《微积分》试题 第1页(共8页)
微积分试题及参考答案与评分标准
一、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1、函数21
()arcsin
ln(1)3
x f x x -=+-的定义域为 ; 2、2
lim(1)x x x
→∞-= ;
3、若22
(sin )cos ,f x x '=则()f x = ;
4、设2sin(1)
(),1
x f x x -=
-则x = 是()f x 的可去间断点; 5、若0(32)(3)
1lim
h f h f h
→--=,则(3)f '= ;
6、1
(arctan )x =d ;
7、可导函数()f x 是偶函数,若(1)3,f '=则(1)f '-= ;
8
、函数()f x =[0, 3]上满足罗尔定理条件,结论中的=ξ ; 9、曲线C :2ln 1
x
y x =
-的垂直渐近线是 ; 10、设某商品的需求函数是402Q p =-,则需求价格弹性15|p η== 。
二、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
1、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的( ).
(A )必要但非充分条件; (B )充分但非必要条件;
(C )充分必要条件; (D )无关条件.
《微积分》试题 第2页(共8页)
2、当0→x 时,2x 是x cos 1-的( )无穷小.
(A )等价; (B )同阶但不等价; (C )高阶; (D )低阶.
3、设函数1)(1+=x
e x
f ,则0=x 为)(x f 的间断点类型是( ). (A )跳跃间断点; (B )可去间断点; (C )振荡间断点; (D )无穷间断点.
4、设()f x 的一个原函数是2x ,则2(1)xf x x -=?d ( ) (A )222(1)x C -+; (B )222(1)x C --+;
(C )221(1)2x C -+; (D )221
(1)2x C --+.
5、函数1sin ,0
()0,0
x x f x x
x ?
≠?=??=?在0x =处( ). (A )不连续; (B )极限不存在;
(C )连续且可导; (D )连续但不可导.
三、计算题(本大题共8小题,每小题7分,共56分)
1、求极限+01lim(1)x
x x
→+.
2、求极限11lim(
)1ln x x x x
→--.
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3
、设ln(x y e =,求,y y '''.
4、求曲线C :2ln(1)y x =+的凹凸区间与拐点.
5、求曲线C :1x y xy e ++=在0x =对应点处切线的方程.
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6、求函数2()1
x
f x x =+的单调区间和极值.
7、求不定积分()
1
12ln dx x x +?.
8
、求不定积分?.
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四、应用题(本大题共1小题,共8分)
设某产品的总成本函数为:
2()5,C x x =+需求函数为:120.5,x p =-其中x 为产量,p 为价格,求(1)收益最大时的产量和价格;(2)利润最大时的产量和价格。
五、证明题(本大题共1小题,共6分)
设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()0,f a f b ==证明:至少存在一点
(),a b ξ∈,使得()()0f f ξξ'+=。
《微积分》试题 第6页(共8页)
参考答案与评分标准
一、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1、(]1,2;
2、2e - ;
3、212x x C -
+;4、1 ;5、12- ;6、21x x
-+d ; 7、-3; 8、2;9、0x =;10、-3。
二、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
1、(A )
2、(B )
3、(D )
4、(D )
5、(D )
三、计算题(本大题共8小题,每小题7分,共56分)
1、+
0++
1
1lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim e e 3x x x x x x x x x
→++→→+==(分) 2++
002
+
011()11
1ln(1)
lim lim
11lim
01
e
e
e
e 17x x x x x x x x x
x
→→→-++-+=====(分)
2、1
1112
11ln 1ln 1
lim(
)lim()3lim lim 71111ln (1)ln 2ln ++x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
→→→→-+-====---(分)(分)
1
111ln 1ln ln ln 11
lim(
)3lim lim lim 71(1)ln ln +1ln 22ln +
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
→→→→-++=====---+或者,原式(分)(分)
3
、24x x x
y e '=
+
=
分)
3
22
7
1
x x
x
e
y
e
'''
===
+
(分)
()
4、
2
222
22(1)
,01(3)
1(1)
x x
y y y x
x x
-
'''''
====±
++
,令得分
()
1,1
∞∞-
曲线的凸区间为:(-,-1),(1,+),凹区间为:;
7
拐点(-1,ln2),(1,ln2)(分)
5、(1)
x y
x y xy e y
+
''
+=+
方程两边对求导,得(5)
x y
x y
e y
y
x e
+
+
-
'
∴=
-
分
由0
x=得0,
y=点(0,0)处切线的斜率
|1
x y
x y
x y
e y
k
x e
+
==
+
-
==-
-
,
所求切线方程为:(7)
y x
=-分
6、
2
22
1
()()01
1
x
f x f x x
x
-
''
===±
+
,令得 (3分)
()
1,1
-∞∞
函数的单调增加区间为:(-,1),单调减少区间为:(),(1,+);
11
(1)(1)7
22
f f
=-=-
函数的极大值为:,极小值为(分)
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《微积分》试题 第8页(共8页)
7、()()1111
12ln (4)ln |12ln |(7)12ln 212ln 2
x x x C x x x =+=++++?
?d d 分分
8
、221,ln(1),(321
t
t x t x t t ==-=-得d d 分)
.
2221111(1)ln (711212t t x t t t C t C t t t -==+=++=++--+?
??d d 分)
四、应用题(本大题共1小题,共8分)
(1)总收益2
()(242)224R x xp x x x x ==-=-+
()424R x x '=-+,
()06,R x x '==令得(6)40,6,12R x p ''=-<∴==当时总收益最大,此时(4分)
(2)总利润2
2
()()()(242)(5)3245L x R x C x x x x x x =-=--+=-+-
()624L x x '=-+,
()04,L x x '==令得(4)60,4,16L x p ''=-<∴==当时总利润最大,此时(4分)
五、证明题(本大题共1小题,共6分)
作辅助函数()(),x
F x f x =e ()F x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且
()()0,F a F b ==()F x ∴在[,]a b 上满足罗尔定理条件,则(,),a b ξ?∈
使得()()()0,F f f ξξ
ξξξ''=+=e e 即()()0f f ξξ'+=。
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分