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导数及其应用(教师版)

导数及其应用(教师版)
导数及其应用(教师版)

导数及其应用

导数与定积分是微积分的核心概念之一,也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性,为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此,本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现,既考查数形结合思想,分类讨论思想,也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义,而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.

【知识网络】

【知识梳理】

一、导数的概念及导数运算 1、导数的定义:

(1)平均变化率:设函数)(x f y = 在点0x 及其附近有定义,当自变量x 在0x 处有增量x ?(x ?可正可负),则函数y 相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=? ,这两个增量的比x

x f x x f x

y ?-?+=

??)

()(00 ,叫做函数)(x f y = 在点0x 到x x ?+0 这间的平均变化率。

(2)函数)(x f y =在0x x =处的导数:如果0→?x 时,x

y

?? 有极限,则说函数)(x f y = 在点0x

处可导,并把这个极限叫做)(x f 在点0x 处的导数(或瞬时变化率),记作)(0x f '或0

x x y ='

即x

x f x x f x

y x f x x ?-?+=

??='→?→?)

()()(000

0lim

lim

(3)函数)(x f y =的导函数(导数):如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导,则说)(x f 在开区间),(b a 内可导,此时,对于开区间),(b a 内每一个确定的值0x ,都对应着一个确定的导数)(0x f ' ,这样在开区间),(b a 内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做)(x f 在开区间),(b a 内的导函数(简称

导数),记作)(x f ' 或y ' , 即 。

【认知】:

(Ⅰ)函数)(x f 的导数)(x f ' 是以x 为自变量的函数,而函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f ' 是一个数值;)(x f 在点0x 处的导数)(0x f ' 是)(x f 的导函数)(x f ' 在0x x =时的函数值。 (Ⅱ)求函数)(x f 在点0x 处的导数的三部曲:

①求函数的增量)()(00x f x x f y -?+=? ; ②求平均变化率

x

x f x x f x

y ?-?+=??)

()(00;

③求极限)(lim

00

x f x y

x '=??→?。 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

题型1:导数的概念

例1.已知s=

2

2

1gt ,求t=3秒的瞬时速度。

解析: 3

=t V

=0

lim

→?x t s

??=0

lim

→?x =?-?+t

s t s )

3()3(0

lim →?x t

g t g ?-

?+2

2

3

2

1)3(21

=

g 2

10

lim

→?x (6+)t ?=3g=29.4(米/秒)。

例2. 设函数 在点 处可导,且 ,试求

(1) ; (2) ;

解析:注意到

当 )

(1) ;

(2)

=A+A=2A

点评: 注意

的本质,在这一定义中,自变量x 在

处的增量 的

形式是多种多样的,但是,不论 选择哪一种形式,相应的

也必须选择相应的形式,这种步调的一

致是求值成功的保障。 练习:1. 求函数y=

2

4x

的导数。

解析:2

2

2

2

)

()2(44)

(4x x x x x x x

x x y ?+?+?-

=-?+=?,

2

2

)

(24x x x x x x

y ?+?+?

-=??

∴00

lim lim

→?→?=??x x x y

?????

??+?+?-22

)(24x x x x x =-38

x 。 点拨:掌握切线的斜率、 瞬时速度,它门都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定基础。 2. 如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ,,的坐标分别为(04)(20)(64),,,,,,则

(1)((0))f f = ; (2)0

(1)(1)

lim

x f x f x

?→+?-=? .

(用数字作答) 解析:f (0)=4,f (f (0))=f (4)=2,

由导数定义0Δlim

→x f (1+Δx )-f (1)

Δx

=f ′(1); 当0≤x ≤2时,f (x )=4-2x ,f ′(x )=-2,f ′(1)=-2.

2、导数的几何意义:

函数)(x f y = 在点0x 处的导数)(0x f ' ,是曲线)(x f y = 在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率。即)(0x f k '=

2 B

C A y x

1 O 3 4 5 6

1

2 3 4

题型2:导数的几何意义

例3.(1)若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )

A .430x y --=

B .450x y +-=

C .430x y -+=

D .430x y ++= (2)在曲线C : 上,求斜率最小的切线所对应的切点。(2,-12)

(3)曲线1y x =和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 4

3

例4. 已知曲线C :x x x y 2323+-=, 直线l :kx y =与曲线C 相切于点),(00y x P (x 0≠0),求直线l 的方程及切点坐标.

解析:由l 过原点,知k =y 0x 0

(x 0≠0),又点P (x 0,y 0) 在曲线C 上,y 0=x 30-3x 2

0+2x 0,

所以 y 0x 0=x 20-3x 0+2.; 而y ′=3x 2-6x +2,k =3x 20-6x 0+2.

又 k =y 0x 0

; 所以3x 20-6x 0+2=x 2

0-3x 0+2,其中x 0≠0,

解得x 0=32.; 所以y 0=-38,所以k =y 0x 0=-1

4

所以直线l 的方程为y =-14x ,切点坐标为(32,-3

8).

变式练习:若函数y =x 3

-3x +4的切线经过点(-2,2),求此切线方程. 解析:设切点为P (x 0,y 0),则由 y ′=3x 2-3得切线的斜率为k =3x 20-3.

所以函数y =x 3-3x +4在P (x 0,y 0)处的切线方程为 y -y 0=(3x 20-3)(x -x 0). 又切线经过点(-2,2),得 2-y 0=(3x 2

0-3)(-2-x 0),①

而切点在曲线上,得y 0=x 30-3x 0+4, ② 由①②解得x 0=1或x 0=-2. 则切线方程为y =2 或 9x -y +20=0.

点拨:(1)导数值对应函数在该点处的切线斜率;

(2)注意区别曲线在某点的切线和过某点的切线;

(3)导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的效果。

练习:1. 设函数2

)()(x x g x f +=,曲线y=g (x )在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ,则曲线

)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率为 4 ;

2. 过原点作曲线x

e y =的切线,则切点坐标为),1(e ,切线的斜率为e 。

3. 曲线3x y = 在点)(0),(3

≠a a a 处的切线与x 轴,直线a x =所围成的三角形面积为

6

1 ,则

= 。1±

3、导数的运算及导数运算法则

(1)常见基本初等函数的导数(求导公式) 常数的导数: (c 为常数),即常数的导数等于0。

幂函数的导数: 。

正弦函数的导数:

; 余弦函数的导数:

对数函数的导数:(Ⅰ)x

x 1)(ln =' ; (Ⅱ)a

x e x x a

a

ln 1log

1)(log

=

='

指数函数的导数:(Ⅰ)x x e e =')( ; (Ⅱ)a a a x x ln )(=' 。 (2)导数的运算法则:设

为可导函数,则有:

; ; 。

(3)复合函数的导数:

设)(),(x u u f y ?==,复合成以x 为自变量的函数)]([x f y ?= ,则复合函数)]([x f y ?= 对自

变量x 的导数x y ',等于已知函数对中间变量)(x u ?= 的导数

u y ' ,乘以中间变量u 对自变量x 的导数x u ' , 即x u x u y y '?'=' 。

【认知】:

认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即从外向内分析:首先由最外层的主体函数结构设出

,由第一层中间变量

的函数结构设出

,由第二层中间变量

函数结构设出 ,由此一层一层分析,一直到最里层的中间变量 为自变量x 的简单函数

为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条:

题型3:导数的基本运算

例5.求下列函数的导数:

(1))1)(1(2

-+=x x y ; (2) )11)(1(-+=x

x y ; (3) 1

1+-=

x x y ;

(4)x e y x ln ?=; (5)2

cos

2

sin

x x x y -=

练习:(1)2

4x

y =; (2)e e y x x x +-=23; (3)x x x y sin cos -=;

(4))11(3

2

x

x

x x y +

+=; (5)y=x

x

sin 2

; (6)y =

x

x x x

x 9532

-+-;

点拨:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为零,而后再实施求导运算,特别是积、商的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时,“先变后求”的手法显然更为灵巧。

例6.写出由下列函数复合而成的函数并求复合函数的导数:

(1)1,cos 2

+==x u u y ; (2)x u u y ln ,ln == ; (3)5u y =,32-=x u ;

解析:(1)y=cos(1+2X ); (2)y=ln(lnx); (3)5

)32(-=x y ;

点评:运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数;

②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求;

③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。 练习:1. 求下列复合函数的导数: (1)x

y 1

log

2

=; (2))3

2sin(π+

=x y ; (3)k x

xe y =; (4)x

e

x x y 22)32(+-=;

2. 设x x f sin )(0=,)()(01x f x f '=,)()(12x f x f '=,…,)()(1x f x f n n '=+,N n ∈,则

( ) A. B.

C .

D.

导数的概念与运算

一、选择题(每小题5分,共30分) 1.设函数f (x )=(x +1)2(x -2),则lim x

→-

1

f ′(x )

x +1

等于 ( )

A .6

B .2

C .0

D .-6

解析:因为f ′(x )x +1=(x +1)2

+2(x +1)(x -2)x +1=3x -3,所以lim x →-1 f ′(x )

x +1=-6,故选D. 答案:D

2.若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y -8=0互相垂直,则l 的方程为

( )

A .4x -y -3=0

B .x +4y -5=0

C .4x -y +3=0

D .x +4y +3=0

解析:因为l 与直线x +4y -8=0互相垂直,所以l 的斜率为4.因为y ′=4x 3,所以由切线l 的斜率是4得4x 3=4,所以x =1,所以切点坐标为(1,1).所以切线方程为y -1=4(x -1),即4x -y -3=0,故选A.

答案:A

3.若函数f (x )=e x sin x ,则此函数图象在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为

( )

A.π

2

B .0

C .钝角

D .锐角

解析:f ′(x )=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x )=2e x sin(x +π4).f ′(4)=2e 4sin(4+π

4

)<0.则此函数图象在

点(4,f (4))处的切线的倾斜角为钝角,故选C.

答案:C

4.函数f (x )=ax 3+bx 2-2x (a 、b ∈R ,且ab ≠0)的图象如图1所示,且x 1+x 2<0,则有

( )

图1

A .a >0,b >0

B .a <0,b <0

C .a <0,b >0

D .a >0,b <0

解析:由图象知f (x )=ax (x -x 1)(x -x 2),当x >x 2时f (x )>0,则a >0,又比较系数得-a (x 1+x 2)=b ,又因为x 1+x 2<0,所以b >0,故选A.

答案:A 5.(2009·全国卷Ⅰ)已知直线y =x +1与曲线y =ln(x +a )相切,则a 的值为

( )

A .1

B .2

C .-1

D .-2

解析:对y =ln(x +a )求导得y ′=1x +a ,设切点为(m ,n ),则切线斜率为1

m +a

=1,m +a =1,n =ln(m

+a )=ln1=0,再由(m ,n )在直线y =x +1上得m =-1,从而得a =2.故选B.

答案:B

6.函数y =

x

sin x

,x ∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下图中的 ( )

解析:y =x

sin x ,x ∈(-π,0)∪(0,π)为偶函数,y ′=sin x -x cos x sin 2x

当x ∈(0,π

2)时,y ′=cos x (tan x -x )sin 2x

>0;

当x ∈[π

2,π)时,y ′=sin x -x cos x sin 2x

>0.则x ∈(0,π)时,y ′>0,函数为增函数,

同时,x ∈(-π,0)时,函数为减函数,

又当x ∈(0,π2)时,sin x

sin x

>1.故选C.

答案:C

二、填空题(每小题5分,共20分)

7.已知曲线y =x +1

x ,则y ′|x =1=________.

解析:y ′=(x +x -12)′=1-12x -32=1-1

2x x

∴y ′|x =1=1

2.

答案:1

2

8.(2009·湖北高考)已知函数f (x )=f ′(π4)cos x +sin x ,则f (π

4

)的值为__________.

解析:∵f (x )=f ′????

π4cos x +sin x ,

∴f ′(x )=-f ′????

π4sin x +cos x ,

∴f ′????π4=-f ′????π4sin π4+cos π4, ∴f ′????π4=2-1,从而有f ????π4=(2-1)cos π4+sin π4=1. 答案:1 9.(2009·北京高考)设f (x )是偶函数.若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f (-1))处的切线的斜率为__________.

解析:依题知f ′(1)=lim Δx →0 f (1+Δx )-f (1)

Δx

=1,

∵f (x )是偶函数,

∴f ′(-1)=lim Δx →0 f (-1+Δx )-f (-1)

Δx

=lim

Δx→0f(1-Δx)-f(1)

Δx

=-lim

Δx→0

f(1-Δx)-f(1)

-Δx

=-f′(1)=-1.

答案:-1

10.半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子:__________②,②式可以用语言叙述为:__________________________.

答案:(4

3

πR3)′=4πR2

球的体积函数的导数等于球的表面积函数.

三、解答题(共50分)

11.(15分)求下列各函数的导数:

12.(15分)设有抛物线C:,通过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.

(1)求k的值;

(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.

13.(20分)设函数f(x)=ax +1

x +b

(a ,b ∈Z ),曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =3.

(1)求f (x )的解析式;

(2)证明:函数y =f (x )的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;

(3)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值.

解:(1)f ′(x )=a -1

(x +b )2,于是

?

??

2a +12+b =3,

a -1

(2+b )

2=0,

解得?

????

a =1,

b =-1或

???

a =94

b =-83.

;因a ,b ∈Z ,故f (x )=x +1

x -1

.

(2)已知函数y 1=x ,y 2=1x 都是奇函数,所以函数g (x )=x +1

x

也是奇函数,其图象是以原点为中心的中

心对称图形.

而函数f (x )=x -1+1

x -1

+1.

可知,函数g (x )的图象按向量a =(1,1)平移,即得到函数f (x )的图象,故函数f (x )的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.

(3)在曲线上任取一点(x 0,x 0+1

x 0-1

).

由f ′(x 0)=1-1(x 0-1)2

知,过此点的切线方程为y -x 20-x 0+1

x 0-1=[1-1(x 0-1)2](x -x 0). 令x =1,得y =x 0+1x 0-1,切线与直线x =1的交点为(1,x 0+1

x 0-1

).

令y =x ,得x =2x 0-1,切线与直线y =x 的交点为(2x 0-1,2x 0-1). 直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为 12|x 0+1x 0-1-1||2x 0-1-1|=12|2x 0-1||2x 0-2|=2. 所以,所围三角形的面积为定值2.

二、导数的应用 1. 导数与函数的单调性:

一般地,设函数)(x f y = 在开区间),(b a 内可导,

(1)如果在),(b a 内, 0)(>'x f ,则)(x f 在此区间上是增函数,),(b a 为函数)(x f 的单调增区间;

(2)如果在),(b a 内, 0)(<'x f ,则)(x f 在此区间上是减函数,),(b a 为函数)(x f 的单调减区间;

(3)如果在),(b a 内恒有0)(='x f ,则在开区间),(b a 上函数)(x f 为常函数。 2. 利用导数求函数单调性的步骤:

(Ⅰ)确定函数f (x )的定义域D ;(Ⅱ)求导数)(x f ';

(Ⅲ)根据f ′(x )>0,且x ∈D ,求得函数f (x )的单调递增区间;根据f ′(x )<0,且x ∈D ,求得函数f (x )的单调递减区间.

【认知】:

(Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D ,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D 。若由不等式0)(>'x f 确定的x 的取值集合为A ,由0)(<'x f 确定的x 的取值范围为B ,则应用

(Ⅱ)在某区间内0)(>'x f (或0)(<'x f )是函数)(x f 在该区间上为增(或减)函数的充分(不必要)条件。因此方程0)(='x f 的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定 0)(='x f 的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,它们也可能是增、减区间的分界点。

例如:(1) 是R 上的可导函数,也是R 上的单调函数,但是当x=0时, 。

(2) 在点x=0处连续,点x=0处不可导,但 在(-∞,0)内递减,在(0,+∞)内

递增。

题型1: 利用导数求函数的单调区间及已知函数的单调区间确定参数的取值范围

例1. 已知函数))(1ln()(2

R a x a ax x x f ∈---=,求函数)(x f 的单调区间.

解析: 函数f (x )=x 2-ax -a ln(x -1)的定义域是(1,+∞).

f ′(x )=2x -a -

a x -1

2x (x -a +2

2

)x -1

①若a ≤0,则a +2

2

≤1,f ′(x )=

2x (x -

a +2

2

)

x -1

>0在(1,+∞)上恒成立,所以a ≤0时,f (x )的增区

间为(1,+∞).

②若a >0,则

a +2

2

>1,

故当x ∈(1,

a +2

2

]时,f ′(x )=

2x (x -

a +2

2

)

x -1≤0;当x ∈[

a +2

2

,+∞)时,f ′(x )=2x (x -

a +2

2

)x -1

≥0,

所以a >0时,f (x )的减区间为(1,

a +2

2

],f (x )的增区间为[

a +2

2

,+∞). 点拨: 在定义域x >1下,为了判定f ′(x )符号,必须讨论实数a +2

2

与0及1的大小,分类讨论是解

本题的关键.

例2. 已知函数ax x x x f -+=ln )(2在(0,1)上是增函数,求a 的取值范围.

解析: 因为f ′(x )=2x +1

x

-a ,f (x )在(0,1)上是增函数,

所以2x +1x -a ≥0在(0,1)上恒成立, 即a ≤2x +1

x

恒成立.

又2x +1x ≥22(当且仅当x =2

2

时,取等号); 所以a ≤22,

故a 的取值范围为(-∞,22].

点拨:当f (x )在区间(a ,b )上是增函数时?f ′(x )≥0在(a ,b )上恒成立;同样,当函数f (x )在区间(a ,b )上为减函数时?f ′(x )≤0在(a ,b )上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.

练习:1. 设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0

0)()()()(>'+'x g x f x g x f ,且0)3(=-g ,则不等式0)()(

A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3) 2. 已知函数'()f x 、'()g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数,它们在同一坐标系下的图象如图所示: ①若(1)1f =,则(1)f -= ;

② 设函数()()(),h x f x g x =-则(1),(0),(1)h h h - 的大小关系为 .()1()1()0(-<

O

x

1

()

f x '()

g x 'y

1

-1

1

-

3. 是否存在实数k ,使得函数2

123

2)(2

342+

+--=x kx x x k x f 在区间(1,2)上递减,在(2,+

∞)上递增,若存在,求出这样的k 值;

解析:

由题意,当 时 ,当x ∈(2,+∞) 时

∴由函数 的连续性可知

;整理得 ;解得

或 检验:(Ⅰ)当 时,

∴若 ,则

;若

, 则 , 符合题意;

(Ⅱ)当 时, ,

显然不合题意。 于是综上可知,存在 使

在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增。

点拨:对于(1),由已知条件得 ,并由此获得k 的可能取值,进而再利用已知条件对所得k 值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

4. 已知函数 的图象在点

处的切线方程为

(Ⅰ)求函数 的解析式;(Ⅱ)求函数

的单调区间。 解析:(Ⅰ)由函数 的图象在点 处的切线方程为

知:

,即

∴ ; 即

解得

; 所以所求函数解析式

(Ⅱ)

令 解得

当 或

时,

;当

时,

所以

在 内是减函数,在

内是增函数。

2. 函数的极值

(1)函数极值的定义:

已知函数)(x f y =在点0x 附近有定义,

①如果对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f >,则称函数)(x f 在点0x 处取得极大值,记作

,并把0x 称为函数)(x f 的一个极大值点.

②如果对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f <,则说)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值,记作

③极大值与极小值统称为极值.

【认知】:由函数极值的定义可知:

(Ⅰ)函数的极值点定义域∈0x ,并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得;

(Ⅱ)极值是一个局部概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值;

(Ⅲ)当函数)(x f 在区间],[b a 上连续且有有限个极值点时,函数)(x f 在],[b a 内的极大值点,极小值点交替出现。

(2)函数极值的判定方法及步骤:设函数

可导,且在点 处连续,

(Ⅰ)求导数

;(Ⅱ)求方程

的根

(Ⅲ)判断f ′(x )在方程根左右的值的符号,确定f (x )在这个根处取极大值还是取极小值.

①如果在点 附近的左侧,右侧,则 为极大值; ②如果在点

附近的左侧 ,右侧

,则

为极小值;.

③如果在点

的左、右两侧

符号不变,则)(0x f 不是函数极值.

注意:导数为0的不一定是极值点,我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。

题型2:导数与函数的极值 例3. 函数 有极值的充要条件为( )

A. B. C. D.

分析: ∴当 时, 且 ;

当 时,令

有解,

因此

才有极值,故应选C 。

例 4. 已知函数

,当且仅当 时, 取得极值,并且极大

值比极小值大4. (1)求常数 的值;(2)求

的极值。 解:(1) ,

令 得方程

处取得极值; ∴

或 为上述方程的根,

故有∴,即①

又∵仅当时取得极值,∴方程的根只有或,

∴方程无实根,∴即

而当时,恒成立,

∴的正负情况只取决于的取值情况

当x变化时,与的变化情况如下表:

1 (1,+∞)

+ 0 —0 +

极大值极小值

∴在处取得极大值,在处取得极小值。

由题意得;整理得②

于是将①,②联立,解得

(2)由(1)知,

点拨:循着求函数极值的步骤,利用题设条件与的关系,立足研究的根的情况,乃是解决此类含参问题的一般方法,这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,突出了“导数

”与“在处取得极值”的必要关系。

练习:已知,讨论导数的极值点的个数。

解析:

令,得

(1) 当,即或时,方程有两

个不同的实根、,不防设,于是,从而有下表:

+ 0 — 0 +

为极大值

为极小值

即此时 有两个极值点; (2) 当 即

时,方程 有两个相同的实根 , 于是

,故当

时,

;当

时,

,因此

无极

值;

(3) 当 即 时,

, 而 ,故

为增函数。此时

无极值; ∴当

时,

有两个极值点;当

时,

无极值点。

3. 函数的最大值与最小值

(1)函数)(x f 在闭区间],[b a 上有最值的条件:

如果在闭区间],[b a 上函数)(x f y 图象是一条在开区间 内连续的函数 不一定有最大值

与最小值。 连续不断的曲线,那么它在闭区间],[b a 上必有最大值和最小值.函数的最值必在极值点或区间端点取得.

【认知】:

(Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体概念:最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

(Ⅱ)函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能在区间内点取得;函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝对性),最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。 (Ⅲ)若 在开区间

内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)

值。

(2)求函数最大(小)值的步骤:设函数

上连续,在

内可导,

(I )求 在 内的极值;(II )求

在闭区间端点处的函数值 , ;

(III )将

的各极值与 ,

比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值。

引申:若函数 在 上连续,则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化:

(I )求出)(x f 的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);

(II )计算并比较)(x f 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值。

题型3:导数与最值

例5. 求函数24

1

)1ln()(x x x f -+=在区间[0,2]上的最大值和最小值.

解析: f ′(x )=11+x -12x ,令11+x -1

2

x =0,化简为x 2+x -2=0,解得x 1=-2或x 2=1,其中x 1=

-2舍去.

又由f ′(x )=11+x -1

2

x >0,且x ∈[0,2],得知函数f (x )的单调递增区间是(0,1),同理, 得知函

数f (x )的单调递减区间是(1,2),所以f (1)=ln 2-1

4

为函数f (x )的极大值.又因为f (0)=0,f (2)=ln 3

-1>0,f (1)>f (2),所以,f (0)=0为函数f (x )在[0,2]上的最小值,f (1)=ln 2-1

4

为函数f (x )在[0,2]

上的最大值.

点拨: 求函数f (x )在某闭区间[a ,b ]上的最值,首先需求函数f (x )在开区间(a ,b )内的极值,然后,将f (x )的各个极值与f (x )在闭区间上的端点的函数值f (a )、f (b )比较,才能得出函数f (x )在[a ,b ]上的最值.

例6. 已知函数f (x )=1

2

x 2+ln x .

(1)求函数f (x )在区间[1,e]上的值域; (2)求证:对?x >1,恒有f (x )<2

3

x 3.

解析:(1)由已知f ′(x )=x +1

x

当x ∈[1,e]时,f ′(x )>0,因此f (x )在 [1,e]上为增函数. 故f (x )max =f (e)=e 22+1,f (x )min =f (1)=1

2,

因而f (x )在区间[1,e]上的值域为[12,e 2

2

+1].

(2)证明:令F (x )=f (x )-23x 3=-23x 3+12x 2+ln x ,则F ′(x )=x +1x -2x 2

=(1-x )(1+x +2x 2)x ,

因为x >1,所以F ′(x )<0,故F (x )在(1,+∞)上为减函数. 又F (1)=-1

6<0, 故x >1时,F (x )<0恒成立,

即f (x )<23

x 3

.

点拨:有关“超越性不等式”的证明,构造函数,应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.

例7.从边长为a

2的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖长方体铁盒,要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t(t>0).试问当x取何值时,容积V 有最大值?

解析: V=x(2a-2x)2=4(a-x)2·x.

∵≤t,∴0

∴函数V=V(x)=4x(a-x)2的定义域为 .显然

∴V′=4(x-a)(3x-a).

由V′>0,得0a,此时V(x)为增函数;由V′<0,得

①当≤,即t≥时,

在x= 时,V有最大值 a3;

②当 < ,即0

在x= 时,V有最大值 .

点拨:在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.

练习:1. 已知的最大值为3,最小值为-29,求的值;

解析:1. 这里,不然与题设矛盾

令,解得或x=4(舍去)

(Ⅰ)若,则当时,,在内递增;

当时,,在内递减

又连续,故当时,取得最大值

∴由已知得

∴此时的最小值为

∴由得

(Ⅱ)若,则运用类似的方法可得当时有最小值,故有;

∴当时,有最大值,

∴由已知得

于是综合(Ⅰ)(Ⅱ)得所求 或

2. 已知

,函数

(I )当 为何值时, 取得最小值?证明你的结论; (II )设

上是单调函数,求实数的取值范围。

解析:(Ⅰ)

令 则

;从而

,其中

当 变化时,

的变化情况如下表

+ 0 — 0 +

极大值

极小值

∴ 在

处取得极大值, 处取得极小值 当 时 ,

,且

在 为减函数,在 为增函数

而当时, ,当

∴当 时 取最小值;

(Ⅱ)当 时

在 上为单调函数的充要条件是

,解得

综上, 在 上为单调函数的充要条件为

, 即 的取值范围为)

题型4:导数与函数的综合应用

例8. 设函数R x x m mx

x x f ∈-+-=

,

)4(31)(2

2

3

.

(1)当3=m 时,求曲线)(x f y =在点)

,()2(2f 处的切线方程; (2)已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0,α,β,且α<β.若对任意的x ∈[α,β],都有)1()(f x f ≥恒成立,求实数m 的取值范围.

【解析】(1)当m =3时,f (x )=13

x 3-3x 2+5x ,f ′(x )=x 2

-6x +5.

因为f (2)=23,f ′(2)=-3,所以切点坐标为(2,2

3

),切线的斜率为-3,

则所求的切线方程为y -2

3

=-3(x -2),即9x +3y -20=0.

(2)f ′(x )=x 2

-2mx +(m 2-4).

令f ′(x )=0,得x =m -2或x =m +2.

当x ∈(-∞,m -2)时,f ′(x )>0,f (x )在(-∞,m -2)上是增函数; 当x ∈(m -2,m +2)时,f ′(x )<0,f (x )在(m -2,m +2)上是减函数; 当x ∈(m +2,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(m +2,+∞)上是增函数.

因为函数f (x )有三个互不相同的零点0,α,β,且f (x )=13

x [x 2-3mx +3(m 2

-4)],

所以???≠->--.

0)4(3,0)4(12)3(2

22m m m 解得m ∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4). 当m ∈(-4,-2)时,m -2<m +2<0, 所以α<m -2<β<m +2<0.

此时f (α)=0,f (1)>f (0)=0,与题意不合,故舍去. 当m ∈(-2,2)时,m -2<0<m +2, 所以α<m -2<0<m +2<β.

因为对任意的x ∈[α,β],都有f (x )≥f (1)恒成立, 所以α<1<β.

所以f (1)为函数f (x )在[α,β]上的最小值.

因为当x =m +2时,函数f (x )在[α,β]上取最小值, 所以m +2=1,即m =-1.

当m ∈(2,4)时,0<m -2<m +2, 所以0<m -2<α<m +2<β.

因为对任意的x ∈[α,β],都有f (x )≥f (1)恒成立, 所以α<1<β.

所以f (1)为函数f (x )在[α,β]上的最小值.

因为当x =m +2时,函数f (x )在[α,β]上取最小值, 所以m +2=1,即m =-1(舍去). 综上可知,m 的取值范围是{-1}.

例9. 已知函数

(Ⅰ)求 的单调区间和值域; (Ⅱ)设 ,函数

,若对于任意 ,总存在 ,

使得

成立,求 的取值范围。

解析:(Ⅰ)由 得 或

∵ ∴ (舍去)

随x 的变化情况如下表:

(完整word版)第一章导数及其应用测试题(含答案)

第一章导数及其应用测试题 一、 选择题 1.设x x y sin 12-=,则='y ( ). A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B .x x x x x 2 2sin cos )1(sin 2-+- C .x x x x sin )1(sin 22-+- D .x x x x sin ) 1(sin 22--- 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ) . A . 54 B .52 C .51 D .5 3 3.已知2)3(',2)3(-==f f ,则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为( ). A .4- B .0 C .8 D .不存在 4.曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为( ). A .126-=x y B .1612-=x y C .108+=x y D .322-=x y 5.已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x , )0,(2x ,且)(x f 在1=x ,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为( ) A .4 B .5 C .6 D .不确定 6.在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3, 当)1,0(∈x 取得极大值,当)2,1(∈x 取得极小值,则 1 2 --a b 的取值范围是( ). A .)1,4 1( B .)1,2 1( C .)4 1,21(- D .)2 1,21(- 7.函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为( ). A .]21,21[2π e B .)2 1 ,21(2πe C .],1[2πe D .),1(2π e 8.积分 =-? -a a dx x a 22( ).

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明:

(1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函数在点x 0处不可导, 或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤: (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( .)' ''v u v u ±=± 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即: .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: .)(''Cu Cu = 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -(v ≠0)。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y '|x = y '|u ·u '|x 五、导数应用 1、单调区间: 一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,

原函数与导函数的关系

课题:探究原函数与导函数的关系 首师大附中 数学组 王建华 设计思路 这节课就是在学完导数与积分之后,学生从大量的实例中对原函数与导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律与对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上,最终登上高峰体会一览众山小的乐趣与成就感。教师实际上就是在引导学生进行一次理论的探险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要,重要的就是研究相互关联的事物的一般思路与方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1、 从经验观察发现,猜想得命题p,q 、 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求导,比较容易上手。 2、 学生自然会想到这个命题的逆命题就是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于y 轴对称的性质能够保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3、 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称,研究前面的四个命题还就是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4、已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1、加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2、增强学生对函数对称性的理解与抽象概括表达能力; 3体验研究事物的角度,一个新定理就是怎样诞生的,怎样才就是全面地认识了一个事物。4、培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,您能根据原函数的图像画出导函数的示意图不? 一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。 问题1 已知函数()y f x =的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。 3()f x x = 2'()3y f x x ==

高二数学导数及其应用练习题及答案

(数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 2.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( ) 3.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞ B .]3,3[- C .),3()3,(+∞--∞ D .)3,3(- 4.对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有( ) A . (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示, 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二、填空题 1.若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值,则常数c 的值为_________;

2.函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3.设函数())(0)f x ??π=+<<,若()()f x f x '+为奇函数,则?=__________ 4.设3 2 1()252 f x x x x =- -+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的 取值范围为 。 5.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1.求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2.求函数y = 3.已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围。 4.已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞,是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件:(1))(x f 在(0,1)上是减函数,在[)1,+∞上是增函数;(2))(x f 的最小值是1,若存在,求出a b 、,若不存在,说明理由. (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1.A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

【高中数学选修2-2:第一章-导数及其应用-单元测试题

数学选修2-2第一章 单元测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )的图像如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.在区间[12,2]上,函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=2x +1 x 2在 同一点处取得相同的最小值,那么f (x )在[1 2 ,2]上的最大值是( ) A.13 4 B.54 C .8 D .4 3.点P 在曲线y =x 3-x +2 3 上移动,设点P 处的切线的倾斜角为 α,则α的取值围是( )

A .[0,π 2] B .[0,π2]∪[3 4π,π) C .[3 4 π,π) D .[π2,3 4 π] 4.已知函数f (x )=1 2x 4-2x 3+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立, 则实数m 的取值围是( ) A .m ≥32 B .m >32 C .m ≤32 D .m <32 5.函数f (x )=cos 2 x -2cos 2 x 2 的一个单调增区间是( ) A.? ????π3,2π3 B.? ???? π6 ,π2 C.? ???? 0,π3 D.? ???? -π6 ,π6 6.设f (x )在x =x 0处可导,且lim Δx →0 f x 0+3Δx -f x 0 Δx =1, 则f ′(x 0)等于( ) A .1 B .0 C .3 D.13 7.经过原点且与曲线y =x +9 x +5 相切的切线方程为( ) A .x +y =0 B .x +25y =0 C .x +y =0或x +25y =0

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?

原函数和导函数的关系

课题:探究原函数与导函数的关系 首师大附中数学组王建华 设计思路 这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上,最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于y 轴对称的性质能够保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶函数的性质拓展为关于直线x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4. 已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,数的图像画出导函数的示意图吗? 你能根据原函探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

导数及其应用单元测试(带答案)

第三章导数及其应用单元测试 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后 的括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)。 1.函数y=x+2cosx在[0,]上取得最大值时,x的值为()A.0 B.C.D. 2.函数的单调递减区间是() A.B.C.D. 3.若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是 () 4.点P在曲线 上移动,设 点P处切线倾斜角为α, 则α的取值范围是 ()A.[0,] B.0,∪[,π C.[,πD.(, 5.已知(m为常数)在上有最大值3,那么此函数在 上的最小值为() A.B.C.D. 6.函数的单调递增区间是()A. B.(0,3) C.(1,4) D. 7.已知函数时,则()

A.B. C.D. 8.设函数的导函数,则数列的前n项和是 ()A.B.C.D. 9.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为()A.[-,+∞] B.(-∞,-3) C.(-∞,-3)∪[-,+∞] D.[-,] 10.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)<0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则() A .a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 11.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() A.B.C.D. 12.如图所示的是函数的大致图象,则等于()A.B. C.D.

第Ⅱ卷 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)。 13.设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_________. 14.已知曲线交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点,则△ABP的面积为; 15.函数在定义域内可导,其图象如图,记的导函数为, 则不等式的解集为_____________ 16.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分)。 17.(12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R). (1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程; (2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a.

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ,y=x ,y=x 2,y=x 3 ,y=1/x ,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b ))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值 x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。

3第三讲导数与微分法研究

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析教研室 通过教学使学生掌握导数的定义,导数的几何意义及微分的概念,熟练掌 握导数的各 种求导方法。 第三讲导数与微分法研究 、基本概念 1?导数及其变形 2?分段函数的导数通过左右导数来求 3. 导数的几何意义 4. 微分的定义 二、求导方法 1 .求导公式及其应用 2. 复合函数求导法 3 ?隐函数的导数求法 4.参数方程确定的函数的导数求法 5?极坐标方程表示的的函数的导数求法 6 .形如y = f(x)g(X) 的函数的导数求法一一取对 数求导法 7?分段函数的导数 8?变动上线的积分表示的函数的导数 课程名称 高等数学研究 授课对象 授课题目 第三讲导数与微分法研究 课时数 教学 目的 重 点 难 占 八\、 1. 2. 3. 隐函数的导数求法 参数方程确定的函数的导数求法 形如y = f (X) g(X) 的函数的导数求法一一取对数求导法 变动上线的积分表示的函数的导数

教学过程与内容 教学 后记 第三讲导数与微分法研究 元函数的导数与微分是微积分的基础,经常出选择题与填空题,可作为求极限、 求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。重点掌握分段函数的导 数、隐函数的导数、参数(极坐标)方程确定的函数的导数。变动上限的积分表示的函 数的导数每年都考。 一、基本概念 1 .导数及其变形 ,f(X)-f(X 0), lim = lim f X - x 0 4° 例1:设f (X)在x 0可导,求 f(X 0 —3h)-f(X 0) (1) lim h T f(X o 中心 X)— f(X o ) _ lim f (X o +h)- f(X o ) -h m o h 1 ⑶ lim n[ f(X 0 +-) - f (X o - T n f(X0+2h)-f(X0-2h) ⑵h m o 丄)] 2n 2 .分段函数的导数通过左右导数来求 例2:设f(X)斗X - a I ?(x),护(X)在X = a 连续,文在什么条件下 f (x)在x = a 可 导? 【解】lim f(X ^f(a ^ lim -?(x) = -?(a) X —a lim fg-f (a) = lim 畀(X)=护(a) T X — a X T 〒 当—q)(a)=W (a),即 W (a) =0时,f (x)在 x = a 可导。 2 【讨论】f(x)=|x|, f(x)=x|x|, f(x) =x(x +1)(X -1) I X -1 I 分别有几个不可导 点。 例3:已知函数f(x) =? ” 2 x l ax + b X A 1 X ^1处处可导,试确定 a 、b 的值。 【解】(1)欲使f (x)在X =1处可导,必先在X = 1处连续, 故有 lim f(X)= limf (x) = f(1),即 a + ^1 x —! — H 十 (2)又f (x)在X=1处的左、右导数分别为 2 5= 十斗 ad + 也 x)+b —1 「5、 .. a(1+也 x)+b —1 r a 也X f Q=J x s + 纵 二四盂=a 故a = 2,从而b = -1,所以,当a = 2 , b = —1时f (x)处处可导。

函数与导数的关系

函数与导数的认识及复习 第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,考生想要在考场上准确求出定义域,就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来,列成不等式组,不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时,要注意以下几点:分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集,在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。 第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数,判断分段函数的单调性有两种方法:第一,在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间,然后对各个段上的单调区间进行整合;第二,画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象,而函数图象反应了函数的所有性质,考生在解答函数题时,要第一时间在脑海中画出函数图象,从图象上分析问题,解决问题。 对于函数不同的单调递增(减)区间,千万记住,不要使用并集,指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。 第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域,对函数具有奇偶性的前提条件不清,对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性,首先要考虑函数的定义域,一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函

数的定义域区间关于原点对称,如果不具备这个条件,函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下,再根据奇偶函数的定义进行判断。 在用定义进行判断时,要注意自变量在定义域区间内的任意性。 第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的,在解答此类问题时,考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法,通过特殊赋可以找到函数的不变性质,这往往是问题的突破口。抽象函数性质的证明属于代数推理,和几何推理证明一样,考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件,别漏掉条件,更不能臆造条件,推理过程层次分明,还要注意书写规范。 第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)f(b)<> 第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线,这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线,这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线,曲线的过一个点的切线可能不止一条。 因此,考生在求解曲线的切线问题时,首先要区分是什么类型的切线。 第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型,如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0,很容易就会出错。 解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意,一个函数的导函

《导数及其应用》测试卷

导数及其应用测试卷 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。) 1.函数()2 sin f x x =的导数是() A.2sin x B.2 2sin x C.2cos x D.sin2x 2.已知()2 1 cos 4 f x x x =+,() ' f x为() f x的导函数,则() ' f x的图像是() 3.若2 x=-是函数21 ()(1)x f x x ax e- =+-的极值点,则() f x的极小值为() A.1 - B.3 2e- - C.3 5e- D.1 4.若曲线() ln y x a =+的一条切线为y ex b =+,其中,a b为正实数,则 2 e a b + + 的取值范围是() A. 2 , 2 e e ?? ++∞ ? ?? B.[) ,e+∞ C.[) 2,+∞ D.[) 2,e 5.已知函数2x y=的图象在点) , (2 x x处的切线为l,若l也与函数x y ln =,)1,0( ∈ x的 图象相切,则 x必满足() A. 2 1 < ′对x R ∈恒成立,则下列函数在实数集内一定是增函数的为() A.() f x B.() xf x C.() x e f x D.() x xe f x 7.已知函数 211 ()2() x x f x x x a e e --+ =-++ 有唯一零点,则a=() A. 1 2 - B. 1 3C. 1 2D.1

最新《导数及其应用》单元测试题(理科)

《导数及其应用》单元测试题(理科) (满分150分 时间:120分钟 ) 一、选择题(本大题共8小题,共40分,只有一个答案正确) 1.函数()2 2)(x x f π=的导数是( ) (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 2 8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2.函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是( ) (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3.已知对任意实数x ,有()() ()(f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()f x g x ''>>,,则0x <时( ) A .()0()0f x g x ''>>, B .()0()0f x g x ''><, C .()0()0f x g x ''<>, D .()0()0f x g x ''<<, 4. =-+? dx x x x )1 11(322 1 ( ) (A)8 7 2ln + (B)872ln - (C)452ln + (D)812ln + 5.曲线1 2 e x y =在点2 (4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A. 2 9e 2 B.24e C.2 2e D.2 e 6.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ) 7.已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有

最新导数及其应用知识点经典习题集

导数及其应用 1、函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是 ,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即= . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 )(x f y =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000

6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ,()g x 均可导(可积),则有: 7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式,得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式,得x 的范围,就是递减区间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8.求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间,并列成表格,检查/()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f (x )在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值;⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;

第三章 导数及其应用

第三章 导数及其应用 第一节导数的概念及运算、定积分 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数:函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx =li m Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ? 为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′x =x 0,即f ′(x 0)=li m Δx →0 Δy Δx =li m Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . 函数y =f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢,|f ′(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. (2)导数的几何意义:函数f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点P (x 0,y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数).相应地,切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). ?曲线y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,斜率为k =f ′(x 0)的切线,是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数:称函数f ′(x )=li m Δx →0 f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. (4)f ′(x )是一个函数,f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数),[f ′(x 0)]′=0. 2.基本初等函数的导数公式

导数及其应用测试题

导数及其应用测试题 一 选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为s =13t 3-3 2 t 2+2t ,那么速度为零 的时刻是( ) A0秒 B1秒末 C2秒末 D1秒末和2秒末 2曲线3 () 2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ,则0p 点的坐标为( ) A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 3 若()224ln f x x x x =--,则()'f x >0的解集为 A .()0,+∞ B.()()1,02,-?+∞ C.()2,+∞ D.()1,0- 4、(原创题)下列运算中正确的是( ) ①22()()()ax bx c a x b x '''++=+②22(sin 2)(sin )2()x x x x ''''-=- ③222 sin (sin )()()x x x x x '' -'=④(cos sin )(sin )cos (cos )sin x x x x x x '''?=+ A ①④ B ①② C ②③ D ③④ 5、(改编题)下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 ( ) A.2sin y x =- B.x xe y = C.x x y -=3 D.x x y -+=)1ln( 6.(改编题)若函数f(x)=x 3 -3x+a 有3个不同的零点,则实数a 的取值围是( ) A (-2,2) B [-2,2] C (-∞,-1) D (1,+∞) 7设函数f(x)=kx 3 +3(k -1)x 2 2k -+1在区间(0,4)上是减函数,则k 的取值围是( ) A 、13 k < B 、103 k <≤ C 、103 k ≤≤ D 、13 k ≤ 8(原创题)若函数1 ()()f x x x a x a =+ >-在3x =处取最小值,则=a ( ) A 1 B 2 C 4 D 2 或4

专题03 导数及其应用 解析版

专题03 导数及其应用(原创) 【2020年】 1.(2020·新课标Ⅰ)函数43()2f x x x =-的图像在点(1 (1))f ,处的切线方程为( ) A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+ 【答案】B 【解析】 ()432f x x x =-,()3246f x x x '∴=-,()11f ∴=-,()12f '=-, 因此,所求切线的方程为()121y x +=--,即21y x =-+. 2.(2020·新课标Ⅲ)若直线l 与曲线y x 2+y 2=1 5 都相切,则l 的方程为( ) A. y =2x +1 B. y =2x + 12 C. y = 1 2 x +1 D. y = 12x +12 【答案】D 【解析】设直线l 在曲线y = (0x ,则00x >, 函数y = y '= ,则直线l 的斜率k = , 设直线l 的方程为)0y x x = - ,即00x x -+=, 由于直线l 与圆22 15x y += = 两边平方并整理得2 005410x x --=,解得01x =,01 5 x =- (舍), 则直线l 的方程为210x y -+=,即1122 y x =+. 【2019年】 1.(2019·全国Ⅲ卷】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D

【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 2.(2019·天津卷)已知a ∈R ,设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为 A .[] 0,1 B .[]0,2 C .[] 0,e D .[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时,(1)12210f a a =-+=>恒成立; 当1x <时,2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立, 令2 ()1 x g x x =-, 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 112201x x ???? =--+-≤-= ? ? ?-???? , 当1 11x x -= -,即0x =时取等号, ∴max 2()0a g x ≥=,则0a >. 当1x >时,()ln 0f x x a x =-≥,即ln x a x ≤ 恒成立, 令()ln x h x x = ,则2ln 1()(ln )x h x x -'=, 当e x >时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 当0e x <<时,()0h x '<,函数()h x 单调递减, 则e x =时,()h x 取得最小值(e)e h =,

(完整版)导数知识点总结及应用

《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为: 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义:设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义,0(,)x a b ∈,若x ?无限趋近于0时,比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ,则称函数()f x 在0x x =处可导,并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数,记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤:(1)求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-;(2)求平均变化率:00()()f x x f x x +?-?;(3)取极限,当x ?无限趋近与0时,00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ,则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义: 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步: (1)求出()y f x =在x 0处的导数,即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时,求经过点P 的()y f x =的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P 点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义: 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ,则()V S t '=表示瞬时速度,()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数: (1)()kx b k '+=(k , b 为常数); (2)0C '=(C 为常数); (3)()1x '=; (4)2()2x x '=; (5)32()3x x '=; (6)211()x x '=-; (7 )'; (8)1()ααx αx -'=(α为常数);

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