2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)
文科数学
(新课标卷适用地区:河南、黑龙江、吉林、山西、新疆、宁夏、内蒙古、云南)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的
姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M N ,则P 的子集共有
A .2个
B .4个
C .6个
D .8个
2.复数512i
i
=-
A .2i -
B .12i -
C . 2i -+
D .12i -+
3.下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是
A .3
y x =
B .||1y x =+
C .21y x =-+
D .||
2
x y -=
4.椭圆
22
1168
x y +=的离心率为
A .
1
3
B .
12
C D 5.执行右面的程序框图,如果输入的N 是6,那么输出的p 是 A .120 B . 720 C . 1440 D . 5040
6.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每
位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A .13
B .
12
C .23
D .34
7.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos 2θ=
A . 45
-
B .35
-
C .
35
D .
45
8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为
9.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,
P 为C 的准线上一点,则ABP ?的面积为
A .18
B .24
C . 36
D . 48
10.在下列区间中,函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为
A .1
(,0)4
-
B .1(0,)4
C .11(,)42
D .13(,)24
11.设函数()sin(2)cos(2)44
f x x x π
π
=+++,则 A .()y f x =在(0,)2
π
单调递增,其图象关于直线4
x π
=对称 B .()y f x =在(0,)2
π
单调递增,其图象关于直线2
x π
=对称 C .()y f x =在(0,)2
π
单调递减,其图象关于直线4
x π
=对称
D .()y f x =在(0,
)2
π
单调递减,其图象关于直线2
x π
=
对称
12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2
()f x x =,那么函数()y f x =的图象
与函数|lg |y x =的图象的交点共有
A .10个
B .9个
C .8个
D .1个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题-第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a+b 与向量ka-b 垂直,则
k=_____________.
14.若变量x ,y 满足约束条件329
69x y x y ≤+≤??≤-≤?
,则2z x y =+的最小值是_________.
15.ABC ?中,120,7,5B AC AB =?==,则ABC ?的面积为_________.
16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底
面面积是这个球面面积的
3
16
,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________.
三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知等比数列{}n a 中,113
a =
,公比1
3q =.
(I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12
n
n a S -=
(II )设31323log log log n n b a a a =+++ ,求数列{}n b 的通项公式.
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=?,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD .
(I )证明:PA BD ⊥; (II )设PD=AD=1,求棱锥D-PBC 的高. 19.(本小题满分12分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果:
A 配方的频数分布表
指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数
8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表
指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数
4 12 42 32 10
(I )分别估计用A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;
(II )已知用B 配方生产的一种产品利润y (单位:元)与其质量指标值t 的关系式为
2,942,941024,102t y t t -?
=≤?≥?
估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润. 20.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上. (I )求圆C 的方程;
(II )若圆C 与直线0x y a -+=交于A ,B 两点,且,OA OB ⊥求a 的值.
21.(本小题满分12分)
已知函数ln ()1a x b
f x x x
=
++,曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为230x y +-=.
(I )求a ,b 的值;
(II )证明:当x>0,且1x ≠时,ln ()1
x
f x x >
-. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,D ,E 分别为ABC ?的边AB ,AC 上的点,且不与ABC ?的顶点重合.已知AE
的长为m ,AC 的长为n ,AD ,AB 的长是关于x 的方程2
140x x mn -+=的两
个根. (I )证明:C ,B ,D ,E 四点共圆; (II )若90A ∠=?,且4,6,m n ==求C ,B ,D ,E 所在圆的半径.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα
=??
=+?为参数)
,M 为1C 上的动点,P 点满足2OP OM =
,点P 的轨迹为曲线2C .
(I )求2C 的方程;
(II )在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3
π
θ=
与1C 的异于极点
的交点为A ,与2C 的异于极点的交点为B ,求|AB|.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >. (I )当a=1时,求不等式()32f x x ≥+的解集.
(II )若不等式()0f x ≤的解集为{x|1}x ≤-,求a 的值.
参考答案
一、选择题
(1)B (2)C (3)B (4)D (5)B (6)A (7)B (8)D (9)C (10)C (11)D (12)A 二、填空题
(13)1 (14)-6 (15)4
3
15 (16)31
三、解答题 (17)解:
(Ⅰ)因为.3
1
)31(311n n n a =?=
- ,23113
11)311(3
1n
n n S -=--= 所以,2
1n
n a S --
(Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=
2
)
1(+-
=n n
所以}{n b 的通项公式为.2
)
1(+-
=n n b n (18)解:
(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=,
由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
(Ⅱ)如图,作DE ⊥PB ,垂足为E 。已知PD ⊥底面ABCD ,则PD ⊥BC 。由(Ⅰ)知BD ⊥AD ,又BC//AD ,所以BC ⊥BD 。 故BC ⊥平面PBD ,BC ⊥DE 。
则DE ⊥平面PBC 。
由题设知,PD=1,则BD=3,PB=2,
根据BE·PB=PD·BD ,得DE=
2
3
, 即棱锥D —PBC 的高为.2
3 (19)解
(Ⅰ)由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质的频率为228
=0.3100
+,所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知,用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210
0.42100
+=,所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
(Ⅱ)由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96,所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B 配方生产的产品平均一件的利润为
68.2)442254)2(4(100
1
=?+?+-??(元) (20)解:
(Ⅰ)曲线162
+-=x x y 与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为
().0,223(),0,223-+
故可设C 的圆心为(3,t ),则有,)22()1(32222t t +=-+解得t=1.
则圆C 的半径为.3)1(32
2=-+t
所以圆C 的方程为.9)1()3(2
2=-+-y x
(Ⅱ)设A (11,y x ),B (22,y x ),其坐标满足方程组:
?????=-+-=+-.
9)1()3(,
02
2y x a y x 消去y ,得到方程
.012)82(222=+-+-+a a x a x
由已知可得,判别式.0416562
>--=?a a
因此,,441656)28(2
2,1a a a x --±-=
从而
2
1
20,422121+-=
-=+a a x x a x x
①
由于OA ⊥OB ,可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以
.0)(222121=+++a x x a x x
②
由①,②得1-=a ,满足,0>?故.1-=a
(21)解:
(Ⅰ)22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x α+-=
-+
由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,
1'(1),2f f =??
?=-??即
1,
1,22
b a b =???-=-??
解得1a =,1b =。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知ln 1
f ()1x x x x
=
++,所以
)1ln 2(11
1ln )(22
x
x x x x x x f -+-=-= 考虑函数()2ln h x x =+
x
x 12-(0)x >,则
2
2
22
2)1()1(22)(x
x x x x x x h --=---=' 所以当1≠x 时,,0)1(,0)(=<'h x h 而故
当)1,0(∈x 时,;0)(11
,0)(2
>->x h x x h 可得
当),1(+∞∈x 时,;0)(11
,0)(2
>- x h 可得 从而当.1 ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x x x f x x x f x x 即且 (22)解: (I )连接DE ,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC , 即 AB AE AC AD =.又∠DAE=∠CAB ,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C ,B ,D ,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4, n=6时,方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12. 故 AD=2,AB=12. 取CE 的中点G ,DB 的中点F ,分别过G ,F 作AC ,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C ,B ,D ,E 四点共圆,所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ,半径为DH. 由于∠A=900,故GH ∥AB , HF ∥AC. HF=AG=5,DF= 2 1 (12-2)=5. 故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为52 (23)解: (I )设P(x ,y),则由条件知M( 2 ,2Y X ).由于M 点在C 1上,所以 ??? ???????????+==ααsin 222,cos 22y x 即 ? ?? ???+==ααs i n 44c o s 4y x 从而2C 的参数方程为 4cos 44sin x y α α =?? =+?(α为参数) (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3 π θ= 与1C 的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=, 射线3 π θ= 与2C 的交点B 的极径为28sin 3 π ρ=。 所以21||||AB ρρ-==(24)解: (Ⅰ)当1a =时,()32f x x ≥+可化为 |1|2x -≥。 由此可得 3x ≥或1x ≤-。 故不等式()32f x x ≥+的解集为 {|3x x ≥或1}x ≤-。 (Ⅱ) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥??-+≤? 或30x a a x x ≤?? -+≤? 即 4x a a x ≥???≤?? 或2 x a a a ≤???≤-?? 因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2 a x x ≤- 由题设可得2 a - = 1-,故2a =