1两角和与差的余弦

教学设计

教师总结布置作业

教学内容

【导入】

情境引入 探究 已知1、cos60°=?，2、cos45°=

2

2

，下列各式是否成立？ (1) cos105°=（cos60°+45°）=cos60°+ cos45°。

(2) cos15°=cos （60°—45°）=cos60°—cos45°。你能得出什么结论？

【告知目的】

理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式； 学会运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。 培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

【知识梳理】

设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx ＝α－β．

过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，那么OM 即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM ．

过点P 作PA ⊥OP1，垂足为A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，再过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，那么cos β＝OA ，sin β＝AP ，并且∠PAC ＝∠P1Ox ＝α，于是OM ＝OB ＋BM ＝OB ＋CP ＝OAcos α＋APsin α＝cos βcos α＋sin βsin α． 综上所述，

【课堂练习】

例1 不用计算器，求cos75°和cos15°的值。

解cos75°=cos （30°+45°）=cos30°cos45°—sin30°sin45°

=

2221-2223??=4

2-46

解：cos15°=cos （45°-30°）=cos30°cos45°+sin30°sin45°

=

22212223?+?=4

2

46+

例题2：已知sin α=53

，cos β=13

12求cos(α-β)的值

解：∵sin α=53

>0，cos β=13

12>0

∴α可能在一、二象限，β在一、四象限 若α、β均在第一象限，

则cos α=54

，sin β=13

5 cos(α-β)=656313553131254=?+?

若α在第一象限，β在四象限，

则cos α=54

，sin β=-135 cos(α-β)=65

33)135(53131254=-?+?

若α在第二象限，β在一象限，

则cos α=-54

，sin β=13

5 cos(α-β)=6533135531312)54(-=?+?-

若α在第二象限，β在四象限，

则cos α=-54

，sin β=-135 cos(α-β)=6563)135(531312)54(-=-?+?-

【课后小结】

1、牢记公式的结构特点，学会逆用公式。不符合公式结构特点

的，常通过诱导公式变形使之符合。

2、两角和与差的余弦公式：

【课后作业】

教材4页课堂练习1题

【教师板书】

1、以前学过的三角函数的公式

2、判断cos （60°+45°）与cos60°+cos45°是否相等 判断cos （60°-45°）与cos60°-cos45°是否相等

3、两角和与差的余弦公式的推导

设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx ＝α－β．

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．

过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM ＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．

综上所述，

(整理)《两角和与差的余弦公式》教学设计.

《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的

和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程

两角和与差的余弦公式证明

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β 的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂 足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB ＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点， 建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.

《两角和与差的余弦函数》教学案

《两角和与差的余弦函数》教学案 (一)教学目标： 1、知识目标：(1)利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式；2)灵活正反运用两角差的余弦。 2、能力目标：(1)通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。(2)培养学生注重知识的形成过程。 3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。 (二)教学重点、难点 重点：(1)两角差的余弦；(2)灵活应用两角差的公式解决问题 难点：(1)两角差的余弦的推导；(2)两角差的余弦的灵活应用 (三)教学方法： 本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。这样学生易接受。 (四)教学过程 教学环节教学内容师生互动设计 意图 复习引入 复习向量的数量积以及它的主 要作用：求两个向量夹角的余弦值。 正板书： 例1：已知向量 ) 45 sin , 45 (cos o o a=， ) 30 sin , 30 (cos o o b=，求 的余弦 解：o o a45 sin 45 cos | |2 2+ = =1 o o b30 sin 30 cos | |2 2+ = =1 ) 30 sin , 30 (cos ) 45 sin , 45 (cos o o o o b a? = ? =o o o o30 sin 45 sin 30 cos 45 cos? + ? 学生回答，老师写副板 书；写出向量的数量积以及 它的变形(求夹角的余弦 值) 师：求向量夹角的余弦 值，应具备哪些条件？ 生：应该求出两个向量 的数量积以及它们各自的 模 师：回答很好。我们先 来求这两个向量的模以及 它们的数量积。 以旧 带新，注 意创设问 题的情 境，为引 出新课程 打基础。 通过 这道题一 来巩固向 量积，二 来为引出

高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦教案 苏教版必修4(1)

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1 两角 和与差的余弦教案 苏教版必修4 3．1 两角和与差的三角函数 3．1.1 两角和与差的余弦 (教师用书独具) ●三维目标 1．知识与技能 掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．过程与方法 通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质． 3．情感、态度与价值观 通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力． ●重点难点 重点：灵活运用两角和与差的余弦公式． 难点：用向量推导两角差的余弦公式． (教师用书独具) ●教学建议 1．关于探求公式C (α－β)的结果的教学 教学时，建议教师先让学生自己动手验证，从而明确cos(α－β)＝cos α－cos β为什么错误，引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法，并应用这种方法通过特殊情境0 ＜α＜β＜π 2 探求出cos(α－β)的结果．

2．关于公式C(α－β)证明的教学 教学时，建议教师： (1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用． (2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备． (3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探寻，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)，其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要运用诱导公式． ●教学流程 创设问题情境，引出问题：cosα－ β＝cos α－cos β为什么错误？? 引导学生结合有关图形，运用向量方法推导出两角差的余弦公式，进而得到两角和的余弦公式.?通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决求值问题的方法. ? 通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题的方法. ?通过例3及其互动探究，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题 步骤及注意事项.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.? 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正. 课标解读 1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦 公式的过程，进一步体会向量方法的作 用．(难点) 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的 余弦公式． 3.能用两角和与差的余弦公式化简、求 值．(重点) 两角和与差的余弦公式 1．单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？OA → 与OB → 的夹角 是多少？ 【提示】A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)． OA→与OB→的夹角是α－β. 2．你能用哪几种方法计算OA → ·OB → 的数量积？ 【提示】①OA → ·OB → ＝|OA → ||OB → |cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA → ·OB → ＝cos αcos β ＋sin αsin β. 3．根据上面的计算可以得出什么结论？

两角和与差的正弦公式教案(高教版拓展模块)

1.1．2 两角和与差的正弦公式 一、教学目标 ⒈掌握两角和与差的正弦公式的推导过程; ⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力; ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。 二、教学重、难点 １. 教学重点：两角和与差的正弦公式的应用; 2． 教学难点：公式的的推导及逆用 三、教学设想: (一)复习式导入： 大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. 这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? （二）探讨过程： 我们根据两角差的余弦公式可以得到： cos()cos cos sin sin sin 222π π π αααα-=+= 提示:我们可以利用上式实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦公式的推导． ()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ??????????+=-+=-+=-+- ? ? ??????????????? sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ -=+-=-+-=-???? 由此得到两角和与差的正弦公式: ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 让学生观察并记忆两角和与差正弦公式,并思考与两角和与差的余弦公式的联系与区别。 (三）例题讲解 例1、利用和、差角正弦公式求sin 75,sin15的值. 解:分析：把75,15构造成两个特殊角的和、差. 12sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452=+=+=?+=

两角和与差的正弦余弦公式

《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。

三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课

两角和与差的余弦公式教案

两角和与差的余弦公式教案 执教教师： 陈 亮 时间：2010年1月13日 授课班级：高一（G ）班 节次：第 2 节 学科及册别：数学必修4 课本页码：91——93 章节：第三章第一节 课时安排：第一课时 【教学三维目标】 1.知识目标： 理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。 2能力目标 ： 培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3.情感目标： 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。 【高考等级要求】 C 级 【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。 【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。 【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。 【教材分析】 这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。 【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。 【学法设计】 独立思考，生生交流探究，小组合作 【知识链接】 诱导公式 平面向量的数量积 一、 产生对公式的需求 引入新课 引入：我们曾经学过乘法对减法的分配律：bc ac c b a -=-)(，余弦也是一种运算，那么 βαβαcos cos )cos(-=-是否成立呢？ 对这个问题我们目前几乎没有办法直接证明，但我们可以用特殊值检验其成立的可能性

两角和与差余弦

两角和与差的余弦 （第一课时） 一、教学目标： （一）知识目标： 1、掌握利用平面内两点间的距离公式进行C(α+β)公式的推导； 2、能用赋值法推导C(α-β)公式； 3、初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能。 （二）能力目标： 1、通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； 2、通过公式的灵活运用，培养学生的方程思想和变换能力。 （三）德育目标： 1、公式的推导过程，体现了知识间的内在联系； 2、培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题； 3、通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识。 （四）美育目标： 公式，发现两角和差的三角函数与单角α、β之间的和通过鉴赏C( α±β) 公谐、轮换结构，让学生感受数学公式的匀称美感。并引导学生领会C( α±β)式的强大功能。 二、教学重难点 1．教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与运用。培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法。 2．教学难点：余弦和角公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能。 三、教学过程： （一）提出问题，产生对公式的需求。 首先让学生通过具体实例消除对“cos(α+β)=cosα+cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公 式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。

（二）预备知识 1． 通过观看动画演示，形象直观地结合勾股定理简要介绍平面内两点间距 2． （结合以下问题，观看《几何画板》演示） （1）分别指出点P 1、P 、P 2、P 3的坐标？ （2）弦P 1P 3的长如何表示？ （3）如何构造弦P 1P 3的等量关系？ [注]如何让推导公式的思路来得自然一些？课本出于叙述方便，隐去了证明的思路。教师的任务就是要给出一种合理的思路，比如我们要表示α+β的余弦，那么就得作出α、β、α+β的角，当发现|P 1P 3|可以用 cos(α+β)表示时，想到应该寻找与P 1P 3相等的弦，从而才想到作出角 (-β)。这种思路和课本的叙述是不同的，但从思维的角度来讲，也许更具有某种合理性，更能激发同学通过积极思维去探索、发现问题。 （三）公式推导 1．根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”得到距离等式1324PP P P = 2．将1324PP P P =转化为三角恒等式，逐步变形整理成余弦的和角公式。 [cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2 展开，整理得2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 3．强调公式中α、β是任意角。用-β去代替β导出C (α-β)，初步认识用赋 值法推导新公式。要求学生注意公式中：角、函数的排列顺序及式中各项符号，引导学生感受公式和谐、轮换的匀称美感，从鉴赏的角度记忆公式。 （四）公式应用 正因为α、β的任意性，所以赋予C (α+β)公式的强大生命力。 1．请用特殊角分别代替公式中α、β，你会求哪些非特殊角的值呢？ 让学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至有的同学会说他验证了

两角和与差的正弦、余弦函数(答案)

课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、 余弦函数 一、基本能力达标 1．已知α∈? ????0，π2，cos α＝3 3，则cos ? ????α＋π6＝( ) A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66 D ．－1＋6 6 解析：选A ∵α∈? ????0，π2，cos α＝33，∴sin α＝63， ∴cos ? ????α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π 6 ＝33×32－63×12＝12－66 . 2．满足cos αcos β＝3 2 －sin αsin β的一组α，β的值是 ( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π 3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π 4 解析：选B ∵cos αcos β＝3 2 －sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝3 2， 经验证可知选项B 正确． 3．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．三者都有可能 解析：选C ∵sin A sin B ＜cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＞0，∴cos(A ＋B )＞0，

∴A ＋B ＜90°，∴C ＞90°，∴△ABC 是钝角三角形． 4．已知3cos x －sin x ＝－6 5，则sin ? ?? ??π3－x ＝ ( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－3 5 解析：选D 3cos x －sin x ＝2? ?? ??sin π3cos x －cos π 3sin x ＝2sin ? ????π3－x ＝－65，故sin ? ?? ??π3－x ＝－3 5. 5．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝3 5，则sin β 等于( ) A ．0 B ．0或2425 C.2425 D ．±24 25 解析：选C 由0<α<π2<β<π得，π2<α＋β<3π 2 ， 又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－4 5， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－? ????－45×35＝24 25. 6．sin 15°＋cos 165°的值是________． 解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45° ＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－22 7．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°

两角和与差的余弦公式的六种推导方法

两角和与差的余弦公式的六种推导方法 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下： 方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cos α＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、 . ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，

3.1.2-两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 民族中学 王克伟 [教学目标] 知识与技能目标：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法， 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 过程与方法目标：让学生亲身经历“从已知入手，研究对象的性质，再联系所学知识，推导 出相应公式。”这一研究过程，培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的 能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观目标：通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究，培养学生主动探索、 勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的 好习惯。 [教学重难点] 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. [教学过程] 一.新课引入 创设情境 引入课题： 想一想：cos15?=o 由上一节所学的两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，同学们很容易想到： 那 这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式： 二.、讲授新课 探索新知一 两角和的余弦公式 思考：由cos()cos cos sin sin αβαβ αβ-=+，如何求cos()?αβ-= cos15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304+=-=+=o o o o o o o cos75=o cos(3045)? +=o o cos75?=o

分析：由于加法与减法互为逆运算，()αβαβ+=--，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以-β代β得 cos[()]cos cos()sin sin cos()cos cos sin sin ()ααβαβαααββββ=--=-+--=+ 1、 上述公式就是两角和的余弦公式，记作()c αβ+。 由两角和的余弦公式：()c αβ+，我们现在完成课前的想一想： 探索新知二 思考：前面我们学习了两角和与差的余弦，请同学们猜想一下：会不会有两角和与差的正弦公式呢？如果有，又该如何推导呢？ 在第一章中，我们学习了三角函数的诱导公式，同学们是否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢？ cos()sin 2 παα-= 结合()c αβ+与()c αβ-，我们可以得到 cos[()]cos[()]cos()cos sin()sin 22sin )2(2ππππαβαβααβββα=-++=--=-+- sin cos sin cos αββα=+ 2、 上述公式就是两角和的正弦公式，记作()s αβ+。 那sin()?αβ-= 将上式sin()αβ-sin cos sin cos αββα=+中以-β代β得 sin[()]sin cos()sin()cos sin cos sin cos αβαββααββα+-=-+-=-sin )sin cos cos sin αβαβαβ ++=(cos30cos45sin30sin 45=-o o o o cos75=o cos(3045)+o o

两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明 北京四中数学组皇甫力超 论文摘要： 本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。 关键词： 两角和差的正余弦公式 正文： 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将或与, 的三角函数联系起来。 根据诱导公式 , 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此 , 由和角公式容 易得到对应的差角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系与, 的三角函数值的等式。 1. 和角余弦公式

(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系中作单位圆, 并作角, 和, 使 角的始边为, 交于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交 于点C；角始边为, 终边交于点。从而点A, B, C和D的坐标分别为, ,,。 由两点间距离公式得 ； 。 注意到, 因此。 注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公 式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。 2. 差角余弦公式 仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计 一、教学分析 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究 具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的?在这些公式的推导中，教科书都把对照、 比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较 COS(a - 3 )与cos( a + 3 ),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换 元的角度看都有内在联系，即a + 3 = a -(- 3 )的关系，从而由公式C( a - 3)推得公式G a + 3), 又如比较Sin( a - 3 )与cos( a - 3 )，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)( 6 )即可推得公式S( a- 3)、S a+3)等? 2. 通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与 这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解?因此本 节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能 力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义 3. 本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深 刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆?本节几个例子主要目的是为了训练 学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯 进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等?另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而 不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的? 二、三维目标 1. 知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与 差的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公 式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力 2. 过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.

两角和与差正弦公式与余弦公式

【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） 【教学目标】 知识目标： 理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简． 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高． 【教学重点】 本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式． 【教学难点】 难点是公式的推导和运用． 【教学设计】 在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到 cos(6030)cos60cos30?-?≠?-?， 然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2 都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广π sin()cos 2αα-=时， 用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首 先反向应用例3中的结论π cos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公 式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式π cos()2α-．逆向使用公式， 培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用 156045?=?-?求解，还可以利用154530?=?-?求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识， 这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力． 【教学备品】 教学课件．两课时 【课时安排】

两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题. cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】0

教材整理2两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式 2.重要结论－辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos sin θ θ (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．() (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．() (3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．() (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.() 解：(1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°

两角和与差的余弦公式证明

两角和与差的余弦公式的五种推导 方法之对比 欧阳学文 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下： 方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM ＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，si n(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点

两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案

两角和与差的余弦公式 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。 二、学情分析： 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。 三、教学目标： 1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。 2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 四、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。 五、教学工具：多媒体 六、教学方法：讲授法，探究法 七、教学过程：

cos(12060)-? cos120? cos60? sin120? sin 60? 12 12- 12 32 32 猜想：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=?+?？ 公式推导 通过探究我们猜想得出cos()αβ-的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。 提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何研究βα-的三角比呢？ 设α、β是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图1，它们的终边OA 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。 图1 Q1：你能用α、β的三角比表示A 、B 两点坐标吗？ Q2：AOB ∠角度能用α、β表示吗？ Q3：我们要研究AOB ∠的三角比，必须要把AOB ∠位置放在什么地方？怎样达到目的？ 答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。通过旋转达到目的。 Q4：将终边OA 、OB 绕O 旋转β-，转到A O '和B O '的位置，则A '，B '的坐标是什么？ 通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式 O y A )sin ,(cos αα) sin ,(cos ββB x β α

两角和与差的余弦教案(优质教案)

第三章 三角恒等变换 第1节 两角和与差的余弦 一、三维目的： 1、知识与技能：（1）、理解两角和与差的余弦公式的推导过程； （2）、掌握两角和与差的余弦公式初步应用（公式的正用和逆用）； （3）、着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。 2、过程与方法：启发、讲练结合，合作交流，突破难点。 3、情感、态度与价值观：培养学生的探索与创新意识，激发学生学习兴趣，提高学生解题的灵活性。 教学重点:余弦的差角公式的推导和应用. 教学难点:余弦的差角公式的推导. 二、教学过程： （一）问题情境 (问题一)我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，不查表如何求诸如cos75°、cos15°的值呢？ 设问（1）cos75°＝cos （45°＋30°）与cos45°＋cos30°是否相等？ （2）cosl5°＝cos （45°－30°）与cos45°－cos30°是否相等？ cos （45°±30°）≠cos45°±cos30°，那么cos （45°±30°）＝？，今天我们就来研究这个问题。（板书课题） [问题二]：一般地, )cos(βα-βαcos cos -≠, 那么()βα-cos 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示?如何表示? 我们可以把)cos(βα-看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。 在直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边分别作角βα,,其终边分别与 单位圆交于()αα s i n ,c o s 1P ,()ββsin ,cos 2P ,则=∠21OP P , 设向量==→→1OP a ； ==→ →2OP b

听课笔记1 两角和与差的正弦、余弦公式

讲课教师 班级 讲课时间 讲课内容 两角和与差的正弦、余弦公式（二） （《几何画板》） （1）两角和与差的余弦公式的复习： 引导学生复习两角和与差的余弦公式，利用“哭哭笑笑”的口诀帮助记忆； 给出练习题进行复习巩固： cos123°cos63°+sin57°sin63°; sin(x+15°)cos(45°-x)+cos(x+15°)sin(45°-x) 在三角形ABC 中，已知sinA=4/5,cosB=-5/13，求cosC （判断cosA 值的正负，利用三角形只有一个钝角的性质，计算出答案） （2）两角和与差的正弦公式的引入 提问：利用上述公式你能导出两角和与差的正弦公式吗？ （利用角的余弦值等于其补角的正弦值这一个性质进行推导） 提问：推导出两角差的正弦公式之后，现在怎么推出两角和的公式？除了用上述推导方法，还有其他的方法吗？ （给学生一定的时间来记住刚学的知识点） (3)巩固与练习 例题1：求下列各式的值 sin72°cos42°-cos72°sin42°;(指出72°和42°分别相互对应，可以使用哪个公式) cos20°cos70°-sin20°sin70°; (cos34°-cos30°sin4°)/cos34°+sin30°sin4°; 例题2：化简下列各式 1 、Cos30°cosx-sin30°sinx; ) 21 6sin ,236cos 2 13cos ,233sin (sin 21cos 232====-ππππ或者利用、x x x x sin cos 33-、 教学模式 启发模式 通过启发，导入新课。 通过利用两角和与差的 余弦公式导出两角和与差的正弦公 式 巩固新课 通过练习，加强学生对新知识点的掌握 类比启发式 通过类比， 层层递进、深入，通过 正用逆用公 式，使学生正确掌握 教学方法 讲授法 通过回顾，对两角和与差的余弦公式进行复习 层层深入 启发法 利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式 练习法 通过习题，使学生对公式进一步理解、巩固 启发法 多方法讲解 讲授法 通过学生黑板演练，对错误进行讲解