数学建模灰色关联度分析英文版

4.1 Grey Relational Analysis

First,select a reference sequence as shown below :

(){}()()()()00000|1,2,1,x 2,x x x k k n x n ===

And the other group of sequence is,

(){}()()()()|1,2,1,2,,1,2,i i i i i x x k k n x x x n i m ====

Then the correlation degree of i x to 0x is,

()1

1n

i i k r k n ξ==∑

In which,

()()()()()

()()()()

0000min min max max max max s s s

t

s t

i s s s

t

x t x t x t x t k x t x t x t x t ρξρ-+-=

-+-

Then,

we use i r to describe the correlation degree between i x and 0x ,namely to describe the influence on 0x caused by the change of i x .

In general,Practical problems often have different numbers of different dimension,but when we calculate the correlation degree, it requires the same numbers of same dimension.So we want to carry out a variety of data processing dimensionless.in addition ,For comparison easily, all the sequseces are required to have a common point.In order to solve these two problems, we transform the given sequences.The given sequence ()()()()

1,x 2,,x ,x x n = we name

()()()()()()231,,,,111x x x n x x x x ??= ? ???

as initialization sequence of Original sequence ()()()()

1,x 2,,x x x n =

4.2 Water resources carrying capacity evaluation indexes and classification indexes

The establishment of evaluation index system of water resources carrying capacity is a key issue in the study of water resources carrying capacity. Regional water resources carrying capacity is influenced by many factors, Should be selected according to the requirements of the specific regional social development backlog of social - economic index system response - natural

compound ecosystem development scale and quality, reference existing literature results, through the grey correlation analysis, the bearing capacity of water resources evaluation index are shown in table 1. Approach A : Weighted Average Evaluation Based Model

Fig.1.The index system of water resources carrying capacity

Comprehensive analysis of water resources carrying capacity of main influencing factors and performance system, with reference to the evaluation index system of water resources carrying capacity at home and abroad to select the following 6 main factors as evaluation factors, The meaning of the factors as follows:

Water resource utilization ratio(

）: water and the ratio of the total population(）;

water utilization rate (）:The ratio of the available water quantity and water resources(%); utilization rate of arable land (

): Irrigation area and more on the ratio of the area(%);

The modulus of water supply(）: water and the ratio of the land area （）;

modulus of water requirement （）: The total water demand and the ratio of the land area

（）; Life water use ratio （

6u ）: Domestic water amount and the ratio of the total water demand （%）

According to the above six evaluation factors on the influence degree of the regional water resources carrying capacity Will the influence of these factors are divided into three levels, Each

1u 人/3m 2u 3u 4u 2

34/10km m 5u 2

3

4

/10km m Agriculture investment

Social economic indicator indicators Industry investment

Per GDP The index system of water resources carrying capacity Water environment

indicator

Water resources indicators Industrial sewage treatment

Irrigation displacement Per capital emission Life water lever

Water resource quantity

2V factor, the number of each level indicators are shown in table 2. The said condition is bad, water resources carrying capacity is close to saturation value, further development and utilization of potential is smaller, develop water shortages will occur;Membership condition is good, said there are still large carrying capacity of water resources in this area, water resource utilization degree of development in this area are small, water supply situation more optimistic;Level is between the above two levels, which indicates that this area has a scale development for the supply of water resources development, but still has a certain ability of development and utilization of local economic development and people have certain guarantee survival.

The evaluation factors

1V Per capita water supply /

>2250 2250--1000 <1000 Water resources utilization % <30

30--60 >60 The modulus of water supply /

<80 80--100 >100

Farmland irrigation rate /% <20 20--50 >50 Water demand modulus

/

<60

60--100

>100

Domestic water rate /% >4 4--2 <2 Scores

0.95 0.5 0.05

Table 2: classification index comprehensive evaluation factors

4.3 The fuzzy comprehensive evaluation model

Because of the bearing with uncertainty and fuzziness, the fuzzy evaluation model can be well carried out on the water resources carrying capacity multi-factor and multi-level comprehensive evaluation, comprehensive to reflect the status of the regional water resources carrying capacity. Fuzzy evaluation for B=AR finite field

,

, With U on behalf of the comprehensive

evaluation factors of collection, V on behalf of the evaluation of collection. Type A is U in the fuzzy subset A={

} ,0

for U for A membership.It marked the single factor evaluation

factors in the role of size, To a certain extent, also on behalf of the ratings; The evaluation result B is the fuzzy subset of V .B={

}, 0

, for the level of comprehensive evaluation

the membership degree of fuzzy subset B, they say the result of comprehensive evaluation.

3V 1

-3人?m 1234)(10--?km m 1234)(10--?km m j

a

Evaluation matrix

Among ij r for i U evaluation of grade 12(...)i i i in R r r r = membership degree, Matrix of the ith line is the single factor evaluation results of the ith a factor.

Evaluation computer matrix A representative of the various factors on the comprehensive evaluation of the importance of weight coefficient, thus satisfy, fuzzy transform AR also can be degraded for common matrix is calculated.

4.3.1 The calculation of matrix R

Corresponds to the evaluation sets of evaluation factors, and can be through the evaluation factors in the evaluation matrix R the actual numerical control classification indexes of various factors to analysis and calculation.In order to make the membership function can smooth transition between at all levels, the blur processing. Of V2 point of membership degree is 0.5, the midpoint to according to linear regressive processing. For V1 and V3 on both sides of the interval, then make the farther away from the critical value of range on either side of the membership degree, the greater the belong to both sides on the critical level of membership you 0.5 according to the grades of the above ideas to construct a evaluation the calculation formula of subordinate function. V1 and V2 level threshold for K1, V2 and V3 threshold for K3, V2 mid-range level interval for K2.K2.

For evaluating factors u3 u4 u5 u6 and comments and calculating formula for relative membership degree function:

1

2112

21

0.5(1)0.5(1)

(1)

0t t i i i t v i

k u u k k u u u u k u k k k -?

+

11

21221

2313

3233

30.5(1)0.5(1)(2)

0.5(1)0.5(1)i i i i t i v i i

i i

i k u u k k u u k k u k k k u k u k u k k k k u u k k u -?-

-?+≤

-?-≥?-?

33

2332

3

23

2

0.5(1)0.5(1)

(3)

0i i i i v i i

k u u k k u u k u k u k k k u k -?

+≥?-??-=-≤

Calculate the relative membership degree of evaluation factors according to the type,

For evaluation factors

in the evaluation and the calculation of the

relative membership degree function simply type (1) ~ (3) the right end of type UI interval good "

≤" instead of"≥"; And "<" instead of ">" after the calculation formula of the same

4.3.2 Fuzzy comprehensive evaluation

According to the evaluation factors influence the size of the carrying capacity of water resourcesWill judge factors influence on water resources carrying capacity endowed with different weights According to the matrix A and R, B = AR according to common matrix calculation rules can be obtained by matrix of ultimate bearing capacity of water resources evaluation results, according to the corresponding classification index score values

regional water resources carrying capacity comprehensive evaluation value can be obtained,

Regional water resources carrying capacity comprehensive evaluation value can be

obtained The regional water resources carrying capacity.

The comprehensive evaluation and analysis. K value is to highlight the role of the dominant level, usually take 1 in arid areas.

6

161

k j j j k j

j b b

αα===

∑∑

浅议灰色关联度分析方法及其应用

科技信息 SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION 2010年第17期 1关联度的概念 关联度是事物之间、因素之间关联性大小的量度。它定量地描述 了事物或因素之间相互变化的情况，即变化的大小、方向与速度等的 相对性。如果事物或因素变化的态势基本一致，则可以认为它们之间 的关联度较大，反之，关联度较小。对事物或因素之间的这种关联关 系，虽然用回归、相关等统计分析方法也可以做出一定程度的回答，但 往往要求数据量较大、数据的分布特征也要求比较明显。而且对于多 因素非典型分布特征的现象，回归相关分析的难度常常很大。相对来 说，灰色关联度分析所需数据较少，对数据的要求较低，原理简单，易 于理解和掌握，对上述不足有所克服和弥补。 2关联度的计算 灰色关联度分析的核心是计算关联度。一般说来，关联度的计算 首先要对原始数据进行处理，然后计算关联系数，由此就可计算出关 联度。 2.1原始数据的处理 由于各因素各有不同的计量单位，因而原始数据存在量纲和数量 级上的差异，不同的量纲和数量级不便于比较，或者比较时难以得出 正确结论。因此，在计算关联度之前，通常要对原始数据进行无量纲化 处理。其方法包括初值化、均值化等。 2.1.1初值化。即用同一数列的第一个数据去除后面的所有数据，得 到一个各个数据相对于第一个数据的倍数数列，即初值化数列。一般 地，初值化方法适用于较稳定的社会经济现象的无量纲化，因为这样 的数列多数呈稳定增长趋势，通过初值化处理，可使增长趋势更加明 显。比如，社会经济统计中常见的定基发展指数就属于初值化数列。 2.1.2均值化。先分别求出各个原始数列的平均数，再用数列的所有 数据除以该数列的平均数，就得到一个各个数据相对于其平均数的倍 数数列，即均值化数列。一般说来，均值化方法比较适合于没有明显升 降趋势现象的数据处理。 2.2计算关联系数 设经过数据处理后的参考数列为： {x0(t)}＝{x01，x02，…，x0n} 与参考数列作关联程度比较的p个数列(常称为比较数列)为： {x1(t)，x2(t)，…，x p(t)}＝ x11x12…x1n x21x22…x2n ………… x p1x p2…x pn 上式中，n为数列的数据长度，即数据的个数。 从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度。凡比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线形状相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间的差值大小作为关联度的衡量标准。 将第k个比较数列(k＝1，2，…，p)各期的数值与参考数列对应期的差值的绝对值记为： Δok(t)=x0(t)-x k(t)t＝1，2，…，n 对于第k个比较数列，分别记n个Δok(t)中的最小数和最大数为Δok(min)和Δok(max)。对p个比较数列，又记p个Δok(min)中的最小者为Δ(min)，p个Δok(max)中的最大者为Δ(max)。这样Δ(min)和Δ(max)分别是所有p个比较数列在各期的绝对差值中的最小者和最大者。于是，第k个比较数列与参考数列在t时期的关联程度(常称为关联系数)可通过下式计算： ζok(t)=Δ(min)+ρΔ(max) ok 式中ρ为分辩系数，用来削弱Δ(max)过大而使关联系数失真的影响。人为引入这个系数是为了提高关联系数之间的差异显著性。0＜ρ＜1。 可见，关联系数反映了两个数列在某一时期的紧密程度。例如，在使Δok(t)＝Δ(min)的时期，ζok(t)＝1，关联系数最大；而在使Δok(t)＝Δ(max)的时期，关联系数最小。由此可知，关联系数变化范围为0＜ζok(t)≤1。 显然，当参考数列的长度为n时，由p个比较数列共可计算出n×p个关联系数。 2.3求关联度 由于每个比较数列与参考数列的关联程度是通过n个关联系数来反映的，关联信息分散，不便于从整体上进行比较。因此，有必要对关联信息作集中处理。而求平均值便是一种信息集中的方式。即用比较数列与参考数列各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个数列的关联程度，其计算公式为： r ok=1 n n i=1 Σζok(t) 式中，r ok为第k个比较数列与参考数列的关联度。 不难看出，关联度与比较数列、参考数列及其长度有关。而且，原始数据的无量纲化方法和分辩系数的选取不同，关联度也会有变化。 2.4排关联度 由上述分析可见，关联度只是因素间关联性比较的量度，只能衡量因素间密切程度的相对大小，其数值的绝对大小常常意义不大，关键是反映各个比较数列与同一参考数列的关联度哪个大哪个小。 当比较数列有p个时，相应的关联度就有p个。按其数值的大小顺序排列，便组成关联序。它反映了各比较数列对于同一参考数列的“主次”、“优劣”关系。 灰色关联度分析方法的运用之一，就是因素分析。在实际工作中，影响一个经济变量的因素很多。但由于客观事物很复杂，人们对事物的认识有信息不完全性和不确定性，各个因素对经济总量的影响作用不是一下子就能够看清楚的，需要进行深入的研究，这就是经济变量的因素分析。运用灰色关联度进行因素分析是非常有效的，而且特别适用于各个影响因素和总量之间不存在严格数学关系的情况。 例1：利用关联度分析方法研究某公路施工企业工资序列（表1）。 表1某公路施工企业工资序列表单位：千元 根据表1中数据，以工资总额为参考数列x0(t)，以计时工资x1(t)、档案工资x2(t)和承包工资x3(t)为比较数列，计算三种工资对于工资总额的关联度。 第一步，对各数列作均值化处理。 工资总额和三种工资的均值分别为： 浅议灰色关联度分析方法及其应用 孙芳芳 (濮阳市公路管理局河南濮阳457000) 【摘要】灰色关联度是灰色数学中的一种方法，用来研究事物相互关联、相互作用的复杂因素的影响作用，确定影响事物的本质因素，使各种影响因素之间的“灰色”关系清晰化。本文介绍了灰色关联度在实际工作中的分析方法和步骤，为定量描述事物或因素之间相互变化的情况提供了理论依据。 【关键词】灰色关联度；分析方法；综合评价；应用 年份工资总额计时工资档案工资承包工资 200313974.23831.06587.23556.0 200415997.64228.07278.04491.6 200517681.35017.07717.44946.9 200620188.35288.69102.25797.5 200724020.35744.011575.26701.0 x i軃18372.34821.78450.05098.6○公路与管理○ 880

灰色关联模型及其应用研究

重庆三峡学院 大学生创新性实验计划项目申报表 项目名称灰色关联模型及其应用研究 项目负责人 所在院系、专业 指导教师 联系电话 电子邮件 填表日期 教务处制

项目名称灰色关联模型及其应用研究 申请经费0.3万元计划起止时间2014年5月至2015年6月 申报团队学号姓名年级所在院系、专业联系电话E-mail 2012 导师 姓名院系职称/学历E-mail 电话 申请理由（包括项目背景及自身具备的知识条件） 一、项目背景： 灰色系统理论是中国学者邓聚龙教授于1982年提出来的一门新兴理论，该理论是一种运用特定的方法描述信息不完全的系统并进行预测、决策、控制的崭新的系统理论。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定的幅值和一定时区变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程，其是控制论观点和方法的延伸，它从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息，也即系统的“白化”问题。灰色系统的实质为：部分信息已知部分信息未知的一类系统。灰色关联分析是灰色系统理论的主要内容之一，它是对运行机制与物理原型不清楚或者根本缺乏物理原型的灰关系序列化、模式化，进而建立灰关联分析模型，使灰关系量化、序化、显化，能为复杂系统的建模提供重要的技术分析手段。 灰色关联分析方法是一种多因素分析方法，其基本原理是通过对统计序列几何关系的比较，若序列几何形状越接近，则它们的灰关联度就越大。灰色关联分析的基本任务是基于行为因子序列的微观或宏观几何接近，以分析和确定因子之间的影响程度或对因子对主行为的贡献测度。关联分析的实质是整体比较，是有参考系的、有测度的比较。 目前，常见的灰色关联计算模型主要有以下几种：邓聚龙提出的邓氏关联度；王清印的灰色B型关联度和C型关联度；唐五湘的T型关联度；刘思峰的广义关联度；赵艳林的灰色欧几里德关联度等。

数学建模之灰色预测模型

、灰色预测模型 简介(P372) 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性 和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ① 销售额预测 ② 交通事故次数的预测 ③ 某地区火灾发生次数的预测 ④ 灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报 (百度文库) ⑤ 基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析(下载的文档) ⑥ 网络舆情危机预警(下载的文档) 1.2步骤 ① 级比检验与判断 由原始数据列x (0) =(x (o ) (1),x (o ) (2),…，x (0)(n))计算得序列的级比为 2 2 若序列的级比(k) -(e^ '.e 0 2)，贝U 可用x (0)作令人满意的GM(1,1)建模。 光滑比为 P (k )= k x <0) ( k) \- (0) x (I) i 珀 若序列满足 p(k 1) ：：1,k =2,3,…，n-1; p(k) p(k)〔0,T,k=3,4, ,n; 「:: 0.5. ■ (k)二 x (0)(k -1) x (0) (k) ,k - 2,3, , n.

则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 对序列x (0)做如下平移变换 y (o )(k)=x (o ) (k) c,k=1,2「, n, 序列y (0)的级比 、 y 0(k-1) 一 'y (k) (0) ，k = 2,3， , n ? y(k) ② 对原始数据x (0)作一次累加得 x ⑴=(x ⑴(1),X (1)(2),…,x (1)(n)) =(x (0)(1，x (0)(1 +x (0) (2)，…,x (0)⑴+…+x (0)(n)). 建立模型： dx ( 1 ) ——ax ⑴=b,( 1) dt ③ 构造数据矩阵B 及数据向量丫 ■ -z (1) ⑵ 1 1 f x (0) (2)1 B = -z ⑴⑶1 9 亍 ，丫二 x (0)(3) a -z ⑴(n) 1_ x (0) (n)J 其中：z ⑴(k) =0.5x ⑴(k) 0.5x ⑴(k -1),k =2,3, ,n. ④ 由 求得估计值召=b?= ⑤ 由微分方程(1)得生成序列预测值为 ( b?) b? x>(1)(k+1)= ：x (0)(1)—三 ，k=0,1，…，n —V, l 召丿 召 则模型还原值为 00)(k 1)=0)化 1)-0),k =1,2, ,n-1,. ⑥ 精度检验和预测 残差 ；(k) =x (0)(k)-?(0)(k),k=1,2, ,n, -(B T B)4B T Y u?=

灰色关联分析(算法步骤)

灰色关联分析 灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度[1]。 灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。 [2] 关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。[2] 灰色关联分析的步骤[2] 灰色关联分析的具体计算步骤如下： 第一步：确定分析数列。 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。 设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k= 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）X i={X i(k) | k = 1,2,Λ,n},i= 1,2,Λ,m。 第二步，变量的无量纲化 由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。

第1章 数学建模与误差分析

第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下

灰色关联度分析

第五章灰色关联度分析 目录 壹、何谓灰色关联度分析----------------------------------------- 5-2 贰、灰色联度分析实例详说与练习 ---------------------------- 5-8 负责组员 工教行政硕士班二年级 周世杰591701017 陶虹沅591701020 林炎莹591701025

第五章灰色关联度分析 壹、何谓灰色关联度分析 一.关联度分析 灰色系统分析方法针对不同问题性质有几种不同做法，灰色关联度分析(Grey Relational Analysis)是其中的一种。基本上灰 色关联度分析是依据各因素数列曲线形状的接近程度做发展 态势的分析。 灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统(或因素) 之间的数值关系。简言之，灰色关联度分析的意义是指在系统 发展过程中，如果两个因素变化的态势是一致的，即同步变化 程度较高，则可以认为两者关联较大；反之，则两者关联度较 小。因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了 量化的度量，非常适合动态(Dynamic)的历程分析。 灰色关联度可分成「局部性灰色关联度」与「整体性灰色关联度」两类。主要的差别在于「局部性灰色关联度」有一参 考序列，而「整体性灰色关联度」是任一序列均可为参考序列。 二.直观分析 依据因素数列绘制曲线图，由曲线图直接观察因素列间

的接近程度及数值关系，表一某老师给学生的评分表数据数据为例，绘制曲线图如图一所示，由曲线图大约可直接观察出该老师给分总成绩主要与考试成绩关联度较高。 表一某一老师给学生的评分表单位：分/ % 由曲线图直观分析，是可大略分析因素数列关联度，可看出考试成绩与总成绩曲线形状较接近，故较具关联度，但若能以量化分析予以左证，将使分析结果更具有说服力。

数学建模 SPSS 典型相关分析

典型相关分析 在对经济问题的研究和管理研究中，不仅经常需要考察两个变量之间的相关程度，而且还经常需要考察多个变量与多个变量之间即两组变量之间的相关性。典型相关分析就是测度两组变量之间相关程度的一种多元统计方法。 典型相关分析计算步骤 （一）根据分析目的建立原始矩阵 原始数据矩阵 ? ?????? ?????? ?nq n n np n n q p q p y y y x x x y y y x x x y y y x x x 2 1 2 1222 21 22211121111211 （二）对原始数据进行标准化变化并计算相关系数矩阵 R = ?? ? ? ??2221 1211 R R R R 其中11R ，22R 分别为第一组变量和第二组变量的相关系数阵，12R = 21 R '为第一组变量和第二组变量的相关系数 （三）求典型相关系数和典型变量 计算矩阵=A 111-R 12R 122-R 21R 以及矩阵=B 122-R 21R 1 11-R 12R 的特征值和特征向量，分 别得典型相关系数和典型变量。 （四）检验各典型相关系数的显著性 第五节 利用SPSS 进行典型相关分析 第一步，录入原始数据，如下表：X1 X2 X3 X4 X5 分别代表多孩率、综合节育率、初中及以上受教育程度的人口比例、人均国民收入和城镇人口比例。 研究人口出生与教育程度、生活水平等的相关。

1、点击“Files→New→Syntax”打开如下对话框。 2、输入调用命令程序及定义典型相关分析变量组的命令。如图

输入时要注意“Canonical correlation.sps”程序所在的根目录，注意变量组的格式和空格。 第三步，执行程序。用光标选择这些命令，使其图黑，再点击运行键，即可得到所有典型相关分析结果。

数学建模常见评价模型简介

常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如200５年全国赛A题长江水质的评价问题，20０8年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型:层次分析模型，模糊综合评价模型,灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AＨP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去, 直到最后一层,给出所有因素相对于总目标而言,按重要性程度的一个排序。其主要特征是,它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策,可以分为以下四个步骤: 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,借助1～9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过,则最大特征根对应的特征向量做为权向量。 步骤４计算组合权向量（作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例（选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层Ｃ，方案层P；每层有若干

数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题： 目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换? 分析： 分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。 最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。 案例分析2：城市商业中心最优位置分析 问题： 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。

数学建模结果分析

结果分析 综上所述，由模型求解可知，在满足模型条件的假设（4）的条件下，当所给阳性的先验概率0.3066p ≥时，在不分组的条件下每个人一次一次的检验可以使总次数最少；当所给0.29290.3066p ≤<时，进行一次检验比分两次组和不分组均可使总次数最少；当00.2929p <<时，分两次组总次数比分一次组总次数要少。 当p 固定时，为了是人群中总的检验次数最小，就需要确定每组中的人数k 。根据固定值p 的大小分类讨论： 当0.3066p ≥时，此时不需要分组，即1k =时可使检验次数最小； 当0.3066p <时，此时需要分组，要使人群总的检验次数最小，只需要使每个人的检验次数的期望值E ξ最小，通过引入与11k E q k ξ=-+ 变化趋势相同的连续性函数 )2(,11)(≥+-=x x q x f x ，对于一个给定的p ，可以求出函数(x)f 的极值，又由分析知'(x)f 是增函数，所以求出(x)f 的极值就是(x)f 的最小值的取值m x ，故取与m x 最相近的两个值(上取整和下取整)，代入ξE ，然后比较两个函数值，找出较小的一个，以此类推，可以确定，每一个给定的p 要使人群中总的检验次数最小所对应的人数k 。 在0.3066p <中，当0.29290.3066p ≤<时，进行一次分组检验比进行两次分组检验和不分组检验可使检验次数最少；当00.2929p <<时，分两组比分一组总的检验次数少。 模型检验

当然这都是在假设（4）的前提下做出的，现举一例具体说明上述假设的合理性：设0.002p =时，经过上述计算可得，当23k =时可使在一次分组的情况下平均每人检验次数最小，为满足假设（4），可以取24k =（此时平均每人检验次数仅比23k =时多510-次，故在检验100000人时总次数才多一次，故可忽略），然后取112k =或更小（如16k =），此时一定可以做到分两次组比分一次组平均每人检验次数小。当然此时还可以继续求满足条件的第二次分组平均每人检验次数的最小值。 由于题给条件是人群数量很大，基本是健康人，先验概率p 很小，所以4

数学建模之灰色预测模型

数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 1.2步骤 ①级比检验与判断 由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为 (0)(0)(1)(),2,3, ,.() x k k k n x k λ-== 若序列的级比()k λ∈ 221 2 (,)n n e e -++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建模。 光滑比为 (0)1 (0) 1 () ()() k i x k p k x i -== ∑ 若序列满足 [](1) 1,2,3,,1;() ()0,,3,4, ,;0.5. p k k n p k p k k n ??+<=-∈=<

则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换 (0)(0)()(),1,2, ,,y k x k c k n =+= 序列(0)y 的级比 0(0)(1) (),2,3, ,.() y y k k k n y k λ-=∈Θ= ②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（） 建立模型: (1) (1),dx ax b dt += （1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ??- ??- ? ?=?? ????- 1??(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ??????=?? ?????? （） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 1??()?T T a u B B B Y b -??==???? 求得估计值?a = ?b = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 ? (1) (0)???(1)(1)k 0,1,,1,,??ak b b x k x e n a a -??+=-+=- ? ??? ， 则模型还原值为 (0)(1)(1)???(1)(1),1,2,,1,.x k x k x k n +=+-=- ⑥精度检验和预测 残差 (0)(0)?()()(),1,2,,,k x k x k k n ε=-=

数学建模各种分析报告方法

现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。 3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,

基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型

第1章基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型 灵活型公共交通系统是一个复杂的综合性系统，单一的常规评价方法不能够准确对系统进行全面评价【39】，这就要求在进行灵活型公共交通系统评价时，结合系统固有特点，根据各种评价方法的优缺点，构建适合该系统的综合评价模型。本章以灵活型公共交通系统评价指标体系为基础，参考常规型公共交通系统评价方法，建立了基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型。 1.1评价方法适应性分析 灰色关联度分析法基于灰色系统理论，是一种多指标、多因素分析方法，通过对系统的动态发展情况进行定量化分析，考察系统各个要素之间的差异性和关联性，当比较序列与参考序列曲线相似时，认为两者有较高关联度，反之则认为它们之间关联度较低，从而给出各因素之间关系的强弱和排序【50】。与传统的其它多因素分析法相比【80】【81】【82】，灰色关联度分析法对数据量要求较低，样本量要求较少，计算量较小，可以利用各指标相对最优值作为参考序列，为最终综合评价等级的确定提供依据，而不必对大量实践数据有过高要求，能够较好解决灵活型公共交通系统作为新型辅助式公系统没有足够的经验数据支撑其模型参数的问题。此外，灵活型公共交通系统评价体系是基于乘客、公交企业、政府三方主体的综合评价体系，涉及因素较多，指标较为复杂，部分指标之间存在关联性和重复性，信息相对不完全，而灰色系统的差异信息原理以及解的非唯一性原理，可以很好的解决这一问题【79】。综上所述，认为灰色关联度分析法比较适合于灵活型公共交通系统的综合评价。然而灰色关联度分析法将所有指标对于总目标的影响因素大小视作等同，没有考虑指标权重的影响，评价值可信度较低，应当通过科学的方法，确定指标权重，将其与关联度系数相结合，增加评价结果的科学性和有效性【83】。 常见的权重确定方法包括，专家打分法、等权重法、统计试验法、熵值法等。等权重法不能很好的体现不同指标影响程度的差异性，并且在综合评价值相差不大时不利于方案的选择【84】；专家打分法、统计试验法评价的主观性较高，并且不适用于指标较多的情况【85】；行和正规化法、列和求逆法等指对判断矩阵的一部分数据进行利用，结果可信度不高【86】；最小偏差法、对数回归法等，利用同一指标不同方案值，认为变化程度较大的指标传递更多信息，应具有较高权重，然而对于灵活型公共交通系统单方案综合水平等级评价的情况，并不适用。本文应用层次分析法确定系统各指标权重，层次分析法【51】【52】（Analytic Hierarchy Process—AHP）是一种典型的系统工程分析方法，它将人们复杂的系统思维过程数学化、层次、条理化，把复杂问题的各种因素整合为相互联系的有序层次【53】，有助于保持决策者思维的一致性，适用于各种类型的复杂综合评价系统，能够有效的将定性分析和定量分析进行综合集成，具有的可置换性、互容性、对称性等较优性质，是目前确定指标权重的一种常用方法。 鉴于此，本文引入了基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型【54】【55】【56】，在建立基于三方主体的综合评价体系同时量化评价指标的基础上，进一步对各指标进行无量纲化处理，通过层次分析法确定各指标权重，进而建立灰色关联度评价矩阵，与各指标权重相结合，确定灵活型公共交通系统综合评价结果。考虑到灵活型公共交通系统综合评价体系评价指标较多，本文采用了基于灰色关联度的二级指标评价矩阵，由低层向高层逐步进行评价，避免

数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 步骤 ①级比检验与判断 由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为 (0)(0)(1)(),2,3, ,.() x k k k n x k λ-== 若序列的级比()k λ∈ 221 2 (,)n n e e -++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建 模。 光滑比为 (0)1 (0) 1 () ()() k i x k p k x i -== ∑ 若序列满足

[](1) 1,2,3,,1;() ()0,,3,4, ,;0.5. p k k n p k p k k n ??+<=-∈=< 则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换 (0)(0)()(),1,2, ,,y k x k c k n =+= 序列(0)y 的级比 0(0)(1) (),2,3, ,.() y y k k k n y k λ-=∈Θ= ②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（） 建立模型: (1) (1),dx ax b dt += （1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ??- ??- ? ?=?? ????- 1??(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ??????=?? ?? ???? （） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 1??()?T T a u B B B Y b -??==???? 求得估计值?a = ?b = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 ? (1) (0)???(1)(1)k 0,1,,1,,??ak b b x k x e n a a -??+=-+=- ? ??? ， 则模型还原值为

灰色关联度分析方法模型

灰色关联度分析方法模型 灰色综合评价主要是依据以下模型：R=Y×W 式中，R 为M 个被评价对象的综合评价结果向量；W 为N 个评价指标的权重向量；E 为各指标的评判矩阵，（矩阵略） )(k i ξ为第i 个被评价对象的第K 个指标与第K 个最优指标的关联系数。根据R 的数值，进行排序。 （1）确定最优指标集 设 ],,[**2*1n j j j F =,式中*k j 为第k 个指标的最优值。此最优序列的每个指标值可以是诸评价对象的最优值，也可以是评估者公认的最优值。选定最优指标集后，可构造矩阵D （矩阵略） 式中i k j 为第i 个期货公司第k 个指标的原始数值。 （2）指标的规范化处理 由于评判指标间通常是有不同的量纲和数量级，故不能直接进行比较，为了保证结果的可靠性，因此需要对原始指标进行规范处理。设第k 个指标的变化区间为],[21k k j j ,1k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最小值，2k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最大值，则可以用下式将上式中的原始数值变成无量纲值)1,0(∈i k C 。 i k k k i k i k j j j j C --=21，m i ,2,1=，n k ,,2,1 =（矩阵略） （3）计算综合评判结果 根据灰色系统理论，将],,,[}{**2*1*n C C C C =作为参考数列，将 ],,,[}{21i n i i C C C C =作为被比较数列，则用关联分析法分别求得第i 个被评价对 象的第k 个指标与第k 个指标最优指标的关联系数，即 i k k k i i k k i k k k i i k k k i C C C C C C C C k -+--+-=****i max max max max min min )ρρξ（ 式中)1,0(∈ρ，一般取5.0=ρ。 这样综合评价结果为：R=ExW