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函数的奇偶性知识点及经典例题

函数的奇偶性知识点及经典例题
函数的奇偶性知识点及经典例题

函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题

一、函数奇偶性的概念:

①设函数()y f x =的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有x D -∈, 且()()f x f x -=-,则这个函数叫奇函数。

(如果已知函数是奇函数,当函数的定义域中有0时,我们可以得出()00f =)

②设函数()y g x =的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有x D -∈, 若()()g x g x -=,则这个函数叫偶函数。

从定义我们可以看出,讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断,看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x 在其定义域内时,x -也应在其定义域内有意义。

③图像特征

如果一个函数是奇函数?这个函数的图象关于坐标原点对称。

如果一个函数是偶函数?这个函数的图象关于y 轴对称。

④复合函数的奇偶性:同偶异奇。

⑤对概念的理解:

(1)必要条件:定义域关于原点成中心对称。

(2))(x f 与)(x f -的关系:

当)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f 或

1)()

(=-x f x f 时为偶函数; 当)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f 或

1)

()

(-=-x f x f 时为奇函数。

二、函数的奇偶性与图象间的关系:

①偶函数的图象关于y 轴成轴对称,反之也成立;

②奇函数的图象关于原点成中心对称,反之也成立。

三、关于函数奇偶性的几个结论:

①若)(x f 是奇函数且在0=x 处有意义,则(0)0f =

②偶函数± 偶函数=偶函数;奇函数±奇函数=奇函数; 偶函数?偶函数=偶函数;奇函数?奇函数=偶函数; 偶函数?奇函数=奇函数

③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性, 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.

四.典型问题

(一)、关于函数奇偶性的判定

方法:

()1定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式;

()2图象法:观察图像是否符合奇、偶函数的对称性

说明:

(1)分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关,要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。 (2)判断函数的奇偶性,首先要考查定义域是否对称。

(3)若判断函数不具备奇偶性,只需举出一个反例即可。

(4)函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。

1.判断下列函数的奇偶性:

1)x x x x f ++=1)(2; 2)()(

1f x x =-

3)()0f x = 4)()???≤+>+-=)0()0(2

2x x x x x x x f

5)()2

212-+-=x x x f

(6) 已知函数)(x f 满足:),)(()(2)()(R y x y f x f y x f y x f ∈=-++,且0)0(≠f ,则函数)(x f 的奇偶性为 。

(二)、关于函数奇偶性的运用

1.利用奇偶性求函数式或函数值

1.设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数,又当0>x 时2()23f x x x =--,试求)(x f 的解析式。

2.已知()y f x =是奇函数,当0x >时,()221f x x x =-+,求当0x <时,()f x 得解析式。

3.设函数()f x 是定义域R 上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x <≤时,()f x x =,求(7.5)f 的值

4.设()f x 在R 上是偶函数,在区间(,0)-∞上递增,且有

22(21)(321)f a a f a a ++<-+,求a 的取值范围。

5.已知函数53()4f x ax bx =++,若(2)0f -=,求(2)f 的值。

6.若函数()f x 是偶函数,则=--+)2

11

()21(f f 。

7.已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且()()1

1

f x

g x x +=-,试求()()

f x

g x 与的表达式。

2.逆用函数奇偶性求参数的值

1.若函数43()(2)(22)f x x m n x m n x mn =+-++-+为偶函数,求实数,m n 的值。

2.若函数()ln(f x x =+是R 上的奇函数,则实数k =_____________

3.已知函数()1

21

x f x a =-+,若()f x 为奇函数,求实数a 的取值。

3.奇偶函数的图象关系及其运用

1.若奇函数)(x f 在区间]7,3[上是增函数且最小值为5,则)(x f 在区间[7,3]--上是( )

A .增函数且最小值为5-;

B .增函数且最大值为5-;

C .减函数且最小值为5-;

D .减函数且最大值为5-

2.已知函数)(x f 在)2,0(上是增函数,又函数)2(+x f 是偶函数,则( ) A .57(1)()()22f f f <<;

B .75

()(1)()22f f f <<;

C .75

()()(1)22

f f f <<;

D .57()(1)()22

f f f <<

3.设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(,0)-∞上是增函数,已知12120,0,()()x x f x f x ><<,那么一定有( )

A .120x x +<;

B .120x x +>;

C .12()()f x f x ->-;

D .12()()0f x f x --<

4.定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 为增函数;偶函数)(x g 在区间),0[+∞上的图象与)(x f 的图象重合,设0>>b a ,给出下列不等式:

①)()()()(b g a g a f b f -->--; ②)()()()(b g a g a f b f --<--; ③)()()()(a g b g b f a f -->--; ④)()()()(a g b g b f a f --<--。 其中正确的不等式个数为( )

A .1;

B .2;

C .3;

D .4

5.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()f x 在(0,)+∞上是增函数,又(2)0f =,则不等式()0f x ≤的解集是___________________________

6.设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数,且(1)0f =,则不等式()0xf x >的解集为( )

A .(1,0)(1,)-+∞

B .(,1)(0,1)-∞- ;

C .(,1)(1,)-∞-+∞

D .(1,0)(0,1)-

7.设(),()f x g x 都是R 上的奇函数,{|()0}(4,10),{|()0}(2,5)x f x x g x >=>=,则集合{|()()0}x f x g x >=( )

A .(2,10)

B .(10,2)(2,10)--

C .(4,5)

D .(5,4)(4,5)--

8.设()x f y =的定义域是R ,对于任意y x ,都有()()()0,>+=+x y f x f y x f 时

()()12,0-=

的单调性并加以证明。③求在[]6,6-上的最值。

(完整版)函数的单调性与奇偶性练习题基础

1 函数单调性(一) (一)选择题 1.函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是..减函数的是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,0) C .(-∞,0)∪(0,+∞) D .(1,+∞) 2.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( ) A .y =-3x +1 B .x y 2 = C .y =x 2-4x +5 D .y =|x -1|+2 3.设函数y =(2a -1)x 在R 上是减函数,则有 A .2 1≥ a B .2 1≤ a C .2 1> a D .2 1< a 4.若函数f (x )在区间[1,3)上是增函数,在区间[3,5]上也是增函数,则函数f (x )在区间[1,5]上( ) A .必是增函数 B .不一定是增函数 C .必是减函数 D .是增函数或减函数 (二)填空题 5.函数f (x )=2x 2-mx +3在[-2,+∞)上为增函数,在(-∞,-2)上为减函数,则m =______. 6.若函数x a x f = )(在(1,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. 7.函数f (x )=1-|2-x |的单调递减区间是______,单调递增区间是______. 8.函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,那么f (a 2-a +1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9.若函数f (x )=|x -a |+2在x ∈[0,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. (三)解答题 10.函数f (x ),x ∈(a ,b )∪(b ,c )的图象如图所示,有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断: 甲说f (x )在定义域上是增函数; 乙说f (x )在定义域上不是增函数,但有增区间, 丙说f (x )的增区间有两个,分别为(a ,b )和(b ,c ) 请你判断他们的说法是否正确,并说明理由。 11.已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域; (2)证明函数f (x )在(0,+∞)上为减函数. 12.已知函数| |1)(x x f = . (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式;

高中数学解题方法谈:函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多,下面把常见的判定方法分类加以研究分析. 1.定义域判定法 例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性. 解:要使函数有意义,须20x -≥,解得2x ≥, 定义域不关于原点对称, ∴原函数是非奇非偶函数. 评注:用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数,但可以通过定义域不关于原点对称,来否定一个函数的奇偶性. 2.定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性. 解: 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ,且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=, ∴函数()f x 是偶函数. 评注:在定义域关于原点对称的前提下,可根据定义判定函数的奇偶性. 3.等价形式判定法 例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性. 解:()f x 的定义域为R ,关于原点对称,当0x =时,()0f x =, ∴图象过原点. 又0x ≠ 时,22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--, (1)()f f x ∴-=-. 又(0)0f =,∴()f x 为奇函数. 评注:常用等价变形形式有:若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-,则()f x 为奇函数;若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=,则()f x 为偶函数(其中()0f x ≠). 4.性质判定法 例4 若0a >,()([])f x x a a ∈-,是奇函数,()() g x x ∈R 是偶函数,试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性.

《2.4函数的奇偶性与周期性》 学案

学习过程 一、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用

二、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什么条件? 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.

考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

三、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .

【解析】(1)由1-x 1+x >0?-10时,f (x )=x 2+x ,则当x <0时, -x >0,故f (-x )=x 2-x =f (x ); 当x <0时,f (x )=x 2-x ,则当x >0时,-x <0,故f (-x )=x 2+x =f (x ),故原函数是偶函数. (3)由??? 1-x 2 >0,|x 2-2|-2≠0, 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,∴f (x )=lg (1-x 2)-(x 2-2)-2=-lg (1-x 2)x 2. ∵f (-x )=-lg[1-(-x )2](-x )2 =-lg (1-x 2) x 2=f (x ),∴f (x )为偶函数.

基本初等函数专项训练经典题

一、简答题 1、设. (1)判断函数的奇偶性; (2)求函数的定义域和值域. 2、设函数 (Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 3、已知函数f(x)=x2+2ax+1(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数. (1)若x∈[-2,-1],不等式f(x)≤f′(x)恒成立,求a的取值范围; (2)解关于x的方程f(x)=|f′(x)|; (3)设函数g(x)=,求g(x)在x∈[2,4]时的最小值. 4、经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)=4+,人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)=115-|t-15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元). 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查,预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是: P(x)=x(x+1)(41-2x)(x≤12且x∈N*)

(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式; (2)若第x月的销售量g(x)= (单位:件),每件利润q(x)元与月份x的近似关系为:q(x)=,问:该商场销售A品牌商品,预计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少?(e6≈403) 6、已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+a ln x(a为常数). (1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程; (2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间. 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因; (2)若该公司采用模型函数y=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值. 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求 证:. 9、已知命题p:函数y=log a(1-2x)在定义域上单调递增;命题q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x 恒成立.若p∨q是真命题,求实数a的取值范围.

函数的奇偶性练习题

函数的奇偶性 一、选择题 1.若)(x f 是奇函数,则其图象关于( ) A .x 轴对称 B .y 轴对称 C .原点对称 D .直线x y =对称 2.若函数y f x x R =∈()()是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象 上的是( ) A . (())a f a ,- B . (())--a f a , C . (())---a f a , D .(())a f a ,- 3.下列函数中为偶函数的是( ) A .x y = B .x y = C .2x y = D .13+=x y 4. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数,且最小值是5,那么)(x f 在[]3,7--上是( ) A .增函数,最小值是-5 B .增函数,最大值是-5 C .减函数,最小值是-5 D .减函数,最大值是-5 5. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数,则a 的值为( ) A .1- B .2- C .1 D .2 6.已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增,则下列关系式成立的是( ) A .)2()2 ()(f f f >- >-π π B .)()2 ()2(ππ ->->f f f C .)2 ()2()(π π- >>-f f f D .)()2()2 (ππ ->>- f f f 二、填空题 7.若函数)(x f y =是奇函数,3)1(=f ,则)1(-f 的值为____________ . 8.若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数,且)3()1(f f <,则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________. 9.已知)(x f 是定义在[)2,0-?(]0,2上的奇函数,当0>x 时,)(x f 的图象如右图所示,那么f (x ) 的值域是 .

第招 如何判断函数的奇偶性

第11招 如何判断函数的奇偶性? 判断函数的奇偶性(有的还牵涉三角函数)是高考中常考的知识点,一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例 (一) 判断函数奇偶性的方法 1. 定义法 这是最常用的方法.其解法步骤如下:(1)确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是,可判断该函数是非奇非偶函数.若是,再按下列步骤继续进行.(2)在定义域内任取x ,以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意:(1)既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0. (2)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是x x x x f +-? +=11( ). A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数 解 (]()() 的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想)的定义域为函数得?????>+-<+=-≤<-≥+-00)(2. .1,19,1101122x x x x x x x f f x x x 解 当x<0时,-x>0,()()() ().)(22x f x x x x x f -=+-=-+--=-∴ 而当x>0时,-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22 ()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴ 【例3】2002.北京文三(22)已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的a 、b R ∈都满足:()()().a bf b af b a f +=? (1) 求f(0)、f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论. 解(1)()()()()()()=?==?+?=?=111.00000000f f f f f f ()()1111f f ?+? ()f f ∴=,12(1)=0. (2)f(x)是奇函数.证明如下: ()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-?-=f f f f f f f 而 又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=?-=- 2. 利用定义的等价命题来判断 ()()()()()().00是偶函数是奇函数;x f x f x f x f x f x f ?=--?=-+ 或:当()()()()()() ().110是偶函数是奇函数;时, x f x f x f x f x f x f x f ?=-?-=-≠

函数的奇偶性导学案

1.3.2奇偶性 【学习目标导航】 1.结合具体函数,了解奇函数,偶函数的定义. 2.掌握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题. 【学习重、难点】 1.根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.(重点) 2.函数奇偶性的应用.(难点) 【问题提出导入新知】 1.画出以下函数图象,观察两个图形,思考并讨论以下问题: (1)f (x)=x2(2)g(x)=|x| (1)这两个函数图象有什么共同特征吗? (2)关于y轴对称的点的坐标有什么关系吗? (3)点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上,关于y轴的对称点(—x, f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗?为什么? )= ;)= 这时我们称函数f (x)=x2与g(x)=|x|为偶函数。 (5)偶函数的定义:如果对于函数f (x)的,都有,那么函数f (x)就叫做偶函数。 偶函数的图象特征:图象关于对称。 2.画出以下函数图象,观察两个图形,思考并讨论以下问题: 1 (1)f (x)=x(2)g(x)= x (1)这两个函数图象有什么共同特征吗? (2)关于原点对称的点的坐标有什么关系吗? (3)点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上,关于原点的对称点(—x, —f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗?为什么?

对于R 内的任意的一个x ,都有f (—x )= ;g (—x )= 这时我们称函数f (x )=x 与g (x )= x 1 为奇函数。 (5)奇函数的定义:如果对于函数f (x )的 ,都有 ,那么函数f (x )就叫做奇函数。 奇函数的图象特征:奇函数的图象关于 对称。 3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的单调性,回答下列问题: (1)奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意的x ”中的“任意”二字,说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别? (2)-x 与x 两个数在数轴上所表示的点有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征? 得出结论: (3)如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形,能否判断它的奇偶性? 得出结论: (4)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性? 得出结论: 【典例分析】 【例1】 判断下列函数的奇偶性: (1) f (x )=x +x 3+x 5; (2) f (x )=x 2+1; (3) f (x )=x +1; (4) f (x )=x 2,x ∈[-1, 3]; (5) f (x )=0; (6) f (x )=5. (注意:既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )=0常函数. 前提是定义域关于原点对称). 【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤: (1)先求定义域,看是否关于原点对称; (2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 2.对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能: 。 【活学活用1】判断下列函数的奇偶性: (2) f(x)=2x 4+3x 2; (5) f(x)=x 3+2x ; (6)2 211)(x x x f -+-= 【思考】讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性。 (3)()f x =(4)()f x = 1(1)()f x x x =-

(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳

函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 (1)奇函数:设函数()y f x =的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有()()f x f x -=-, 则这个函数叫奇函数. (2)偶函数:设函数()y f x =的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有()()f x f x -=, 则这个函数叫做偶函数. (3)奇偶性:如果函数()f x 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. (4)非奇非偶函数:无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意:(1)奇函数若在0x =时有定义,则(0)0f =. (2)若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称,则()f x 既是奇函数又是偶函数. 2.奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称. (2)单调性:奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反. 3. 判断函数奇偶性的方法 (1)图像法 (2)定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定f(-x)与f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数; 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 例题精讲 【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数,求b 的值. 解:∵函数 f (x )=ax 2+bx 是偶函数, ∴f (-x )=f (x ).∴ax 2+bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b =0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示,画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性 【例4】判断下列函数的奇偶性. (1)2()||(1)f x x x =+; (2)1()f x x x =;

最新函数的奇偶性的经典总结

x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-, 0)()(=--x f x f ,那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ,都有()()x f x f -=-, 0)()(=+-x f x f ,那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 (2)在判断()x f 与()x f -的关系时,只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(,(2) x x x f -=3)( (3) ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(,(8) 提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 (2)常见的奇函数有:x x f =)(,3 )(x x f =,x x f sin )(=, (3)常见的奇函数有:2 )(x x f =,x x f =)(,x x f cos )(= (4)若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 为 偶函数,()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时, ) () (x g x f 为偶函数。 (5)若()x f ,()x g 都是奇函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 是奇函数,()-x f ()x g 是奇函数,()()x g x f ?是偶函数,当()x g ≠0时, ) () (x g x f 是偶函数。

苏教版高中数学高一必修1教学案 第19课时 函数的奇偶性1

一、复习引入 1、函数的单调性、最值 2、函数的奇偶性 (1)奇函数 (2)偶函数 (3)与图象对称性的关系 (4)说明(定义域的要求) 二、例题分析 例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数 (1)1)(2-=x x f (2)x x f 2)(= (3)||2)(x x f = (4)2)1()(-=x x f 例2、证明函数x x x f 5)(3+=在R 上是奇函数。 例3、试判断下列函数的奇偶性 (1)x x x x u -+-=11)1()( (2)22(1), 0()0, 0(1), x x x g x x x x x ?- >?==??-+

例4、设3()1f x ax bx =++,且0)2(=f ,求)2(-f 的值。 三、随堂练习 1、函数5)(2+=x x f 、 A 是奇函数但不是偶函数 、 B 是偶函数但不是奇函数 、 C 既是奇函数又是偶函数 、 D 既不是奇函数又不是偶函数 2、下列4个判断中,正确的是_______. (1)1)(=x f 既是奇函数又是偶函数; (2)1 )(2--=x x x x f 是奇函数 (3)x x x x f -+? -=11)1()(是偶函数; (4)12)(2+-=x x x f 是非奇非偶函数 3、函数x x x f 2)(2+=的图象是否关于某直线对称?它是否为偶函数? 4、证明函数x x x f -=3 )(在R 上是奇函数。 5、判断下列函数的奇偶性 (1)1()f x x x =+ (2)421()x f x x -=

四、回顾小结 1、判断函数奇偶性。 2、证明一些简单函数的奇偶性。 课后作业 班级:高一( )班 姓名__________ 一、基础题 1、若函数(]2,1,)(2 ∈=x x x f ,则下列说法中,正确的是______。 (1)奇函数 (2)偶函数 (3)既是奇函数又是偶函数 (4)既不是奇函数也不是偶函数 2、函数3x y =的奇偶性是_______,它的图象关于_______对称。 3、设函数x x f -= )(,则)(x f 的奇偶性是___________。 4、设函数22)(-+-=x x x f ,则)(x f 的奇偶性是___________。 5、设)(x f 在[]5,5-上是偶函数,则)2(-f 与)2(f 的大小关系是___________。 二、提高题 6、已知函数)2)(1()(+-=x x x f 。 (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出其定义域、值域、奇偶性、单调区间。 7、已知函数12)(2 --=x x x f ,试判断函数)(x f 的奇偶性,并画出函数的图象。

《函数的单调性和奇偶性》经典例题

经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数上的单调性. 证明:在(0,+∞)上任取x1、x2(x1≠x2),令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0,x2>0,∴∴上式<0,∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华: [1]证明函数单调性要求使用定义; [2]如何比较两个量的大小?(作差) [3]如何判断一个式子的符号?(对差适当变形) 举一反三: 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨:本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径. 证明:设x1,x2是区间上的任意实数,且x10 ∴x1f(x2) 上是减函数. 总结升华:可以用同样的方法证明此函数在上是增函数;在今后的学习中经常会碰到这个函数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x2-3|x|+2;(2) 解:(1)由图象对称性,画出草图 ∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三: 【变式1】求下列函数的单调区间: (1)y=|x+1|;(2)(3). 解:(1)画出函数图象, ∴函数的减区间为,函数的增区间为(-1,+∞); (2)定义域为,其中u=2x-1为增函数,

在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则上为减函数; (3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 总结升华: [1]数形结合利用图象判断函数单调区间; [2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析:先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的单调性解决.关注:内外层函数同向变化→复合函数为增函数;内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小. 解:又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则. 4. 求下列函数值域: (1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1); (2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2]. 思路点拨:(1)可应用函数的单调性;(2)数形结合. 解:(1)2个单位,再上移2个单位得到,如图 1)f(x)在[5,10]上单增,;

函数的奇偶性练习题附标准答案资料全

函数的奇偶性 1.函数f (x )=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是 ( ) A .奇函数非偶函数 B .偶函数非奇函数 C .奇函数且偶函数 D .非奇非偶函数 2. 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)是偶函数,那么g (x )=ax 3+bx 2+cx 是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既奇又偶函数 D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数, 且f (2)=0,则使得f (x )<0的x 的取值围是 ( ) A.(-¥,2) B. (2,+¥) C. (-¥,-2)è(2,+¥) D. (-2,2) 4.已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数. 当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x -x 4,则 当x ∈(0.+∞)时,f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=lg (12+x -x ); (2)f (x )=2-x +x -2 (3) f (x )=? ? ?>+<-). 0() 1(),0() 1(x x x x x x 6.已知g (x )=-x 2-3,f (x )是二次函数,当x ∈[-1,2]时,f (x )的最小值是1,且f (x )+g (x )是奇函数,求f (x )的表达式。 7.定义在(-1,1)上的奇函数f (x )是减函数,且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值围

8.已知函数21 ()(,,)ax f x a b c N bx c += ∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数, (1)求a,b,c 的值; (2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性. 9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ,y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y ). (1)求证f (x )为奇函数; (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成立,数k 的取值围. 10下列四个命题: (1)f (x )=1是偶函数; (2)g (x )=x 3,x ∈(-1,1]是奇函数; (3)若f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则H (x )=f (x )·g (x )一定是奇 函数; (4)函数y =f (|x |)的图象关于y 轴对称,其中正确的命题个数是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 11下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是( ) A.()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.() 1()2x x f x a a -=+ D.2()2x f x ln x -=+ 12若y =f (x )(x ∈R )是奇函数,则下列各点中,一定在曲线y =f (x )上的是( ) A .(a ,f (-a )) B .(-sin a ,-f (-sin a ))

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (-x )+f (x )=0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×) (3)如果函数f (x ),g (x )为定义域相同的偶函数,则F (x )=f (x )+g (x )是偶函数.(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√) (5)若T 是函数的一个周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是函数的周期.(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.(√) (7)函数f (x )=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×) (8)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.(√) (9)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√) 考点一 判断函数的奇偶性

奇偶性的典型例题

函数的奇偶性 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明:对于函数)(x f 的定义域内任意一个x : ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数; ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数; 函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; ②、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立; ③、可逆性: )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数; )()(x f x f -=-?)(x f 奇函数; ④、等价性:)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称; ⑥、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法: 第一种方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等,判断步骤如下: ①、定义域是否关于原点对称; ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立; 例1:判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x

⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解:⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注:教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2:判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法:利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为空集):两个奇函数的代数和是奇函数;两个偶函数的和是偶函数;奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数;两个奇函数的积为偶函数;两个偶函数的积为偶函数;奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面,如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有定义;另一方面,两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数,如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕),可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数,它们的差只在区间〔-1,1〕上有定义且f(x)-g(x)=0,而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。 命题3 f(x)是任意函数,那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。 此命题错误。一方面,对于函数|f(x)|=? ??<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x);另一方面,对于一个任意函数f(x)而言,不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数f(|x|)是偶函数。 命题4 如果函数f(x)满足:|f(x)|=|f(-x)|,那么函数f(x)是奇函数或偶 函数。

函数的奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性练习题 一、选择题 1.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)是偶函数,那么g (x )=ax 3+bx 2+cx ( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既奇又偶函数 D .非奇非偶函数 2.已知函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,且其定义域为[a -1,2a ],则( ) A .a=1/3,b =0 B .a =-1,b =0 C .a =1,b =0 D .a =3,b =0 3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-2x ,则f (x )在R 上的表达式是( ) A .y =x (x -2) B .y =x (|x |-1) C .y =|x |(x -2) D .y =x (|x |-2) 4.已知f (x )=x 5+ax 3+bx -8,且f (-2)=10,那么f (2)等于( ) A .-26 B .-18 C .-10 D .10 5.函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是( )A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数 6.若)(x ?,g (x )都是奇函数,2)()(++=x bg a x f ?在(0,+∞)上有最大值5,则f (x )在(-∞,0)上有( )A .最小值-5 B .最大值-5 C .最小值-1 D .最大值-3 二、填空题 7.函数212 2)(x x x f ---=的奇偶性为________(填奇函数或偶函数) 8.若y =(m -1)x 2+2mx +3是偶函数,则m =_________ 9.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,若11 )()(-=+x x g x f ,则f (x )的解析式为_______ 10.已知函数f (x )为偶函数,且其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的所有实根之和为________ 三、解答题 11.设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围 12.已知函数f (x )满足f (x +y )+f (x -y )=2f (x )·f (y )(x ∈R ,y ∈R ),且f (0)≠0, 试证f (x )是偶函数 13.已知函数f (x )是奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3+2x 2 —1,求f (x )在R 上的表达式 14.f (x )是定义在(-∞,-5] [5,+∞)上的奇函数,且f (x )在[5,+∞)上单调递减,试判断f (x )在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明 15.设函数y =f (x )(x ∈R 且x ≠0)对任意非零实数x 1、x 2满足f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2), 求证f (x )是偶函数

函数的奇偶性的经典总结

x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-,0)()(=--x f x f ,那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ,都有()()x f x f -=-,0)()(=+-x f x f ,那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 (2)在判断()x f 与()x f -的关系时,只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(,(2)x x x f -=3)( (3)()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(,(8) 提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 (2)常见的奇函数有:x x f =)(,3)(x x f =,x x f sin )(=, (3)常见的奇函数有:2)(x x f =,x x f =)(,x x f cos )(= (4)若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 为 偶函数,()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时,) ()(x g x f 为偶函数。 (5)若()x f ,()x g 都是奇函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 是奇函数,()-x f ()x g 是奇函数,()()x g x f ?是偶函数,当()x g ≠0时,) ()(x g x f 是偶函数。

奇偶性教案

1.3.2《函数的奇偶性》教学设计 一、教材分析 “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的函数入手,从特殊到一般,从具体到抽象,注重信息技术的应用,比较系统地介绍了函数的奇偶性.从知识结构看,它既是函数概念的拓展和深化,又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此,本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性,能使学生再次体会到数形结合思想,初步学会用数学的眼光看待事物,感受数学的对称美。 二、学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来思考和解决问题。但是,学生看待问题还是静止的、片面的,抽象概括能力比较薄弱,这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。 三、教学目标 【知识与技能】1.能判断一些简单函数的奇偶性。2.能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。

四、教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念和几何意义。难点:判断函数奇偶性的方法和格式。 五、教学方法 引导发现法为主,直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件 七、教学过程 (一)设疑导入、观图激趣:出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图:通过图片引起学生的兴趣,培养学生的审美观,激发学习兴趣。

函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的基本性质 函数的三个基本性质:单调性,奇偶性,周期性 一、单调性 1、定义:对于函数)(x f y =,对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ,当21x x <时,都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或,那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增(或减)函数。 2、图像特点:在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的。(提示:判断函数单调性一般都使用图像法,尤其是分段函数的单调性。) 3.二次函数的单调性:对函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a , 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小,右侧单调增加; 当0-x f x f x f x f 或; ⑸根据定义下结论。 例2、判断函数1 2)(-+= x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.

5.复合函数的单调性:复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表: 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”。 例3:函数322-+=x x y 的单调减区间是 ( ) A.]3,(--∞ B.),1[+∞- C.]1,(--∞ D.),1[+∞ 6.函数的单调性的应用: 判断函数)(x f y =的单调性;比较大小;解不等式;求最值(值域)。 例4:求函数1 2-= x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. 二、奇偶性 1.定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-,那么函数f(x)就叫偶函数; (等价于:0)()()()(=--?=-x f x f x f x f ) 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-,那么函数f(x)就叫奇函数。 (等价于:0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ) 注意:当0)(≠x f 时,也可用1) ()(±=-x f x f 来判断。 2.奇、偶函数的必要条件:函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数)(x f 为奇函数,且在x=0处有定义,则0)0(=f ; 3.判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。

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