证明间接函数关于P 的拟凸性
要证明间接效用函数关于P 的拟凸性,即证明
{}{}1212(1),)m a x (,),(,)
V K P K P Y V P Y V P Y +-≤ 取两点1(,)V P Y ,2(,)V P Y ,假设12(,)(,)V P
Y V P Y ≤, 则由于间接函数关于p 严格递减性质有:1212(,)(,)V P Y V P Y P P ≤?≥
根据马歇尔函数,需要满足预算约束Y ,即 :12,P X Y P X Y ?≤?≤,
取P 的凸组合12(1)P KP K P =+-,则间接效用函数和满足的预算约束为
(,)V P Y P X Y ?≤ 由于122122(1)()P KP K P P K P P P =+-=+-≥,
根据间接函数关于p 严格递减性质则有2(,)(,)V P Y V P Y ≤,
因此{}{}1212(1),)max (),()V KP K P Y V P V P +-≤得证。
哈尔滨师范大学 学年论文 题目关于函数一致连续的探究学生万鑫 指导教师曾伟梁副教授 年级 2008级 专业信息与计算科学 系别信息系 学院数学学院 哈尔滨师范大学 2011年 6 月
关于一致连续函数的判据 万鑫 摘 要:连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题,现实问题。我们经常观察的自然现象,如生物的连续生长,反映的是事物连续不断的变化的过程,如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义,从而对函数的一致连续性进行探讨。 关键词:一致连续 非一致连续 判别依据 比较判别法 比值判别法。 一 函数)(x f 一致连续的概念 定义1:设函数()x f 在()a u 上有定义,若函数()x f 在点a 上存在极限,且极限是()a f , 即()()a f x f a x =→lim ,则称函数()x f 在点a 上连续,也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述:函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ, x ?:,δ<-a x 时,有()()ε?ε,0>?δ,I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时,有()()ε
函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数:这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数,它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如|ln |y x =就没有对称性,而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线,其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定),对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性 ,我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性(自对称问题) (1)轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1
§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答 1. 若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续,是否可推出f 在(),a b 上连续。 2. 试用一致连续的定义证明:若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续,则f 在 [],a b 上也一致连续。 3. 证明:若f 在[],a b 上连续,且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =,则f 在[],a b 上恒正或恒负。 4. 证明:(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2 )(x x f =在],[b a 上一致连续,但在),(+∞-∞上不一致连续。 5. 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。 6. 求证下列函数在指定区间上一致连续: (1) ()1 f x x =, ()0a x <≤<+∞; 2) ( )f x = ()0x ≥。 证 (1) 0ε?>,取2a δε=, 则当212x x a ε-<时, 有 12122121211 x x x x x x x x a ε---=≤<, ()12,x x a ?≥。 即得()1 f x x =在[),a +∞上一致连续。 (2) 设210x x >≥, 则有 11x = 即有 1 于是, 对0ε?>, 30δε?=>, 对12,0x x ?≥, 当21x x δ-<时, 有 ε≤ < 即得()f x 在0x ≥上一致连续。 7. 求证下列函数在指定区间上不一致连续。 (1) ()( )1 s i n 01f x x x =<<; (2) ()()l n 0f x x x =>。
函数的单调性 学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应 用函数的基本性质解决一些问题。 (2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法. (3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性; (2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(,2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的, 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的,2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上,f (x )随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上,f (x )随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上,f (x )随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 (2)减函数:如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f =
函数的对称性 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,因而考查的频率一直比较高。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念: ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ①常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为a b x 2-=。 ④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x 与y=-x 均为它的对称轴。 ⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y 轴;而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,2π π+=k x 是它的对称轴。 ⑨正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x ,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,)0,2(ππ+k 是它的对称中心。 (11)正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中)0,2(π k 是它的对称中心, 容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)。 (12)对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。 (13)三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
函数f (x)一致连续的条件及应用 (数学与应用数学2003级 张志华 指导教师 刘敏思) 内容摘要:本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件,并结合具体例子对这些方法加以应用,而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论,还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去. 关 键 词:一致连续 拟可导函数 基本初等函数 二元函数 Abstract :This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables. Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamental primary functions functions of two variables 1.引言 函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论,弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键.一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的.G 康托定理,内容篇幅较少,不够全面和深入;虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充,但是显得不够系统和应用得不够广泛.因此,对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料,作一个比较系统和全面的总结,并作适当的拓展,如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去,无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的. 2.预备知识 2.1一致连续和非一致连续的定义 一致连续:设()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0ε>,存在()0δδε=>,使得对任何,x x I '''∈,只要x x δ'''-<,就有()()f x f x ε'''-<,则称 函数()f x 在区间I 上一致连续.
用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数,且, 则 = 由得,由得, . ,,即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数,且, 则 由得,由得
.又 , . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数 无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数,求 的取值集合. 分析:首先需要对 前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究. 解:当 时,函数此时为 ,是常数函数,在 上不 具备增减性. 当 时, 为一次函数,若在 上是减函数,则有 ,解得 .故所求 的取值集合为 . 小结:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2,其中0>a ,求a 的取值范围,使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数. 分析:由于函数的单调性不易直接判断,而且含有字母系数,求解过程中需要讨论字母的范围,因此可以从单调性定义出发,从定义求解释一种基本的方法,不可忽视. 解: 在[]+∞,0上任取1x ,2x ,使得21x x < )()(21x f x f -