学案5 函数值域和最值(一)
一、课前准备:
【自主梳理】
1在函数y =f (x )中,与自变量x 的值对应的值,叫做 ,函数值的集合叫做 2确定函数的值域的原则:
(1)当函数用y =f (x )表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合。
(2)当函数y =f (x )用图象给出给出时,函数的值域是指图象在轴上的投影所覆盖的实数y
的值.
(3)当函数y =f (x )用解析式给出时,函数的值域是由函数的 和 确定.
(4)当函数由实际问题给出时,函数的由问题的 确定.
3基本初等函数的值域。
(1) b kx y += )0(≠k 的值域为
(2) y =a 2
x +bx +c ()0≠a 的值域为 (3) (0)k y k x
=≠的值域为 (4) y = x a )1,0(≠>a a 的值域为
(5) x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为
(6) x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为
4求值域的方法: 配方法 换元法 分离常数法 单调性 不等式法 求导法 数形结合法 判别
式法
5函数的最值:
设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有
M x f ≥)( (2)存在I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数M 是函数的 值.
设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有
M x f ≤)( (2)存在 I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数是M 函数的 值.
【自我检测】
1 函数x
y 1= ()32<<-x 的值域为_________ . 2函数[]3,2,2-∈=x x y 的值域为_________.
3 .已知函数{0,log 0,23)(>≤=x x x x x f ,则=))9
1((f f _________.
4 函数 x
y 3=的值域为_________.
5 函数2log (1)y x =+的值域为_________.
6函数1
1+=x y 的值域是__________. 二、课堂活动:
【例1】填空题:
求下列函数的值域
1.2
sin 3sin 4y x x =-+ _________
2.938x x y =-- _________
3. y =_________
4.y x =+【例2】.求函数2223(20)()23(03)
x x x f x x x x ?+--=?--??, ≤ ≤≤的值域.
【例3】1求函数31
x y x -=+的值域 . 2 求函数221
x
x y =+的值域.
课堂小结
三、课后作业
135,[3,)1
x y x x -=∈+∞+ 2.函数x x y cos sin 2+=的值域____
3函数21()f x x x
=+,(1)x -≤的值域是 . 4已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上最大值为3,最小值为2,则m 的取值范围
为 .
5函数x y 416-=的值域是________.
6函数133+=x x
y 的值域是____________. 7函数)1lg(2+=x y 的值域是____________.
8函数22+-=x y 的值域是____________.
9设02x ≤≤,求函数1()432
1x x f x +=-?+的值域. 10已知函数624)(2++-=a ax x x f ,R x ∈
(1)求函数的值域为[)+∞,0时的a 的值;
(2)若函数的值均为非负值,求函数32)(+-=a a a f 的值域.
错
题
卡
题 号
错 题 原 因 分 析
【自主梳理】
1. 函数值 函数值域
2. 定义域 对应法则 实际意义
3 基本初等函数的值域:1.R 2. 22440,,;0,,44ac b ac b a a a a ????-->+∞<-∞? ??????
3.(),0(0,)-∞?+∞ 4 (0,)+∞ 5. R 6 []1,1-,[]1,1-,R
5 最小值 最大值
【自我检测】
1 11,,23?
???-∞-?+∞ ? ?????
2 []0,9
3 1
4 4 [)1,+∞
5 R
6 {}0/≠y y
【例1】填空题:
1 []2,8
2 13,4??-+∞????
3 50,2??????
4 [)1,-+∞ 【例2】解:分析:求分段函数的值域可作出它的图象,则其函数值的整体变化情况就一目了然了,从而可以快速地求出其值域.
作图象如图所示.(1)(1)4f f -==-∵,(2)3f -=-,(3)0f =,(0)3f =-,
∴函数的最大值、最小值分别为0和4-,即函数的值域为[40]-,
【例3】 1 {}1y y ∈≠R 2 (01),
三、课后作业
1 [)3,1
2 51,4??-????
3 []4,2.
4 []2,1
5 [)4,0
6 ()0,1
7 [)+∞,0
8 []2,0
9解:12()4321(23)8x x x f x +=-+=--,
02x ∵≤≤,24x 1∴≤≤.
∴当23x =时,函数取得最小值8-;当21x =时,函数取得最大值4-,
∴函数的值域为[84]--,
. 10解(1)∵函数的值域为[)+∞,0,
,0)62(4162=+-=?a a 2
3,1=-=a a (2)对一切R x ∈,函数值均非负,∴2310≤
≤-?≤?a ∴03>+a ∴417)23()(2+
+-=a a f , 231≤≤-a ∴)(a f 的值域为??
????-
4,419。