信息经济学-计算题1
二、计算题（共3小题，每小题10分，总计30分） 1．假设生产函数为()11
220123f L ,K α + αL K + αL + αK =
，其中i 0α1≤≤，i 0,1,2,3=。请
您考虑如下问题： 1) 当()i αi 0,1,2,3=满足何种条件时，该生产函数表现出规模报酬不变特征？ 2)
证明：在规模报酬不变条件下，相应的边际产量是递减的。
1．解：根据里昂惕夫函数特征，必须确定最小的投入量。得到等产量线为
3)
18,12L K =≥或者18,12L K ≥=
同理，当产量为480时，等产量线为
4)
240,160L K =≥或者240,160L K ≥=
因此，最小成本为240216051280?+?=。
5)
……8分
画图：要求画出两条等产量线，等成本线。
表1 二人静态博弈
2．本题是三人博弈的典型案例。对于战略有限情况，通常采用划线法，用多个支付表表示该局势：
当参与人C 选择1时
给定参与人C 的选择，A 、B 的相对均衡是：（1，1）。此时参与人C 的战略也是最优的。于是得到一个纳什均衡（1，1，1）。 当参与人C 选择2时
给定参与人C 的选择，A 、B 的相对均衡是：（1，1）或（2，2）。当A 、B 都选2时，参与人C 的战略也是最优的。于是得到一个纳什均衡（2，2，2）。 同理可得到另一个纳什均衡（3，3，3）。 ……支付表4分，均衡2分一
3．考虑一个由三个寡头垄断者操纵的市场，反需求函数由()P Q a Q =-给出，其中123Q = q q q ++，
i q 为企业()i i 1,2,3=的产量。每一企业生产的边际成本为常数c ，没有固定成本。企业按如下顺序进
行产出决策：企业1首先选择1q 0≥；企业2和3观测到1q 后同时分别选择2q 和3q 。求出此博弈的子博弈精炼解。
3．解：企业1有两个信息集，因此企业1的战略空间是()
{}11
1
11,,H L
H L S q
q q q +
=∈?
，企业2只有
一个信息集，因此其战略空间是{
}22
2S q q +
=∈?
。
……2分
设均衡为
()()1
1
2
,,H L
q
q q ，则满足如下条件：
()
()()()()11
2*1112*1112*2212212arg m ax arg m ax arg m ax 1H
L
H H H H q L L L L q H L H L q q q a c q q q q a c q q q q a c q q q a c q q θθ?∈---???∈---??
?∈---+----??
……2分
对应如下充要条件：
()()*
21*
21
11*222
112
H H L L H L
H L a c q q a c q q a a c q q q θθθθ--?=??
--?=??
????+-?--+-????=?? ……3分
解方程即得贝叶斯均衡产量：
()()()()*
1*1
*23126
22613H H L L H L H L
a a c q a a c q a a c
q θθθθθθ?----=
???-++-=??
?+--=
??
dg 、计算题（共2小题，每小题15分，总计30分）
1．两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人都有四个纯战略：杠子、老虎、鸡、虫子。输赢规则是：杠子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杠子。两个人同时出令。如果一方打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为－1，否则效用都为0。写出这个博弈的支付矩阵，并求其纳什均衡。
解：根据题意，得到如下支付矩阵：
……5分
利用划线法可知，博弈没有纯战略的纳什均衡。不难看出，双方都没有（弱）占优策略。假设在均衡状态下，参与人1的混合战略为()1234,,,p p p p ，则根据支付等值化条件，参与人2的四个策略是无差异的，或者说：
24314213p p p p p p p p -=-=-=-
得到1324,p p p p ==。因此，参与人1的最优混合战略是()112
2
,
,,
p p p p --。利
用对称性，参与人2的最优混合战略也是()112
2
,
,,
p p p p --。纳什均衡是 ()()()
11112
2
2
2
,
,,
,,
,,
p p p p p p p p ----
2．考察如下双寡头模型。市场反需求函数为()P Q a Q
=-，其中12Q = q q +为市
场总产量，i q 为企业()i i 1,2=的产量。两个企业的总成本都为()i i i
c q cq =
，但需
求不确定：以θ的概率为高需求的，此时H
a a =；以()1θ-的概率为低需求的，
此时L a
a =。还有，信息也是非对称的：企业
1知道需求是高还是低，但企业2
不知道。所有这些都是公共知识。两企业同时进行产量决策。 1) 请确定这两个企业的战略空间。
2) 假定H a 、L a 、θ和c 的取值范围使得所有均衡产出都是正数，此博弈的贝叶
斯纳什均衡是什么？
3) 解：企业1有两个信息集，因此企业1的战略空间是
()
{}11
1
11,,H L
H L S q q q q +
=∈?
，企业
2只有一个信息集，因此其战略空间是
{}2
2
2S q
q +
=∈?
。
4) ……3分
5) 设均衡为()()112,,H L q q q ，则满足如下条件：
6) ()
()()()()11
2*1112*1112*2212212arg m ax arg m ax arg m ax 1H
L
H H H H q L L L L q H L H L q q q a c q q q q a c q q
q q a c q q q a c q q θθ?∈---???∈---??
?∈---+----??
7) ……2分
8) 对应如下充要条件：
9) ()()*
21*
21
11*222
112
H H L L H L
H L a c q q a c q q a a c q q q θθθθ--?=??
--?=??
????+-?--+-????=??
10) ……5分
11) 解方程即得贝叶斯均衡产量： ()()()()*1*1*2312622613H H L L H L H L
a a c
q a a c
q a a c
q θθθθθθ?----=
??
?-++-=
??
?+--=
??
二、计算题（共2小题，每小题15分，总计30分）
1．考察如下完全信息静态博弈，求其全部纳什均衡：
表1 双人静态博弈
解：根据划线法，可求得两个纯战略纳什均衡：（M ，L ）、（D ，R ）。根据奇数定理，该博弈可能存在混合战略纳什均衡。为确定混合战略均衡，先用重复剔除弱劣方法剔除掉参与人2的M 战略，
再剔除参与人1的U 战略，得到如下支付表： ……10分
设参与人1的混合战略为()
120,
,p p ，则在均衡状态下，对于参与人2有
1212
4536p p p p +=+
由于121p p +=，得到1122
p p ==
。因此，参与人1的最优混合战略是()
1122,。利用对称性，参与人2的最优混合战略也是()1122,。纳什均衡是()()()
1111
2222,,,。
2．给定古诺博弈：市场反需求函数为()P Q a Q
=
-，其中12Q = q q +为市场总产
量，i q 为企业()i i 1,2=的产量。两个企业的总成本都为()i i i
c q cq =。请您思考以
下问题：
1) 在完全信息静态条件下，这一博弈的纳什均衡是什么？它是帕累托最优的吗？
为什么？
2) 假设这一阶段博弈重复无限次。试问：在什么样的贴现条件下，企业选择冷
酷战略可保证产量组合()()(
)7724
24
,
a c a c --是子博弈精炼纳什均衡的？
2．解：在完全信息条件下，纳什均衡是()3
3
,a c
a c --，对应的支付是()
()()2
2
99
,
a c
a c --。
该均衡不是帕累托最优的。帕累托最优产量当满足总产量为2a c
-，对应的总支付
为()2
4a c -。
……6分
在无限重复下，如果给定产出组合是子博弈精炼的，对任意参与人，以下条件当满足：
()()()2
2
2171714891241a c a c a c δδδ????
-+-≤-????-??-??
其中左边第一项是背弃协议所得最大支付。