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生物医学信号处理历年试题_电子科大_饶妮妮

生物医学信号处理试卷集

试卷一答案和评分标准：

一、假设有两个离散平稳随机过程)(),(n y n x ，m

x m R 6

.0)(=，m

y m R 8.0)(=，它们统计独立，求这

两个随机过程的乘积的自相关函数和功率谱密度。（14分）解：

设z=xy ，

y x z m R m R m n y n y E m n x n x E m n y m n x n y n x E m n z n z E m R 48

.0)()()]()([)]()([)]()()()([)]()([)(==++=++=+=（6分）

∑==+∞

-∞

=-m m

j m

z j z e m R DTFT e P ωω48.0)]([)(（4分）

=ωcos 96.02304.17696

.0-（4分）

二、设线性系统如图所示，已知n n n s ,相互独立，且ωω

sin )(=j s e S ，

)(=

ωj n e S 。要求设计一

个滤波器ωω

2sin )(c e

H j =，试确定c 使得滤波后的输出n s

?与真实信号n s 的均方误差最小，即])?[(2n n s s E -最小。（14分）

解答：

设误差为n n n s

?s e -=其自相关为： )m (R )m (R )m (R )m (R )]s ?s )(s ?s [(E )e e (E )m (R s ?s s ?s ?s s m n m n n n m n n e +--=--==+++（2分）

做傅立叶变化：)()()()()(???ωωωωω

j s j s s j s s j s j e e S e S e S e S e

S +--=（4分）

ωωωωωωω4262j n j s 2j j x 2j ?sin 21

sin ])(e S )(e S [)e (H )(e S )e (H )(c c e S j s +=+== （2分）

ωωωωωω4i s i i sx i ?sin )e (S )e (H )e (S )e (H )(c e S j s s ===

ωωωωωω4i s i i xs i s ?sin )e (S )e (H )e (S )e (H )(c e S j s ===** （2分）

14321

c c +-=ξ （3分）

求导等于零：

opt c （1分）

三、简述横向结构的随机梯度法算法步骤。（14分）解答：

步骤1：]x ,x ,x ,x [)T (X p 1p -T 2-T 1-T T '=+

个值观察到（2分）

步骤2：先给定。预先给出，与，初值计算μμT T e W (T)X e 2(T)W 1)(T W

+=+（4分）步骤3：1)(T X )1(T W d e ]x ,x ,x [)1T (X x 1T 1T 2p T T 1T 1T +'+-='

=++++-++

计算新的误差：后，令当有新观测值（5分）

转入步骤2，代入得到W （T+2），e （T+2）…..使得W 接近最优解。（3分）

四、利用

?????+??

????=--)1()()1()

(00p inv p p p A A A

ρ推导L-D 算法来解Y-W 方程： 0

)

()(01

>∑-+==m k m R a m R p

k xx k xx ；

)

()0(1

=∑-+==m k R a R p

k xx k xx w

σ。（16分）

解：

P 阶Y-W 方程写成矩阵形式：???

????

???=?????????????????????

?????--001)0()1()()1()0()1()()1()

0(21

p p p a a R p R p R p R R R p R R R σ，)()()(P p p E A R =?

p-1阶方程：??????

????????=??

?????????

??????????

?????--------001)0()

2()1()2()0()1()1()1()

0(2

)

1(1111

p w

p p p a a R p R p R p R R R p R R R σ， )1()1()1(---=?P p p E A R ，（2分）)

1()

1(---=?P inv

p inv

p E A R

（2分）

??????+??????=--)1()()

1()

(00p inv p p p A A A ρ=??????????????+?+?+---)

()1(1)()1(1

)(00

1p p p p p p a a ρρρ ，所以有：?????=?+=---)()()1()()1()(p p p p k p p p k p k a a a a ρρ（4分）

)()(p p A R ?=????????????????+??????????????=????????????????+??????------)1()1()()()1()1()1()1()()

1()(0)1()()1()0(0)0()1()()(00p inv p p R p p R p p inv p p p A R R p R R R A R R p R p R R A A R ρρ

)()1(11)1()(11)

1()

1()()()()(p p inv p k p k

p p k p k p E E k p R a p R k p R a p R E =????????∑-++????????∑-+=--=--=--ρ，（4分）

由最后一行：

1(1

)

1()

()

()(--=-∑-+-

=p w p k p k

p k p R a p R σρ

（2分）

由第一行：])(1[2

)(2)1(2)(p p w p w ρσσ-=-，得到三个推导式。（2分）

五、有一信号)n (s ，其自相关函数 2,1,0,7.0)(±±==m m R m

s ，被一零均值，方差为0.4的白噪)n (n 所淹没，)n (s 与)n (n 统计独立。设计一个长度等于3的FIR 数字滤波器，其输出)n (y 使得

]))n (s y(n)[(E 2－最小化。（14分）

解：根据均方误差最小准则得到W-H 方程：

,,2,1,0)

()()(1

-=-=∑-=N j m j R m h j R N m xx opt xs ，其中x=s+n ，表示输入信号，

因为N=3，且)m (R )m (R )m (R n s xx +=，

)m (R )]m n (s )n(n)s(n)[(E )]m n (s )n (x [E )m (R s xs =++=+=，代入W-H 方程得： 2

,1,0)]

()()[()(n 2

0s s =-+∑-==j m j R m j R m h j R m opt （4分）

把 2,1,0,7.0)(±±==m m R m

s ，)m (4.0)m (R n δ=代入上式得三个方程：

??????

?∑+==∑+==∑+=====2

0m m -2opt 220

m m

-1opt 20

m m -opt m)]

(20.4(m)[0.7h 0.7:2j m)](10.4(m)[0.7h 0.7:1j m)](0.4(m)[0.7h 1:0j －－－δδδ（4分）

?????=??????????2opt opt opt 2

27.07.01)2(h )1(h )0(h 4.17.07.07.04.17.07.07.04

解得：?????

????

?=??????????0517.01681.00.6121)2(h )1(h )0(h opt opt opt （4分）所以设计的滤波器的传递函数为：-2

10517z .01681z .06121.0)z (H ++=-（2分）

14分）

（2分）

在上图模型中，输入输出的功率谱关系为：2

j 2

w j x )

e (H )e (P ωωσ=（3分）

∑+=

?∑+=

=-=-p

k 2

k j )p (k 2w

j x p

1k k

)

p (k

|e a 1|)e (P z

a 11)z (H AR ωω

σ代入

建模为例以（5分）

古典法是通过DFT 法计算得到功率谱估计的，DFT 是把数据看成是周期重复的假设下做出的；AR 谱则是对延迟p 范围外的自相关函数做预测延伸取得的，因而数据的有效范围宽得多。（4分）

七、画出卡尔曼滤波的信号模型和一步递推法模型图。（14分）解：信号模型：（7分）

一步递推法模型：（7分）

⊕

(k)

w 1X(k)

X(k)

试卷二答案和评分标准：

一、n x 是零均值，方差为2x

σ的白噪过程，把它先送入一个平均器，得

)(21

1-+=

n n n x x y ，然后再将n

y 送给一个差分器1y y z --=n n n ，求n z 的均值、方差、自相关函数和功率谱密度。（14分）解答： 1

y y z --=n n n )x x (21)(212n 1-n 1--+-+=

n n x x )

(21

2--=n n x x （2分）

))x x (21

(E )z (E 2n n n =-=-（2分）

)z (E 2n

=σ)z (E n 2

-])(41[E 22--=n n x x )]x 2x (41[E 2

2n n 22-+-=-n n x x =2x σ/2=)0(R n z （2分）

)1(R n z =)z z (E 1n n +)]

x x )((41

[E 1n 1n 2-+---=n n x x =0

)2(R n z =)z z (E 2n n +)]x x )((41[E n 2n 2--=+-n n x x =－2x σ/4

当|m|>=3，自相关都为0。

)m (R n z =)]2m (21

)2m (21)m ([212x +---δδδσ（6分） )w (P n z ]e 21e 211[21jw2jw2-2x --=σ]

cos2w 1[212

x -=σ（2分）

二、一个一阶递归滤波器，输入是零均值、方差为1的白噪声，滤波方程是

11<+=-a bx ay y n

n n

证明：

ωω

cos 21)(22

a a

b e P j y -+=

；求)(m R y 。（14分）解：

)

()()(ωωωj j x j y e H e P e P =，（2分）对滤波方程求传递函数：

11)(--=

az b

z H ，则

ωω

cos 21)(222

a a

b e H j -+=，（4分）而1)(=ω

j x e P ，所以得证：

ωω

cos 21)(22a a b e P j y -+=（2分） )()()()(m h m h m R m R x y *-*=，而)()(m m R x δ=，)()(m u ba m h m =，)()(m u ba m h m -=--（3分） ∑-=∑--=-*=-∞

=-+∞

-∞

=---0

2222)

()()()()()(n n m n n n m m m y n m u a a b n u a n m u a b m u a m u a b m R

m m m n n m m n n m n n m a a

b a a b a a b m a a b a a b m n m u a a b 2

22222220

220221)1/(,0)1/(,0)(-=?????-=∑<-=∑≥=∑+=--+∞=+∞

=+∞

=（3分）

三、估计N 点长的、零均值、实序列)(n x 的功率谱)(?

ωx S ，用Welch 法过程如下：

.)(1)(?;)(M 1)(S ),(X FFT ,2M ,)n (w )n (x L k N )n (x 1

i i i ∑==

?=k i i

x i S kU S X ωωωωω，得到然后的幂次点长，为补零至加窗点长的小段，段点长分成

证明：如果各段数据互相独立，则Welch 法谱估计的均值是?-=+-ππλλωλπωd W S S E x

x )()(21)](?[，

其中2

10)(1)(∑=-=-M n n

j e

n w MU W ωω；（8分）

归一因子U 的作用是使得估计的均值渐进无偏，即当M 不断增加时有)()](?

[ωωx x S S E =。

证明：U=∑-=102

)(1M n n w M 。（8分）

证明：

])()([1)]([1])(1[)](?[2

101∑=

=∑=-=-=M n n j i i k i i x e n w n x E MU S E U S kU E S E ωωωω

∑∑=-=-=--1010)()()()]()([1M n M m m n j i i e m w n w m x n x E MU ω

由于x 是零均值的，所以ηηπππωd e

S m n R m x n x E m n j x x i i ?=-=+--)

()(21)()]()([，代入上式

)](?[ωx S E ])(21[)()(1)(1010)(??∑∑=+---=-=--ππωωηηπd e S e m w n w MU m n j x M n M m m n j （4分）

?∑?∑=

+--=--=--ππηωηωηηπd e m w e n w S MU M m jm M n jn x

])([])()[(2110)

(10)(

?∑=+--=--ππηωηηπd e n w M S U M n jn x ])(1)[(212

10)(

定义2

10)(1)(∑=-=-M n n

j e n w MU W ωω，则)](?

[ωx S E ?-=+-ππηηωηπd W S x )()(21（4分）

证明：

当M 逐渐增加时窗W （w ）的宽度逐渐减少，趋于冲击相应，此时)]

[ωx S E ?-=

+-π

πηηωηπd W S x )()(21

?-=+-ππη

ηωπωd W S x )(21)(，欲使均值渐进无偏，则后半部分应等于1：1)(21=?+-π

πηωπd W ，即

1)(212

10=?∑+--=-ππωωπd e

n w MU M n n

j （4分）

?∑+--=-ππωωπd e n w MU M n n j 2

10)(21?∑?∑=+--=-=-ππω

ωωπd e m w e n w MU M m jm M n jn ])([])([211010

?∑∑+∑=

+-≠-=-=---=ππωωπd e

m w n w n w MU

n M n M m m n j M n ])()()([211010)

(102，后一项正交积分为零，

1)(1])([21102102=∑=?∑

-=+--=M n M n n w MU d n w MU ππωπ，所以U=∑-=102)(1M n n w M （4分）

四、设已知

2,1,0),4.0(113)8.0(1114)(±±=-=

m m R m

m s ，用L-D 算法为此信号估计p ＝1，2，

3阶AR 模型的系数和激励白噪的功率。（14分）

解答：

计算自相关函数：11131114)0(=-=

s R

9091.04.0113

8.01114)1(=-=s R

7709.016.0113

64.01114)2(=-=

s R 6342

.0064.0113

512.01114)3(=-=s R ，（4分）

下面为了简写，省略下标s 。

按照L-D 算法得初始功率和系数为：1a 1,)0(E 00===s R （2分）

P=1：

1736

.0)]1(a 1[E E 9091

.0E /)1(R )1(a 201011=-=-=-=（2分）

P=2：1558.0)]2(a 1[E E 2

.1)]2(a 1)[1(a )1(a 32.0E )1()1(a )2()2(a 2

212212112=-=????

-=+==--=

R R （3分） P=3：1558.0)]2(a 1[E E 0.32(1)(3)a a (2)a )2(a 2.1)2((3)a a )1(a )1(a 0E )1(R )2(a )2()1(a )3()3(a 3

323232323232223=-=???

????

=+=-=+=≈---=R R （3分）

五、设x=s+n ，s 与n 统计独立，信号x 的自相关的z 变换为

)8.01)(8.01()

5.01)(5.01(6

.1)(11z z z z z R xx ----=--，噪声n 的自相关的z 变换为1，设计一个因果的维纳预测器估计s(n+1)，并求最小均方误差。（14分）

解：

由于

)()()(1

21-=z B z B z R w xx σ，容易找到最小相位系统和白噪声方差 z z z z B <--=--8.0,8.015.01)(1

1，25.1,8.015.01)(1<--=-z z z z B ，6.121=w σ

)8.01)(8.01(36.01)8.01)(8.01()5.01)(5.01(6.1)()()(11

1z z z z z z z R z R z R n xx ss --=-----=-=---（2分）

N ＝1，

=)(z H opt )()](/)([211z B z B z zR w xs σ+-)()](/)([2

11z B z B z zR w ss σ+

+---?

?????----=)5.01)(8.01(36.0)5.01(6.18.01111z z z

z z （4分）

对括号里面求z 反变换，注意括号内的收敛域为28.0<

=??????----)5.01)(8.01(36.011z z z Z )1()2(2.1)()8.0(48.0--+n u n u n

取因果部分，也就是第一项，所以

8.011

48.0)5.01)(8.01(36.0-+

--=??????--z z z z （2分） )(z H opt 11115.013.0)8.01(48.0)5.01(6.18.01-----=??????---=z z z z ，0,)5.0(3.0)(≥=n n h n

把上式写成差分方程形式有：)(?5.0)(3.0)1(?n s n x n s

+=+（3分）最小均方误差为：

[]

=min

(n e E ?---c ss

opt ss z dz z R z z H z R j )]()()([211

1π

?=??????--=

c dz z z j 6.0)8.01)(5.0(36

.021π（3分）

六、对于一个随机信号，可以对它进行频谱估计，叙述AR 谱法和周期图法相比的优点。（14分）解答：

两法原理区别，（2分）、平滑（3分）、需要较短数据即可（3分）、频率分辨率高（3分）、峰值包络线的好估计（3分）等。

七、画出自适应噪声抵消的框图，并证明滤波后的输出将在最小均方意义下抵消噪声，同时，抵消

后的结果将在最小均方意义下逼进信号。（14分）解答：

因为2

))()(())()((n n n y E n e n s E -=- （2分）

))()((2))(())(())()((222n e n s E n e E n s E n e n s E -+=- ))()((2))()((2))(())((22n s n y E n n n s E n e E n s E +-+-= 22))(())((n e E n s E +-=（4分）

所以当均方误差最小时，s 与e 最逼近，同时y 与n 也最逼近。即滤波后的输出y 将在最小均方意义下抵消噪声n ，同时，抵消后的结果e 将在最小均方意义下逼进信号s 。（2分）

（6分）

（7分）

信号较弱，在宽带噪声背景下，突出信号而压制噪声，就是谱线增强。（2分）把x T 延迟后再自适应调整，使得n T-Δ与n T 不相关。但信号s 延迟后与原信号是相关的。使得自适应滤波后输出y T 趋于s T ，e T 趋于n T 。（5分）

试卷三答案和评分标准：

一、假设)(z InR y 与)(l g 是一对z 变换对，a z a /1<<，包含单位圆，

)

()(jw jw y e Y e R =，证明)

(z R y 可分解为如下形式：)/1()()(min min 2*

*=z H z H G z R y 。（14分）

证明：

)

()(jw jw y e Y e R = ，所以)(jw y e R 是实、非负的函数，则

)(jw

y e InR 是实函数，则)(l g 共轭对称：)()(l g l g -=*

（3分）

]

)(exp[]))(exp[]

)(exp[]))(exp[)]0(exp[]

)0()()(exp[])(exp[)(1

∑*?∑=∑?∑?=∑∑++=∑=∞

∞+-∞

---∞+---∞

=+∞

---l l l l l l l l y z l g z l g G z l g z l g g g z l g z l g z l g z R （6分）

设

z z l g z H l >∑=+∞

-],))(exp[)(1

，则该系统是因果稳定的，它的逆系统

z z l g z H l inv >∑-=+∞

-],))(exp[)(1存在也是因果稳定，则该系统是最小相位系统。（3分） ]

))(exp[]]))([exp[)/1(1

1∑=∑=+∞**+∞

***l l z l g z l g z H ，所以得证。（2分）

二、设)5.1sin(2)1.0cos()(21φφπ+++=n n n x ，21,φφ是相互独立的随机变量，在[0，2π]间均匀分布，求x 的均值、自相关函数、功率谱密度。（14分）

解：=)]([n x E )]5.1sin(2)1.0[cos(21φφπ+++n n E )]5.1[sin(2)]1.0[cos(21φφπ+++=n E n E ，两个信号分别为[-1，1]之间均匀分布，所以=)]([n x E 0（4分） )]()([)(m n x n x E m R x +=

{)]5.1sin(2)1.0[cos(21φφπ+++=n n E })])(5.1sin(2))(1.0[cos(21φφπ+++++?m n m n （3分）

)5.1cos(2)1.0cos(5.0m m +=π（4分）

)]1.0()1.0([2/)]5.1()5.1([2)(πδπδπδδπ++-+++-=w w w w e P jw x （3分）

三、直接法估计自相关函数是否一致估计。并证明。（14分）解：是一致估计。（1分）渐进无偏。偏差：),m (R )]m (R

?E[,N )m (R N

m N ]x E[x N 1)]m (R ?E[1.x

x 1

m N 0n m n n x =∞→-∑=

=--=+（3分）

)

m j i (R )m j i (R )j i (R )m (R ]

x ]E[x x x [E ]x ]E[x x x [E ]x ]E[x x x [E ]x x x x [E ]x x x x [E N 1)]m (R ?E[)m (R N m N )]m (R ?E[)]m (R ?[E )]m (R ?E[)]m (R ?Var[2x x 2