第12讲函数模型及其应用（无答案）学案-湖北省通山县第一中学高三数学一轮复习

第12讲 函数模型及其应用

考纲要求: 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线增长、指数增

长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

命题趋势: 函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、

对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题．

探 究 案

探究一 一次函数与二次函数模型

【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝1

2x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100

元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

探究二 指数函数、对数函数模型

【例2】 (1)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx

＋b

(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，

在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时

(2)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1．12≈0.05，lg 1．3≈0.11，lg 2≈0.30)( )

A ．2018年

B ．2019年

C ．2020年

D ．2021年

【跟踪训练1】(1)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．

(2) (2018·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae

－bt

(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，

则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

探究三 分段函数模型

【例3】 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )

万元，且R (x )＝???

10.8－1

30

x 2，0

108x －1 000

3x 2

，x >10.

(1)写出年利润W (万元)关于年产品x (千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)

【跟踪训练2】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．

(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

探究四 函数y ＝x ＋a

x

(a >0)模型

【例4】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，

若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k 的值及f (x )的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．

【跟踪训练3】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝1

3x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x

＋100

x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

易错警示

易错点 函数应用问题

错因分析：(1)题意理解偏差，数学模型应用不准确；(2)数学计算不准，回答问题不合实际含义．

【例1】 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝????

?

400－6x ，040.

(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

【跟踪训练1】 已知某厂固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为2万元，设生产该产品x (x ∈N ，单位：百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生

产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝?

????

－0.5x 2＋8x ，0≤x ≤7，

24.5＋x ，x >7，假定该产品产销平衡，根

据上述统计规律求：

(1)要使工厂有盈利，生产数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？