2015年天津市高考数学试卷(理科)解析
2015年天津市高考数学试卷(理科)解析
2015年天津市高考数学试卷（理科）
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2015?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?U B=（）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，
6} D．{2，3，5，
6，8}
2．（5分）（2015?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为
（）
A．3B．4C．18 D．40
3．（5分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A．B．3C．D．
6．（5分）（2015?天津）已知双曲线﹣=1 （a ＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）（2015?天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f （log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c 的大小关系为（）
A．a＜b＜
c B．a＜c＜
b
C．c＜a＜
b
D．c＜b＜
a
8．（5分）（2015?天津）已知函数f（x）
=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中
b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）
A．（，
+∞）B．（﹣
∞，）
C．（0，）D．（，2）
二.填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015?天津）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值
为
．
10．（5分）（2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．
11．（5分）（2015?天津）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．
12．（5分）（2015?天津）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．
13．（5分）（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值
为．
14．（5分）（2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则?的最小值为．
三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（2015?天津）已知函数f（x）=sin2x ﹣sin 2（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．
16．（13分）（2015?天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）（2015?天津）如图，在四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，
AB⊥AC，AB=1，AC=AA 1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A 1E的长．
18．（13分）（2015?天津）已知数列{a n}满足
a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；
（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．
19．（14分）（2015?天津）已知椭圆+=1（a ＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
20．（14分）（2015?天津）已知函数f（x）=nx ﹣x n，x∈R，其中n∈N?，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x 1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．
2015年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2015?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A ∩?U B=（ ） A ． {2，5} B ． {3，6} C ． {2，5，6}
D ． {2，3，5，
6，8}
考点：
交、并、补集的混合运算．
专题：
集合．
分析： 由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可；
解
答： 解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，
6，7}，
∴?U B={2，5，8}，
则A ∩?U B={2，5}． 故选：A ． 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练
掌握运算法则是解本题的关键．
2．（5分）（2015?天津）设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+6y 的最大值为
（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 18 D ． 40
考点：
简单线性规划．
专题：
不等式的解法及应用．
分
析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大
值． 解
答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+6y 得y=﹣x+z ，
平移直线y=﹣x+z ，
由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线y=﹣x+z 的截距最大， 此时z 最大． 由
，解得
，即A （0，3）
将A （0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y ， 得z=3×6=18．即z=x+6y 的最大值为18． 故选：C ．
点
评： 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3．（5分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
A ． ﹣10
B ． 6
C ． 14
D ． 18
考点：
程序框图．
专题：
图表型；算法和程序框图．
分
析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当i=8时满足条件i ＞5，退
出循环，输出S 的值为6． 解
答： 解：模拟执行程序框图，可得 S=20，i=1
i=2，S=18
不满足条件i ＞5，i=4，S=14 不满足条件i ＞5，i=8，S=6
满足条件i ＞5，退出循环，输出S 的值为6． 故选：B ． 点
评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i ，S 的值是解题的关
键，属于基础题．
4．（5分）（2015?天津）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ）
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要
条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
简易逻辑．
分析： 根据不等式的性质，结婚充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解
答： 解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3， 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，
即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分
不必要条件， 故选：A ． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
5．（5分）（2015?天津）如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为（ ）
A ．
B ． 3
C ．
D ．
考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
选作题；推理和证明．
分析： 由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可．
解
解：由相交弦定理可得CM ?MD=AM ?MB ，
答： ∴2×4=AM ?2AM ，
∴AM=2， ∴MN=NB=2， 又CN ?NE=AN ?NB ， ∴3×NE=4×2，
∴NE=． 故选：A ． 点评： 本题考查相交弦定理，考查学生的计算能
力，比较基础．
6．（5分）（2015?天津）已知双曲线﹣=1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A ． ﹣=1 B ． ﹣=1 C ． ﹣=1 D ． ﹣=1
考点：
双曲线的标准方程．
专
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题： 分
析： 由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x 轴上的
双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a 、b 的另一个方程，求出a 、b ，即可得到双曲线的标准方程． 解
答： 解：由题意，=，
∵抛物线y 2=4x 的准线方程为x=﹣，双
曲线的一个焦点在抛物线y 2=4x 的准线上， ∴c=， ∴a 2+b 2=c 2=7， ∴a=2，b=， ∴双曲线的方程为．
故选：D ． 点
评： 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基
础题．
7．（5分）（2015?天津）已知定义在R 上的函数f （x ）=2|x ﹣
m|﹣1（m 为实数）为偶函数，记a=f
（log 0.53），b=f （log 25），c=f （2m ），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ． a ＜b ＜c
B ． a ＜c ＜b
C ． c ＜a ＜b
D ． c ＜b ＜
a
考点：
函数单调性的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分
析： 根据f （x ）为偶函数便可求出m=0，从而f （x ）=2|x|﹣1，这样便知道f （x ）在[0，+∞）
上单调递增，根据f （x ）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f （|log 0.53|），b=f （log 25），c=f （0），然后再比较自变量的值，根据f （x ）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a ，b ，c 的大小． 解
答： 解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）=f （x ）；
∴2|
﹣x ﹣m|
﹣1=2|x ﹣
m|﹣1；
∴|﹣x ﹣m|=|x ﹣m|； （﹣x ﹣m ）2=（x ﹣m ）2；
∴mx=0； ∴m=0； ∴f （x ）=2|x|﹣1；
∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f （|log 0.53|）=f （log 23），b=f （log 25），c=f （0）； ∵0＜log 23＜log 25； ∴c ＜a ＜b ． 故选：C ． 点
评：
考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．
8．（5分）（2015?天津）已知函数f （x ）=
，函数g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），其中
b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）
A ． （，+∞）
B ． （﹣∞，）
C ． （0，）
D ． （，2）
考点：
根的存在性及根的个数判断．
专题：
函数的性质及应用．
分
析： 求出函数y=f （x ）﹣g （x ）的表达式，构造函数h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ），作出函数h
（x ）的图象，利用数形结合进行求解即可． 解
答： 解：∵g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），
∴y=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣b+f （2﹣x ），
由f （x ）﹣b+f （2﹣x ）=0，得f （x ）+f （2﹣x ）=b ，
设h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）， 若x ≤0，则﹣x ≥0，2﹣x ≥2， 则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2+x+x 2， 若x ≤0，则﹣x ≥0，2﹣x ≥2， 则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2+x+x 2， 若0≤x ≤2，则﹣2≤x ≤0，0≤2﹣x ≤2， 则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x ＞2，﹣x ＜0，2﹣x ＜0，