第二章圆锥曲线与方程导学案

§2.1.1 曲线与方程（1）

1．理解曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程．

3436

，找出疑惑之处）

复习1：画出函数2

2

y x

=(12)

x

-≤≤的图象．

复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：

到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．

问题：能否写成y x

=，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程(,)0

F x y=之间，

如果具有以下两个关系：

1．曲线C上的点的坐标，都是的解；

2．以方程(,)0

F x y=的解为坐标的点，都是

的点，

那么，方程(,)0

F x y=叫做这条曲线C的方程；

曲线C叫做这个方程(,)0

F x y=的曲线．

注意：1?如果……，那么……；

2?“点”与“解”的两个关系，缺一不可；

3?曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；

4?曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．

试试：

1．点(1,)

P a在曲线2250

x xy y

+-=上，则a=___．2．曲线220

x xy by

+-=上有点(1,2)

Q，则b=．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．

※典型例题

例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)

k k>的点的轨迹方程式是xy k

=±．

变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50

y-=吗？

例2设,A B两点的坐标分别是(1,1)

--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)

A，(2,0)

B-，(2,0)

C．中线AO（O为原点）所在直线的方程是0

x=吗？为什么？

小结：求曲线的方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用(,)

M x y表示曲线上的任意一点的坐标；

②写出适合条件P的点M的集合{|()}

P M p M

=；

③用坐标表示条件P，列出方程(,)0

f x y=；

④将方程(,)0

f x y=化为最简形式；

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

※动手试试

练1．下列方程的曲线分别是什么？

(1)

2

x

y

x

=(2)

2

2

2

x

y

x x

-

=

-

(3) log a x

y a

=

练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

三、总结提升

※学习小结

1．曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程的步骤：

①建系，设点；

②写出点的集合；

③列出方程；

④化简方程；

⑤验证．

※知识拓展

求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 与曲线y x

=相同的曲线方程是（）．

A．

2

x

y

x

=

B．y=

C．y=D．2log

2x

y=

2．直角坐标系中，已知两点(3,1)

A，(1,3)

B-，若点C 满足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹为( ) ．

A．射线B．直线C．圆D．线段3．(1,0)

A，(0,1)

B，线段AB的方程是（）．A．10

x y

-+=B．10

x y

-+=(01)

x

≤≤C．10

x y

+-=D．10

x y

-+=(01)

x

≤≤4．已知方程222

ax by

+=的曲线经过点

5

(0,)

3

A和点(1,1)

B，则a=，b=．

5．已知两定点(1,0)

A-，(2,0)

B，动点p满足1

2

PA

PB

=，则点p的轨迹方程是．

1．点(1,2)

A-，(2,3)

B-，(3,10)

C是否在方程2210

x xy y

-++=表示的曲线上？为什么？

2 求和点(0,0)

O，(,0)

A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．

§2.1.2 曲线与方程（2）

1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．

3637，找出疑惑之处）

复习1：已知曲线C 的方程为22y x =，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x =的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___．

复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?

二、新课导学 ※学习探究 引入：

圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．

问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．

探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程． ※典型例题

例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．

变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．

小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是；

点(,)P a b 到y 轴的距离是； 点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是．

例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．

※动手试试

练1．有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线10

x y

+-=的距离的2倍，试求曲线的方程．

练2. 曲线上的任意一点到(3,0)

A-,(3,0)

B两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．

三、总结提升

※学习小结

1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．

※知识拓展

圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线．

01

e

<<：椭圆；

1

e=：抛物线；

1

e>：双曲线．

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．方程[]

2

(3412)log(2)30

x y x y

--+-=的曲线经过点(0,3)

A-，(0,4)

B，(4,0)

C，

57

(,)

34

D-中的（）.

A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知(1,0)

A，(1,0)

B-，动点满足

2

MA MB

-=,则点M的轨迹方程是（）. A．0(11)

y x

=-≤≤B．0(1)

y x

=≥

C．0(1)

y x

=≤-D．0(1)

y x

=≥

3．曲线y=与曲线0

y x

+=的交点个数一定是（）．

A．0个B．2个C．4个D．3个4．若定点(1,2)

A与动点(,)

P x y满足4

OP OA

?=,则点P的轨迹方程是．

5．由方程111

x y

-+-=确定的曲线所围成的图形的面积是．

1．以O为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？

2．已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x 轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B．设点M是线段AB的中点，求点M 的轨迹方程．

§2.2.1椭圆及其标准方程(1)

1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程．

3840，文P 32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程．

复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以为圆心,为半径的．

二、新课导学 ※学习探究

取一条定长的细绳，

把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，

画出的轨迹是什么曲线？

思考：移动的笔尖（动点）

满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．

新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为； 当122a F F <时，其轨迹为．

试试：

已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是．

小结：应用椭圆的定义注意两点：

①分清动点和定点；

②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()22

2210x y a b a b +=>>其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标，

则椭圆的标准方程是． ※典型例题

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1

a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a

c =y 轴上；

⑶10,a b c +==．

变式：方程214x y

m

+=表示焦点在x 轴上的椭圆，

则实数m 的范围．

小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b >．

例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22??

- ???

，求它的标准方程．

变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标

准方程．

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．

※动手试试

练 1. 已知ABC ?的顶点B 、C 在椭圆2

21

3

x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ?的周长是（ ）

． A ． B ．6

C ．

D ．12

练2．方程

2

19x y

m

-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．

三、总结提升 ※学习小结 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：

※知识拓展

1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出

※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）．

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆

C ．无轨迹

D ．椭圆或线段或无轨迹 2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)

3．如果椭圆22

110036

x y +=上一点P 到焦点1F 的距离

等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）． A ．4 B ．14 C ．12

D ．8

4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是．

5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式

10=，点M 的轨迹

是，它的方程是．

1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -；

⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=．

2. 椭圆22

14x y n

+=的焦距为2，求n 的值．

§2.2.1 椭圆及其标准方程

(2)

1．掌握点的轨迹的求法；

2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．

4142，文P 34~ P 36找出疑惑之处）

复习1：椭圆上22

1259

x y +=一点P 到椭圆的左焦点

1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离 是 ．

复习2：在椭圆的标准方程中,6

a =,

b =则椭

圆的标准方程是．

二、新课导学 ※学习探究

问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?

问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；

反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在 圆上．

※典型例题

例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？

变式： 若点M 在DP 的延长线上，且3

2

DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？

小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．

例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线

,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4

9

-，

求点M 的轨迹方程 ．

变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？

※动手试试 练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比

的动点的轨迹方程．

练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．

三、总结提升 ※学习小结

1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；

②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．

※知识拓展

椭圆的第二定义：

到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点； 定直线l 是椭圆的准线； 常数e 是椭圆的离心率．

※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2．若ABC ?的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ?A ．221259x y += B ．22

1259y x +=(0)y ≠

C ．221169x y +=(0)y ≠

D ．22

1259

x y +=(0)y ≠

3．设定点1(0,2)F -，2(0,2)F ，动点P 满足条件

124

(0)PF PF m m m

+=+>，则点P 的轨迹是

（ ）．

A ．椭圆

B ．线段

C ．不存在

D ．椭圆或线段 4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是．

5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是． 课后作业

1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程． 2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）

1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确

地画出它的图形；

2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．

复习1：椭圆

22

1

1612

x y

+=上一点P到左焦点的距离

是2，那么它到右焦点的距离是．

复习2：方程

22

1

5

x y

m

+=表示焦点在y轴上的椭圆，

则m的取值范围是．

二、新课导学

※学习探究

问题1：椭圆的标准方程

22

22

1

x y

a b

+=(0)

a b

>>，它

有哪些几何性质呢？

图形：

范围：x：y：

对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；

顶点：（），（），（），（）；

长轴，其长为；短轴，其长为；

离心率：刻画椭圆程度．

椭圆的焦距与长轴长的比c

a

称为离心率，

记

c

e

a

=，且01

e

<<．

试试：椭圆

22

1

169

y x

+=的几何性质呢？

图形：

范围：x：y：

对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；

顶点：（），（），（），（）；离心率：

c

e

a

==．

反思：

b

a

或

c

b

的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？

※典型例题

例1 求椭圆22

1625400

x y

+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

变式：若椭圆是22

981

x y

+=呢？

小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；

②注意焦点所在坐标轴．

例 2 点(,)

M x y与定点(4,0)

F的距离和它到直线

25

:

4

l x=的距离的比是常数

4

5

，求点M的轨迹．

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．

※动手试试

练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x 轴上，6a =，1

3e =；

⑵焦点在y 轴上，3c =，3

5

e =；

⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；

⑷长轴长等到于20，离心率等于3

5

．

三、总结提升 ※学习小结

1 ．椭圆的几何性质：

图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；

2 ．理解椭圆的离心率．

※知识拓展

（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面

※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．若椭圆22

15x y m

+=的离心率e =

则m

的值是（ ）．

A

．3 B ．3

或25

3

C D 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，

2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．

A ．34 B

．23 C ．12 D ．14

3．短轴长为，离心率2

3

e =

的椭圆两焦点为12,F F ，

过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ?的周长为（ ）．

A ．3

B ．6

C ．12

D ．24

4．已知点P 是椭圆22

154

x y +=上的一点，

且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是．

5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方

程是． 1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？

⑴22

936x y +=与2211612x y += ；

⑵22

936x y

+=与221610

x y

+=．

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴经过点(P -，Q ；

⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ； ⑶焦距是8，离心率等于0.8．

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)

1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；

2．椭圆与直线的关系．

4648，文P 40~ P 41找出疑惑之处）

复习1： 椭圆22

11612

x y +=的

焦点坐标是（ ）（ ） ；

离心率．

复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？

二、新课导学 ※学习探究

问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？

问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？

反思：点与椭圆的位置如何判定？

※典型例题

例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．

变式：若图形的开口向上，则方程是什么？

小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．

（理）例2 已知椭圆22

1259

x y +=，直线l ：

45400x y -+=。

椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？

变式：最大距离是多少？

※ 动手试试

练1已知地球运行的轨道是长半轴长

81.5010a km =?，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

练2．经过椭圆

2

212

x

y +=的左焦点1F 作倾斜角为60的直线l ，

直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．

三、总结提升 ※学习小结

1 ．椭圆在生活中的运用；

2 ．椭圆与直线的位置关系：

相交、相切、相离（用?判定）．

※知识拓展

直线与椭圆相交，得到弦，

弦长12l x -

=

其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐

标．

※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．设P 是椭圆22

11612

x y +=，P 到两焦点的距离之

差为，则12PF F ?是（ ）．

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形 2．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．

A.

B.

C. 2

D. 1

3．已知椭圆22

1169

x y +=的左、

右焦点分别为12,F F ，三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）．

A.95

B. 3

C. 9

4

4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为．

5．椭圆22

14520

x y +=的焦点分别是1F 和2F ，

过原点O 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若2ABF ?的面积是20，则直线AB 的方程式是．

1． 求下列直线310250x y +-=与椭圆22

1

254

x y +=的交点坐标．

2．若椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是3

2

⑴这组直线何时与椭圆相交？

⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？

§2.3.1 双曲线及其标准方程

1．掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程．

5255，文P 45~ P 48找出疑惑之处） 复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

复习2：在椭圆的标准方程22

221x y a b

+=中，,,a b c 有

何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭

二、新课导学 ※学习探究

问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，

12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线； 由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．

新知1：双曲线的定义：

平面内与两定点12,F F 的距离的差的等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。 两定点12,F F 叫做双曲线的，

两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的．

反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？

2a =12F F 时，轨迹是； 2a >12F F 时，轨迹．

试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是．

新知2：双曲线的标准方程：

22222

22

1,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）

其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．

思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？

※典型例题

例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

变式：已知双曲线22

1169

x y -=的左支上一点P 到左

焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为．

例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．

※ 动手试试

练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；

（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．

练2．点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线

AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是4

9

，

试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．

三、总结提升 ※学习小结

1 ．双曲线的定义；

2 ．双曲线的标准方程． ※ 知识拓展

GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用． 在例2中，再增设一个观察点C ，利用B ，C 两处测得的点P 发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P 的准确位置．

※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．

A. 双曲线

B. 双曲线的一支

C. 两条射线

D. 一条射线

2．双曲线2255x ky +

=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．

A ．25-

B ．25

C ．1-

D ．1

3．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若

2a =，则b =（ ）

． A.5 B. 13

C.

D.

4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点

P 满足条件

||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为．

5．已知方程22

121

x y m m -=++表示双曲线，则m 的

1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1

）焦点在x 轴上，a =(5,2)A -； （

2）经过两点(7,A

--，B ．

2．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

1．理解并掌握双曲线的几何性质．

5658，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；

②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．

复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

二、新课导学： ※学习探究

问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双

曲线22

221x y a b -=的几何性质?

范围：x ： y ：

对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．

顶点：（ ），（ ）．

实轴，其长为；虚轴，其长为．

离心率：1c

e a

=>．

渐近线：

双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y

a b

±=．

问题2：双曲线22

221y x a b

-=的几何性质?

图形：

范围：x ： y ：

对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．

顶点：（ ），（ ）

实轴，其长为；虚轴，其长为．

离心率：1c

e a

=>．

渐近线：

双曲线22

221y x a b

-=的渐近线方程为：．

新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．

※典型例题

例1求双曲线22

14925

x y -=的实半轴长、

虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．

变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

例2求双曲线的标准方程：

⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； ⑵离心率2e =，经过点(5,3)M -；

⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9

(,1)2

M -．

※动手试试

练1．求以椭圆22

185

x y +=的焦点为顶点，以椭圆

的顶点为焦点的双曲线的方程．

练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个

焦点是

1(6,0)

F-，求它的标准方程和渐近线方程．

三、总结提升：

※学习小结

双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．

※知识拓展

与双曲线

22

22

1

x y

a b

-=有相同的渐近线的双曲

线系方程式为

22 22 x y

λ

-=(0)

λ≠

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1．双曲线

22

1

168

x y

-=实轴和虚轴长分别是（）．

A．8、

B．8、

C．4、D．4、

2．双曲线224

x y

-=-的顶点坐标是（）．

A．(0,1)

±B．(0,2)

±C．(1,0)

±D

．（2,0

±）

3．双曲线

2

2

1

48

x y

-=的离心率为（）．

A．1 B C D．2

4．双曲线22

41

x y

-=的渐近线方程是．

5．经过点(3,1)

A-，并且对称轴都在坐标轴上的等

轴双曲线的方程是．

1．求焦点在y轴上，焦距是16，

4

3

e=的双曲线的

标准方程．

2．求与椭圆

22

1

4924

x y

+=有公共焦点，且离心率

5

4

e=的双曲线的方程．

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；

2．掌握椭圆的定义；

3．掌握椭圆的标准方程．

5860

，文P51~ P53找出疑惑之处）

复习1：说出双曲线的几何性质?

复习2：双曲线的方程为

22

1

914

x y

-=，

其顶点坐标是( )，( )；

渐近线方程．

二、新课导学

※学习探究

探究1：椭圆22

464

x y

+=的焦点是？

探究2：双曲线的一条渐近线方程是30

x y

+=，则可设双曲线方程为？

问题：若双曲线与22

464

x y

+=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是30

x y

+=，则双曲线的方程是？

※典型例题

例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．

例2点(,)

M x y到定点(5,0)

F的距离和它到定直线

l:

16

5

x=的距离的比是常数

5

4

，求点M的轨迹．

（理）例3过双曲线

22

1

36

x y

-=的右焦点，倾斜角

为30的直线交双曲线于,A B两点，求,A B两点的

坐标．

变式：求AB？

思考：

1

AF B

?的周长？

※动手试试

练1．若椭圆

22

2

1

4

x y

a

+=与双曲线

22

1

2

x y

a

-=的焦

点相同，则a=____.

练 2 ．若双曲线

22

1

4

x y

m

-=的渐近线方程为

3

y=，求双曲线的焦点坐标．

三、总结提升 ※学习小结

1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；

2．双曲线的另一定义； 3．（理）直线与双曲线的位置关系．

※ 知识拓展

双曲线的第二定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．

※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22

145

x y -=的共同焦

点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ?的值为（ ）．

A ．21

2

B ．84

C ．3

D ．21

2．以椭圆22

12516

x y +=的焦点为顶点，

离心率为2的双曲线的方程（ ）．

A. 2211648x y -=

B. 22

1927x y -=

C. 2211648x y -=或221927

x y -= D. 以上都不对

3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，

交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠1

2

PFQ π

=，则双曲线的离心率e 等于（ ）

．

1

B.

C.

1D. 2

4．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.

5．方程22

141x y k k

+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，

则k 的取值范围．

1．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22

221x y a b

-=，

两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程．

§2.4.1抛物线及其标准方程

掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．

6467，文P 56~ P 59找出疑惑之处） 复习1：函数2261y x x =-+ 的图象是，它的顶点坐标是（ ），对称轴是．

复习2：点M 与定点(2,0)F 的距离和它到定直线8x =的距离的比是1:2，则点M 的轨迹是什么图形？

二、新课导学 ※学习探究

探究1：若一个动点(,)p x y 到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？

新知1：抛物线

平面内与一个定点F和一条定直线l的

距离的点的轨迹叫做抛物线．

点F叫做抛物线的；

直线l叫做抛物线的．

新知2：抛物线的标准方程

定点F到定直线l的距离为p（0

p>）．

建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：

图形标准方程焦点坐标准线方程

22

y px

=

,0

2

p

??

?

??2

p

x=-

抛物线220

y x

=的焦点坐标是（），

准线方程是；

抛物线2

1

2

x y

=-的焦点坐标是（），

准线方程是．

※典型例题

例1 （1）已知抛物线的标准方程是26

y x

=，求它

的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点是(0,2)

F-，求它的标准方

程．

⑴焦点坐标是(0,4)；

⑵准线方程是

1

4

x=-；

⑶焦点到准线的距离是2．

例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波

束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收

天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径

为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求

抛物线的标准方程和焦点坐标．

※动手试试

练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程:

(1)焦点坐标是(5,0 )

F-；

(2)焦点在直线240

x y

--=上．

练2 ．抛物线22y px =(0)p >上一点M 到焦点距

离是a ()2

p

a >，则点M 到准线的距离是，点M 的

横坐标是．

三、总结提升 ※学习小结

1．抛物线的定义；

2．抛物线的标准方程、几何图形． ※ 知识拓展 焦半径公式：

设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．

若00(,)M x y 在抛物线22y px =上，则

02

p

MF x =+

学习评价

※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）． A ．开口向上，焦点为(0,1)

B ．开口向上，焦点为1

(0,)16

C ．开口向右，焦点为(1,0)

D ．开口向右，焦点为1

(0,)16

2．抛物线280x y +=的准线方程式是（ ）． A ．2x = B ．2x =- C ．2y = D ．2y =-

3．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）．

A. 52

B. 5

C. 152

D. 10

4．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是． 5．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为．

课后作业

1．点M 到(0,8)F 的距离比它到直线7y =-的距离

大1，求M 点的轨迹方程． 2．抛物线22y px =(0)p >上一点M 到焦点F 的距离2MF p =，求点M 的坐标．

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）

学习目标

1．掌握抛物线的几何性质；

2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．

学习过程

一、课前准备

6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处） 复习1：

准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．

复习2：双曲线22

1169

x y -=有哪些几何性质？

二、新课导学 ※学习探究

探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？

新知：抛物线的几何性质 图形