高等代数论文
莆田学院数学与应用数学系
“高等代数选讲”课程论文题目：小论矩阵的对角化
姓名：刘文娟
学号：410401210
莆田学院数学与应用数学系
数学与应用数学专业2004级
2007年6 月22 日
小论矩阵的对角化
刘文娟 042数本 410401210
摘要：对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，这里讨论n 阶矩阵对角化的一些判定条
件（充要条件）及几种常用矩阵的对角化问题。
关键词：可对角化 特征值 特征向量 不变因子 初等因子 最小多项式 矩阵的秩
特征多项式 循环矩阵
定义：数域F 上方阵A ，如果能与一个F 上的对角方阵相似，则A 在F 可对角化。 判定1：A 可对角化的充要条件是：有n 个线性无关的特征向量。 判定2：设n 方阵A 的全部不同的特征根为12,,
,m λλλ而()12,,1,2,i i isi i m ααα=为
()0i E A X λ-=的一个基础解系（从而是属于i λ的一极大无关特征向量组），A 可对角化的充要条件是：
12m s s s n ++=
判定3：设12,,
,m λλλ为n 方阵A 的全部不同的特征根，且分别为12,,
m s s s 重根，A 可
对角化的充要条件是： 对每个()1,2,
i i m =都有：
()i i r E A n s λ-=- 证明：充分性 设()i i r E A n s λ-=-， ()1,2,
i m =
则齐次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系含()i i n n s s --=个向量，
但由于12,,
,m λλλ分别为12,,m s s s 重根，从而12m s s s n ++=
故A 可对角化。
必要性 设A 必有n 个线性无关的特征向量，但由于12m s s s n ++
=，故每个
次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系必含i s 个向量，从而
()i i r E A n s λ-=-， ()1,2,i m =
判定4：数域F 上n 方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式是F 上互素的
一次因式的乘积。
判定5：复数域上矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式没有重根。即A 的
最后一个不变因子无重根。
证明： 假设A 相似与对角矩阵，因为相似矩阵具有相同的最小多项式，我们只要证明对角
矩阵的最小多项式无重根即可。由于分块对角矩阵的最小多项式等于各块最小多项式的公倍式，对于对角矩阵而言，等于主对角线上一次式的最小公倍式，显然，这个多项式无重根子。
反之，设A 的最小多项式无重根，因为最小多项式是矩阵的最后一个不变因子，故
前面的不变因子无重根（它们都是最后一个不变因子的因子），于是A 的初等因子全是一次式，即A 的若当块都是一阶的。这就证明了A 相似与对角矩阵。
判定6：复数域上矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的初等因子是一次的。即A 的
每一个若当尔块皆是一级的。 判定7：C 为复数域，n n
A C
?∈，A 与对角矩阵相似的充要条件是：对于任意的C λ∈，
E A λ-与()2
E A λ-有相同的秩。
证明：设A 与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵T ，使
121
n T AT λλλ-??
?????
?=???????
?
所以任意C λ∈，有()1
21
n T E A T λλλλλλλ--??
??-?
??
?-=??????-?
?
()()()
()2
12
22
12
n T E A T λλλλλλλ-??
-????-??-=?
???????-?
?
因此()1
T
E A T λ--与()2
1T E A T λ--等秩，由T 可逆知：E A λ-与()2
E A λ-有
相同的秩。
反之，设对每个C λ∈，E A λ-与()2
E A λ-有相同的秩，由于n n
A C ?∈，故A 可
与若当形矩阵相似，即存在可逆矩阵1
T -，使
12
1
s J J T AT J -??
?????
?=???????
?
其中i J 为若当块，1,2,i s =，
若某个i J 不是对角形（即i J 不是一级的），不妨设为1J ，即
1
1111,1
1
i
k J λλ
λ??
???
?
??=???????
?2,i k ≥故 110
10,1
1
0E J λ?????
???-=???????
?()2
110
00
10
1
0J λ????????-=???
????
?
由此可知
()
2
11E J λ-的秩小于11E J λ-的秩，因而()2
1
1T E A T λ--的秩小于
()11T E A T λ--的秩，进而()2
E A λ-的秩小于E A λ-的秩，与已知矛盾。 故每个i J 是对角形，从而12
1
s J J T AT J -??
????
?
?=???????
?
为对角形()s n = 判定8：矩阵A =n CE （杨：数量矩阵吗）的充要条件是A 的不变因子组（杨：这种称呼的来源？）中无常数。
证明： 必要性显然 下证充分性
若A 的不变因子无常数，则只能为C λ-，C λ-，C λ-
因此A 相似于对角矩阵，且主对角线上的元素全是C ，即存在可逆矩阵P ， ()1
1
,n n n P AP CE A P CE P CE --===
判定9：设A 为n 方阵，()f E A λλ=-是A 的特征多项式，并令
()()
()()()
,f g f f λλλλ=
'
则A 与一对角矩阵相似的充要条件是：()0g A =
证明：必要性 由A 与对角矩阵相似，其最小多项式()A m λ无重根，且()A m λ取()f
λ的
所有根，又()()
()()()
,f g f f λλλλ='无重根且与()f λ的根相同，故()()A g m λλ=
因而()0g A =
充分性 由()0g A =知()()|,A m g λλ从而()A m λ无重根，A 与对角矩阵相似。 性质1：一个矩阵是否可对角化（即与一个对角矩阵相似）同数域的大小有关。 例如：二阶方阵0110A -??
=?
?
??
在实数域不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因此此时它与对角矩阵 00i i ??
Λ=?
?
-??
相似 事实上，取11P i i ??
=??-??
即有1
P AP -=Λ 判定10：设A 为一个n 复矩阵，()f
E A λλ=-是A 的特征多项式，A 可对角化的充要
条件是：若a 是()f
λ的k 重根，则秩()aE A n k -=-
证明：必要性 由条件可知，存在可逆矩阵X ，使
1
21
n X AX λλλ-??
???
??
?=???????
?
而()()()()12,n f
E A λλλλλλλλ=-=---a 是()f λ的k 重根，
因而在12
,n λλλ中有k 个a ，故矩阵
()121
n a a X aE A X a λλλ--??
??-?
??
?-=??????-?
?
的主对角线上有k 个零，从而秩()aE A n k -=- 充分性 由a 是()f
λ的根，即a 是A 的特征值，由条件知，存在可逆矩阵X ，使
1
2
1
n J J X AX J -??
???
??
?=???????
?
，
11
1
i i
i
i
i i n n J λλλ????????
?=???????
?1,2,i s =
设12,,
r J J J 的对角线元素为a ，而1,
r s J J +不以a 为特征值，则
()11
2211
s aE J aE J X aE A X aE X AX aEs J ---??
??-?
??
?-=-=????
??-?
?
故秩()()()1111r r s aE A n n n n n r n k +-=-+-++
=-=-
从而11,,1,k r r k n n k n n =+
==
=由于a 是任意的，故1X AX -为对角矩阵。
性质2：设A 是数域P 上的n 阶可逆矩阵，则以下条件等价： ()1A 与对角矩阵相似 ()21A -与对角矩阵相似 ()3*A 与对角矩阵相似
证明：()()12? 设12n D λλλ??
???
?
?
?=???????
?
，且A 与D 相似，则存在可逆矩阵T ，使得111
21
1n T AT λλλ----??
?
???
?
?=???????
?
，即1A -也与对角矩阵相似。 ()()23?，设12n u u U u ?????
?
?
?=???????
?，且1A -与U 相似，则存在可逆矩阵Q ，使 1
21n u u Q AQ u -??
???
??
?=???????
?
于是有：
1
211n u u A Q Q u --??
???
??
?=???????
?
进而有：
1
122
*11
1n n u A u u A u A A A A Q Q Q Q u A u ---??
??
????
???
??
??
?===????
????
?????
??
?
即*
A 也与对角矩阵相似。