数学知识点总结
2017九年级数学复习
实数部分
一、实数与数轴
1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 二、实数大小的比较
1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。 三、实数的运算 1、加法：
（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法：
（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
（2）n 个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n 个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 四、有效数字和科学记数法
1、科学记数法：设N ＞0，则N= a ×n
10（其中1≤a ＜10，n 为整数）。
2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。 练习题：
1.计算(－2)2－(－2) 3的结果是( ) A. －4 B. 2 C. 4 D. 12
2.下列计算错误的是（ ）
A ．－（－2）=2
B ．822=
C ．22x +32x =52x
D ．235
()a a =
3.2008年5月27日，北京奥运会火炬接力传递活动在古城南京境内举行，火炬传递路线全程约12900m ，将12900用科学记数法表示应为（ ）
A ．0.129×105
B ．4
1.2910? C ．31
2.910? D ．212910? 4.下列各式正确的是（ ） A ．33--=
B ．3
2
6-=- C ．(3)3--= D ．0
(π2)
0-=
5.若
23(2)0m n -++=，则2m n +的值为（ ）
A ．4-
B ．1-
C ．0
D ．4
6.计算2
(3)-的结果是（ ）
A ．6-
B ．6
C ．9-
D ．9
7.方程063=+x 的解的相反数是（ ）
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3 8.下列实数中,无理数是（ ） A.
4
B.
2
π C.
13
D.
12
9.估计68的立方根的大小在( )
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
10.扬州市旅游经济发展迅速，据扬州市统计局统计，2008年全年接待境内外游客约11370000人次，11370000用科学记数法表示为（ ） A ．1.137×107 B ．1.137×108 C ．0.1137×108 D ．1137×104 11.在下列实数中，无理数是（ ） A ．
13
B ．π
C ．
16
D ．
227
12.小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（ ）
A ．15号
B ．16号
C ．17号
D ．18号
第12
题图
13.如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有 14.
2008(1)-+_______
420=-． 15.2008年5月26日下午，奥运圣火扬州站的传递在一路“中国加油”声中胜利结束，全程11.8千米，11.8千米用科学记数法
表示是________米.
16.计算：23-+= ；(2)(3)-?-= ． 17.若()2
2340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．
18.在函数
2y x =-中，自变量x 的取值范围是____________．
(3)9212)1(1
3
+??
? ??-+-- (4)13013()(2)3()92-+-+--
第二章：代数式
一、代数
1、代数式的分类： ???
????????????无理式分式多项式单项式整式有理式代数式
二、整式的有关概念及运算
1、概念
（1）单项式：像x 、7、y x
2
2，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。
升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
2、运算
（1）整式的加减：
合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。
去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。
添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。 （2）整式的乘除：
幂的运算法则：其中m 、n 都是正整数
同底数幂相乘：n m n m
a a a
+=?；同底数幂相除：n m n m a a a -=÷；幂的乘方：mn n m a a =)(积的乘方：n n n b a ab =)(。
单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。 平方差公式：22)
)((b a b a b a -=-+；完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-
三、因式分解
1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
2、常用的因式分解方法：
（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++
（2）运用公式法：
平方差公式：))((22
b a b a b a
-+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2
b x a x ab x b a x ++=+++
（4）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212
x x x x a c bx ax --=++
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 （4）最后考虑用分组分解法。 四、分式
1、分式定义：形如B
A 的式子叫分式，其中A 、
B 是整式，且B 中含有字母。
1 0
2 3 4
N M Q P
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。 （2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。 （4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。 （5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。 （6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 2、分式的基本性质：
（1）)0(的整式是≠??=M M
B M A B
A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M M
B M A B A
（3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算：
（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。 （2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。 五、二次根式
1、二次根式的概念：式子
)0(≥a a 叫做二次根式。
（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。 （2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：
a 与a ；d c
b a +与d
c b a -）
2、二次根式的性质：
（1） )0()(2≥=a a a （2）??
?<-≥==)
0()0(2a a a a a a ；（3）b a ab ?=（a ≥0，b ≥0）； （4）)0,0(≥≥=
b a b
a b a
3、运算：
（1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。
（2）二次根式的乘法：ab b a =?（a ≥0，b ≥0）
。（3）二次根式的除法：)0,0(≥≥=
b a b
a
b
a 练习题： 1．计算：
()2
3ab =（ ）
A ．22a b
B ．23a b
C ．26
a b D ．6
ab
2．下列计算正确的是（ ）
A ．6
23a a a ÷= B ．()1
22
--=
C ．
()236326x x x -=-· D ．()0
π31
-=
3．下列因式分解错误的是(
)
A ．22()()x y x y x y -=+-
B ．2269(3)x x x ++=+
C ．2
()x xy x x y +=+ D ．222()x y x y +=+
4.若的值为则2y -x 2,54,32
==y x
A.
53 B. -2 C. 5
53 D.
5
6
5．化简分式
2
b ab b +的结果为（ ） A ．1a b + B ．11a b +
C ．21a b +
D ．1ab b
+ 6．要使
2
2969
m m m --+的值为0，则m 的值为（ ）
A ．m=3
B ．m=-3
C ．m=±3
D ．不存在 7. 估算272-的值(
)
A ．在1到2之间
B ．在2到3之间
C ．在3到4之间
D ．在4到5之间 8.
2的倒数是（ ）
A ．2-
B ．2
C ．22-
D ．22
9. 若b a y b a x
+=-=,，则xy 的值为 ( )
A ．a 2
B ．b 2
C ．b a +
D ．b a -
10.如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N
11．下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A.
21a + B.
12
C.8
D.27
12. 若11x x ---=(x ＋y)2，则x －y 的值为( )
A.－1
B.1
C.2
D.3 13．分解因式：3
28m
m -= ．33416m n mn -＝
321
4
x x x +-= ____．33222ax y axy ax y +-= _______． 15.计算： ??
? ??-?239
13x x =________；()
=÷52
3
y y
________．
16．当x = 时，分式
6
42
2
---x x x 的值为0．
17.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．
18.已知2
514x
x -=，求()()()2
12111x x x ---++的值
19．当a=
2时，求
1
121422
-÷
+--a a a a 的值．
20．先化简，再求值：222
4124422a a a a a a
??--÷ ?-+--??，其中a 是方程2
310x x ++=的根．
第三章：方程和方程组
一、一元方程 1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式：02
=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0） （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42
-=?
当Δ＞0时?方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时?方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时?方程没有实数根，无解；当Δ≥0时?方程有两个实数根 （5）一元二次方程根与系数的关系： 若21,x x 是一元二次方程02
=++c bx ax
的两个根，那么：a
b x x
-
=+21
，a
c x x =
?21 （6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212
=++-x x x x x x
三、分式方程
（1）分式方程的解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。特殊方法：换元法。
（2）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。 四、方程组
1、一次方程组：
（1）二元一次方程组： 一般形式：??
?=+=+222
111c y b x a c y b x a （2
12121,,,,,c c b b a a 不全为0） 解法：代入消远法和加减消元法
解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。
一、一元二次方程的解法 1、（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 2、（1）；先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 二、分式方程的解法：分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法 解：略 三、根的判别式及根与系数的关系 四、方程组 1分析：（1）用加减消元法消x 较简单；（2）应该先用加减消元法消去y ，变成二元一次方程组，较易求解。 [规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。 2分析：（1）可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解；（2）要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程
分别组成两个方程组来解。[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1、审题：
2、设未知数；
3、找出相等关系，列方程（组）；
4、解方程（组）；
5、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1、工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程
同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程
3、水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；
5、数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
1．在解方程()()032312=---x x 中，去括号正确的是 （ ）
A ．09612=+--x x B.03622=---x x
C.09622=---x x
. D.09622=+--x x
2．几个同学在日历竖列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（ ）
A. 28
B. 33
C. 45
D. 57
3．甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人，如果设乙队的人数为x 人，则所列的方程为（ ）
A.
1004=+x x B. 100104=-+x x
C.()100104=-+x x
D. 100104
1=+-x x
4．若2
(341)3250x y y x +-+--=则x =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．-2 5．若关于x ，y 的二元一次方程组???=-=+k
y x ,
k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为（ ）
A.43-
B.43
C.34
D.3
4
- 6．已知 与 是同类项，则 与 的值分别是 ( ) A.4、1 B.1、4 C.0、8 D.8、0 7．用配方法解方程2
250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．
()
2
16x +=
B ．
()
2
16x -=
C ．
()
2
29x +=
D ．
()
2
29x -=
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2
12350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）
A ．14
B ．12
C ．12或14
D ．以上都不对
9．方程2
x =x 的解是 （ ）
A ．x =1
B ．x =0
C ． x 1=1 x 2=0
D ． x 1=﹣1 x 2=0 10．若关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k
>- B ． 1k >-且0k ≠ C ．1k < D ．1k <且0k ≠
11．在349x y +=中，如果26y =，那么x = ．
12．在方程组 中，m 与n 互为相反数，则
13．（1） （2） （3） （1）01221=---x x （2） 1
23514-+=--+x x x x
（3）
163104245--+=--x x x x （4）4)
25.01(1
1=++x x
14． 15．
m n m y x 344-y x n
5m n ??
?=+=+0
32ny x my x .
__________=x 2
410x
x +-=0132
=--x x )1(332
+=+x x ?
??=+-=8372y x x y ???=-=-7
41
43y x y x
第五章：不等式及不等式组
一、不等式与不等式的性质 1、不等式的性质：
（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数?a ＋c ＞b ＋c
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0?ac ＞bc 。 （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0?ac ＜bc.
注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。 2、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）： （1）a – b ＞0? a ＞b （2）a – b=0?a=b （3）a –b ＜0?a ＜b 4、（1）a ＞b ＞0?b a > （2）a ＞b ＞0?22
b a <
二、不等式（组）的解、解集、解不等式
1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。
不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。
2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。 三、不等式（组）的类型及解法 1、一元一次不等式：
（l ）解法：
与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。 2、一元一次不等式组：
（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
练习题：
1.已知不等式：①1x >，②4x >，③2x <，④21x ->-，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式
组是（ ）
A ．①与②
B ．②与③
C ．③与④
D ．①与④
2.若0a b <<，则下列式子：①12a b +<+；②
1a b
>；③a b ab +<；④11
a b <中，正确的有（ ）A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3. 下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示 ( )
A ．21
x x ≥??
<-?
B ．21
x x ≤??
>-? C ．21x x >??≤-? D ．21x x
4. 小颖准备用21元钱买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则她最多还可以买（ ）支笔． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5. 已知两圆的半径分别是5和6，圆心距x 满足522841314
x x x x +?
+??
?-+? ，则两圆的位置关系是（ ）
A. 内切
B. 外切
C. 相交
D. 外离
6. 不等式210x +>的解集是 ．
7. 不等式组3010
x x -
+?≥的解集是 ．
8.已知三个连续整数的和小于10，且最小的整数大于1，则三个连续整数中，最大的整数为 ．
9. 若关于x 的不等式组3(2)224x x a x
x --??，
有解，则实数a 的取值范围是 ．
10. 解不等式3x ＋2＞2（x －1），并将解集在数轴上表示出来．
11. 解不等式组3
31213(1)8x x x x -?++?
??--<-?，，
≥并写出该不等式组的整数解． 第六章：函数及其图像
一、平面直角坐标系
1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。
2、不同位置点的坐标的特征：
（1）各象限内点的坐标有如下特征：
点P （x, y ）在第一象限?x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在第二象限?x ＜0，y ＞0； 点P （x, y ）在第三象限?x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在第四象限?x ＞0，y ＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征：
点P （x, y ）在x 轴上?y 为0，x 为任意实数。点P （x ，y ）在y 轴上?x 为0，y 为任意实数。 3．点P （x, y ）坐标的几何意义：
（1）点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |；（2）点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |；（3）点P （x, y ）到原点的距离是
2
2y x +
4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：（1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -；（2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -；（3）点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --；
二、函数的概念
1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。
2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
（1）自变量取值范围的确是：
①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。
③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。 （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法
（4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数
直线位置与k ，b 的关系：
（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角；
（3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；
（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方； 2、二次函数
抛物线位置与a ，b ，c 的关系：
（1）a 决定抛物线的开口方向??
??开口向下
开口向上00a a （2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置： c>0?图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0?图像过原点；c<0?图像与y 轴交点在x 轴下方；（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。对称轴在y 轴右侧；
3、反比例函数：
4、正比例函数与反比例函数的对照表：
1.（2008贵阳）对任意实数x ，点P （x ，x 2－2x ）一定不在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2.已知点A （2a+3b ，－2）和点B （8，3a+2b ）关于x 轴对称，那么a+b=（ ） A ．2 B ．－2 C ．0 D ．4
3.若点A （－2，n ）在x 轴上，则点B （n －1，n+1）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0） .月牙①绕点B 顺时针旋转900得到月牙②，则点A 的对应点A’的坐标为（ ） A ．（2，2） B ．（2，4） C ．（4，2） D ．（1，2）
5.（2009威海）如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移
至
11A B ，则a +b 的值为（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6.已知点A （m 2+1，n 2
－2）与点B （2m ，4n+6）关于原点对称，则A 关于x 轴的对称点的坐标为_____，B 关于y 轴的对称点的坐标为______． 7．一次函数y =2x －2的图象不经过．．．
的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
8．P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是正比例函数y = -x 图象上两点，则下列判断正确的是（ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1 3y kx =+与x 轴的交点是(1，0)，则k 的值是( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3 10．若正比例函数y=(1－2m)x 的图象经过点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）当x 1＜x 2时，y 1＞y 2 ，则m 的取值范围是（ ） A ．m<0 B ．m>0 C ．m ＜12 D ．m ＞1 2 11．关于函数y=－2x+1，下列结论正确的是（ ） A ．图象必经过点（﹣2，1） B ．图象经过第一、二、三象限 C ．当x ＞ 21 ，时y ＜0 D ．y 随x 的增大而增大 12.对于反比例函数2 y x = ，下列说法不正确．．． 的是（ ） A ．点(21)--， 在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限 C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 13.（2008烟台）在反比例函数12m y x -=的图象上有两点A ()11,x y ，B ()22,x y ，当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B.0m > C.12m < D.12 m > 14.（2008徐州）如果点（3，－4）在反比例函数 k y x = 的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ） A.（3,4） B. （－2，－6） C.（－2，6） D.（－3，－4） 15.（2008恩施）如图,一次函数ｙ1=ｘ－1与反比例函数ｙ2=x 2的图像交于点 A (2,1), B (－1,－2),则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取值范围是（ ） A.ｘ＞2 B.ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0 C.－1＜ｘ＜2 D.ｘ＞2 或ｘ＜－1 16.抛物线 422 -=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（1，-2） B.（0，-2） C.（1，-3） D.（0，-4） 17．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 y O (01)B ， (20) A ， 1(3) A b ， 1(2) B a ， x 第6 题 O B ｙ ｘ A 第4题图 18．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时， x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 第2题图 第3题图 19．若（2，5）、（4，5）是抛物线 c bx ax y ++=2上两个点，则它的对称轴是 （ ） A.a b x -= B.1=x C.2=x D.3=x 20．在同一直角坐标系中 b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 图象大致为( ) 21.已知点A （m 2+1，n 2－2）与点B （2m ，4n+6）关于原点对称，则A 关于x 轴的对称点的坐标为_____，B 关于y 轴的对称点的坐标为______． 22.已知m 为整数，且点（12－4m ，19－3m ）在第二象限，则m 2+2005的值为______． 23．若一次函数的图象经过点(1，－3)与(2，1)，则它的解析式为_________，函数y 随x 的增大而____________． 24．一次函数y=2x －3的图象可以看作是函数y=2x 的图象向__________平移________个单位长度得到的． 25．已知关于x 、 y 的一次函数()12y m x =--的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m 的取值范 围是 ． 26．一次函数的图象过点（0，2），且函数y 的值随自变量x 的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解式： ． 27．已知一次函数y=(2m+4)x+(3－n).⑴当m 、n 是什么数时，y 随x 的增大而增大？ ⑵当m 、n 是什么数时，函数图象经过原点？⑶若图象经过一、二、三象限，求m 、n 的取值范围. 28．作出函数y= 1x 42 -的图象，并根据图象回答问题：⑴当x 取何值时，y>0? ⑵当－1≤x≤2时，求y 的取值范围. 29．已知一次函数y = kx +b 的图象经过点（－1，1）和点（1，－5），求： （1）函数的解析式； （2）将该一次函数的图象向上平移3个单位，直接写出平移后的函数解析式 30.如图，已知A(-4，2)、B(n ，-4)是一次函数 y kx b =+的图象与反比例函数m y x = 的图象的两个交点. (1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围. 31. 已知：二次函数为y=x 2－x+m ， （1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方， （3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式． 32．（2008南京）已知二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的 部分对应值如下表： x … 1- 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的关系式； （2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ （3）若1()A m y ，，2(1)B m y +，两点都在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． 33.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 第七章：概率和统计初步 概率部分： 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 一般地，对于一个随机事件A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P (A ). 概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性大小。记等可能性事件A 在n 次试验中发生了m 次，那么有 0≤m ≤n ， 0≤m/n ≤1 于是可得 0≤P(A) ≤1. 显然， 必然事件中，m=n ，则概率是1， 不可能事件中，m=0，则概率是0. 一般地，如果在一次试验中， 有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， 事件A 包含在其中的m 种结果， 那么事件A 发生的概率为： 求概率的步骤： (1)列举出一次试验中的所有结果(n 个)；(2)找出其中事件A 发生的结果(m 个)； (3)运用公式求事件A 的概率：同一条件下,在大量重复试验中,如果某随机事件A 发生的频率 m n 稳定在某个常数p 附近,那么这个常数就叫 做事件A 的概率.即P （A ）=p 当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 统计部分： 一、总体和样本： 在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。 二、反映数据集中趋势的特征数 1、平均数 （1）n x x x x ,,,,321 的平均数，)(1 21n x x x n x +++= 2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。 3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。 三、反映数据波动大小的特征数： 1、方差： （l ）n x x x x ,,,,321 的方差， n x x x x x x S n 2 22212)()()(-++-+-= （2）记n x x x x ,,,,321 的方差为2 S ，设a 为常数，a x a x a x a x n ----,,,,321 的方差为2`S ，则2S =2`S 。 注：当n x x x x ,,,,321 各数据较大而常数a 较接近时，用该法计算方差较简便。 2、标准差：方差（2 S ）的算术平方根叫做标准差（S ）。 注：通常由方差求标准差。 四、频率分布 1、有关概念 （1）分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，当数据在100个以内时，通常分成5－12组。 （2）频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频数之和等于数据总数n 。 （3）频率：每个小组的频数与数据总数n 的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l 。 必然事件: 在一定条件下,_______的事件. 不可能事件: 在一定条件下,________的事件. 随机事件: 在一定条件下，可能_____也可能_____的事件. 确定事件 事件 不确定事件： P(必然事件)＝__ P(不可能事件)＝__ 1 事件发生的可能性越来越__ 事件发生的可能性越来越__ ___事件 ____事件 概率的值 n m A P =)( （4）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表。 （5）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘制成的，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。每个小长方形的面积等于该组的频率。所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1。 样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量n 的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。 2、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数据，后画出频率分布直方图，其步骤是： （1）计算最大值与最小值的差；（2）决定组距与组数；（3）决定分点；（4）列领率分布表；（5）绘频率分布直方图。 ［规律总结］求平均数有三种方法，即当所给数据比较分散时，一般用平均数的概念来求；著所给数据较大且都在某一数a 上下波动时，通常采用简化公式；若所给教据重复出现时，通常采用加权平均数公式来计算。 [规律总结］明确方差或标准差是衡量一组数据的波动的大小的，恰当选用方差的三个计算公式，应抓住三个公式的特征，根据题中数据的特点选用计算公式。 [规律总结］要掌握获得一组数据的频率分布的五大步骤，掌握整理数据的步骤和方法。会对数据进行合理的分组。 1.下列事件是必然发生的是（ ） A.明天是星期一 B.十五的月亮象细钩 C.早上太阳从东方升起 D.上街遇上朋友 2.有五只灯泡，其中两只是次品，从中任取一只恰为合格品的概率为（ ） A.20％ B.40％ C.50％ D.60％ 3.抛掷一枚普通的硬币三次，则下列等式成立的是（ ） A.P （正正正）＝P （反反反） B .P （正正正）＝20％ C.P （两正一反）＝P （正正反） D.P （两反一正）＝50％ 4.一个口袋里有1个红球，2个白球，3个黑球，从中取出一个球，该球是黑色的．这个事件是（ ） A.不确定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.以上都不对 5.在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 3 2 D. 41 6.从A 、B 、C 、D 四人中用抽签的方式，选取二人打扫卫生，那么能选中A 、B 的概率为（ ） A. 4 1 B. 12 1 C. 2 1 D. 6 1 7.在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖,参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ） A ．5 1 B ．9 2 C ．41 D ．18 5 8.小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为（ ） A. 21 B. 63π C. 93π D. π33 9.下列说法正确的是( ) A ．为了了解我市今年夏季冷饮市场冰淇淋的质量可采用普查的调查方式进行. B ．为了了解一本300页的书稿的错别字的个数，应采用普查的调查方式进行. C ．销售某种品牌的鞋，销售商最感兴趣的是所销售的鞋的尺码的平均数. D ．为了了解我市九年级学生中考数学成绩，从所有考生的试卷中抽取1000份试卷进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取的1000名学生. 10.某校初三(2)班的10名团员向“温暖工程”捐款，10个人的捐款情况如下(单位：元)：2、5、3、3、4、5、3、6、5、3，则上面这组数据的众数是（ ） A 、3 B 、3.5 C 、4 D 、5 11.在体育课上,九年级2名学生各练习10次立定跳远,要判断哪一名学生的成绩比较稳定,通常需要比较这两名学生立定跳远成绩的( ) A.方差 B.平均数 C.频率分布 D.众数 12.一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一，它们除颜色处其他都一个样，小明从中摸出一个球后放回摇匀，再摸出一个球，请你利用树状图分析可能出现的情况． 13.小王和小亮玩抛硬币的游戏，在抛两枚硬币时，规则如下：抛出两个正面小王得一分，抛出一正一反，则小亮得一分，请问： ①这个游戏规则对双方公平吗？②如果不公平，应如何改动游戏规则？ 14．袋中装有 6 只黄球，4 只红球，现从袋中任意摸出 1 个球. 求：① P （摸出黄球）；② P （摸出红球） 15.饮料店为了了解本店罐装饮料上半年的销售情况，随机调查了8天该种饮料的日销售量，结果如下（单位：听）：33 ，32 ，28 ，32 ，25 ，24 ，31 ，35． (1)这8天的平均日销售量是多少听? (2)根据上面的计算结果，估计上半年(按181天计算)该店能销售这种饮料多少听？ 16.超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等待时间，并绘制成如下的频数分布直方图（图中等待时间6分钟到7分钟表示大于或等于6分钟而小于7分钟，其它类似），这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为（ ） A ．5 B ．7 C ．16 D ．33 17.某校对学生上学方式进行了一次抽样 调查，右图是根据此次调查结果所绘制 的一个未完成的扇形统计图，已知该校学 步行 骑车 乘车 其它 35% 15% 5% 生共有2560人，被调查的学生中骑车的 有21人，则下列四种说法中，不正确．．． 的是( ) A.被调查的学生有60人. B.被调查的学生中，步行的有27人. C.估计全校骑车上学的学生有1152人. D.扇形图中，乘车部分所对应的图心角为540. 18.九年级某班在一次考试中对某道单选题的答题情况如下图所示：根据以上统计图，下列判断中错误的是( ) A.选A 的人有8人 B.选B 的人有4人 C.选C 的人有26人 D.共有50人考试 19.学生的上学方式是初中生生活自理能力的一种反映．为此，某校教导处组织部分初三学生，运用他们所学的统计知识，对初一学生上学的四种方式：骑车、步行、乘车、接送，进行抽样调查，并将调查的结果绘制成图（1）、图（2）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)抽样调查的样本容量为________，其中步行人数占样本容量的_____%，骑车人数占样本容量的______%． (2)请将图（1）补完整． (3)根据抽样调查结果，你估计该校初一年级800名学生中，大约有多少名学生是由家长接送上学的？(4)你有什么话想对由家长接送上学的同学说？（一般不超过20个字） 第一章：线段、角、相交线、平行线 一、角的分类： （1）锐角：小于直角的角叫做锐角 （2）直角：平角的一半叫做直角 （3）钝角：大于直角而小于平角的角 （4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。 （5）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。 （6）周角、平角、直角的关系是： l 周角=2平角=4直角=360 二、相关的角： 1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。 3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。 4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。 三、角的性质 1、对顶角相等。 2、同角或等角的余角相等。 3、同角或等角的补角相等。 4、垂线的性质： （l ）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短 四、平行线 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。 4、平行线的判定： （1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）同旁内角互补，两直线平行。 5、平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。 6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。 第二章：三角形 一、关于三角形的一些概念 1、三角形的角平分线。 三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离） 2、三角形的中线 三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离） 3．三角形的高 三角形按边分类： ?? ??????等边三角形 三角形底边和腰不相等的等腰 等腰三角形不等边三角形三角形 三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。推论三角形两边的差小于第三边。 二、三角形的内角和 定理三角形三个内角的和等于180°由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 三角形按角分类： ?? ? ?????钝角三角形 锐角三角形 斜三角形直角三角形三角形 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。 图(2) 图(1) ___%___%20% 10%接送 乘车步行 骑车 2015 105 乘车步行上学方式接送骑车人数 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 三、全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等形。两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边， 互相重合的角叫对应角。 全等用符号“≌”表示 四、全等三角形的判定 1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”） 注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。 2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA ”） 3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边’域“AAS ”） 4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”） 由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。 除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。 5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL ”） 五、角的平分线 定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点） 命题： 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理。 例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。 一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。 六、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n 七、等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 八、线段的垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 九、轴对称和轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。 两个图形关于直线对称也叫轴对称。 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。 定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。 逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。 例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。 十、勾股定理:勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方：c b a =+22 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系： 222 c b a =+,那么这个三角形是直角三角形 第三章：四边形 一、多边形 1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。 6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。 说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。 7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。 8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。 注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。 9、n 边形的对角线共有)3(2 1 n n 条。 10、多边形内角和定理：n 边形内角和等于（n －2）180°。 11、多边形内角和定理的推论：n 边形的外角和等于360°。 说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起 来，掌握计算方法。 二、平行四边形 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。 3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。 4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。 5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。 6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。 三、矩形:是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。 1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形） 2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。 3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 说明：要判定四边形是矩形的方法是： 法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明） 法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1） 法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2） 四、菱形:也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。 1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。 3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。 5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 说明：要判定四边形是菱形的方法是： 法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。 法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2） 法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1） （五）正方形 正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。 1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。 5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。 注意：要判定四边形是正方形的方法有 方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明） 方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1） 方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2） 六、梯形 1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 4、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。 5、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。 6、等腰梯形的判定定理l 。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。 7、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。 8、研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。 七、中位线 1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。 3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 第四章：相似形 一、比例线段 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ： d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ： d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ： d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a = （或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。） 8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d 10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。 11、合比性质：如果d c b a =，那么 d d c b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a === ， （0≠+++m d b ），那么b a n d b m c a =++++++ 说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。 二、平行线分线段成比例 1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。 格式：如果直线L 1∥L 2∥L 3， AB ＝ BC ， 那么：A 1B 1＝B 1C 1，如图4－l 说明：由此定理可知推论1和推论2 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。 3．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。 说明1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图4—4 4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 6、线段的内分点：在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。 7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。 说明：外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。 三、相似三角形 1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。 2、相似比：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或叫做相似系数）。 3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基 础。 4、三角形相似的判定定理： （1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 （2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。 （4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。 5、相似三角形的性质： （1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 （2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 1. （2009年太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个 三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ） A ．4 B ．4.5 C ．5 D ．5.5 2. 如图，ABC △中，50A = ∠，点D E ，分别在AB AC ，上， 则12+∠∠的大小为（ ） A ．130 B ．230 C ．180 D ．310 3．（2008丽水）如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点， △ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形， 则下列说法正确的是（ ） A . DE 是△ABC 的中位线 B . AA '是BC 边上的中线 C . AA '是BC 边上的高 D . AA '是△ABC 的角平分线 4．已知三角形的三边长分别是38x ， ，；若x 的值为偶数，则x 的值有（ ） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 5．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） （A ）20° （B ）120° （C ）20°或120° （D ）36° 6.如图是5×5的正方形网络，以点D 、E 为两个顶点作位置 不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等， 这样的格点三角形最多可以画出 （ ） A ．2个 B.4个 C.6个 D.8个 7. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( ) A.2 B.32 C.3 D.3 8.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ） A ．3 B ．5 C ．23 D ．25 9.等腰三角形的顶角为o 120，腰长为2cm,则它的底边长为（ ） A. cm 3 B. cm 3 3 4 C. cm 2 D. cm 32 10. 在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =， 则sin B 的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．43 11．如图，已知ABC △中，45ABC ∠= ，4AC =，H 是高AD 和BE 的 交点，则线段BH 的长度为（ ） A ．6 B ．4 C ．23 D ．5 12．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ） A ．1cm ，3 cm ，3cm B ．2cm ，3 cm ，4 cm C ．4cm ，6 cm ，8cm D ．5cm ，12 cm ，13cm 13.一个多边形内角和是1080 ，则这个多边形是（ ） C A ' 第3题图 A D B C E E （第 7题图） D C B A D C B A E H A ．六边形 B ．七边形 C ．八边形 D ．九边形 14.在边长均为a 的正多边形中，能与边长为a 的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（ ）①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形 A ．4种 B ．3种 C ．2种 D ．1种 15．下列说法中正确的是( ) A.平行四边形是正多边形 B. 矩形是正四边形 C. 菱形是正四边形 D. 正方形是正四边形 16. 下列命题中,真命题的个数是( ) ① 各边都相等的多边形是正多边形; ②各角都相等的多边形是正多边形; ③正多边形一定是中心对称图形; ④边数相同的正多边形一定相似. A.1 B.2 C. 3 D. 4 17．已知正n 边形的一个外角与一个内角的比为1﹕3,则n 等于( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 18.一个正多边形绕它中心旋转90°就和原来图形重合,这个正多边形是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 19．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ） A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正四边形 C ．正三边形 20．在周长为20cm 的平行四边形ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为( ) A ．4cm B.6cm C.8cm D.10cm 21. 如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足 的关系式是_____________. 22.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线 剪去∠C ，则∠1＋∠2等于_______. 23．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ． 求证：BF=2CF ． 24. 如图，在△ABC 中，AB =BC =12cm ，∠ABC =80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC . (1)求∠EDB 的度数； (2)求DE 的长. 25. 如图，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC, ∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积. 26. 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别 是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF=∠A ． 求证：四边形DECF 是平行四边形． 27．（2008 永州市）如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形， 点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF ∥AB （1）求证：四边形EFCD 是菱形； （2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离． 28.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图放置，AB BF =． 求证：四边形BNDM 为菱形． 29．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上的一点，DF 交AC 于E ，求证： ∠ABE=∠CFE ． 第五章：解直角三角形 一、锐角三角函数： 在直角三角形ABC 中，∠C 是直角 1、正弦：把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作c a A = sin 2、余弦：把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作c b A =cos 3、正切：把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作b a A =tan 5、同角三角函数关系公式 （1）1cos sin 22=+B A ；（2）A A cot 1tan =；（3） tanA ＝A A cos sin 6．一些特殊角的三角函数值 E D C B A C D E M A B F N E B C D A F 二、解直角三角形 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 若直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，那么A 、B 、C ，a ，b ，c 中除∠C ＝90°外，其余5个元素之间有关系： （l ）222 c b a =+；（2）∠A 十∠B ＝90°；（3）c a A =sin ；c b A =cos ；b a A =tan ；a b A =cot 所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。 第六章：圆 一、圆 1、圆的有关性质 圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。能够重合的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 二、过三点的圆 l 、过三点的圆 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。 2、反证法 反证法的三个步骤： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，肯定命题的结论正确。 三、垂直于弦的直径 圆轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 五、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 六、圆的内接四边形 多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 七、直线和圆的位置关系 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。 2、若圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则： 直线和圆相交?d ＜r ；直线和圆相切?d ＝r ；直线和圆相离?d ＞r ；直线和圆相交?d ＜r 八、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 九、三角形的内切圆 要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切∵分角线上的点到角的两边距离相等。∴两条分角线的交点就是圆心。 这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 十、切线长定理 经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 十一、圆和圆的位置关系如图6－9 若连心线长为d ，两圆的半径分别为R ，r ，则： 1、两圆外离?d ＞R ＋r ； 2、两圆外切?d = R ＋r ； 3、两圆相交?R －r ＜d ＜R ＋r （R ＞r ） 4、两圆内切?d = R －r ；（R ＞r ） 5、两圆内含?d ＜R －r 。（R ＞r ） 十二、正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 定理：把圆分成n （n ＞3）等分： （l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。 正n 边形的每个中心角等于n 360 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。 若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 十三、正多边形的有关计算 正n 边形的每个内角都等于n n 180)2(- 定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 十四、圆周长、弧长 1、圆周长C ＝2πR ；2、弧长180 R n L π= 十五、圆扇形，弓形的面积 l 、圆面积：2R S π=； 2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：360 2R n S π= 扇形 注意：因为扇形的弧长180R n L π=。所以扇形的面积公式又可写为LR S 2 1=扇形 十六、圆柱和圆锥的侧面展开图 1、圆柱的侧面展开图 圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到的图形 是一个圆柱。（图6一16）圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高， AC=底面圆周长。 ∴S 侧面=2πRh 圆柱的轴截面是长方形一边长为h ，一边长为2R R 是圆柱底半径，h 是圆柱的高。见图6－8 （2）圆锥的侧面展开图 圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。 如图6－19，把Rt △OAS 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。 旋转轴SO 叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。 连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA 、SA ’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。 圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB 半径是母线长，AB 是2πR 。（底面的周长），所以圆锥侧面积为 S 侧面=πRL 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( ) A.2 B.32 C.3 D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ） A ． 3 B ． 5 C ．2 3 D ．25 3. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 3 35 B. 6 35 C. 10 D. 5 4. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26， PA ＝4，则⊙O 的半径等于 （ ） A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 2 6 5.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三 原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； 2 （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 函数 知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 . 2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念 1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设 2012高考数学（理科）知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质：{} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()） ，，·∴，∵·∴，∵（2593510 55 550 35 3322Y ??? ???∈?≥--?<--∈a a a M a a M 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若q p q p ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。 []（答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥--- 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： （3）德摩根定律： 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_____________。[] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ ∴……） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a的最大值为3） 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、知识点： 本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。 本章知识结构 1、集合的概念 教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。 确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。 不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义 有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}” 的关系。 几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法 （1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100) ③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。 （2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。 另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。 一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或 )A B ? A 中的任一元素都属 于B A ?(1)A A ?? (2) A C ?，则B C ?且B A ?若(3) A B =，则B A ?且B A ?若(4) A(B) 或 B A 真子集 A ≠?B （或B ≠ ?A ） B A ?中至少 B ，且有一元素不属于A 为非空子集） A （A ≠ ??）1（ A C ≠ ?，则 B C ≠ ?且A B ≠ ?若(2) B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素都属 于B ，B 中的任一元素 都属于A B ?(1)A A ?(2)B A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2个子集，它有21-个真子集，它有21-个非空子集，它有22-非空真 子集. 【1.1.3】集合的基本运算 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且 }x B ∈ （1） A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或 }x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A 补集 U A e {|,}x x U x A ∈?且 ()U A A U =U e2 ()U A A =? I e1 （1不等式 解集 ||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >> |x x a <-或}x a > ||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> ， ||x a <看成一个整体，化成 ax b +把 型不等式来求解 ||(0)x a a >> （2()()() U U U A B A B =I U 痧?()()() U U U A B A B =U I 痧? 高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 1 必修模块知识点总结 2 高中数学必修1知识网络 3 集合 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????? 1.数学教育：是一种社会文化现象，其社会性决定了数学教育要与时俱进，不断创新．数学教育中的教育目标、教育内容、教育技术等一系列问题都会随着社会的进步而不断变革与发展． 2.课程的性质和地位：是数学教育专业的专业基础必修课，是一门实践性很强的学科，主要研究的是数学教育数学理论，是数学论，课程论和学习论的综合。 3.教学设计是根据教学对象和教学目标，确定合适的教学起点与终点，将教学诸要素有序、优化地安排，形成教学方案的过程。它是一门运用系统方法科学解决教学问题的学问，它以教学效果最优化为目的，以解决教学问题为宗旨。 4.教学目标：一级目标：教育方针。(制订者——国家)二级目标：课程目标。(全日制义务教育)三级目标：教学目标。课堂目标 5.教案 详案格式：1.课题。2.教学目标。 3.学情分析。 4.教材分析。 5.课型。 6.教学方法。 7.教具。 8.教学过程（1）知识准备；（2）判定定理；（3）运用定理，问题研究；（4）总结[板书设计][课后记] 简案格式：1.课题。2.教学目标。 3.教学重点，难点。 4.教学过程6.数学方法：是指在教学过程中，教师的工作方法和相对应的学生的学习方法，以及二者之间的有机联系。 7.弗雷登塔尔的教学原则：1.“数学现实”原则。2.“数学化”原则。3.“再创造”原则。4.“严谨性”原则 波利亚解题表：1.理解题目—必要前提。2.拟定计划—关键环节和核心内容。3.实现计划—逻辑配置。4.回顾—有远见做法 皮亚杰：当代建构主义理论的最早提出者。 1.同化：指根据已有图式来理解新事物，事件过程 2.顺应：当旧有方式探究世界不能奏效时，儿童会根据新消息或新经验来修改已有的图式，这个过程叫顺应。 3.平衡作用：指产生顺应情况下的不平衡状态。 4.理论主张：发展先于学习。 5.认知结构与知识结构关系：儿童认知结构就是通过同化与顺应过程逐步建构起来并在“平衡—不平衡—新平衡”循环中不断丰富、提高、发展。 建构主义的基本观点：1.知识观。 2.学习观。 3.教学观。（创建一个良好，有利于知识建构的学习环境，以及支持和帮助学生建构知识。） 4.师生观。（教师使命：学生自主学习一个最有利，有力的 “教学工具”引导学生自主学习， 规范学生学习行为，特别是学生 放任自流学习时，起最大的限制 和控制作用。学生使命：自主学 习，借助帮助，利用学习资料加 强学生之间相互协作与对话。构 建自己完整的学习知识体系。）5. 学习环境。6.评价观 双基：含义：（1）数学基本知识 （2）数学基本技能 8.教学模式：在一定教学思想和 教育理论指导下形成的教学活动 的基本框架结构。 类型：1.讲解—接受教学模式。 2.引导—发现教学模式/探究式教 学模式（流程：1.教师创设问题 情景2.观察猜想3.推理论证4.验 证应用 5.总结反思）。3.启发式。 4.合作学习。 5.自主探究。 6.尝试 指导。 9.教学概念：（1）意义：反映数 学对象本质属性的思维形式叫做 数学概念。概念的组成：概念的 名称，定义，符号，例子，属性。 （2）概念的内涵和外延：概念的 内涵亦称内包，指概念所反映的 对象的特有属性，本质属性。概 念的外延亦称外包，指概念所反 映对象的总和。 10.数学思想方法：对数学思想理 性认识。（数学思想是指人们对数 学理论和内容的本质的认识，数 学方法是数学思想的具体化形式， 实际上两者的本质是相同的，差 别只是站在不同的角度看问题。 通常混称为“数学思想方法”。） 11.数学教学原则：1.严谨性与量 力性相结合的原则。2.具体与抽象 相结合的原则。3.理论与实践相结 合的原则。 12.课程实施原则：1.全面性原则。 2.整体性原则。 3.发展性原则。 4. 前瞻性原则。 13.教学技能： [1]导入技能：是引起学生注意、 激发学生兴趣、引起学习动机、 明确学习目的和建立知识间联系 的教学活动方式。应用于上课之 始或开设新学科、进入新单元、 新段落的教学之中。 类型：直接，旧知识，悬念，事 例，趣味，实验，创设情境 目的：1.引起学生注意。2.激发 学习兴趣。3.唤起学生思考。4. 明确学习目的。5.强化师生关系。 功能：1.引起学生对所学课题的 关注，进入学习准备状态；2.激 发学习兴趣，引起学习动机；3. 明确学习目的，传达教学意图； 4.承上启下，建立新旧知识间联 系；5.创设意境，激发情志； 原则：1.针对性原则。2.启发性 原则。3. 趣味性原则。4.直观性 原则。5.适度性原则。 注意：1.导入方法的选择要有针 对性。2. 导入方法的选择要具有 多样性。3.导入语言要有艺术性。 [2]讲解技能：讲解技能中的一类 教学行为，在行为方式上的特点 是“以语言讲述为主”的方式；在 教学功能上的特点是：传授知识 和方法、启发思维、表达思想感 情”。 目的：传授数学知识和技能。2. 启发思维，培养能力。3.提高思想 认识，培养数学学习情感因素。 原则：1.科学性原则。2.启发性原 则。3.计划性原则。整体性原则。 [3]演示技能：是教师根据教学内 容和学生学习的需要，运用各种 教学媒体让学生通过直观感性材 料，理解和掌握数学知识，解决 数学问题，传递数学教学信息的 教学行为方式。 注意：1.演示的媒体要恰当。2. 演示的媒体要使用。3.演示的时机 要恰当。4.演示必须与讲解技能相 结合。 [4]结束技能：是教师在一个教学 内容结束或一节课的教学任务终 了时，有目的、有计划地通过归 纳总结、重复强调、实践等活动 使学生对所学的新知识、新技能 进行及时地巩固、概括、运用， 把新知识、新技能纳入原有的认 识结构，使学生形成新的完整的 认识结构，并为以后的教学做好 过渡的一类教学行为方式。 类型：提纲挈领，娱乐激趣，图 表对比，悬念引申，质疑讨论， 练习巩固，学生汇报 注意：1.自然贴切，水到渠成。 2.语言精炼，紧扣中心。 3.内外沟 通，立疑开拓。 14.体态语言：(1)在课堂调控上 1.精神抖擞带学生进入学习角色 2.营造和谐的学习氛围 3.维护课 堂秩序，优化课堂教学4.具有活 泼性,有利于学生提高学习兴趣。 (2)在传授知识上 1.帮助学生理 解数量关系2.协助学生分析有利 于理解3.敏捷迅速的信息反馈— —手势答案4.增强学习的趣味性。 (3)在师生互动中 1.读懂学生的 眉目语2.读懂学生的表情语3.读 懂学生的手势语4.读懂学生的坐 姿语 15.如何评价一节课：1.教学目的 如何。是否全面、具体、明确。 符合课程标准和学生实际。2.重点 难点是否突出并处理得当。3.教学 程序上，设计是否合理，思路是 否清晰，结构是否严谨，是否因 材施教，是否给学生创造的机会， 是否注意知识形成的过程。4.教学 方法上，是否灵活多样，符合实 际，是否恰当地运用现代教学手 段等。5.是否注意情感教育，即课 堂气氛是否和谐，是否注重学生 学习动机，兴趣，信心等非智力 因素的培养。6.教学基本功是否扎 实。如普通话语言是否规范、生 动形象；教态是否亲切、自然、 大方；板书是否工整、美观、清 楚，是否有较强的课堂掌控能力 等。7.教学效果如何。教学效率， 学生受益情况等。8.教学特色如何。 即教学的个人特点，教师的教学 风格。 16.课程的改革： 《标准1》的基本理念：1.突出体 现基础性、普及性和发展性。2. 突出数学与生活实践的联系。3. 强调数学学习活动的过程性。4. 倡导师生角色观。5.提倡主体多元 化和形式多样化的评价方式。6. 充分发挥现代信息技术在数学教 学中的作用。 《标准2》的基本理念：1.构建共 同基础，提供发展平台。2.提供多 样的课程，适应个性选择。3.倡导 积极主动、勇于探索的学习方式。 4.注重提高学生的数学思维能力。 5.发展学生的数学应用意识。 6. 与时俱进地认识“双基”。7.强调 本质，注意适度形式化。8.体现数 学的文化价值。9.注重信息技术与 数学课程的整合。10.建立合理、 科学的评价体系。 17.数学核心概念： 数感：通俗地说，就是人对于数 及其运算的一般理解和感受，这 种理解和感受可以帮助人们灵活 的方法为解决复杂的问题提出有 用的策略。数感是一种主动地、 自觉地理解数、运用数的态度和 意识。 符号感：就是人们对各种符号的 理解与感受。 空间观念：是由长度、宽度、高 度表现出来的客观事物在人脑里 留下的概括的形象。 18.数学教育评价的定义：全面收 集和处理数学课程，教学设计与 实施过程中的信息，从而做出价 值判断，改进教学决策的过程。 要素：1.教师行为。2.学生行为。 3.教学内容。（1,2为核心要素） 主体：学生 19.难度：是反映试题难易程度的 数量指标。P越大，难度越小。 信度：指实测值与真实值相差的 程度，是一种反映试题的稳定性、 可靠性的数量指标。 区分度：是指试题对考生实际水 平的区分程度的数量指标。D越 大，区分度越大。 效度：是一种反映测试能否达到 所欲测试的特征值或功能程度的 数量指标，使其反映测验正确性 的程度。 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称； c.求)(x f -； d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5- 数学分析知识点总结 数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。下面是小编整理的数学分析知识点总结，欢迎来参考！ 从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。 我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法 设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课： （1）矩阵理论 （2）随机过程 （3）信息论与编码 （4）现代数字信号处理 （5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学。 （6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。 大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学，专业基础课：物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课：中级微观经济学（数学）中级宏观经济学中国市场经济研究经济分析方法（数学）经济理论与实践前沿金融理论与实践必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！ 正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习 [全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈-- 高中数学必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系高考文科数学知识点总结
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