以上公式建立在几何关系基础上，所得规
律适用于任何小变形问题，与材料的力学特性无关
4、 平面应变转轴公式与平面应力转轴公式
有形式上的相似性，如下：
cos2sin22
2
x y
x y
x ασσσσσατα+-=+
-
sin2cos22
x y
x ασστατα-=
+
cos2sin22
2
2
x y
x y
xy
αεεεεγεαα+-=+
-
α
εεγγαα-=
+
sin2cos22
2
2
x y
xy
可见σε~x x ，σε~y y ，γτ~
2
xy
x ，则应力圆~应变圆
5、 应变圆圆心位于εε+(
,0)2
x y
，半径εεεγ-??
??
=+
? ??
???
2
2
2
2x y xy R
6、 最大正应变()εεεε
εγε+=±
-+2
max
2
min 1}22
x y x
y xy
，最大正应变的方位角为
()
γγαεεεε=-=-
--0min min /2tan 2xy xy
x x ，最大切应变
()γε
εγ=
-+2
2
max x
y xy
7、 切应变为0的方位之相应正应变，称为主应变，主应变位于互垂方位，
εεε≥≥123
第七节 各向同性材料的应力、应变关系
1、 广义胡
克
定
律
：
μσσμσσμσμσμσσμσεεεγτγτγτ=
-
-
=
-
-
=
-
-
===,,/,/,/y
y
y
x
z
x
z
z
x
x y z xy xy
yz yz xz xz E
E E E E
E
E
E
E
G G G
2、 以上结果成立条件：线弹性，小变形，各向同性
3、 主应力与主应变的关系：
εσμσσμσμσσσ=
-+=+-++1123112311
[()][(1)()]E E εσμσσμσμσσσ=-+=+-++2213221311
[()][(1)()]E E εσμσσμσμσσσ=
-+=+-++3312221311
[()][(1)()]E E
可见，最大与最小主应变分别发生在最大和最小主应力方向 4、 各向同性材料弹性常数之间的关系：μ=+2(1)
E
G
第八节 复杂应力状态下的应变能和畸变能
1、 三向应力状态下的应变能密度：()1122331
2
ευσεσεσε=
++，根据广义胡克定
律
，
微
体
的
应
变
能
密
度
为
()222
123123213122E ευσσσμσσσσσσ??=
++-++?
?，对于非主应力微体，应变能密度为()1
2
x x y y z z xy xy yz yz zx zx ευσεσεσετγτγτγ=+++++
2、 微体的体积变化率为体应变，()312av E μσθ-=，其中，123
3
av σσσσ++=
3、 在外力作用下，微体的体积和形状一般发生变化，研究的相应的应变能为体积
改变能和畸变能（形状改变能） 4、 应力偏量的概念：11av σσσ=-，22av σσσ=-，33av σσσ=-，其平均应
力为()1231
303
av av σσσσσ=
++-= 5、 在平均应力av σ的作用下，微体形状不变，仅体积改变，体积改变能密度为：
()2
123126V E
μυσσσ-=
++ 6、 在应力偏量的作用下，微体的体积不变，形状发生改变，则畸变能密度为
()()()222
12233116d E μυσσσσσσ+??=
-+-+-?
? 7、 d V
ευυυ=+，即应变能密度等于体积改变能密度与畸变能密度之和
第九章 复杂应力状态强度问题
第一节 引言
1、 研究目：利用简单应力状态实验结果，建立复杂应力状态强度条件
2、 两类破坏形式：对于脆性材料而言是断裂，对于塑性材料是屈服，故有两类强
度理论，断裂强度理论和屈服强度理论
第二节 关于断裂的强度理论
1、 第一强度理路（最大拉应力理论），最大拉应力理论认为，引起材料断裂的主
要因素是最大拉应力，不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应力，材料即发生断裂。实验表明，脆性材料在二向或三向拉伸断裂时，最大拉应力理论与实验结果相当接近，当存在压应力时，只要最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多，最大拉应力理论与实验结
果也大致相近。断裂条件为：1b σσ=，则强度条件为：[]11r σσσ=≤ 2、 第一强度理路的应用：铸铁试件拉伸断裂[]max
max F A
σσ=
≤，铸铁试件的扭转断裂[]max max P
M
W στσ==
≤ 3、 第二强度理路（最大拉应变理论），该理论认为，引起材料断裂的主要因素是
最大拉应变，则断裂条件为11u εε=，不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变，材料即发生断裂。复杂应力状态下最大拉应变为11
231
[()]E εσμσσ=
-+，而材料在单向拉伸断裂时的最大拉应变则为1b
u E
σε=，则断裂条件为()123b σμ
σσσ-+=，则强度条件
为()[]123σμ
σσσ-+≤，该强度理论适用
于非金属脆性材料，二向拉压，且压应力大于拉应力
4、 第一强度理论和第二强度理论的极限曲线如图： 第三节 有关屈服的强度理论
1、 第三强度理论（最大切应力理论），该理论认为
引起材料屈服的主要原因是最大切应力，屈服
条件是max s ττ=，不论材料出于何种应力状态，只要最大切应力达到材料单向拉伸时的最大切
应力，材料即发生屈服，复杂应力状态下的最大切应力13
max 2
σστ-=
，材料
单向拉伸屈服时的最大切应力则为
2
s
s στ=
，则屈服条件是
13()/2/2－s σσσ=，相应的强度条件是[]313－r σσσσ=≤
2、 第三强度理论的适用范围：轴类零件，受内压之钢管常用
3、 第四强度理论（畸变能理论），该理论认为，引起材料屈服的主要因素是畸变
能密度，不论材料出于何种应力状态，只要畸变能密度d v 达到材料单向拉伸屈服时的畸变能密度ds v ，材料即发生屈服，则屈服条件
()()()2222
122331(1)(1)[]63－－－＝s E E
μσμσσσσσσ++++，强度条件()()()
[]22
2412233112
－－－r σσσσσσσσ=
++≤
4、 第三强度理论和第四强度理论的极限曲线如图：
第十章 压杆稳定问题
第一节 引言
1、 刚性杆单自由度体系平衡的三种类型：偏离力矩
e M Py PL θ==，恢复力矩2r M kyL kL θ==，
①e r M M f ，P kL f ，直线平衡状态不稳定，称为失稳，又叫作屈曲②e r M M p ，P kL p ，直线平衡状态稳定③e r M M =，P kL =，临界状态，P
为临界载荷，临界载荷就是使压杆在直线状态下的稳定由稳定变为不稳定的轴向压力
2、 计算临界载荷的基本方法：建立临界状态平衡方程，
确定临界载荷
第二节 细长压杆的临界载荷
1、 临界载荷的欧拉公式，通用公式为22()cr EI P l πμ=，l
μ为相当长度，μ为长度系数。对于两端铰支细长压杆，1μ=；对于一端固定另一端自由的细长压杆，
2μ=；
对于一端铰支一端可动铰支，和一端固定另一端轴向移动的细长压杆，1
2
μ=
；对于一端固定，另一端可动铰支，0.7μ= 第三节 中、小柔度杆的临界应力
1、 ()22cr cr F πE I σA A
μl =
=?，其中，μl 反映约束条件，与杆长度，约束条件有关，与材料性质无关
材料力学概念及基础知识
一、基本概念 1 材料力学的任务是：研究构件的强度、刚度、稳定性的问题，解决安全与经济的矛盾。 2 强度：构件抵抗破坏的能力。 3 刚度：构件抵抗变形的能力。 4 稳定性：构件保持初始直线平衡形式的能力。 5 连续均匀假设：构件内均匀地充满物质。 6 各项同性假设：各个方向力学性质相同。 7 内力：以某个截面为分界，构件一部分与另一部分的相互作用力。 8 截面法：计算内力的方法，共四个步骤：截、留、代、平。 9 应力：在某面积上，内力分布的集度(或单位面积的内力值)、单位Pa。 10 正应力：垂直于截面的应力(σ) 11 剪应力：平行于截面的应力( ) 12 弹性变形：去掉外力后，能够恢复的那部分变形。 13 塑性变形：去掉外力后，不能够恢复的那部分变形。 14 四种基本变形：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 二、拉压变形 15 当外力的作用线与构件轴线重合时产生拉压变形。 16 轴力：拉压变形时产生的内力。 17 计算某个截面上轴力的方法是：某个截面上轴力的大小等于该截面的一侧各个轴向外力的代数和，其中离开该截面的外力取正。 18 画轴力图的步骤是： ①画水平线，为X轴，代表各截面位置； ②以外力的作用点为界，将轴线分段； ③计算各段上的轴力； ④在水平线上画出对应的轴力值。（包括正负和单位） 19 平面假设：变形后横截面仍保持在一个平面上。 20 拉（压）时横截面的应力是正应力，σ=N/A 21 斜截面上的正应力：σα=σcos2α 22 斜截面上的切应力： α=σSin2α/2 23 胡克定律：杆件的变形时与其轴力和长度成正比，与其截面面积成反比，计算式△L=NL/EA（适用范围σ≤σp） 24 胡克定律的微观表达式是σ=Eε。 25 弹性模量（E）代表材料抵抗变形的能力（单位Pa）。 26 应变：变形量与原长度的比值ε=△L/L（无单位），表示变形的程度。 27 泊松比（横向变形与轴向变形之比）μ=∣ε1/ε∣ 28 钢（塑）材拉伸试验的四个过程：比例阶段、屈服阶段、强化阶段、劲缩阶段。 29 比例极限σp ：比例阶段的最大应力值。 30 屈服极限σs ：屈服阶段的最小应力值。 31 强化极限σb ：断裂前能承担的最大应力值。 32 脆、塑材料的比较： ①脆材无塑性变形，抗压不抗拉；塑材抗拉也抗压。 ②脆材对应力的集中的反应敏感，塑材不敏感。。 33 应力集中：在形状变化处，应力特别大的现象。 34 延伸率：拉断后，变形量与原长的比值(δ=△L1/L，≥5%为塑材) 35 冷作硬化：进入强化阶段后，卸载再重新加载，比例极限增大的现象。 38 极限应力σjx：失去承载能力时的应力 39 许用应力〔σ〕:保证安全允许达到的最大应力。 42 计算思路：外力内力应力。 43 超静定问题：未知力多于平衡方程个数的问题（用平衡方程不能或不能全部计算出构件的外力）。 44 计算超静定问题：除平衡方程以外，更需依据变形实际建立补充方程。 45 剪力：平行于截面的内力（Q），该截面称作剪切面。 46 单剪：每个钉有一个剪切面。双剪：每个钉有两个剪切面。 48 挤压力：两构件相互接触面所承受的压力。 三、扭转 1 外力偶矩的矢量方向与杆件的轴线重合时杆件发生（扭转）变形。杆件的两个相邻截面发生绕轴线的相对转动。 2 传动轴所传递的功P(kw)，转速n(r/min),则此外力偶矩为Me=9.549P/n(N*m)。 3 扭转变形时，杆件横截面上的内力称扭矩。表示各截面上扭矩大小的图形，称作扭矩图。 4 两正交线之间的直角的改变量（ ），称为剪应变。表示剪切变形的严重程度。 5 剪切胡克定律τ=G ，式中G称为材料剪切弹性模量。 6 薄壁扭转构件横截面上某点的剪应力 n δ，式中 为圆形横截面包围的面积，δ为该点处的壁厚。 7 Ip=∫Aρ2dA称为截面的极惯性矩。 四、弯曲应力： 1 梁弯曲时，作用线与横截面平行的内力，称为剪力。数值上等于该截面之左侧或右侧梁上各个横向外力的代数和，绕截面顺转的力为正。 2 梁弯曲时，作用面垂直于轴线的内力偶矩，称为弯矩。数值上等于该截面之左侧或右侧梁上各个外力（包括力偶）对截面力矩的代数和，使截面处产生凹变形的力矩为正。 3 无均布载荷梁段，剪力为水平直线。 无剪力（零）的梁段，弯矩为水平直线。 在集中力作用的截面，剪力图上发生转折，在集中力偶作用的截面，弯矩图上发生跃变。 在剪力为零的截面，弯矩有极大值。最大弯矩发生在Q=0 ，集中力偶两侧、悬臂梁根部和集中力的截面上。 Iz=∫Ay2dA称为截面的轴惯性矩。式中y是微面积dA到中性轴的距离。 中性轴通过截面的形心，是拉压区的分界线。 五、弯曲时的位移 1 挠度是梁弯曲时横截面的形心在垂直于梁轴线方向的位移。 2 转角是梁变形时横截面绕其中性轴旋转的角度。 六、超静定问题 1 使用静力平衡方程不能求出结构或构件全部约束力或内力的问题。 2 多余约束力 解除维持构件平衡的多余约束后，以力代替该约束对构件的作用力。 变形协调方程 多余约束力与基本力共同作用的变形满足梁的约束条件。 七、应力状态和强度理论 1 应力状态： 受力构件内部一点处不同方位截面应力的集合。 单元体：围绕构件内一点处边长为无穷小的立方体。 主平面：单元体上剪力为零的截面 4 截面核心：压力作用线通过此区域，受压杆横截面上无拉应力。 5 弯矩扭合构件选用空心圆形截面比较合理。 九、压杆稳定 1 稳定性：受压杆件保持原有直线平衡形式的能力。 2 临界力Pcr：受压杆件能保持稳定的最大压力。 9 提高稳定措施：①环形截面；②减小长度；③固定牢固。 冷拉是在常温条件下，以超过原来钢筋屈服点强度的拉应力，强行拉伸钢筋，使钢筋产生塑性变形以达到提高钢筋屈服点强度和节约钢材为目的。 冷拔-是材料的一种加工工艺，对于金属材料，冷拔指的是为了达到一定的形状和一定的力学性能，而在材料处于常温的条件下进行拉拔。冷拔的产品较之于热成型有：尺寸精度高和表面光洁度好的优点。第一章绪论 §1.1 材料力学的任务 二、基本概念 1、构件：工程结构或机械的每一组成部分。（例如：行车结构中的横梁、吊索等） 材料力学—研究变形体，研究力与变形的关系。 2、变形：在外力作用下，固体内各点相对位置的改变。(宏观上看就是物体尺寸 和形状的改变） 弹性变形—随外力解除而消失 塑性变形(残余变形)—外力解除后不能消失 刚度：在载荷作用下，构件抵抗变形的能力 3、内力：构件内由于发生变形而产生的相互作用力。（内力随外力的增大而增大） 强度：在载荷作用下，构件抵抗破坏的能力。 4、稳定性：在载荷作用下，构件保持原有平衡状态的能力。 强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力的三个方面，材料力学就是研究构件承 载能力的一门科学。 三、材料力学的任务 材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全 的构件，提供必要的理论基础和计算方法 研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。因此在进行理论分 析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。 四、材料力学的研究对象 构件的分类：杆件、板壳*、块体* 材料力学主要研究杆件﹜直杆——轴线为直线的杆曲杆——轴线为曲线的 杆 等截面杆——横截面的大小形状不变的杆变截面杆——横截面的大小或形状 变化的杆 等截面直杆——等直杆 §1.2 变形固体的基本假设 在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。在材料力学中，对变 形固体作如下假设： 1、连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质 灰口铸铁的显微组织球墨铸铁的显微组织 2、均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同 普通钢材的显微组织优质钢材的显微组织 3、各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同 （沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性材料。如木材、胶合板、纤维增 强材料等） 4、小变形与线弹性范围：认为构件的变形极其微小，比构件本身尺寸要小得多。 如右图，δ远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的 变形略去不计。计算得到很大的简化。 §1.3 外力及其分类 外力：来自构件外部的力（载荷、约束反力） 按外力作用的方式分类 体积力：连续分布于物体内部各点的力。如重力和惯性力 表面力： 分布力：连续分布于物体表面上的力。如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等 均为分布力 集中力：若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。 按外力与时间的关系分类 静载：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著，称为静 载 动载：载荷随时间而变化。如交变载荷和冲击载荷 §1.4 内力、截面法和应力的概念 内力：外力作用引起构件内部的附加相互作用力。 求内力的方法—截面法 (1)假想沿m-m横截面将杆切开(2)留下左半段或右半段(3)将弃去部分对留 下部分的作用用内力代替(4)对留下部分写平衡方程，求出内力的值。 §1.4 内力、截面法和应力的概念 为了表示内力在一点处的强度，引入内力集度,即应力的概念。 §1.5 变形与应变 1.位移：MM' 刚性位移；变形位移。 2.变形：物体内任意两点的相对位置发生变 化。 取一微正六面体 两种基本变形： 线变形——线段长度的变化角变形——线段间夹角的变化 3.应变 正应变（线应变） x方向的平均应变：切应变（角应变） 杆件的基本变形：拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲 第二章拉伸、压缩与剪切(1) §2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 受力特点与变形特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件 变形是沿轴线方向的伸长或缩短。 §2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 2、轴力：截面上的内力 由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以 称为轴力。 4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化 杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆 件的强度。 在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。根据连续性假设， 横截面上到处都存在着内力。 观察变形： 平面假设—变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。 从平面假设可以判断： （1）所有纵向纤维伸长相等（2）因材料均匀，故各纤维受力相等 （3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量 §2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时却是沿斜截面发生的 §2.4 材料拉伸时的力学性能 一试件和实验条件：常温、静载 二低碳钢的拉伸 明显的四个阶段 1、弹性阶段ob 2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力） 3、强化阶段ce（恢 复抵抗变形的能力） 4、局部径缩阶段ef 两个塑性指标: 断后伸长率断面收缩率 δ＞5%为塑性材料δ＜5%为脆性材料 低碳钢的S≈20-30% ψ≈60%为塑性材料 三卸载定律及冷作硬化 1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载 材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。 材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。 四其它材料拉伸时的力学性质 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σp0.2来表示。 对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩 现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。 拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同 三脆性材料（铸铁）的压缩 脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同 压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限 一、安全因数和许用应力 变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。 切应力强度条件：[τ]许用切应力，常由实验方法确定 第三章扭转 §3.1 扭转的概念和实例 扭转受力特点及变形特点: 杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件 轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产生相对转动。 1.材料力学就是研究构件强度、刚度、稳定性理论 2.变形性质分为弹性变形、塑性变形 3.研究内力的方法是截面法 4.表示内力密集的程度是应力 5.基本变形有：轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲 6轴力图是表示轴力与横截面积关系 7.平面假设是受轴向拉伸的杆件，变形后横截面积仍保持不变为平面，两平面相 对位移了一段距离 8.应力集中是会在其局部应力骤然增大的现象 9低碳钢的四个表现阶段弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段 10.代表材料强度性能的主要指标是屈服强度和抗拉强度 11塑性指标主要是伸长率和断面收缩率 12.5 ≥ δ%为塑性材料% 5 < δ为脆性材料 13连接杆主要有铆钉链接、螺栓链接、焊接、键连接、销轴链接 14剪切计算主要有安全计算、加工计算、运算安全计算 15焊接的对焊接和搭焊接两种，其中对焊接有对接、V型、 X型 16按照强度条件设计的构件尺寸取大值，许应用荷载取小值， 17切应力互等原理是在单元体互相垂直的平面上，垂直于两面交线的切应力数值 相等，其方向均指向或背离该交线， 18脆性材料的抗拉能力低于其抗剪能力，塑性材料的抗剪能力则低于抗拉能力 19纯弯曲是指梁横截面上只有弯矩无剪力的弯曲 20横力弯曲指的是梁横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲变形 21材料力学的基本假设连续性假设、均匀性假设、各向同性假设
材料力学第四章作业答案
4-1 试作下列各轴的扭矩图。 （a ） (b) 4-4 图示圆截面空心轴，外径D=40mm ，内径d=20mm ，扭矩m kN T ?=1，试计算mm 15=ρ的A 点处的扭矩切应力A τ以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
解：P A I T ρ?= )1(32 44απ-=D I p 又mm 20d = D=40mm 5.0==∴D d α 41244310235500)5.01(32)1040(14.3m I p --?=-???= MPa Pa I T P A 7.63107.6310 23550010151016123 3=?=????==∴--ρτ P W T =max τ 9433431011775)5.01(16 )1040(14.3)1(16--?=-???=-=απD W P a Pa W T P MP 9.84109.8410 11775101693 max =?=??==∴-τ 当2'd =ρ时 MPa Pa I T P 4.42104.4210 23550010101016123 3'min =?=????==--ρτ 4-6 将直径d=2mm ，长l=4m 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量G=80GPa ，试求此时钢丝内的最大切应力m ax τ。 解：r G ?=τ dx d R r R ?? =∴ R=mm d 12= 3331057.1414.321012101---?=???=??=?=∴l dx d R r R π? MPa Pa r G 6.125106.1251057.11080639=?=???=?=∴-τ （方法二：π?2=， l=4 ，P GI Tl =? ，324d I P π=，r Ip W p = ,l Gd W T P πτ==max ）
材料力学基本概念
变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式；轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中；扭转的概念、纯剪切的概念、薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律、切应力互等定理；静矩、惯性矩、惯性积、惯性半径、平行移轴公式、组合图形的惯性矩和惯性积的计算、形心主轴和形心主惯性矩概念；应力状态的概念、主应力和主平面、平面应力状态分析—解析法、图解法（应力圆）、三向应力圆，最大切应力、广义胡克定律、三个弹性常数E 、G 、μ间的关系、应变能密度、体应变、畸变能密度；强度理论的概念、杆件破坏形式的分析、最大拉应力理论、最大拉应变理论、最大切应力理论、畸变能理论、相当应力的概念；疲劳破坏的概念、交变应力及其循环特征、持久极限及其影响因素。 第一章 a 绪论 变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或 残余变形。 第二节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第三节 内力与外力 截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第四节 应力 1、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。 胡克定律 2、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量 3、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中 第一节 拉压杆的内力、应力分析 1、 拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。即，横截面上没有切应变，正应
材料力学作业
2-4 木架受力如图所示，已知两立柱横截面均为100mm ×100mm 的正方形。试求：（1）绘左、右立柱的轴力图；（2）求左、右立柱上、中、下三段内横截面上的正应力。 解：（1）求立柱各节点的 受力 为了求出ACEG 立柱（左 立柱）和BDFH 立柱（右立柱）中的内力和应力，首先对各杆受力进行分析如下图 2-4a 所示，并求出数值。 取AB 为研究对象，由 平衡方 程 ∑=0 )(F m A ? ， 0211=?'-?B F F ① ∑=0 Y ， 01=-'+'F F F B A
② 联合①和②解得， KN F F B A 5='='。 又由牛顿第三定律得，KN F F A A 5='=，KN F F B B 5='=。 同理可得，KN F F C C 9='=，KN F F D D 3='=；KN F F E E 4='=，KN F F F F 12='=。 （2）绘左、右立柱的轴力图 取左立柱（ACEG 立柱）为研究对象。采用截面法，画受力图如图2-4b 所示, 求得 )(5KN F N A AC -=-=； )(1495KN F F N C A CE -=--=--=；)(10495KN F F F N E C A EG -=+--=+--=。 同理又取右立柱（BDFH 立柱）为研究对象。采用截 面法求得 )(5KN F N B BD -=-=； )(235KN F F N D B BD -=+-=+-=； )(141235KN F F F N F D B FH -=-+-=-+-=。 画轴力图如图左立柱所示和如图右立柱所示。 （3）求左、 右 立柱上、中、下三段内横截面上的 正 应力
材料力学基本概念
第一章 } 第二章 绪论 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 组成机械与结构的零、构件，统称为构件。构件尺寸与形状的变化称为变形。 2、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失 的变形，称为塑性变形或残余变形。 3、 在一定外力作用下，构件突然发生不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。 4、 保证构件正常或安全工作的基本要求：a 强度，即抵抗破坏的能力；b 刚度， 即抵抗变形的能力；c 稳定性，即保持原有平衡形式的能力。 5、 材料力学的研究对象：a 一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件， 称为杆件；b 一个方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件，成为板件，平分板件厚度的几何面，称为中面，中面为平面的板件称为板，中面为曲面的板件称为壳。 6、 研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、 刚度和稳定性分析的基本理论与方法。 第二节 @ 第三节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第四节 内力与外力 1、 外力：⑴按作用方式分①表面力②体积力⑵按作 用时间分①动载荷②静载荷 2、 内力：构件内部相连个部分之间有力的作用。 3、 内 力的求法：截面法 4、 、 5、 内 力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩X M ；弯矩Y M ，Z M 6、 截 面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第五节 应力 1、 K 点的应力：0lim A F p A ?→?=?；正应力： N 0lim A F A σ?→?=?；切应力：S 0lim A F A τ?→?=?；22p στ=+ 2、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。
2015秋材料力学-答案第4次作业+课上习题(弯曲应力)2015-11-5
1. 一T 字型截面的悬臂梁的尺寸及其承载如图所示。为使梁内最大拉应力与最大压应力之比为1/2，试求：水平翼缘的宽度b 及梁横截面上的最大拉应力。 =10kN A 提示：求正应力时的单位要统一，分子单位N ，分母单位mm 解： 1). 利用形心坐标公式求翼缘宽度b 由梁的应力公式可知，梁内最大拉应力与压应力之比即为梁上下翼缘到形心轴距离之比，故可得出：1280mm,160mm y y == 由梁截面形心坐标公式，得： ()( )190 508025********* 05019050 C b y b ??-++??-= =?+? 解得：224.5mm b = 2). 求梁截面对形心轴(中性轴)的惯性矩 由平行移轴公式计算梁截面(组合)对形心轴的惯性矩 ()( ) 332 12 2 64 224.5505019050224.580251212190 190501602 10510mm z z z I I I ??=+=+??-+ +??-=? 3). 画出梁的弯矩图(左图) 由弯矩图可知，梁最大弯矩在固定端处，max 3N m 0k M =? 4). 求梁的最大拉应力 由梁正应力公式得： 33max 1,max 6 3010108022.86MPa 10510t z M y I σ???===?(在梁上缘) 2. 图示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F 。在梁的截面C-C 处下边缘上，用标距20mm s =的应变仪量得纵向伸长0.008mm s =。已知梁的跨长 1.5m,1m l a ==，弹性模量210GPa E =。试求力F 的大小。 解： 1). 求截面C-C 处下边缘的纵向应变 由应变仪所得身长量，得纵向应变：40.00841020 c s s ε-===? 2). 求截面C-C 处下边缘的应力 由胡克定律，得：942101041084MPa c c E σε-==???= 3). 画梁弯矩图 截面C-C 处弯矩：()2 c F M l a = - 4). 求力F 的大小 查表获取弯曲截面系数3141cm z W = 由：C c z M W σ=，可得：66 284101411047.4kN 1.51 F -????==-
材料力学基本概念(含答案)
材料力学基本概念 一、单项选择题 1．材料的失效模式 B 。 A 只与材料本身有关，而与应力状态无关； B 与材料本身、应力状态均有关； C 只与应力状态有关，而与材料本身无关； D 与材料本身、应力状态均无关。 2．下面有关强度理论知识的几个论述，正确的是 D 。 A 需模拟实际构件应力状态逐一进行试验，确定极限应力； B 无需进行试验，只需关于材料破坏原因的假说； C 需要进行某些简单试验，无需关于材料破坏原因的假说； D 假设材料破坏的共同原因，同时，需要简单试验结果。 3、 轴向拉伸细长杆件如图所示，__ A _。 A ．1-1、2-2面上应力皆均匀分布； B ．1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布； C ．1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布； D ．1-1、2-2面上应力皆非均匀分布。 4、塑性材料试件拉伸试验时，在强化阶段__ D ___。 A ．只发生弹性变形； B ．只发生塑性变形； C ．只发生线弹性变形； D ．弹性变形与塑性变形同时发生。 5、比较脆性材料的抗拉、抗剪、抗压性能：__ B ____。 A ．抗拉性能>抗剪性能<抗压性能； B ．抗拉性能<抗剪性能<抗压性能； C ．抗拉性能>抗剪性能>抗压性能； D ．没有可比性。 6、水平面内放置的薄壁圆环平均直径为d ，横截面面积为A 。当其绕过圆心的轴在水平面内匀角速度旋转时，与圆环的初始尺寸相比_ A ___。 A ．d 增大，A 减小； B ．A 增大，d 减小； C ．A 、d 均增大； D ．A 、d 均减小。 7、如右图所示，在平板和受拉螺栓之间垫上一个垫圈，可以提高___D __。 A ．螺栓的拉伸强度； B ．螺栓的挤压强度； C ．螺栓的剪切强度； D ．平板的挤压强度。 8、 图中应力圆a 、b 、c 表示的应力状态分别为 C A 二向应力状态、纯剪切应力状态、三向应力状态； B 单向拉应力状态、单向压应力状态、三向应力状态； C 单向压应力状态、纯剪切应力状态、单向拉应力状态； D 单向拉应力状态、单向压应力状态、纯剪切应力状态。 9．压杆临界力的大小 B ， A 与压杆所承受的轴向压力大小有关； B 与压杆的柔度大小有关； C 与压杆的长度大小无关； D 与压杆的柔度大小无关。 10．一点的应力状态如下图所示，则其主应力1σ、2σ、3σ分别为 D A 30MPa 、100 MPa 、50 MPa B 50 MPa 、30MPa 、-50MPa C 50 MPa 、0、-50MPa D -50 MPa 、30MPa 、50MPa 11. 对于静不定问题，下列陈述中正确的是（ C ）。 A 未知力个数小于独立方程数； B 未知力个数等于独立方程数 ；
材料力学B作业
第一章绪论 一、选择题 1、构件的强度是指_________，刚度是指_________，稳定性是指_________。 A. 在外力作用下构件抵抗变形的能力 B. 在外力作用下构件保持其原有的平衡状态的能力 C. 在外力作用下构件抵抗破坏的能力 2、根据均匀性假设，可认为构件的________在各点处相同。 A. 应力 B. 应变 C. 材料的弹性常数 D. 位移 3、下列结论中正确的是________ 。 A. 内力是应力的代数和 B. 应力是内力的平均值 C. 应力是内力的集度 D. 内力必大于应力 4、下列说法中，正确的是________ 。 A. 内力随外力的改变而改变。 B. 内力与外力无关。 C. 内力在任意截面上都均匀分布。 D. 内力在各截面上是不变的。 5、图示两单元体虚线表示其受力后的变形情况,两单元体的切应变γ分别为________ 。 A. α，α B. 0，α C. 0，-2α D. α,2α 二、计算题 1、如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求 该点处的正应力与切应力。 2、已知杆内截面上的内力主矢为F R与主矩M如图所示，且均位于x-y 平面内。试问杆件截面上
存在哪种内力分量，并确定其大小。图中之C 点为截面形心。 3、板件ABCD 的变形如图中虚线A’B’C’D’所示。试求棱边AB 与AD 的平均正应变以及A 点处直角BAD 的切应变。
第二章拉伸与压缩 一、选择题和填空题 1、轴向拉伸杆件如图所示，关于应力分布正确答案是_________。 A 1-1、2-2 面上应力皆均匀分布； B1-1 面上应力非均匀分布，2-2 面上应力均匀分布； C 1-1 面上应力均匀分布，2-2 面上应力非均匀分布； D 1-1、2-2 面上应力皆非均匀分布。 2、图示阶梯杆AD受三个集中力作用，设AB、BC、CD段的横截 面积分别为3A、2A、A，则三段的横截面上。 A 轴力和应力都相等 B 轴力不等，应力相等 C 轴力相等，应力不等 D 轴力和应力都不等 3、在低碳钢拉伸曲线中，其变形破坏全过程可分为4 个变形阶段，它们依次是、 、、。 4、标距为50mm 的标准试件，直径为10mm，拉断后测得伸长后的标距为67mm，颈缩处最小直 径为6.4mm ，则材料的伸长率（延伸率）= ，断面收缩率= ，这种材料是（A、塑性材料B、脆性材料）。 F 5、若板与铆钉为同一材料，且已知许用挤压应力 [bs]与许用剪切应力相同。板厚为t，为了充分提 高材料的利用率，则铆钉的直径d应该 为。 F 6、矩形截面木拉杆连接如图所示。已知：拉力F，尺 寸a，b，h，l ，则接头处的切应力，挤压应力。 bs F F l l 7、低碳钢圆试件轴向拉伸破坏时，是由应力引起的破坏；铸铁圆试件轴向拉伸破坏时，是由应力引起的破坏。 8、低碳钢的塑性指标是和。 9、低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下4 种指标中哪种得到提高？ A. 强度极限 B. 比例极限 C. 断面收缩率 D. 伸长率（延伸率） 10、按照拉压杆的强度条件，构件危险截面上的工作应力不应超过材料的_________。 A．极限应力B．许用应力C．屈服应力D．强度极限
材料力学重点总结-材料力学重点
材料力学阶段总结 一.材料力学的一些基本概念 1.材料力学的任务： 解决安全可靠与经济适用的矛盾。 研究对象：杆件 强度：抵抗破坏的能力 刚度：抵抗变形的能力 稳定性：细长压杆不失稳。 2.材料力学中的物性假设 连续性：物体内部的各物理量可用连续函数表示。 均匀性：构件内各处的力学性能相同。 各向同性：物体内各方向力学性能相同。 3.材力与理力的关系 , 内力、应力、位移、变形、应变的概念 材力与理力：平衡问题，两者相同； 理力：刚体，材力：变形体。 内力：附加内力。应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定。 应力：正应力、剪应力、一点处的应力。应了解作用截面、作用位置（点）、作用方向、 和符号规定。 压应力 正应力拉应力 线应变 应变：反映杆件的变形程度角应变 变形基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 4.物理关系、本构关系虎 克定律；剪切虎克定律： 拉压虎克定律：线段的拉伸或压缩。 E —— Pl l EA 剪切虎克定律：两线段夹角的变化。Gr 适用条件：应力～应变是线性关系：材料比例极限以内。 5.材料的力学性能（拉压）： 一张σ - ε图，两个塑性指标δ 、ψ ，三个应力特征点：p、s、b，四个变化阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。 拉压弹性模量，剪切弹性模量，泊松比 v ， G E （V） E G 2 1 塑性材料与脆性材料的比较： 变形强度抗冲击应力集中
塑性材料流动、断裂变形明显 较好地承受冲击、振动不敏感 拉压s 的基本相同 脆性无流动、脆断仅适用承压非常敏感 6.安全系数、许用应力、工作应力、应力集中系数 安全系数：大于 1的系数，使用材料时确定安全性与经济性矛盾的关键。过小，使 构件安全性下降；过大，浪费材料。 许用应力：极限应力除以安全系数。 s0 塑性材料 s n s b 脆性材料0b n b 7.材料力学的研究方法 1)所用材料的力学性能：通过实验获得。 2)对构件的力学要求：以实验为基础，运用力学及数学分析方法建立理论，预测理 论应用的未来状态。 3)截面法：将内力转化成“外力” 。运用力学原理分析计算。 8.材料力学中的平面假设 寻找应力的分布规律，通过对变形实验的观察、分析、推论确定理论根据。 1)拉（压）杆的平面假设 实验：横截面各点变形相同，则内力均匀分布，即应力处处相等。 2)圆轴扭转的平面假设 实验：圆轴横截面始终保持平面，但刚性地绕轴线转过一个角度。横截面上正应力 为零。 3)纯弯曲梁的平面假设 实验：梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维；正应力成线性分 布规律。 9小变形和叠加原理 小变形： ①梁绕曲线的近似微分方程 ② 杆件变形前的平衡 ③ 切线位移近似表示曲线 ④ 力的独立作用原理 叠加原理： ① 叠加法求内力 ② 叠加法求变形。 10材料力学中引入和使用的的工程名称及其意义（概念） 1)荷载：恒载、活载、分布荷载、体积力，面布力，线布力，集中力，集中力偶， 极限荷载。 2)单元体，应力单元体，主应力单元体。
(完整版)材料力学基本概念和公式
第一章 绪论 第一节 材料力学的任务 1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。 2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。 3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。 第二节 材料力学的基本假设 1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。木材是各向异性材料。 第三节 内力 1、内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。 2、截面法：用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。 3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。 4、内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩T ；弯矩M 第四节 应力 1、一点的应力： 一点处内力的集（中程）度。 全应力0lim A F p A ?→?=?；正应力σ；切应力τ；p =2、应力单位：Pa （1Pa=1N/m 2，1MPa=1×106 Pa ，1GPa=1×109 Pa ） 第五节 变形与应变 1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。 2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。 3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。对构件进行受力分析时可忽略其变形。 5、线应变：l l ?=ε。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
材料力学课后作业5-11章
5-1 试计算图示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。 解：(a) (1) 取A +截面左段研究，其受力如图； 由平衡关系求内力 0SA A F F M ++== (2) 求C 截面内力； 取C 截面左段研究，其受力如图； 由平衡关系求内力 2 SC C Fl F F M == (3) 求B -截面内力 截开B -截面，研究左段，其受力如图； q A C B l /2 l /2 (d) A M e (b) B C l /2 l /2 a B C A b (c) F C B l /2 l /2 (a) F F A F SA+ M A+ C F F SC M C A C B F F SB M B
由平衡关系求内力 SB B F F M Fl == (b) (1) 求A 、B 处约束反力 e A B M R R l == (2) 求A +截面内力； 取A +截面左段研究，其受力如图； e SA A A e M F R M M l ++=-=- = (3) 求C 截面内力； 取C 截面左段研究，其受力如图； 22 e e SC A A e A M M l F R M M R l +=-=- =-?= (4) 求B 截面内力； 取B 截面右段研究，其受力如图； 0e SB B B M F R M l =-=- = (c) (1) 求A 、B 处约束反力 R A A M e B C R B A M e R A F SA M A+ A M e C R A F SC M C B R B F SB M B R A B C A F R B
A B Fb Fa R R a b a b = =++ (2) 求A +截面内力； 取A +截面左段研究，其受力如图； 0SA A A Fb F R M a b ++== =+ (3) 求C -截面内力； 取C -截面左段研究，其受力如图； SC A C A Fb Fab F R M R a a b a b --== =?=++ (4) 求C +截面内力； 取C +截面右段研究，其受力如图； SC B C B Fa Fab F R M R b a b a b ++=-=- =?=++ (5) 求B -截面内力； 取B -截面右段研究，其受力如图； 0SB B B Fa F R M a b --=-=- =+ (d) (1) 求A +截面内力 取A +截面右段研究，其受力如图； A R A F SA+ M A+ R A A C F SC- M C- B C R B F SC+ M C+ B R B F SB- M B- q A C B F SA+ M A+-
材料力学作业
第一章 绪论 1. 试求图示结构m-m 和n-n 两截面上的内力，并指出AB 和BC 两杆的变形属于何类基本变形。 2. 拉伸试样上A ，B 两点的距离l 称为标距。受拉力作用后，用变形仪量出两点距离的增量为mm l 2 105-?=?。若l 的原长为l ＝100mm ，试求A 与B 两点间的平均应变m ε。 第二章 轴向拉伸和压缩与剪切 一、选择题 １.等直杆受力如图，其横截面面积Ａ＝１００2 mm ，则横截面ｍｋ上的正应力为（ ）。 （Ａ）５０ＭＰａ（压应力）； （Ｂ）４０ＭＰａ（压应力）； （Ｃ）９０ＭＰａ（压应力）； （Ｄ）９０ＭＰａ（拉应力）。 2.低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下四种指标中哪种得到提高( )： （Ａ）强度极限； （Ｂ）比例极限； （Ｃ）断面收缩率； （Ｄ）伸长率（延伸率）。 3.图示等直杆，杆长为3a ，材料的抗拉刚度为EA ，受力如图。杆中点横截面的铅垂位移为（ ）。 （Ａ）0；（Ｂ）Pa/(EA); （Ｃ）2 Pa/(EA);（Ｄ）3 Pa/(EA)。 4.图示铆钉联接，铆钉的挤压应力 bs σ是（ ）。 （A ）2P/（2d π）； （B ）P/2dt; (C)P/2bt; (D)4p/(2 d π)。 5.铆钉受力如图，其压力的计算有（ ） （A ）bs σ=p/(td);(B)bs σ=p/(dt/2); (C)bs σ=p/(πdt/2);(D)bs σ=p/(πdt/4)。 6.图示A 和B 的直径都为d,则两面三刀者中最大剪应力为（ ） (A)4bp/(2 d απ); (B)4(αb +)P/(2 d απ); (C)4(a b +)P/(2 b d π); (D)4αP/(2 b d π). 7.图示两木杆（I 和II ）连接 接头，承受轴向拉力作用，错误的是( ). （A ）1-1截面偏心受拉； （ B ） 2-2 为受剪面； （C ）3-3为挤压面； （D ）4-4为挤压面。 二、填空题 1.低碳钢的应力一应变曲线如图所示。试在图中标出Ｄ点的弹性应变
材料力学作业习题讲解
第二章 轴向拉伸与压缩 1、试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力,并做轴力图。 （1） （2） 2、图示拉杆承受轴向拉力F =10kN ，杆的横截面面积A =100mm 2 。如以α表示斜截面与横 截面的夹角，试求当α=10°,30°,45°,60°,90°时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。 3、一木桩受力如图所示。柱的横截面为边长200mm 的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E =10GPa 。如不计柱的自重，试求： (1)作轴力图； (2)各段柱横截面上的应力； (3)各段柱的纵向线应变； (4)柱的总变形。 4、(1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变d ε,等于直径方向的 线应变d ε。 (2)一根直径为d =10mm 的圆截面杆,在轴向拉力F 作用下,直径减小0.0025mm 。如材料的弹性摸量E =210GPa ，泊松比ν=0.3,试求轴向拉力F 。 (3)空心圆截面钢杆,外直径D =120mm,内直径d =60mm,材料的泊松比ν=0.3。当其受轴向拉伸时, 已知纵向线应变ε=0.001,试求其变形后的壁厚δ。
5、图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d=1mm的钢丝,在钢丝的中点C加一竖直荷载F。已知钢丝产生的线应变为ε=0.0035,其材料的弹性模量E=210GPa，钢丝的自重不计。试求： (1) 钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律)； (2) 钢丝在C点下降的距离?； (3) 荷载F的值。 6、简易起重设备的计算简图如图所示.一直斜杆AB应用两根63mm×40mm×4mm不等边角钢组 [σ=170MPa。试问在提起重量为P=15kN的重物时,斜杆AB是否满足强度成,钢的许用应力] 条件? 7、一结构受力如图所示,杆件AB,AD均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ=170MPa，试选择杆AB,AD的角钢型号。 ] E
材料力学主要知识点归纳
材料力学主要知识点 一、基本概念 1、构件正常工作的要求：强度、刚度、稳定性。 2、可变形固体的两个基本假设：连续性假设、均匀性假设。另外对于常用工程材料（如钢材），还有各向同性假设。 3、什么是应力、正应力、切应力、线应变、切应变。 杆件截面上的分布内力集度，称为应力。应力的法向分量σ称为正应力，切向分量τ称为切应力。 杆件单位长度的伸长（或缩短），称为线应变；单元体直角的改变量称为切应变。 4、低碳钢工作段的伸长量与荷载间的关系可分为以下四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。 5、应力集中：由于杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增现象，称为应力集中。 6、强度理论及其相当应力（详见材料力学ⅠP229）。 7、截面几何性质 A 、截面的静矩及形心 ①对x 轴静矩?=A x ydA S ，对y 轴静矩?=A y xdA S ②截面对于某一轴的静矩为0，则该轴必通过截面的形心；反之亦然。 B 、极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 ① 极惯性矩：?=A P dA I 2ρ ② 对x 轴惯性矩：?= A x dA y I 2，对y 轴惯性矩：?=A y dA x I 2 ③ 惯性积：?=A xy xydA I ④ 惯性半径：A I i x x =，A I i y y =。 C 、平行移轴公式： ① 基本公式：A a aS I I xc xc x 22++=；A b bS I I yc yc y 22++= ；a 为x c 轴距x 轴距离，b
为y c 距y 轴距离。 ② 原坐标系通过截面形心时A a I I xc x 2+=；A b I I yc y 2+=；a 为截面形心距x 轴距离， b 为截面形心距y 轴距离。 二、杆件变形的基本形式 1、轴向拉伸或轴向压缩： A 、应力公式 A F = σ B 、杆件伸长量EA F N l l =?，E 为弹性模量。 C 、应变公式E σ ε= D 、对于偏心拉压时，通常将荷载转换为轴心受力与偏心矩进行叠加。 2、扭转 A 、切应力：p W T Tr ==p I τ，r I W p p =；p I 为圆截面极惯性轴，p W 为扭转截面系数。 B 、切应变G τγ= ，G 为切变模量。 3、剪切 A 、切应力一般公式b S F z s z *I =τ，s F 为横截面上剪力；z I 为横截面对中性轴的惯性矩；b 为计算点处截面宽度；*z S 为横截面上距中性轴为y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩。 B 、矩形截面切应力A 23s F = τ， C 、圆形截面：A 34s F =τ; 注：在剪切实用计算中采用名义切应力A s F = τ进行简化计算（详见材料力学ⅠP270）。 D 、工字型截面：d S F z s z *I =τ，d 为腹板厚度。 4、弯曲 A 、中性轴：①中性轴处正应力为0；②中性轴通过截面形心。 B 、正应力公式z I My =σ