(教师1份)寒假七年级第13讲：全等三角形的综合应用(1)

第13讲 全等三角形的综合应用（1）

一、新知探索

证明思路：几何命题都可以表述成这种形式：A

（结论） 1、分析法：B （结论） C D …… A （条件） 2、翻译法： a b

A （条件） c

B （结论） …… z 二、典例剖析

考点一：基本型的应用

例1. 已知：E 是正方形ABCD 边AD 上任意一点，FG⊥BE。

求证：FG=BE 。 证明： 设FG 和BE 交于O 做FM ⊥CD 交BE 于N ∵ABCD 是正方形

∴AD=AB=FM (1)

∠BAE=∠FMG=90°……（2） ∵FG ⊥BE ∴∠FON=∠FMG=90° ∵∠OFN=∠MFG ∴△OFN ∽△MFG ∴∠FGM=∠FNO ∵FM ∥AD

∴∠BEA=∠FNO=∠FGM ……（3） ∴△ABE ≌△MFG(AAS) ∴BE=FG 【变式】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．

求证：① AE ＝CD ； ② 若AC ＝12 cm ，求BD 的长． （1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ， ∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°． ∴∠D=∠AEC ．

又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ， ∴△DBC ≌△ECA （AAS ）． ∴AE=CD ；

（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ， ∴△CDB ≌△AEC （HL ）， ∴BD=EC=BC=AC ，且AC=12． ∴BD=6．

例2.在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF. (1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF;(2)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.

A B C D E F G

分析：(1) 两个直角三角形中,一组直角边和斜边对应相等,两直角三角形全等,由题, ∠ABC=90o，所以∠CBF=90o,在Rt△ABE和Rt△CBF中, AE="CF," AB=BC,所以Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2) 由题,AB="BC," ∠ABC=90°,所以∠CAB=∠ACB=45°,所以∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,由(1)知道Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),所以∠BCF=∠BAE=15°,所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

解：(1) ∵∠ABC=90o，

∴∠CBF=90o,

在Rt△ABE和Rt△CBF中,

AE="CF," AB=BC,

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).

(2) 由题,AB="BC," ∠ABC=90°,

∴∠CAB=∠ACB=45°,

∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,

由(1)知道Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),

∴∠BCF=∠BAE=15°,

∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

变式：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，

∴∠EAD=∠EDA=45°，

∴AE=DE，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，

∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，

∴∠EAB=∠EDC，

∵D是AC的中点，

∴AD=AC，

∵AC=2AB，

∴AB=AD=DC，

∵在△EAB和△EDC中

∴△EAB≌△EDC（SAS），

∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，

∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，

∴BE⊥EC

根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并

求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EC

考点二：全等三角形的综合应用

例3.已知：点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于点O 。

① 求证：AN=BM

② 求: ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 相交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。

例4.如图，A 、B 、C 不在一条直线上时，△ACM,△CBN 都是等边三角形。 AN=BM 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

例5.已知: 正方形ABCG 和正方形CDEF 有公共顶点C 。

试证：BF=DG

例6.已知：如图，AC∥BD，EA 、EB 分别平分∠CAB、∠DBA，CD 过点E 。

法一：证明： A

B C

M N O

P

Q A C

B M N A B

C D

E F

G

∵AC∥BD

∴∠C+∠D=180

∵∠5+∠6=180

∴∠6=∠D

在△EFB和△BDE中

∠6=∠D

∠3=∠4

BE=BE

∴△EFB≌△EDB（AAS）

∴FB=DB

∴AC+BD=AF+FB=AB ；

法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F

∵AC∥BD

∴∠F=∠4

∵∠3=∠4

∴∠F=∠3

在△AEF和△AEB中

∠5=∠6

BE=FE

∠4=∠F

∴△AEF≌△AEB（AAS）

∴AB=AF，BE=FE

在△BED和△FEC中

∴△BED≌△FEC（ASA）

∴BD=FC

∴AB=AF=AC+CF=AC+BD。

例7.已知：四边形ABCD是正方形，M为BC上任意

一点，MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N。

求证：AM=MN

证明：连接AC交MN于P，过M作MF∥AC交AB于F．则△ABC和△FBM均为等腰直角三角形，BF=BM；

又∵BA=BC，

∴AF=MC，

∵∠AMN=∠ACN=90°，∠APM=∠NPC ，

∴∠1=∠2． 又MF ∥AC ， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3；

又∵∠AFM=∠MCN=135°． 在△AFM 和△MCN 中， ∠3＝∠1

∠AF M ＝∠MCN AF ＝MC

∴△AFM ≌△MCN （AAS ）， ∴AM=MN ． 三、自我亮剑

1.如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分

别为点E 、F ．求证：BE =CF ．

证明：∵D 是BC 边上的中点， ∴BD=CD ，

又∵分别过点B 、C 作AD 延长线及AD 的垂线BE 、CF ， ∴CF ∥BE ，

∴∠E=∠CFD ，∠DBE=∠FCD ∴△BDE ≌△CDF ， ∴CF=BE ． 2.（1）如图1，在正方形ABCD

中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE 、BF 交于点O ，∠AOF=90°．求证：BE=CF ．

（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E 、H 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上， EF 、GH 交于点O ，∠FOH=90°，EF=4．求GH

的长．

（3）已知点E 、H 、F 、G 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，EF 、GH 交于点O ，∠FOH=90°，

EF=4．直接写出下列两题的答案：

①如图3，矩形ABCD 由2个全等的正方形组成，则GH=______；

②如图4，矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成，则GH=______（用n 的代数式表示）．

（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°．

∵∠EOB=∠AOF=90°，

∴∠FBC+∠AEB=90°，

∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF；

（2）方法1：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，

则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，

∴EF=BN，GH=AM，

∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，

∴∠NO′A=90°，

故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4；

方法2：过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，得FM=GN，由（1）得，∠HGN=∠EFM，

得△FME≌△GNH，

得FE=GH=4．

（3）①∵是两个正方形，则GH=2EF=8，②4n．

作业

第一部分：

1.如图，已知ABC △中，45ABC ∠= ，是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF 的长度为（ ）. A

．

B ． 4 C

．

D

．

2.如图 ，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD

=3cm ，则点D 到AB

的距离DE 是（ ）

A ．5cm

B ．4cm

C ．3cm

D ．2cm

第二部分：

3.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE =3：中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）

第三部分：

4.已知：如图,D 是△ABC 的边BC 上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE 是△ABD 中线, 求证: AC=2AE. B A

E

C

D

作AB 中点F ，连接DF ． ∵∠ADB=∠BAD ， ∴BD=AB ， 又∵CD=AB ，

∴CD=BD ，即D 为BC 中点， ∵F 是AB 中点，

∴DF ∥AC 且DF=AC ，

又∵AB=BD ，E 、F 分别为BD 、AB 中线， ∴DE=AF=AB=BD ， ∵∠ADB=∠BAD ， ∴∠FAD=∠EDA ， 在△ADF 与△ADE 中， AD=AD ∠FAD=∠EDA

第3题

DE=AF

∴△ADF≌△ADE（SAS），∴AE=DF，

∴AC=2DF=2AE．

课外题

1．如图所示，在正方形

ABCD 中，

E 是对角线AC 上一点，E

F 垂直CD 于F ，E

G 垂直AD 于G ，求证：BE=FG ．

证明：如图，连接DE ，

在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAC=

∠DAC ， ∵在△ABE 和△ADE 中，

AB=AD ∠BAC=∠DAC AE=AE

∴△ABE ≌△ADE （SAS ）， ∴BE=DE ，

∵EF ⊥CD 于F ，EG ⊥AD 于G ，∠ADC=90°， ∴四边形EFDG 是矩形， ∴DE=FG ， ∴BE=FG ．

已知：如图，D 为线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），CD ⊥AB ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD ．

（1）如图1，当点D 恰是AB 的中点时，请你猜想并证明∠ACE 与∠BCF 的数量关系； （2）如图2，当点D 不是AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；

（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF 的度数（用含α的式子表示）．

（1）猜想：∠ACE=∠BCF ． 证明：∵D 是AB 中点， ∴AD=BD ，

又∵AE=BD ，BF=AD ， ∴AE=BF ．

∵CD ⊥AB ，AD=BD ，

∴CA=CB．

∴∠1=∠2．

∵AE⊥AB，BF⊥AB，

∴∠3=∠4=90°．

∴∠1+∠3=∠2+∠4．

即∠CAE=∠CBF．

∴△CAE≌△CBF．

∴∠ACE=∠BCF．…

（2）∠ACE=∠BCF仍然成立．

证明：连接BE、AF．

∵CD⊥AB，AE⊥AB，

∴∠CDB=∠BAE=90°．

又∵BD=AE，CD=AB，

△CDB≌△BAE．…

∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．

在Rt△CDB中，∵∠CDB=90°，

∴∠BCD+∠CBD=90°．

∴∠EBA+∠CBD=90°．

即∠CBE=90°．

∴△BCE是等腰直角三角形．

∴∠BCE=45°．…

同理可证：△ACF是等腰直角三角形．

∴∠ACF=45°．…

∴∠ACF=∠BCE．

∴∠ACF-∠ECF=∠BCE-∠ECF．

即∠ACE=∠BCF．…

（3）∠ECF的度数为90°-α．…

分析：（1）D恰是AB的中点时，则AD是AB的中垂线，则CA=CB，易证∠CAE=∠CBF，则易证△CAE≌△CBF，得到∠ACE=∠BCF；

（2）连接BE、AF，则易证△CDB≌△BAE，则△BCE和△ACF都是等腰直角三角形，则∠ACF=

∠ECB=45°，即可证得：∠ACE=∠BCF；

（3）根据∠ACF=∠ECB=45°，再依据∠ECF=∠ACF-∠ACE=∠ACF-（∠ACB-∠BCE）即可求解．2．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BF=AE．

（2）如图2，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长．

（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：

①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=______；

②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=______．（用n的代数式表示）

（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°．

∵∠EOB=∠AOF=90°，

∴∠FBC+∠AEB=90°，

∴∠EAB=∠FBC，

在△ABE和△BCF中，

∠EAB＝∠FBC

AB＝BC

∠ABC＝∠C＝90°

，

∠DAE＝∠MNH

AD＝NH

=13，

∴MN=13；

（3）解：如图3、4，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，

∵∠FOH=90°，

∴∠MFE=∠NAH，

又∵∠EMF=∠HNG=90°，

∴△EFM∽△HNG，

∴

GH

EF

=

GN

FM

，

图3，GN=2FM，

∴GH=2EF=2×4=8，

图4，GN=nFM，

∴GH=nEF=4n．

故答案为：8，4n．

3

．如图，D 是△ABC 的BC 边上一点且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线． 求证：∠C=∠BAE ．

证明：延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF ， ∵AE 是△ABD 的中线 ∴BE=ED ，

在△ABE 与△FDE 中 ∵

BE ＝DE

∠AEB＝∠DEF AE ＝EF

∴△ABE ≌△FDE （SAS ）， ∴AB=DF ，∠BAE=∠EFD ， ∵∠ADB 是△ADC 的外角， ∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD ，

∴∠BAE+∠EAD=∠BAD ，∠BAE=∠EFD ， ∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD ， ∴∠ADF=∠ADC ， ∵AB=DC

，∴DF=DC ， 在△ADF 与△ADC 中 ∵

AD ＝AD

∠ADF＝∠ADC FD ＝DC

∴△ADF ≌△ADC （SAS ） ∴∠C=∠AFD=∠BAE ．

4.如图，已知点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△BCN 是等边三角形． （1）求证：AN=BM ； （2）求∠NOB 的度数．

（3）若把原题中“△ACM 和△BCN 是两个等边三角形”换成两个正方形（如图），AN 与BM 的数量关系如何？请说明理由．

（1）证明：

∵△ACM 、△CBN 都是等边三角形， ∴AC=CM ，CN=CB ，∠ACM=∠BCN=60°， ∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN ， ∴∠ACN=∠BCM ，

中

AC＝CM

∠ACN＝∠MCB

AC＝CM

∠ACN＝∠MCB＝90°

（1）CE=CF；（2）EF∥AB．

＝∠CMF

CA＝CM

∠ACE＝∠MCF

∴△CAE≌△CMF（ASA），

∴CE=CF，

∴△CEF为等腰三角形，

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF为等边三角形．

∴∠CEF=∠MCA=60°

∴EF∥AB

6.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.

(1)求证：AN=BM;

(2)求证：△CEF为等边三角形

证明(1):∵△ACM，△CBN是等边三角形

∴AC="MC,BC=NC," ∠ACM="60°," ∠NCB="60°

在△CAN和△MCB中

AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=" BC"

∴△CAN≌△MCB(SAS)

∴AN="BM

(2) ∵△CAN≌△MCB

∴∠CAN=∠MCB

又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB="180°-60°-60°=60°"

∴∠MCF=∠ACE

在△CAE和△CMF中

∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF

∴△CAE≌△CMF(ASA)

∴CE="CF" ∴△CEF为等腰三角形,

又∵∠ECF="60°"

∴△CEF为等边三角形.

8.如图，已知点C是AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形．

(1)说明AN= MB.

(2)将△ACM绕点C按逆时针旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图画出符合要求的图形．

(3)在(2)所得到的图形中，结论“AN=BM”是否成立，若成立，说明理由；若不成立，也请说明理由．

(4)在(2)所得到的图形中，设AM的延长线与BN相交于点D，请你判断△ABD的形状，并

说明你的理由．

解：（1）证明：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，

ACM+ MCN= MCN+ NCB．

即ACN= MCB，AC= CM，BC= CN，ACM= MCN= NCB=60°

∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM.

（2）如图所示：

（3）成立理由：∵△ACM，△CBM是等边三角形，

∴NCB= ACM，CM =AC，BC= CN，

∴△CMＢ≌△CAN

∴BM=AN．

（4）△ABD为等边三角形，

∵NBC= 60°，NAB=CAM =60°．

∴ADB= 60°

∴△ABD为等边三角形．

9．（1）已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，求证：AN=BM，这时可以证明≌，得到AN=BM；

（2）如果去掉“点C为线段AB上一点”的条件，而是让△CBN绕点C

旋转成图2的情形，还有“AN=BM”的结论吗？如果有，请给予证明．

分析：（1）AN=BM，理由为：由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN 与∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；

（2）AN=BM，理由为：由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN与∠MCB 相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．

解：（1）相等．

证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，

又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，

∴∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中

AC=MC

∠ACN=∠MCB

CN=CB

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN=BM；

（2）相等．

证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，

又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，

在△ACN和△MCB中

AC=MC

∠ACN=∠MCB

CN=CB

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN=BM．

10、已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．

（1）求证：AN=BM；

（2）求证：△CEF为等边三角形；

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．

分析：（1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明AN=BM，只要求出三角形ACN 和MCB全等即可，这两个三角形中，已知的条件有AC=MC，NC=CB，只要证明这两组对应边的夹角相等即可，我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角，因此它们都是120°，这样就能得出两三角形全等了．也就证出了AN=BM．

（2）我们不难发现∠ECF=180-60-60=60°，因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形，可从EC，CF入手，由（1）的全等三角形我们知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此时三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我们再根据∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等边三角形的结论．

（3）

判定结论1是否正确，也是通过证明三角形ACN和BCM来求得．这两个三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，AN=BM，结论1正确．

根据图1，当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE ＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形．

证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，

∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，

即：∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中，

AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，

∴△ACN≌△MCB（SAS）．

∴AN=BM．

（2）∵△CAN≌△MCB，

∴∠CAN=∠CMB．

又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，

∴∠MCF=∠ACE．

在△CAE和△CMF中

∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，

∴△CAE≌△CMF（ASA）．

∴CE=CF．

∴△CEF为等腰三角形．

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF为等边三角形．

（3）如右图，

∵△CMA和△NCB都为等边三角形，

∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，

∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，

∴△CMB≌△CAN，

∴AN=MB，

结论1成立，结论2不成立．

11.如图所示，已知△ACM和△CBN都是等边三角形，点A、C、B在同一直线上，连接AN、MB．

（1）求证：AN=BM．

（2）若等边三角形CBN绕顶点C顺时针旋转后（旋转角），此时AN与BM是否还相等?若相等，给出证明；若不相等，说明理由．

（1）

证明：在三角形ACM和NCB中，

因为，△ACM和△CBN是等边三角形，

所以，AC=MC，CB=CN．

∠ACM=∠NCB=60°，∠MCN=60°，

∠ACN=∠MCB=120°．

所以△ACN≌△MCB．

所以，AN=BM．

（2）AN与BM相等．

旋转角为，

当时，如下图

因为，△ACM和△CBN是等边三角形，

所以，AC=MC，CB=CN．

∠ACN=60°+∠MCN

∠MCB=60°+∠MCN

∠ACN=∠MCB．

所以，△ACN≌△MCB．

所以，AN=BM．

当时，A、C、N三点共线，M、C、B三点共线，

AN=AC+CN，BM=MC+CB=AC+CN

所以，AN=BM．

当时，如下图，

因为，△ACM和△CBN是等边三角形，

所以，AC=MC，CB=CN．

∠ACN=60°+∠ACB．

∠MCB=60°+∠ACB

∠ACN=∠MCB．

∴△ACN≌△MCB

∴AN=BM．

12、已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，可以说明：△ACN ≌△MCB，从而得到结论：AN=BM．

现要求：

（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）在（1）所得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并说明你的结论的正确性．

分析：（1）可以C为圆心以CA为半径，画弧交BC于A，然后分别以C，A为圆心，以CA 长为半径，画弧在BC下方交于M连接CM，AM，三角形ACM就是所求的三角形．

（2）还成立，可通过证明三角形ACN和BCM来实现，这两个三角形中，CN=BC，CA=CM，这两组对应边的夹角都等于60°，因此两三角形全等，即可得出AN=BM．

（3）MA的延长线与BN相交于D点，那么对顶角DAB和CAM都应该是60°，∠NBC也是60°，那么三角形ABD是等边三角形．∠DAB=∠NCB=60°，因此MD∥CN，∠MCB=∠NBC=60°，因此CM∥NB，因此四边形CMDN就是个平行四边形．

证明：（1）如下图．

（2）结论“AN=BM”还成立．

证明：∵CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，

∴△ACN≌△MCB．

∴AN=BM．

（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形，

证明：∵∠DAB=∠MAC=60°，∠DBA=60°，

∴∠ADB=60°．

∴△ABD是等边三角形，

∵∠ADB=∠AMC=60°，

∴ND∥CM，

吉林省长春市双阳区八年级数学上册第13章全等三角形13.3等腰三角形教案新版华东师大版

等腰三角形 教学目 标知识与技能 进一步理解等腰三角形的判定方法和性质，并能够运用灵活的解决相关问题 过程与方法 了解情况，发现问题，研究讨论，运用知识，解决问 题，提高能力 情感态度与价值观培养学生良好的学习品质. 教学重点等腰三角形的判定和性质 教学难点正确的利用知识解决问题. 教学内容与过程教法学法设计 一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题： 1.有两个角相等的三角形是，三个角都相等的三角形是， 2.如果一个三角形有两边相等，那么这两边所对的角，这是等腰三角形的， 3.等腰三角形的边上的高，线，角的平分线互相重合，可简记为 “三线合一”. 4..等边三角形的三个内角都，并且每个内角都等于°. 5.判定两个三角形全等的方法有： . 6.判定等腰三角形的方法有 . 二. 导入课题，研究知识： 为了更好的理解和掌握等腰三角形的判定方法和性质，灵活的运用知识解答相关的问题本节课我们来复习这一知识. 面向全体学生提出相关的问题。明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。

三.归纳知识，培养能力： 等腰三角形的判定和性质 四.运用知识，分析解题： 问题1已知等腰三角形的顶角等于低角的4倍，求这个等腰三角形各内角的度数. 问题 2.已知等腰三角形的一边长为4㎝，另一边长为9㎝，求它的周长. 问题3如果一个三角形的两个内角分别为70°和40°，那么这个三角形是什么三角形？为什么？ 问题4 如图，已知B D=CE, ∠BDC=∠CEB. 求证:∠ABC=∠ACB. 问题5 如图，在△ABC中，AB=AC, DE∥BC,DE交AB于点D,交AC于点E. 求证：AD=AE. 五.课堂练习：请见教材和练习册 六.课后小结：等腰三角形的知识 七.课后作业：复印给学生. 在复习基础 知识的基础上 运用知识解决 问题. 将知识和实 际问题相结合. 教学反思 E D C B A E D C B A

七年级 数学下 全等三角形 整套讲义

第一讲 三角形认识与三线（讲义） 1.三角形相关概念 基本概念： 三角形表示： 例1、如图，试回答下列问题： （1）图中有______个三角形，它们分别是； (2）以线段AD 为公共边的三角形是； （3）CE 边所对的角是________________________． (4)△ABC 、△ACD 、△ADE 这三个三角形的面积之比等于___∶____∶____． 2.三边关系 三边关系： 符号表示： 例2、 （1）在△ABC 中，AB=16，AC=7，BC=x. (1)x 的取值范围为__________， (2)化简424x x --- (1)已知a,b,c 是三角形的三边长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b| 对应练习： 1、已知等腰三角形的一边等于8cm ，一边等于6cm ，求它的周长． 2、三角形两边长为7和10，求最长边x 的范围． 3、下列各组线段能组成一个三角形的是( )． (A)3cm ，3cm ，6cm (B)2cm ，3cm ，6cm (C)5cm ，8cm ，12cm (D)4cm ，7cm ，11cm

4、现有两根木条，它们的长分别为50cm ，35cm ，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取( )． (A)0.85m 长的木条 (B)0.15m 长的木条 (C)1m 长的木条 (D)0.5m 长的木条 3、与三角形有关的角 (1)三角形的内角:。 (2)三角形的内角和为。 (3)三角形的外角：由三角形一边的延长线和另一条临边所组成的角，叫做三角形的外角。 ∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD 与∠ACB 互为______， 即∠ACD ＝180°－∠ACB ．① 又∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝______， ∴∠A ＋∠B ＝______．② 由①、②，得∠ACD ＝______＋______． ∴∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B 例3、 （1）如图，在纸片=50ABC A ?∠?中，，沿DE 折叠纸片，点A 落在四边形BCED 内部，则''CEA BDA ∠+∠= （2）已知：如图，BE 与CF 相交于A 点，试确定∠B ＋∠C 与∠E ＋∠F 之间的大小关系，并说明你的理由． （3）已知：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=___________．

第十二章全等三角形教案

第十二章全等三角形教案 篇一：人教版第十二章《全等三角形》一一最新版 12. 1全等三角形教学目标1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等; 3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.教学重点全等三角形的性质.教学难点找全等三角形的对应边、对应角.教学过程I .提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？AAlCIl这两个三角形是完全重合的.2.学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸, 将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样.3.获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号.形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.要是把两个图形放在一起，能够完全重合，？就可以说明这两个图形的形状、大小相同.概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义?仔细阅读课本中”全等”符号表示的要求.1【.导入新课利用投影片演示将AABC沿直线BC平移得ADEF；将AABC沿BC翻折180° 得到ZiDBC;将Z?ABC 旋转180° 得AAED. ADADEBCBC 甲EF 乙D B丙C议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：AABC9Z?DEF, ΔABC^ΔDBC, ΔABC^ΔAED.（注虑强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，？但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.观察与思考：寻找中图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.［例1］如图，AOCA^Z?OBD, C和B, A和D是对应顶点，？说出这两个三角形中相等的边和角.CAB问题：AOCABZiOBD,说明这两个三角形可以重合，？思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将AOCA翻折可以使Δ0CA与AOBD重合.因为C和B、A和D是对应顶点，？所以C和B重合，A和D 重合.DZC=ZB：ZA=ZD; ZAOC=ZDOB. AC二DB; OA=OD; OC二OB. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.［例

七年级下全等三角形练习题经典综合拔高题

1. 已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE, 且AB=DE,BE=CF.求证:AC ∥DF ． 2. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且 DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 3. 如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ． 4. 如图，在ΔABC 中，AC=AB ，AD 是BC 边上的中线，则AD ⊥BC ，请说明理由。 5. 如图，已知AB=DE ，BC=EF ，AF=DC ，则∠EFD=∠BCA ，请说明理由。 F G E D C B A A B C D E F A B C D

F E D C B A 6. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 7. 如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的 理由。 （1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。 8. 如图，已知ABC ?为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上， 且DEF ?也是等边三角形． （1） 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的 猜想是正确的； （2） 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化 过程． 9，已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。 A B C D E A B C D E H

初中数学题库 七年级 全等三角形练习题

全等三角形复习练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三 角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°， 则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补 充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充 一个条件，不一定能．．．． 推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B.AC AD = C.ACB ADB ∠=∠ D.CAB DAB ∠=∠ 4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两 个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中 转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配 E D C B A ④ ①② ③ C A D P B 图（四）

2017年秋人教版八年级数学上第十二章全等三角形教案

第十二章全等三角形 12．1全等三角形 1．了解全等形及全等三角形的概念． 2．理解全等三角形的性质． 重点 探究全等三角形的性质． 难点 掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形 的对应元素． 一、情境导入 一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？ 二、探究新知 1．动手做 (1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？ (2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？ 得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念． 能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．观察 观察△ABC与△A′B′C′ 重合的情况． 总结知识点： 对应顶点、对应角、对应边． 全等的符号：“≌”，读作：“全等于”． 如：△ABC≌△A′B′C′． 3．探究 (1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？ 通过以上探索得出结论：全等三角形的性质． 全等三角形的对应边相等，对应角相等． (2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．

得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状． 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B 和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角． 三、应用举例 例1如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长． 分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可． 解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm， ∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm， ∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)． 四、巩固练习 教材练习第1题． 教材习题12.1第1题． 补充题： 1．全等三角形是() A．三个角对应相等的三角形 B．周长相等的三角形 C．面积相等的两个三角形 D．能够完全重合的三角形 2．下列说法正确的个数是() ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； ③全等三角形的周长相等； ④全等三角形的面积相等． A．1B．2C．3D．4 3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE 的度数与DE的长．

七年级下册全等三角形证明题

七年级下册全等三角形 证明题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

七年级数学下册《全等三角形》专题练习 1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2、已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，证 21∠=∠ 4、已知：∠ 1=∠2，CD=DE ，EF C D B B A C D F 2 1 E A D B C A

如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别 平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9、已知： AB 园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上. 25．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 26.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝ AF 。 27．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 28．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ． 29．已知：如图，AB =AC ，BDAC ，CEAB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ． 30、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。 求证：DE =DF ． A B C D D C B A F E A D B C P E D C B A O E D C B A F E D C B A M F E C B A F E D C B A D B A F E A C B D E F A

八年级数学上册第13章全等三角形教案1新版华东师大版

全等三角形 教学目标 知识与技能 帮助学生总结一般三角形全等的判定条件，使他们自觉运用各种全等判定法进行说理；通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系. 过程与方法 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系.习题分析与解答先由学生完成，教师解答疑点。 情感态度与价值 观 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系. 教学重点 让学生识别三角的哪些元素能用来确定三角形的形状与大小，因而可用来判定三角形全等. 教学难点 灵活应用各种判定法识别全等三角形 教学内容与过程 教法学法设计 一、基础知识复习 1.全等三角形 1、全等三角形的概念及其性质 1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。 2）.全等三角形性质： 例．如图, ABC ?≌ADE ?，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G, 105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数. 二.导入课题，研究知识： 本节课我们来复习全等三角形的有关知识 面向全体学生提出相关的问题。明确要研 究，探索的问题 是什么，怎样去 研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。

三.归纳知识，培养能力： 2.全等三角形的判定方法 1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ） 2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA ) 3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS ) 4）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS ) 5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L ) 四.运用知识，分析解题： 例：如图，在ABC 中,∠ACB=90?,D 是AC 上一点，AE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，又 AE=2 1 BD ，求证：BD 是∠ABC 的平分线。 五.课堂练习：请见教材 六.课后小结：《全等三角形》复习 七.课后作业：. 复印给学生. 基础知识复习由学生们以成语接龙的方式完成。教师做最后补充。 教学时应尊重学生已有的经验，鼓励学生探索，适时渗透类比的方法和转化的数学思想。树立辩证唯物主义思想。培养学生刻苦学习的精神。 方法由学生回忆，例题分析由学生完成后，书写解题过程 教学反思 必须手写，是检查备课的重要依据。 D E C B A

北师大版七年级下数学全等三角形的性质和判定

第9讲 全等三角形的性质和判定 【知识要点】 1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形性质：(1)两全等三角形的对应边相等，对应角相等． (2)全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等. (3)全等三角形的面积相等． 3．全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS” (4) “角角边”或“AAS” (5) “斜边、直角边”或“HL” 【典型例题】 例1. 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在 要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法 是 _________。 A.带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【变式】判断题 1．两边和一角对应相等的两个三角形全等。 （ ） 2．两角和一边对应相等的两个三角形全等。 （ ） 3．两条直角边对应相等的两个三角形全等。 （ ） 4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等。 （ ） 5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等。 （ ） 6．两个等边三角形全等。 （ ） 7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） 8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等; （ ） 9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等; （ ） 10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． （ ） 例2. （长沙·中考题）已知: AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ， 求证：∠B=∠E 【变式】（红河·中考题）已知：OA=OB ，AC=BD ，∠A=∠B ，M 为CD 中点， 求证：OM 平分∠AOB A B C D E F A B C O D ② ① ③

北师大七年级下册数学全等三角形习题精选

F E D C B A 全等三角形 A 一、选择题 1．下列三角形不一定全等的是（ ） A ．有两个角和一条边对应相等的三角形 B ．有两条边和一个角对应相等的三角形 C ．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形 D ．三条边对应相等的两个三角形 2．下列说法： ①所有的等边三角形都全等 ②斜边相等的直角三角形全等 ③顶角和腰长对应相等的等腰三角形全等 ④有两个锐角相等的直角三角形全等 其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如图，AB 平分∠CAD ，E 为AB 上一点，若AC=AD ，则下列结论错误的是（ ） A.BC=BD B.CE=DE C.BA 平分∠CBD D.图中有两对全等三角形 4.AD 是△ABC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下 列结论中错误的是 ( ) A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF 5.在△ABC 中，∠B=∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC 中与这个 角对应的角是（ ）． A ．∠A B ．∠B C ．∠C D ．∠B 或∠C 6.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD=CD ，BD=ED ，若∠ABC=54°，则∠E=（ ）． A ．25° B ．27° C ．30° D ．45° 7.如右图，△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，AD 平分 ∠CAB 交BC 于点D ，DE⊥AB，且AB ＝10 cm ，则△BED 的周长为 ( ) A ．5 cm B ．10 cm; C ．15 cm D ．20 cm 8．如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BOF ≌△COE ；③点O 在∠BAC 的角平分线上，其中正确的结论有 （ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，则( ) A 、AF=2BF; B 、AF=BF; C 、AF>BF; D 、AF

华东师大版八年级上册数学13章 《全等三角形》教案3

课题命题 【学习目标】 1．了解命题的概念以及命题的构成，能把命题改为“如果……，那么……”的形式； 2．知道真命题和假命题，会用举例法或画图法等判断一个命题的真假性； 3．在学习的过程中体会数学的逻辑思维能力和有条理的推理能力． 【学习重点】 命题的概念，区分命题的条件和结论． 【学习难点】 区分命题的条件和结论，会把一些简单命题改写成“如果……，那么……”的形式． 行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 知识链接：1.平行线的性质定理和判定定理； 2．对顶角的性质和定义； 3．直角的概念和判定． 行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识． 学法指导：紧扣“判断一件事情的句子”，有判断语句的是命题，无判断语句的不是命题． 学法指导：每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 知识链接：1.有一些命题的叙述，其条件和结论并不十分明显，我们可以先把它改写成“如果……，那么……”的形式，再找出它的条件和结论； 2．命题的条件部分有时可用“已知……”或“若……”等形式叙述，结论部分可用“求证……”或 “则……”的形式叙述．情景导入生成问题 相信我能行：判断正误： (1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； (2)两直线平行，同位角相等； (3)同旁内角相等，两直线平行； (4)相等的角是对顶角； (5)直角都相等． 自学互研生成能力 知识模块一命题的定义 阅读教材P53～P55，完成下面的内容： 定义：表示判断的语句叫做命题． 反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．例如：(1)你喜欢数学吗？(2)作线段AB＝CD.

七年级数学全等三角形(培优)

八年级培优班数学全等三角形复习题 1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。 图1 图2 B A 图 3 2．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。 3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。 4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。 图4 C B A 图5 A B D 图6 E C 5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。（ ）①AE ＝AD ； ②AB ＝AC ； ③OB ＝OC ； ④∠B ＝∠C 。 6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝2 1 AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。 （1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。

7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ） A.AB －AD ＞CB －CD B. AB －AD ＝CB －CD C.AB －AD ＜CB －CD D.AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定 图7 B D 图9 A B 图10 B 8．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点， ∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。 9．如图10，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB 。 求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ 。 11．如图11，在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＞BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC 。 （1）证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； （2）证明：△AC ′D ≌△DB ′A ； 图 11

八年级数学上册第十二章全等三角形12.1全等三角形教案(新版)新人教版

八年级数学上册第十二章全等三角形12.1全等三角形教案（新 版）新人教版 一、课标要求 (1)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质。 (2)经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实(“边边边”“边角边”和“角边角”)和定理(“角角边”)，能判定两个三角形全等。 (3)能利用三角形全等证明一些结论。 (4)探索并证明角平分线的性质定理，能运用角平分线的性质。 二、教材分析 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等。对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式以及掌握证明几何命题的一般过程。由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础。 全等形在几何中处处可见，为了避免学生将全等的概念局限于全等三角形，本章从现实世界中各种各样的全等图形谈起。接着，教科书从“重合”的角度定义了全等形和全等三角形的概念，这种定义方式有利于学生借助生活经验直观地认识所定义的对象，也便于引出全等形的对应部分。 性质与判定是研究全等三角形的两个重要方面。教科书由全等三角形的定义直接导出全等三角形的性质。在研究全等三角形的判定方法时，由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关系出发，引出由三条边分别相等、三个角分别相等判定两个三角形全等的方法。接下来，教科书构建了一个完整的探索三角形全等条件的活动——首先提出探究的问题：由全等三角形的定义可知，满足三条边分别相等、三个角分别相等的两个三角形全等，那么能否减少条件，简捷地判定两个三角形全等呢？然后从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，分别探究“一个条件”“两个条件”“三个条件”……能否保证两个三角形全等。对于“三个条件”的情形，分为三条边、两条边和一个角、两个角和一条边以及三个角分别相等的情况依次进行了探究。同时，根据对各判定方法学习要求的差别设置了不同的学习方式，有的让学生通过作图实验，猜想结论，再以基本事实的形式给出判定方法，有的让学生通过举反例说明判定方法不成立，有的则由已获得的判定方法证明新的判定方法。最后，探究了判定直角三角形全等的特殊方法。 由于角的平分线的性质可以用全等三角形的知识证明，本章的最后一节安排了角的平分线的

七年级(下) 全等三角形 章节测试

2019-2020年七年级（下） 全等三角形 章节测试 一、细心选一选（每小题3分，共36分） 1.下列说法正确的是……………………………………( ) A.周长相等的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.三个角对应相等的两个三角形全等 D.三条边对应相等的两个三角形全等 2.下列各组线段能组成三角形的是……………………( ) A.3cm ，3cm ，6cm B.7cm,4cm,5cm C.3cm,4cm,8cm D.4.2cm,2.8cm,7cm 3.下列图形中，与已知图形全等的是……………………( ) 4.如图，已知△ABC ≌△CDE,其中 AB=CD,那么下列结论中， 不正确的是……………………… ( ) A.AC=CE B.∠BAC=∠ CDE C.∠ACB=∠ECD D.∠B=∠D 5.下列条件中，不能判定三角形全等的是…………………………………… ( ) A.三条边对应相等 B.两边和一角对应相等 C.两角和其中一角的对边对应相等 D.两角和它们的夹边对应相等 6. 如图，把图形沿BC 对折，点A 和点D 重合，那么图中共有全等三角形………………… (A) (B) (C) (D) 第3题图 D E 第4题

( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 7.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB= A ′B ′ ，∠B=∠B ′要保证△ABC ≌△A ′B ′C ′，可 补 充 的 条 件 是………………………………………………………………………………………………( ) A.∠B+∠A=900 B.AC= A ′C ′ C.BC=B ′C ′ D. ∠A+∠A ′=900 8.已知在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB= A ′B ′ ，∠B=∠B ′，补充下面一个条件，不能说明 △ ABC ≌ △ A ′ B ′ C ′ 的 是……………………………………………………………………………………( ) A. BC=B ′C ′ B. AC= A ′C ′ C. ∠C=∠C ′ D. ∠A=∠A ′ 9.如图，已知AE=CF,BE=DF.要证△ABE ≌△CDF,还需添加的一个条件是………( ) A.∠BAC=∠ACD B.∠ABE=∠CDF C.∠DAC=∠BCA D.∠AEB=∠CFD 10.如图AD 是△ABC 的角平分线，DE 是△ABD 的高，EF 是△ACD 的高，则…( ) A.∠B=∠C B.∠EDB=∠FDC C.∠ADE=∠ADF D. ∠ADB=∠ADC 11.如图AC 与BD 相交于点O ，已知AB=CD,AD=BC,则图中全等三角形有………( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 12.如图,D 、E 分别是AB,AC 上一点，若∠B=∠C ，则在下列条件中， 无法判定△ABE ≌△ACD 是………………………………( ) A.AD=AE B.AB=AC C.BE=CD D.∠AEB=∠ADC A B C D F E 第9题 A A A A A 第10题 A B C D O 第11题 A B C E 第12题 D

第13章全等三角形

第十三章全等三角形 13.1全等三角形 学习导航 目标点击 1．通过一个图形的平移、翻折、旋转，体会全等图形和全等三角形位置变化了，但形状、大小没有变化的特点． 2．理解全等三角形概念及表示方法，知道对应顶点、对应边、对应角及其性质． 知识点拨 （1）能够完全“重合”的两个三角形全等． （2）全等三角形的对应边相等、对应角相等． 例1 填空题： (1)如图13－1－1，①△ACF≌△ABE，AB＝AC，则对应角是____，对应边是____． ②△OFB≌△OEC，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－1 图13－1－2 (2)如图13－1－2，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C对应角为____，BD边对应边为____． (3)如图13－1－3，△ABC≌△ADE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－3 解：(1)①对应角是∠A与∠A，∠ABE与∠ACF，∠AEB与∠AFC，对应边是AB与AC，BE 与CF，AE与AF． ②对应角是∠BOF与∠COE，∠BFO与∠CEO，∠OBF与∠OCE，对应边是OB与OC，OF 与OE，BF与CE． (2)∠C的对应角是∠DBE，BD的对应边是CA． (3)对应角是∠B与∠ADE，∠C与∠E，∠BAC与∠DAE．对应边是AB与AD，AC与AE，BC与DE． 点拨：由于在全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角(或公共角)是对应角，结合图形即可判断出． 例2 如图13－1－4，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2． 求∠DFE的度数与EC的长． 图13－1－4

七年级数学全等三角形测试题

三角形单元测试 1．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（ ） A ．18 B ．15 C ．18或15 D ．无法确定 2．两根木棒分别为5cm 和7cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（ ）种 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．已知△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（ ） A ．小于直角; B ．等于直角; C ．大于直角; D ．大 4．如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是（ ） A ． ∠BCA=∠F B ． ∠B=∠E C ． BC ∥EF D ． ∠A=∠EDF 5．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62o，那么∠DBF ＝（ ） A ．62o B ．38o C ．28o D ．26o 6．已知△A 1B 1C 1△A 2B 2C 2的周长相等，现有两个判断： ①若A 1B 1=A 2B 2，A 1C 1=A 2C 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2； ②若∠A 1=∠A 2，∠B 1=∠B 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ） A ． ①正确，②错误 B ． ①错误，②正确 C ． ①，②都错误 D ． ①，②都正确 7、如图，在△ABC 和△DEB 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ） A ． BC=EC ，∠B=∠E B ． BC=E C ，AC=DC C ． BC=DC ，∠A=∠ D D ． ∠B=∠ E ，∠A=∠D 8．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是（ ） A ． S SS B ． A SA C ． A AS D ． 角平分线上的点到角两边距离相等 9．如上图，已知∠1＝∠2，则不一定．．． 能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠ BDA ＝∠CDA A B C F D E

第十二章全等三角形12.1全等三角形备课资料教案新版新人教版1

第十二章 12.1全等三角形 知识点1：全等形与全等三角形的概念 定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,重合的顶点叫做对应点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.全等三角形是最简单的全等形. 关键提醒:1. 全等三角形是特殊的全等形,全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样,叠合在一起是否重合,与它们的位置没有关系. 2. “全等”用“≌”表示,读作“全等于”,记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 3. 一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等,所以两个全等的三角形都能通过适当的平移、翻折、旋转等变换后重合. 知识点2：全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等.由全等三角形的定义还容易知道全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的中线相等、对应角的平分线相等、对应边上的高相等. 关键提醒:1. 全等三角形的周长相等,面积相等,但周长相等或面积相等的两个三角形不一定是全等三角形. 2. 要正确区分对应边与对边、对应角与对角的概念.一般地,对应边、对应角是就两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系,而对边、对角是就同一个三角形的边和角而言的,对边是指角的对边,对角是指边的对角. 考点1：全等三角形的对应边和对应角判定 【例1】如图所示,△ABC绕点B顺时针旋转90°到△DBE,且∠ABC=90°. (1)△ABC和△DB E是否全等?若全等,指出对应边和对应角; (2)直线AC、DE有怎样的位置关系?

解:(1)因为△ABC绕点B顺时针旋转90°后与△DBE重合,所以△ABC≌△DBE. 对应边:AB与DB,BC与BE,AC与DE;对应角:∠A与∠D,∠ABC与∠DBE,∠ACB与∠E. (2)延长AC交DE于点F.如图所示, 由(1)知∠A=∠D,又∠ACB=∠DCF,所以在△ABC和△DFC中,有∠DFC=∠ABC=90°,即直线AC与DE 互相垂直. 点拨:(1)中的△ABC和△DBE形状和大小没有发生变化,只是位置发生改变,所以这两个三角形是全等三角形,根据旋转过程中点的对应关系,从而确定出对应边和对应角;(2)延长AC交DE于点F,可以证明∠CFD=∠ABC=90°,从而可以判断出两条线段是垂直关系. 考点2：利用全等三角形的定义判断三角形的全等 【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD.DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,则图中共有多少对全等三角形?请直接用符号“≌”把它们分别表示出来.(不要求证明)

(word完整版)七年级下册-全等三角形证明经典题

七年级数学下册《全等三角形》专题练习 1、 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2、已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，证21∠=∠ 4、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC B A C D F 2 1 E A D B C

5、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 7、已知：AB=6，AC=2，D是BC中线，求AD的取值范围。 8. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。 9、已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C D C B A F E C D B A D B C A

10、已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 11、已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE 12．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 13．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA 14．如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP 于D．求证：AD+BC=AB． 15．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD A B C D P E D C B A D C B A

八年级数学上册第13章全等三角形13.4尺规作图第1课时尺规作图教案新版华东师大版

13．4 尺规作图 第1课时尺规作图(1) 1．掌握五种基本作图的方法． 2．会用五种基本作图的方法来解决简单的作图题． 重点 五种基本作图的方法． 难点 作图语言的叙述． 一、自学教材 自学教材第85～88页,体会前三种基本作图的方法．学生自学教材,交流归纳作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线的方法． 二、探究新知 教师演示作图过程． 1．作一条线段等于已知线段 已知：线段AB.求作：线段A′B′,使A′B′＝AB. 作法：(1)作射线A′C′； (2)以点A′为圆心,以AB的长为半径作弧,交射线A′C′于点B′.A′B′就是所要求作的线段． 2．作一个角等于已知角 如图,已知∠AOB和射线O′B′,用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB. ①以点O为圆心,任意长为半径作弧交OA于点C,交OB于点D； ②以点O′为圆心,OC长为半径作弧,交O′B于点C′； ③以点C′为圆心,CD长为半径作弧交前弧于点A′； ④以点O′为顶点作射线O′A′.∠A′O′B′即为所求． 3．作已知角的平分线 已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法： ①以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N；②分别以点M,N为圆心,

大于12 MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C ；③作射线OC.射线OC 即为所求． 教师活动：同排两个同学互相交流尺规作图的注意事项,并实际动手操作． 学生活动：组织积极讨论,小组交流,代表发言． 教师总结：尺规作图注意事项：①尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺；②几何作图必须保留作图痕迹． 三、练习巩固 1．如图,已知∠AOB.(1)求作∠EDF ,使∠EDF＝∠AOB；(2)求作∠EDF 的平分线DG. 2．如图,已知∠A ,∠B,求作一个角,使其等于∠A－2∠B. 3．如图,已知线段AB,CD,求作一个等腰三角形,使其腰长等于AB,底边长等于CD. 四、小结与作业 小结 1．尺规作图的概念． 2．用尺规作一条线段等于已知线段及线段的和、差的作法． 3．作一个角等于已知角及角的和差的作法． 作业 教材第91页习题13.4第2题． 这节课内容较多,前三个基本作图较简单,主要是学生自学后独立操作,教师演示的目的是规范作图语言,搞清其中的几何道理．后两个作图实际上用到了转化思想,较为复杂,要让学生搞明白作图的原理,是掌握作图步骤的关键． 运用基本作图方法解作图题时,应让学生先分析作图顺序后,再完成．对于作图语言应逐步规范．