高中数学课时作业：二次函数与幂函数
课时作业7 二次函数与幂函数
一、选择题
1．幂函数y ＝f (x )经过点(3,3),则f (x )是( D ) A ．偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数 B ．偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数 C ．奇函数,且在(0,＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数
解析:设幂函数的解析式为y ＝x α
,将(3,3)代入解析式得3α
＝3,解得α＝1
2,∴y
＝x
12
,其是非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是 增函数．
2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3,当x ∈[－2,＋∞)时,f (x )是增函数,当x ∈(－∞,－2]时,f (x )是减函数,则f (1)的值为( B )
A ．－3
B ．13
C ．7
D ．5
解析:函数f (x )＝2x 2
－mx ＋3图象的对称轴为x ＝m
4, 由函数f (x )的增减区间可知m
4＝－2, 所以m ＝－8,即f (x )＝2x 2＋8x ＋3, 所以f (1)＝2＋8＋3＝13.
3．(宁夏银川一中模拟)已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上,设a ＝
f ? ????33,b ＝f (lnπ),c ＝f ? ??
??
22,则a ,b ,c 的大小关系为( A ) A ．a D ．b 解析:∵点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上,∴? ???? m －1＝1， (m －1)m n ＝8，解得 ????? m ＝2，n ＝3， ∴f (x )＝x 3,且f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增, 又33<2 2<1 4.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A (－3,0),对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论: ①b 2>4ac ； ②2a －b ＝1； ③a －b ＋c ＝0； ④5a 其中正确的是( B ) A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③ 解析:因为图象与x 轴交于两点,所以b 2－4ac >0,即b 2>4ac ,①正确． 对称轴为x ＝－1,即－b 2a ＝－1,2a －b ＝0,②错误． 结合图象,当x ＝－1时,y >0,即a －b ＋c >0,③错误． 由对称轴为x ＝－1知,b ＝2a . 又函数图象开口向下,所以a <0,所以5a <2a ,即5a 5．(陕西西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ,x ∈[m,5]的值域是[－5,4],则实数m 的取值范围是( C ) A ．(－∞,－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5] 解析:∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4,∴当x ＝2时,f (2)＝4,由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5,解得x ＝5或x ＝－1,∴要使函数在[m,5]的值域是[－5,4],则－1≤m ≤2,故选C. 6．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数,且在(0,＋∞)单调递增,则f (2－x )>0的解集为( D ) A ．{x |－2 B ．{x |x >2,或x <－2} C ．{x |0 D ．{x |x >4,或x <0} 解析:函数f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数,则b －2a ＝0,故f (x )＝ax 2－4a ＝a (x －2)(x ＋2),因为在(0,＋∞)单调递增,所以a >0.根据二次函数的性质可知,不等式f (2－x )>0的解集为{x |2－x >2,或2－x <－2}＝{x |x <0,或x >4},故选D. 7．(河南南阳模拟)设函数f (x )＝mx 2－mx －1,若对于x ∈[1,3],f (x )<－m ＋4恒成立,则实数m 的取值范围为( D ) A ．(－∞,0] B.??? ???0，57 C ．(－∞,0)∪? ? ???0，57 D.? ????－∞，57 解析:由题意,f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时,x 2 －x ＋1∈[1,7],∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5 x 2－x ＋1 . ∵当x ＝3时,5x 2－x ＋1取最小值57,∴若要不等式m <5 x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立, 则必须满足m <5 7,因此,实数m 的取值范围为? ?? ??－∞，57,故选D. 二、填空题 8．已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ,m 2－m ]上的奇函数,则f (m )＝－1. 解析:由题意得m 2－m ＝3＋m , 即m 2－2m －3＝0,∴m ＝3或m ＝－1. 当m ＝3时,f (x )＝x －1,[－3－m ,m 2－m ]为[－6,6],f (x )在x ＝0处无意义,故舍去． 当m ＝－1时,f (x )＝x 3,[－3－m ,m 2－m ]为[－2,2],满足题意,∴f (m )＝f (－1)＝ (－1)3＝－1. 9．已知二次函数y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ,则顶点位置最高时函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋5. 解析:由题意可知y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3,所以该函数的顶点坐标为(－k ,－k 2－2k ＋3)． 设顶点的纵坐标为y ＝－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4,所以当k ＝－1时,顶点位置最高,此时函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋5. 10．(福建莆田一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1满足f (－x )＝f (x ＋1),若存在实数t ,使得对任意实数x ∈[1,m ],都有f (x ＋t )≤x 成立,则实数m 的最大值为3. 解析:函数f (x )＝x 2 ＋bx ＋1满足f (－x )＝f (x ＋1),则f (x )图象的对称轴为x ＝1 2, 则－b 2＝1 2,解得b ＝－1,∴f (x )＝x 2－x ＋1,由f (x ＋t )≤x 得(x ＋t )2－(x ＋t )＋1≤x ,即(x ＋t －1)2≤－t (t ≤0),∴1－t －－t ≤x ≤1－t ＋－t ,由题意可得1－t －－t ≤1,解得－1≤t ≤0,令y ＝1－t ＋－t ＝? ? ???－t ＋122＋34,可得1≤y ≤3,∴m ≤3,可得m 的最大值为3. 三、解答题 11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2,x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时,求函数f (x )的最大值和最小值； (2)求实数a 的取值范围,使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解:(1)当a ＝－1时,f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,x ∈[－5,5],所以当x ＝1时,f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时,f (x )取得最大值37. (2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a , 因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数, 所以－a ≤－5或－a ≥5,即a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围是(－∞,－5]∪[5,＋∞)． 12．(宁夏育才中学月考)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3,a ∈R . (1)若函数f (x )在(－∞,＋∞)上至少有一个零点,求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[a ,a ＋1]上的最大值为3,求a 的值． 解:(1)由Δ＝16－4(a ＋3)≥0,得a ≤1. 故实数a 的取值范围是(－∞,1]． (2)f (x )＝(x －2)2＋a －1. 当a ＋1<2,即a <1时,f (x )max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3,解得a ＝0,a ＝3(舍去)； 当a ＋1≥2,a ＋a ＋12≤2,即1≤a ≤3 2时,f (x )max ＝f (a )＝3,解得a ＝0或3(均舍)；当a ≤2,a ＋a ＋12>2,即32 －a ＝3,解得a ＝1±132(均舍)．当a >2时,f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2 －a ＝3,解得a ＝1＋132,a ＝1－13 2(舍去)． 综上,a ＝0或a ＝1＋13 2. 13．(河南南阳模拟)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)· x 4m 9－m 5－1 是幂函数,对任意的 x 1,x 2∈(0,＋∞),且x 1≠x 2,(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0, 若a ,b ∈R ,且a ＋b >0,ab <0,则f (a )＋f (b )的值( A ) A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断 解析:根据题意,得f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1 是幂函数,∴m 2－m －1＝1, 解得m ＝2或m ＝－1；又f (x )在第一象限是增函数,且当m ＝2时,指数为4×29－25－1＝2 015>0,满足题意；当m ＝－1时,指数为4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0,不满足题意；∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数,且是增函数；又∵a ,b ∈R ,且a ＋b >0,∴a >－b ,又ab <0,不妨设b <0,即a >－b >0,∴f (a )>f (－b )>0,f (－b )＝－f (b ),∴f (a )>－f (b ),∴f (a )＋f (b )>0,故选A. 14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x ),若对任意x ∈R ,不等式f (x )≥f ′(x )恒成立,求b 2 a 2＋2c 2 的最大值． 解:∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c , ∴f ′(x )＝2ax ＋b , ∵对任意x ∈R ,不等式f (x )≥f ′(x )恒成立, ∴ax 2＋bx ＋c ≥2ax ＋b ,化简可得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0, ∴Δ＝(b －2a )2－4a (c －b )＝ b 2＋4a 2－4a c ≤0且a >0,即b 2≤4ac －4a 2, ∴4ac －4a 2≥0,∴c ≥a >0, ∴c a －1≥0. ∴b 2 a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2 ＝4c a －41＋2c 2a 2＝4? ?? ?? c a －11＋2? ?? ? ?c a 2 . 令t ＝c a －1,则t ≥0,∴当t >0时,4t 1＋2(t ＋1)2 ＝ 42t ＋3t ＋4 ≤4 26＋4＝6－2,当且仅当t ＝6 2时取等号． 当t ＝0时,b 2a 2＋2c 2≤0,综上,当t ＝62时,? ???? b 2a 2＋2 c 2max ＝6－2. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2018·天津卷)已知a >0,函数f (x )＝ ? ???? x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2 ＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围是(4,8)． 解析:解法1:当x ≤0时,由x 2＋2ax ＋a ＝ax ,得a ＝－x 2－ax ；当x >0时,由－x 2 ＋2ax －2a ＝ax ,得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝???? ? －x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0. 作出直线y ＝a ,y ＝2a ,函数g (x )的图象如图所示, g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 2 4,由图象可知,若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解, 则a 4<2a ,得4 当x ≤0时,x 2＋2ax ＋a ＝ax ,即x 2＋ax ＋a ＝0,可得a ＝－x 2x ＋1 . 由a >0,可得x <－1. 可设函数g (x )＝－x 2 x ＋1,其中x ∈(－∞,－1)． 当x >0时,－x 2＋2ax －2a ＝ax , 即x 2 －ax ＋2a ＝0,可得a ＝x 2 x －2 . 由a >0,可得x >2. 可设函数h (x )＝x 2 x －2,其中x ∈(2,＋∞)． 对g (x )求异,可得g ′(x )＝－x 2＋2x (x ＋1)2. 令g ′(x )<0,可得x <－2； 令g ′(x )>0,可得－2 同理可得h (x )在(2,4)上单调递减,在(4,＋∞)上单调递增． 画出g (x )和h (x )的大致图象如图所示． 由图可知,满足题意的a 的取值范围是(4,8)． 2018- 2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册 28.3二次函数与实际问题同步课时作业（2） 一、选择题 1. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年 增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（） A、y=x2+a B、y=a(x-1)2 C、y=a(1-x)2 D、y=a(1+x)2 + 2. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若 这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获 得最大利润，则应降价（） A、5元 B、10元 C、15元 D、20 元 + 3. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万 元，则y关于x的函数关系式为（??） A、y=60（1﹣x）2 B、y=60（1﹣x2） C、y=60﹣x2 D、y=60 （1+x）2 + 4. 某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两 年后产品y与x的函数关系是（） A、y=20（1﹣x）2 B、y=20+2x C、y=20（1+x）2 D、 y=20+20x2+20x + 5. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设 平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的 函数关系式为（??） A、y=2a（x﹣1） B、y=2a（1﹣x） C、y=a（1﹣x2） D、 y=a（1﹣x）2 + 6. 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二 次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系 式为（??） A、y=﹣（x﹣13）2+59.9 B、y=﹣0.1x2+2.6x+31 C、y=0.1x2﹣ 2.6x+76.8 D、y=﹣0.1x2+2.6x+43 + 二、填空题 7. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2． + 8. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上 月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函 数关系式为y= ． + 9. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25 元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当 每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 4. 1二次函数的图 像 ［学业水平训练］ 1.（2014?潍坊高一检测）已知函数y=a^+bx+c的图像如图，则此函数的 解析式可能为（） A. 1 1 , B.尸尹一尹+3 C.y=—3 D.y=-|/-^+3 解析：选A.由图像可知，抛物线开口向上，日>0,顶点的横坐标为x=-辱0,故 方 <0,图像与y轴交于负半轴，故c<0. 2.已知臼V0, 方V0,那么抛物线y=ax+bx+2的顶点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四彖限 解析： 选B.抛物线开口向下，顶点的横坐标为龙=—￡<0,与y轴交于点（0, 2）.故图像如图 所示，顶点应在第二象限. 3.用配方法将函数『=2卄1写成y=a^x—ti）2 +的形式是（） A. y=|（^—2）'J—1 B. y=*（x—I）'—1 C. y=g（x—2尸一3 D. I）?—3 解析：选A. y=\x—2x+1 4^r+4) — 1 =^(^—2)2—1. 4.己知某二次函数的图像与函数y=2/的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点 为(-1,3),则此函数的解析式为() A. y=2(^-l)2+3 B. y=2(卄1) + C. y=—2 (x—1)2 + 3 D. y——2(x+l)'+3 解析：选D.设所求函数的解析式为y=a{x+H)2+ 3H0),由题意可知臼=—2,力=1, =3,故y=—2(卄1尸+3. 莖课时作业 ?>在学生用书中，此内容单独成册? 5.二次函数f{x） =ax+bx+c{a^）图像如图所示，有下列结论: ①自+方+ c<0； ②白一方+ c>0； 新苏科版九年级数学上册二次函数的图象课时作业1 （A ）一、基础夯实 1二次函数 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 最值 2x y = 12+=x y 2)3(2-=x y 4)5(2--=x y （2.由二次函数2)5(22+-=x y ，可知（ ） A.其图象开口向下 B.其图像的对称轴为直线5-=x C.其最小值为2 D.当5 对称，则A ′点的坐标是 ． 8.对于抛物线3)1(2 12++-=x y ，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为（-1,3）；④1>x 时，y 随x 的增大而减小，其中结论 正确的有 . 9.已知二次函数()k x y +-=2 12的图像上有A （2，y 1）,B( 2, y 2 ),C(-5,y 3) 三点，则y 1 , y 2, y 3的大小关系 . 10.画出函数()412--=x y 的图像，并根据图像写出当0 1、二次函数 1． 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式。 2． 若() m m x m m y -+=2 2是二次函数，求m 的值。 3． 用100cm 长的铁丝围成一个扇形，试写出扇形面积S （cm 2）与半径R （cm ）的函数关系式。 4． 已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式。 5． 等边三角形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式。 6． 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的 平面图是一排大小相等的长方形。 （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？ 2、函数2ax y =的图象与性质 1． 在同一坐标系内，画出下列函数的图象：（1）221x y = ；（2）2 2 1x y -=。 根据图象填空：（1）抛物线2 2 1x y = 的对称轴是 （或 ） ，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线2 2 1x y - =的对称轴是 （或 ） ，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2． 已知函数()4 2 2-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求： （1） 满足条件的m 的值； （2） m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 3． 对于函数2 2x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增 大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称。其中正确的是 。 4． 二次函数1 2 -=m mx y 在其图象对称轴的左则，y 随x 的增大而增大，求m 的值。 5． 二次函数2 2 3x y - =，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系。 6． 函数2 ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ） 课时作业(六)B[范围:5.2~5.3] 一、选择题 1.[2020·苏州吴江区期末]已知抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0,1),则抛物线的表达式为 () A.y=2x2+1 B.y=2x2-1 C.y=2x2+2 D.y=2x2-2 2.[2020·石家庄赵县期末]在同一坐标系中,抛物线y=4x2,y=x2,y=-x2的共同特点是() A.关于y轴对称,开口向上 B.关于y轴对称,y随x的增大而增大 C.关于y轴对称,y随x的增大而减小 D.关于y轴对称,顶点是原点 3.[2020·海南期末]二次函数y=a(x+h)2+k的图像如图K-6-4所示, 则一次函数y=hx+k的图像不经过的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限图K-6-4 D.第四象限 4.已知抛物线y=-3(x-2)2+5,若-1≤x≤1,则下列说法正确的是() A.y有最大值5 B.y有最小值-22 C.y有最大值32 D.y有最小值2 5.[2019·陕西]在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的m,n的值为() A.m=,n=- B.m=5,n=-6 C.m=-1,n=6 D.m=1,n=-2 6.若二次函数y=|a|x 2+bx+c(a≠0)的图像经过点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是() A.y1 新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质课时作业（含解析）新人教A 版必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质 一、选择题 1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2 ，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤ B B ．A ≥B C ．A B D ．A >B 解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝? ????a －b 22＋34 b 2≥0，所以A ≥B . 答案：B 2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a 课时作业(六) [第6讲 二次函数] [时间：35分钟 分值：80分] 基础热身 1．已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤ 3 B ．－3≤a ≤ 3 C ．00)，若f (m )<0，则f (m －1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．不确定 能力提升 5．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实根；③f (x )的图象关于点(0，c )对称；④方程f (x )＝0至多有两个实根．其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有两个零点x 1，x 2，且1 课时作业7 二次函数与幂函数 1．幂函数y ＝x －1 及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦 限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，则幂函数y ＝x 1 2 的图象经过的“卦限”是( D ) A ．④⑦ B ．④⑧ C ．③⑧ D ．①⑤ 解析：由y ＝x 1 2 ＝x 知其经过“卦限”①⑤，故选D. 2．(2019·郑州模拟)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2 －x 在同一坐标系内的图象可能是( A ) 解析：当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，y ＝(a －1)x 2 －x 开口向下，其对称轴为x ＝12a －1＜0，排除C ，D ；当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，y ＝(a －1)x 2 －x 开口向上，其 对称轴为x ＝ 1 2 a －1 ＞0，排除B.故选A. 3．(2019·福建模拟)已知a ＝0.40.3 ，b ＝0.30.4 ，c ＝0.3－0.2，则( A ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．a ＜b ＜c 解析：∵1＞a ＝0.40.3 ＞0.30.3 ＞b ＝0.30.4 ，c ＝0.3－0.2 ＞1，∴b ＜a ＜c ，故选A. 4．(2019·秦皇岛模拟)已知函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )＞0的解集是( C ) A ．(－4,2) B ．(－2,4) C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞) 解析：依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a ＞0)，于是f (x )＞0，解得x ＞2或x ＜－4. 5．已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈? ?????－2，－12时，n ≤f (x )≤m 二次函数的定义练习题 一、选择题 1、下列函数中,不是二次函数的是( ) x 2 B.y=2(x-1)2+4; C.y=1 2 (x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 2 2、下列函数中，是二次函数的有 ( ) ①2 21x y -= ②2 1 x y = ③)1(x x y -= ④)21)(21(x x y +-= A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、若二次函数32)1(2 2 --++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为( ) A 、-1或3 B 、-1 C 、3 D 、无法确定 4、在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( ) A.y=πx 2-4 B.y=π(2-x)2; C.y=-(x 2+4) D.y=-πx 2+16π 5、若y=(2-m)2 2 m x -是二次函数,则m 等于( ) A.±2 B.2 C.-2 D.不能确定 6、下列结论正确的是( ) A.二次函数中两个变量的值是非零实数; B.二次函数中变量x 的值是所有实数; C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数; D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零 二、填空题 7、已知函数y=(k+2)2 4 k k x +-是关于x 的二次函数,则k=________. 8、已知正方形的周长是acm,面积为Scm 2,则S 与a 之间的函数关系式为_____. 9.、填表: 10、在边长为4m y,则y 与x 间的 函数关系式为_________. 11、用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m 2)与x(m)之间的函数关 系式为________. 三、解答题 12、已知y 与x 2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y 与x 的函数关系式,并求当x=-3时,y 的值.当y=8时, 求x 的值. 小专题(三)二次函数的图象与性质 本专题包括二次函数的图象及性质的简单应用、二次函数图象上点的坐标特点、二次函数图象的平移变换等内容,属于中考热点问题,熟练掌握二次函数的图象及性质、对称轴、顶点坐标、二次函数的最值等知识点是解题的关键. 类型1二次函数的图象及应用 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①a>0;②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=-1或x=3时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是(B) A.3 B.2 C.1 D.0 2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是(C) 3.如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是 (D) A.y的最大值小于0 B.当x=0时,y的值大于1 C.当x=-1时,y的值大于1 D.当x=-3时,y的值小于0 类型2二次函数性质的应用 4.(泸州中考)已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离 与到x轴的距离始终相等.如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上一个动点,则△PMF周长的最小值是(C) A.3 B.4 C.5 D.6 提示:过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=x2+1于点P,此时△PMF周长最小. 5.如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0). (1)求m的值及抛物线的顶点坐标; (2)P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标. 解:(1)把点(3,0)代入y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2, ∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴顶点坐标为(1,4). (2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小, 设直线BC的表达式为y=kx+b, ∵直线BC经过点C(0,3),点B(3,0),∴3k+b=0,b=3, 解得k=-1,b=3, ∴直线BC的表达式为y=-x+3, 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 26.1 二次函数（4） ◆基础扫描 1. 抛物线2(8)2y x =--+的顶点坐标是 （ ） A 、（2，8） B 、（8，2） C 、（—8，2） D 、（—8，—2） 2. 抛物线的顶点坐标为P(1,3),且开口向下,则函数y 随自变量x 的增大而减小,那么x 的 取值范围为( ) A. x ＜3 B. x ＜3 C.x ＞1 D.x ＜1 3.二次函数22(1)3y x =+-的图象向右平移1个单位,再向上平移3个单位,所得到抛物线 的解析式为 。 4. 写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式 。 5.已知抛物线21(4)33 y x =--的部分图象如图所示,则图象再次与x 轴相交时的坐标是 . ◆能力拓展 6.已知点A(1, a )在抛物线2y x =上. (1)求A 点的坐标; (2)在x 轴上是否存在点P,使得△OAP 是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由. 7. 某农场种植一种蔬菜，销售员张华根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进 行了预测，预测情况如图所示，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份的关系。观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？ 答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数解析式。 ◆创新学习 8．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,生产第一档次(即最低档次)的产品一天生产76件,每件利润10元,每提高一个档次,利润每件增加2元. (1)当每件利润为16元时,此产品质量在第几档次? (2)由于生产工序不同,此产品每提高一个档次,一天产量减少4件.若生产第x 档次产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数,且1≤x ≤10),求出y 关于x 的函数关系式;若生产某挡次产品一天的总利润为1080元,该工厂生产的是第几档次的产品? 参考答案 1．B 2．C 3．22y x = 4．2y x =-等（答案不唯一） 5．（7，0） 6．(1)把A(1,a )代入2y x =得1a = ∴A(1,1) (2)存在.这样的点P 有四个,即1234((2,0),( 1,0)P P P P 7．此题答案不唯一，以下答案仅供参考： （1）2月份每千克销售价是3.5元； （2）7月份每千克销售价是0.5元； （3）1月到7月的销售价逐月下降； （4）7月到12月的销售价逐月上升； （5）2月与7月的销售差价是每千克3元； （6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；等． 8．(1)当每件利润是16元时,此产品的质量档次是在第四档次. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 考试时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题正确的是( D ) A ．若a >b ，则1a <1 b B ．若a >b >0，c >d ，则a ·c >b ·d C ．若a >b ，则a ·c 2>b ·c 2 D ．若a ·c 2>b ·c 2，则a >b [解析] 由题意，对于选项A 中，当a >0>b 时，此时1a >1 b ，所以A 是错误的；对于选项B 中，当0>c >d 时，此时不等式不一定成立，所以B 是错误的；对于选项C 中，当c ＝0时，不等式不成立，所以C 是错误的． 根据不等式的性质，可得若ac 2>bc 2时，则a >b 是成立的，所以D 是正确的． 2．若集合A ＝? ????? ??? ?x ??? x ＋2 x －1≤0，B ＝{x |－1 同步作业 一、二次函数的定义 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ； ②2 2x y =； ③x x y 422 +=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2 ； ⑦x y 4 = ； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252 +=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数54)82(2 2++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、已知函数1)3(7 2 ++=-m x m y 是二次函数，则m ＝ 。 5、若函数15)2(2 2 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数35)1(1 2 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。 二、二次函数)0(2≠=a ax y 的图象与性质 A 1. 二次函数2 21x y = 的顶点坐标是 ，对称轴是直线 。 2. 二次函数2 4 1x y =的图象开口 ，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜ 0时，y 随 x 的增大而 ；当x ＝ 0时，函数y 有最 值是 。 3. 二次函数2 3x y -=的图象开口 ，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜ 0时，y 随x 的增大而 ；当x ＝ 0时，函数y 有最 值是 。 4. 已知点A （2，1y ），B （4，2y ）在二次函数2 3x y -=的图象上，则1y 2y . 5. 已知点A （－2，1y ），B （4，2y ）在二次函数)0(2>=a ax y 的图象上，则1y 2y . 6. 在函数222)1(,32 1 ,,4,-=+=-===x y x y x y x y x y 中，其图象的对称轴是y 轴的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7. 抛物线2 2 1x y - =不具有的性质是（ ） A ．开口向下； B ．对称轴是y 轴； C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而减小； D ．函数有最小值 8. 抛物线2 228,5,4 1x y x y x y =-==共有的性质是（ ） A ．开口方向相同 B ．开口大小相同 C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而增大 D ．对称轴相同 5．1二次函数课时作业 一、二次函数的概念 1、在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”). (l ）y=-2x 2 ( ) (2）y=2(x-1)2+3 ( ) (3）y=-3x 2 -3 ( ) (4) s=a(8-a) ( ) 2、下列各式中，y 是x 的二次函数的是 ( ) A 2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ．2 2y ax -=- D ． 2 2 10x y -+= 3.当m 是何值时，下列函数是二次函数，并写出这时的函数关系式． (1)y=234 m m mx -+,m= ,y= ;(2) y=2 (1)m m m x ++,m= ,y= ; y=232 (4)m m m x -+-,m= ,y= . 4.下列函数中：①y =－x 2 ；②y =2x ；③y =22 +x 2 －x 3 ；④m =3－t －t 2 是二次函数的是______(其中 x 、t 为自变量). 5.下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)（）A.y =81x 2 B.y =12-x C.y =21 x D.y =a 2 x 6.函数y =ax 2 +bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A.a ≠0，b ≠0，c ≠0 B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0 D.a ≠0 7.已知函数y =(m 2 －m )x 2 +(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？ 二、列二次函数的解析式 1、已知正方形边长为3，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是 2、某工厂第一年的利润为20（万元），第三年的利润y （万元），与平均年增长率x 之间的函数关系式是 . 3、在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2 ，则y 与x 的函数关系式为 . 4、设一圆的半径为r ，则圆的面积S =______，其中变量是_____. 5、.如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直 的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2 .求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值 范围. 课时作业12二次函数的图象及性质 基础夯实 1.(2020·广东深圳)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是() A.abc>0 B.4ac-b2<0 C.3a+c>0 D.ax2+bx+c=n+1无实数根 2.(2020·贵州安顺)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程 ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0 5.(2020·浙江杭州)在平面直角坐标系中,已知函数y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正实数,且满足b2=ac.设函数y1,y2,y3的图象与x轴的交点个数分别为M1,M2,M3,下列说法中正确的是() A.若M1=2,M2=2,则M3=0 B.若M1=1,M2=0,则M3=0 C.若M1=0,M2=2,则M3=0 D.若M1=0,M2=0,则M3=0 6.(2020·黑龙江牡丹江、鸡西)将抛物线y=(x-1)2-5关于y轴对称,再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是. 7.(2020·浙江温州) 已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13). (1)求a,b的值; (2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值. 8. ,与x轴交于另一点(2020·黑龙江牡丹江、鸡西)已知抛物线y=a(x-2)2+c经过点A(-2,0)和点C0,9 4 B,顶点为D. (1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标; 二次函数基础课时练习题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 二次函数基础分类练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据 如下表： 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式. 2、 下列函数：① 23y x = ；② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21 y x x = +； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = 3、当m 时，函数()2 235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m =时，函数()2 221 m m y m m x --=+是关于x 的二次函数 5、当____m =时，函数()2 56 4m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 新苏科版九年级数学上册二次函数课时作业12 （1.抛物线42 12+-=x y 的图象开口 ，顶点坐标 ， 对称轴是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ， 当x 时，函数y 有最 值，是 . 与y 轴的交点 。与x 轴的交点 2.函数y=x 2-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，当x 时，函数y 有 最 值，是 . （B ）二、巩固提高 3.抛物线23y x =的图象向 平移 单位可得抛物线236y x =- 4.抛物线y=-2x 2+1向上平移2个单位后,再向下平移5个单位，所得 函数的解析式为 ，顶点坐标为___________。 5.在同一个坐标系内，描点画出下列二次函数的图像，并写出对称轴与 顶点. 2132y x =-+ 2122 y x =-- 师生交流: 等级: 整洁_________正确_________ 日期：____月____ （C ）三、拓展创新 6. 已知A(1，y 1)、B （2，y 2）、C(3，y 3)都在函数y= -x 2-3的图象上， 完善区 完善区 则y1，y2，y3的大小关系是； 已知A(-1，y1)、B（2，y2）、C(3，y3)都在函数y= -x2-3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是。 7.已知点（x 1,y 1 ）, （x 2 ,y 2 ）均在抛物线y=x2-1上，下列说法中正确的 A.若y 1=y 2 ，则x 1 =x 2 B.若x 1 =-x 2 ，则y 1 =-y 2 C.若0＜x 1＜x 2 ，则y 1 ＞y 2 D.若x 1 ＜x 2 ＜0，则y 1 ＞y 2 8.若正比例函数y=mx(m≠0),y随x的增大而减小。则它和二次函数 y=mx2+m的图象大致是（） A．B．C．D． xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分 一、xx题 评卷人得分 （每空xx 分，共xx分） 试题1: 抛物线y＝－3x2+2x－l的图象与坐标轴的交点个数是 ( ) A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 试题2: 抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是 ( ) A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 试题3: 二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是 ( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 试题4: 已知点(2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，那么该抛物线的对称轴为( ) A．x＝ B．x=1 C．x＝0 D．x=3 试题5: 直线y＝ax－6与抛物线y=x2－4x+3只有一个交点，则a的值为 ( ) A．a＝2 B．a=10 C．a＝2或a＝－10 D．a＝2或a＝10 试题6: 二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（） A B C D 试题7: 二次函数的图象经过点(0，－1)，且与x轴只有一个交点(－2，0)，则其解析式为( ) A．y＝－4x2－4x－1 B．y= C．y= D．y＝－ 试题8: 二次函数y＝ax2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为y＝－3x2，则a+b+c等于 ( ) A．－3 B.- 2 C．2 D．±2 试题9: 二次函数y＝(x－1)2+2的最小值为 ( ) A．－2 B．2 C．－1 D．1 试题10: 课时作业 (七) [ 第 7讲二次函数] ( 时间： 45 分钟分值：100分) 基础热身 1．已知二次函数y＝ x2－2ax＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数 a 的取值范围是() A．a≤2 或a≥3 B． 2≤a≤ 3 C．a≤－ 3 或a≥－ 2 D．－ 3≤a≤－ 2 2．函数y＝ (cos x－a) 2＋1，当 cos x＝a时有最小值，当cos x＝－ 1 时有最大值，则a 的取值范围是 () A．[ －1，0] B ．[ － 1，1] C．( －∞， 0] D ．[0 ，1] 22 3． [201 2·长春外国语学校月考]若函数f(x)＝(m－1)x＋(m－1)x＋1是偶函数，则 f ( x)在区间(－∞，0]上是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．增函数或常数 4．[2011 ·陕西卷 ]设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋ n＝0有整数根的充要条件是 ．． ________． 能力提升 [ 5．函数f ( x) ＝4x2－mx＋ 5 在区间 [ －2，＋∞ ) 上是增函数，则f (1) 的取值范围是( A．f (1) ≥25 B．f (1) ＝25n＝ ) C．f (1) ≤ 25 D ．f (1)>25 6．已知函数 f ( x)＝－ x2＋4x＋a， x∈[0，1]，若 f ( x)有最小值－2，则 f ( x)的最大值 为() A．－1 B ．0 C．1 D ．2 b2 7．[2012 ·昆明模拟]若函数y＝ax与y＝x在(0，＋∞ )上都是减函数，则y＝ ax ＋ bx 在( －∞， 0) 上是 () A．增函数 B ．减函数 C．先增后减 D ．先减后增 8．若f ( x) ＝x2－x＋a，f ( －m) ＜ 0，则f ( m＋ 1) 的值为 () A．正数 B ．负数 C．非负数 D ．与m有关 9．[2012 ·牡丹江一中期中 ]如图 K7－ 1 是二次函数f ( x) ＝x2－bx＋a的图象，其函数 f ( x ) 的导函数为′( ) ，则函数( x ) ＝ ln x ＋′( ) 的零点所在的区间是 () f x g fx 图K7－ 1 111 A.4 ， 2 B.2， 1 C．(1， 2)D．(2 ， 3) x2＋2x－3（－2≤ x<0）， 10．函数f ( x) ＝x2－2x－3（0≤x≤3）的值域是 ________． 11．方程 | x 2－2 |＝2＋ 1(∈(0 ，＋∞ )) 的解的个数是 ________ ． x a a 12．若x≥0，y≥0，且x＋ 2y＝ 1，那么 2x＋3y2的最小值为 ________． 13．[2012 ·北京卷 ]已知 f ( x)＝ m( x－2m)(x＋m＋3)，g( x)＝2x－2，若? x∈R，f ( x)<0 或g( x)<0，则 m的取值范围是________． 14． (10 分)[2012 ·正定月考]已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式 f ( x)<0的解集是(0，5)． (1)求 f ( x)的解析式； (2)对于任意 x∈[－1，1]，不等式 f ( x)＋ t ≤2恒成立，求 t 的范围． 15．(13 分) 设f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2 时，y＝f ( x) 的图象是顶点为P(3，4)，且过点 A(2，2)的抛物线的一部分．2018-2019学年数学人教版(五四学制)九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业(2)
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