三角形的有关线段
知识点一:三角形有关概念
1、特点:(1)三条线段;(2)不在同一条直线上;(3)首尾顺次相接。
2、符号:用“△”表示,顶点是A ,B ,C 的三角形,如图,记作“△ABC ”。不能只写“△”而没写名字。
3、分类:(1)按角分:①锐角三角形;②直角三角形;③钝角三角形。 (2)按边分:①不等边三角形;②底与腰不等的等腰三角形;③等边三角形。
4、三角形三边关系:两边差________第三边________两边和。(填“<”或是“>”) 例1(飞厦单元考)、以下各组线段中,能组成三角形的是( ) A 、1:2:4
B 、8cm ,6cm ,4cm
C 、12cm ,5cm ,6cm
D 、2cm ,3cm ,6cm
举一反三
1、判断下列每组线段能否组成三角形(能的在括号中打“√”,不能的打“×”); (1)3,4,5===c b a ( ) (2)3,2,7===c b a ( ) (3)4,2,2===c b a ( )
(4)5,5,5===c b a ( )
2、现有长度分别为2,3,4,5的木棒,从中间任取三根,能组成三角形的个数为( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
例2、在△ABC 中,若AB=5,AC=2,且三角形周长为偶数,则BC=________。 1、已知在△ABC 中,a =5,b=3,那么第三边c 的取值范围是_________________。 2、一个三角形的两边长分别为3和7,若第三边长为偶数,则第三边为( )
A 、4,6
B 、4,6,8
C 、6,8
D 、6,8,10
3、△ABC 的三边长是a ,b ,c ,则c b a a c b c b a +++-----=________。 例3、已知等腰△ABC 的周长是21cm ,其中两条边的差是3cm ,求各边长。
1、等腰三角形周长为14,其中一边长为3,则腰长为________。
2、一个三角形有两条边相等,一边长为4cm ,另一边长为9cm ,那么这个三角形的周长是 。
3、用一条长为18cm 的细绳围成一个有一边长为4cm 的等腰三角形,则三角形各边长为_______。
4、等腰三角形的腰长为a ,底边为x ,则x 应是( ) A 、a x <<0 B 、2
0a
x <
< C 、a x 20<< D 、2
0a x ≤
<
知识点二:三角形的三线
三角形的高:(1)三角形有三条高;(2)锐角三角形的三条高交点在三角形_________部;直角三角形三条高的交点是______________;钝角三角形三条高所在直线相交于三角形________部。 三角形的中线:(1)一个三角形有三条中线,并且都在三角形内部,相交于一点; (2)三角形的一条中线把三角形分成面积________的两个三角形。(原理:“等底同高”) 三角形的角平分线:一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形内部,相交于一点; 小结:三角形的三线都为________。
例1、(1)如图,△ABC 的高AD 、BE 交于点O ,则△AOB 中,BO 边上的高为 ;△ADC 中,AD 边上的高为 。
(2)如图所示,连接△ABC 的顶点B 和它所对的边AC 的中点E ,所得的线段________叫做△ABC/的边AC 边上的中线,所以AE=_________=
2
1
_________,S △________=S △
________。
(3)如图所示,画∠ACB 的平分线CF ,交∠ACB 所对的边AB 于点F ,所得的线段CF 叫做△ABC 的________,所以∠ACF=________=1
2
_________。 1、下列说法正确的是( ) A 、三角形的中线是一条直线 B 、三角形的角平分线是一条射线
C 、三角形的高是一条垂线
D 、三角形的中线、高、角平分线都是线段
2、在下图中,正确画出AC 边上高的是( )
A
B C
D
3、如图,AD ,BE ,CF 是△ABC 的中线、高、角平分线。则:BD=_________=2
1
________;∠________=∠________=90°;∠________=∠________=
2
1
∠________ 4、如图,在△ABC 中,AD ⊥BC ,CE ⊥AB ,已知AB=6,BC=4,AD=5,则CE= 。
5、如图,AD 、AE 分别是△ABC 的中线、高,且AB=5,AC=3,则△ABD 与△ACD 的周长的差是 _ ,△ACD 与△ABD 的面积关系为 。
第3题 第4题 第5题 第6题
6、如图,△ABC 的周长是21cm ,AB=AC ,中线BD 分△ABC 为两个三角形,且△ABD 的周长比△BCD 的周E
A
B
C
F A B
C
7、如图,?ABC 中,AD 是BC 上的中线,BE 是?ABD 中AD 边上的中线,若?ABC 的面积是24,则?ABE 的面积是________。
8、如图,在△ABC 中,已知点D ,E ,F 分别为边BC ,AD ,CE 的中点,且2
ABC cm 8=?S ,则阴影部分的面积
等于_________。
第7题 第8题
例2、等腰三角形一腰上的中线把周长分为6和3两部分,则其底边长为________。
1、已知在△ABC 中,AB=AC ,BD 是AC 边上的中线,BD 把△ABC 的周长分为9和15两部分,求这个三角形的各边长。
知识点三:三角形的稳定性
三角形具有_________性,而四边形不具有_________性。
例5、在建筑工地我们常可看见如图所示,用木条EF 固定矩形门框ABCD 的情形,这种做法的根据是( )
A 、两点之间线段最短
B 、两点确定一条直线
C 、三角形的稳定性
D 、矩形的四个角是直角
1、下列选项中的图形具有稳定性的是( )
2、平行四边形网状的电动拉门是借助了 的不稳定性。
3、撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上,是因为三角形具有________性。
知识点四:三角形的内角
用法:(1)在三角形中已知两角可以求第三角,或已知各角之间关系,求各角。 (2)列方程;(3)三角形中,若两个角为第三角,则第三角为直角。
例1、在△ABC 中,已知∠A +∠B=100°,∠C=2∠B ,求三角形各内角的度数。 举一反三
1、在△ABC 中,若∠A :∠B :∠C=1:2:3,则△ABC 是( )
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、正三角形
2、在△ABC 中,2∠A=3∠B=6∠C ,则△ABC 是________三角形。
3、在△ABC 中,已知∠B -∠A=5°,∠C -∠B=20°,求三角形各内角的度数。
5、在△ABC 中,∠A=∠B +∠C ,则∠A= 。
6、如图,∠1+∠2+∠3+∠4= 。
7、如图,∠ = 。
8、如图,AD ⊥BC ,∠1=∠2,∠C = 70°,则∠BAC = 。
第6题 第7题 第8题
例2、如图,AD 、AF 分别是△ABC 的高和角平分线,已知∠B=36°,∠C=76°,求∠DAF 的度数。(★证明:∠DAF=2
1
(∠C -∠B ))
1、如图,在△ABC 中,∠B = 60°,∠C = 50°,AD 是∠BAC 的平分线,DE 平分∠ADC 交AC 于E ,求∠BDE 的度数。
2、如图,在△ABC 中,∠B=∠C ,FD ⊥BC ,DE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,已知∠AFD=150°,求∠EDF 等于多少度?
例3、如图,已知I 为△ABC 的内角平分线的交点。求证:∠BIC=90°+2
1
∠A 。
举一反三
1、直角三角形两锐角平分线所形成的角的度数为( ) A 、45° B 、135°
C 、45°或135°
D 、以上答案都不对
2如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于D ,已知∠A=50°,求∠BDC 的度数。
闯关小测试
1、如图所示,共有_________个三角形,以AD为一边的三角形有________________________,∠C是△ADC 的________边的对角,AE是△ABE中∠________的对边。
2、一个三角形周长为27cm,三边长为2:3:4,则最长边比最短边长为________。
3、工人师傅在安装木制门框时,为防止变形常常像图1中所示,钉上两条斜拉的木条,这样做的原理是根据三
角形的性。
第1题第3题第5题第6题
4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是()
A、三角形的角平分线
B、三角形的中线
C、三角形的高线
D、以上都不对
5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=25°,CD⊥AB于D,则∠ACD = 。
6、如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC边上的点,DE∥BC,∠ADE=30°,∠C=120°,则∠A等于()
A、60°
B、45°
C、30°
D、20°
7、在△ABC中,∠B,∠C的平分线交与点O,若∠BOC=132°,则∠A=________。
8、如果三角形的一个角等于其他两个角的差,那么这个三角形一定是()
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不确定
(图1)
11.1 与三角形有关的线段(1) 学习目标: 1、明确三角形的相关概念;能正确对三角形进行分类; 2、能利用三角形三边关系进行有关计算。 学习过程: 三角形的有关概念 (1)三角形概念:由不在同一直线上的条线段 连接所组成的图形。 (2)三角形的表示法(如图1) 三角形ABC 可表示为:; (3)ΔABC 的顶点分别为A 、 、; (3)ΔABC 的内角分别为∠ABC ,, ; (4)ΔABC 的三条边分别为AB ,,;或, 、; (5)顶点A 的对边是,顶点B 的对边分别是,顶点C 的对边分别是。 三角形的分类: (1)下图中,每个三角形的内角各有什么特点? (2)下图中,每个三角形的三边各有什么特点? (3)结合以上图形你认为三角形可以如何分类?试一试 锐角三角形 按角分类 不等边三角形: 三角形三条边 按边分类 底边和腰不的等腰三角形 等腰三角形 (有两条边相等) 等边三角形:三条边都 3、三角形的三边关系 问题1:如图,现有三块地,问从A 地到B 地有几种走法, 哪一 C 地
第1题 种走法的距离最近?请将你的设计方案填写在下表中: 路线 距离 比较 (2)思考:你发现三角形的三边长度有什么关系? (3)填写:三角形两边的和 (4)用式子表示:BC + ACAB(填上“> ”或“ < ”) BC + AB AC(填上“> ”或“ < ”) AB + AC BC(填上“> ”或“ < ”) (5)三角形的任意两边之和第三边; 三角形的任意两边之差第三边。 如图一,+ > ; - > 4、三角形的稳定性 问题2:盖房子时,在窗框未安装好前,木工师傅常先在窗框上斜钉 一根木条,为什么? 5、例题:用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形,如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少? 解:设底边长为xcm,则腰长是 cm 因为三角形的周长为cm 所以: 所以x=cm 答:三角形的三边分别是、、 课堂练习: A 组 1.①图中有个三角形,分别为 ②△ABC的三个顶点是、、; 三个内角是、、; 三条边是、、; 2、如图中有个三角形,用符号表示 3.判断下列线段能否组成三角形: E B C D A第2题
与三角形有关的线段(提高)知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法; 2. 理解并会应用三角形三边间的关系; 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念,学会它们的画法及简单应用; 4. 对三角形的稳定性有所认识,知道这个性质有广泛的应用. 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义: 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 要点诠释: (1)三角形的基本元素: ①三角形的边:即组成三角形的线段; ②三角形的角:即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角; ③三角形的顶点:即相邻两边的公共端点. (2)三角形定义中的三个要求:“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示:三角形用符号“△”表示,顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”,读作“三角形ABC ”,注意单独的△没有意义;△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示,也可以用小写字母a 、b 、c 来表示,边BC 用a 表示,边AC 、AB 分别用b 、c 表示. 2.三角形的分类 (1)按角分类: ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释: ①锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形:有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类: 要点诠释:
①等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边都叫做腰,另外一边叫做底边,两腰的夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形:三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 定理:三角形任意两边的和大于第三边. 推论:三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释: (1)理论依据:两点之间线段最短. (2)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围. (3)证明线段之间的不等关系. 要点三、三角形的高、中线与角平分线 1.三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高. 三角形的高的数学语言: 如下图,AD 是ΔABC 的高,或AD 是ΔABC 的BC 边上的高,或AD⊥BC 于D ,或∠ADB =∠ADC=90°. 注意:AD 是ΔABC 的高 ∠ADB=∠ADC=90°(或AD⊥BC 于D); 要点诠释: (1)三角形的高是线段; (2)三角形有三条高,且相交于一点,这一点叫做三角形的垂心; (3)三角形的三条高: (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部,三条高的交点也在三角形内部; (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部,且三条高的交点在三角形的外部; (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2.三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线. 三角形的中线的数学语言: 如下图,AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD =CD = 2 1 BC.
11.1 与三角形有关的线段 1.三角形 (1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. (2)构成:如图所示,三角形ABC 有三条边,三个内角,三个顶点. ①边:组成三角形的线段叫做三角形的边. ②角:相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角. ③顶点:相邻两边的公共端点是三角形的顶点. (3)表示:三角形用符号“△”表示,三角形ABC 用符号表示为△ABC . 注:顶点A 所对的边BC 用a 表示,顶点B 所对的边AC 用b 表示,顶点C 所对的边AB 用c 表示. (4)分类: ①三角形按角分类如下: 三角形????? 直角三角形锐角三角形 钝角三角形 ②三角形按边的相等关系分类如下: 破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形,即等边 三角形是底边和腰相等的等腰三角形. 【例1】 如图所示,图中有几个三角形,分别表示出来,并写出它们的边和角.