复变函数
复变函数复习重点
(一)复数的概念
1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.
2.复数的表示
1）模：22
z
x y =+；
2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x
之间的关系如下：
当0,x > arg arctan
y
z x
=；
当0,arg arctan 0,0,arg arctan y
y z x x y y z x
ππ?
≥=+??
?<=-??；
4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=
，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算
1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±
2.乘除法：
1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则
()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；
()()()()112211112121221
2222
22222222222
x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2）若1
2
1122,i i z z e z z e θθ==, 则
()121212i z z z z e θθ+=；
()1211
22
i z z e z z θθ-=
3.乘幂与方根
1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n
n
n in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则
1
22cos sin (0,1,21)n
n
k k z z i k n n n θπθπ++?
?=+=- ?
?
? （有n 个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数
1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3） 对数函数： ln (arg 2)
Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±± （多值函数）；
主值：ln ln arg z z i z =+。（单值函数）
Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处
解析，且()1lnz z
'=；
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
3）乘幂与幂函数：(0)
b
bLna
a
e a =≠；(0)
b
bLnz
z
e z =≠
注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z z
z z gz ctgz i z z
---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-
注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）
4）
双曲函数 ,22
z z z z
e e e e shz chz ---+=
=；
shz
奇函数，c h z 是
偶函数。,s h z c h z 在z
平面内解析，且
()(),s h z c h z c h z s h z
''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：
()0f z '=()()
000
lim
z f z z f z z
?→+?-?；
2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导
?(),u x y 和(),v x y 在()
,x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：
,u v
u v x y
y x
????==-???? 此时， 有()u v f z i x
x
??'=+??。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析
?()
,u x y 和(),v x y 在(),x y 在
D
内可微，且满足
C D
-条件：
,u v u v
x y y x ????==-????； 此时()u v f z i x
x
??'=+??。
注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()()
,,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2）
3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质
1． 复变函数积分的概念：()()1
lim n
k k c n k f z dz f z ξ→∞
==?∑?，c 是光滑曲线。 注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1） ()()1
c c
f z dz f z dz -=-?? （1c -与c 的方向相反）；
2） ()()()()[],,c c c f z g z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+???是常数； 3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()1
2
c c c f z dz f z dz f z dz =+???。
3．复变函数积分的一般计算法
1）化为线积分：()c c c f z dz udx vdy i vdx udy =-++???；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()c f z dz f z t z t dt β
α
'=??。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则
()0c
f z dz =?
2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的区域全含于D 内，则 ① ()c
f z dz ? ()1,k
n
k c f z dz ==∑? 其中c 与k c 均取正向；
② ()0f z dz Γ
=? ，其中Γ由c 及1
(1,2,)c k n -= 所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()f z 在B 内的一个原函数，则()()()
2
1
2112(,)z z
f z dz G z G z z z B =-∈?
说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。 柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于D ，0z 为c 内任意一点，则
()()002c f z dz if z z z π=-?
6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为
()()
()01
02(1,2)()!
n n c
f z i dz f z n z z n π+==-?
其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。 7．重要结论：
12,01
0,0
()n c
i n dz n z a π+=?=?≠-?? 。 （c 是包含a 的任意正向简单闭曲
线）
8．复变函数积分的计算方法 1）若
()
f z 在区域
D
内处处不解析，用一般积分法
()()()[]c
f z dz f z t z t dt β
α
'=??
2）设()f z 在区域D 内解析，
● c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =? ● c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有
()()()()21
21z c
z f z dz f z dz F z F z ==-??
3）设()f z 在区域D 内不解析 ●
曲线c 内仅有一个奇点：()
()()()()00
01022()!c n n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+?=?-??
?=?-?
?? （()f z 在c 内解析） ● 曲线c 内有多于一个奇点：()c
f z dz ? ()1k
n
k c f z dz ==∑? （i c 内只有一个奇
点k z ）
或：()12Re [(),]n
k k c
f z dz i s f z z π==∑? （留数基本定理）
● 若被积函数不能表示成()
1
()
n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。
（八）解析函数与调和函数的关系
1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ?在D 内有二阶连续偏导数
且满足22220x y
??
??+=??，
(,)x y ?为D 内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系
● 解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v
为实部u 的共轭调和函数。
● 两个调和函数u 与v 构成的函数()f z u iv =+不一定是解析函数；但是若,u v 如果满足柯西—
黎曼方程，则u iv +一定是解析函数。
3．已知解析函数()f z 的实部或虚部，求解析函数()f z u iv =+的方法。 1）偏微分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件，得,v v x y
????；
对v u y
x
??=??两边积分，得()u v dy g x x
?=+?? （*）
再对（*）式两边对x 求偏导，得()v u dy g x x
x x ?????
'=
+
??????
? （**） 由C R -条件，u v y x ??=-??，得()u u dy g x y x x ?????
'=-+ ??????
?，可求出 ()g x ； 代入（*）式，可求得 虚部()u v dy g x x
?=+?? 。
2）线积分法：若已知实部
()
,u u x y =，利用
C R
-条件可得
v v u u
dv dx dy dx dy x y y x
????=
+=-+????，
故虚部为()()
,,x y x y u u v dx dy c y x
??=-++???；
由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中()00,x y 与(),x y 是解析区域中的两点。
3）不定积分法：若已知实部(),u u x y =，根据解析函数的导数公式和C R -条件得知，
()u v u u f z i i x
y
x
y
????'=+=-????
将此式右端表示成z 的函数()U z ，由于()f z '仍为解析函数，故
()()f z U z dz c =+? （c 为实常数） 注：若已知虚部v 也可用类似方法求出实部.u （九）复数项级数 1．复数列的极限
1）复数列{}{}n n n a ib α=+（1,2n = ）收敛于复数a bi α=+的充要条件为
lim ,
lim n n n n a a b b →∞
→∞
== （同时成立）
2）复数列{}n α收敛?实数列{},{}n n a b 同时收敛。 2．复数项级数
1）复数项级数0
()n n n n n a ib αα∞
==+∑收敛的充要条件是级数0
n n a ∞
=∑与0
n n b ∞
=∑同
时收敛；
2）级数收敛的必要条件是lim 0n n α→∞
=。 注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。
（十）幂级数的敛散性
1．幂级数的概念：表达式00
()n
n n c z z ∞=-∑或0
n n n c z ∞
=∑为幂级数。
2．幂级数的敛散性
1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数0n n n c z ∞
=∑在
00z ≠处收敛，那么对满足0
z z <的一切z ，该级数绝对收敛；如
果在0z 处发散，那么对满足0z z >的一切z ，级数必发散。 2）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。
3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。
● 比值法 如果1
lim 0n n n
c c λ+→∞
=≠，则收敛半径1R λ
=； ● 根值法 lim
0n n c λ→∞
=≠，则收敛半径1
R λ
=
；
● 如果0λ=，则R =∞；说明在整个复平面上处处收敛；
如果λ=∞，则0R =；说明仅在0z z =或0z =点收敛；
注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如20n n n c z ∞
=∑）
3．幂级数的性质
1）代数性质：设0
,n
n n n n n a z b z ∞
∞
==∑∑的收敛半径分别为1R 与2R ，记
()12min ,R R R =，
则当z R <时，有
00
()n
n
n n
n n n n n n a
b z a z b z αβαβ∞
∞∞
===+=+∑∑∑ （线性运算）
01100
()()()n
n
n
n n n n n n n n a z b z a b a b a b z ∞
∞
∞
-====+++∑∑∑ （乘积运算）
2）复合性质：设当r ξ<时，()0
n n n f a ξξ∞
==∑，当z R <时，()g z ξ=解析
且()g z r <，
则当z R <时，()()0
[][]n n n f g z a g z ∞
==∑。
3） 分析运算性质：设幂级数0
n n n a z ∞
=∑的收敛半径为0R ≠，则
● 其和函数()0
n n n f z a z ∞
==∑是收敛圆内的解析函数；
● 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且
()10
n n n f z na z ∞
-='=∑
z R <
● 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；()1
001
z
n n n a f z dz z n ∞
+==+∑
? z R <
（十一）幂函数的泰勒展开 1. 泰勒展开：设函数()f z 在圆域
0z z R -<内解析，则在此圆域内
()f z 可以展开成幂级数 ()(
)
()
()000!
n n
n f z f z z z n ∞
==-∑
；并且此展开式是唯
一的。
注：若()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径0R z a
=
-；
其中R 为从0z 到()f z 的距0z 最近一个奇点a 之间的距离。 2．常用函数在00z =的泰勒展开式
1）23011!
2!3!!n
z
n n z z z e z z n n ∞
===++++++∑ z <∞
2）20
111n n n z z z z z ∞
===+++++-∑ 1z <
3）352121
0(1)(1)sin (21)!
3!5!(21)!n n n n n z z z z z z n n ∞
++=--==-+-++++∑ z <∞
4）24220
(1)(1)cos 1(2)!2!4!(2)!n n n n
n z z z z z n n ∞
=--==-+-++∑ z <∞
3．解析函数展开成泰勒级数的方法 1）直接法：直接求出()()
01!
n n c f z n =，于是()()00n n n f z c z z ∞
==-∑。
2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。 （十二）幂函数的洛朗展开
1. 洛朗级数的概念：()0n n n c z z ∞
=-∞-∑，含正幂项和负幂项。
2．洛朗展开定理：设函数()f z 在圆环域102R z z R <-<内处处解析，
c 为圆环域内绕0z 的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆
环域内，有()()0n n n f z c z z ∞
=-∞
=-∑ ，且展开式唯一。
3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。 *4．利用洛朗级数求围线积分：设()f z 在0r z z R <
-<内解析，c 为
0r z z R <-<内的任何一条正向简单闭曲线，则 ()12c f z dz ic π-=? 。其中
1c -为()f z 在0r z z R <-<内洛朗展开式中
1z z -的系数。
说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中10()z z --的系数。
（十三）孤立奇点的概念与分类
1。 孤立奇点的定义 ：()f z 在0z 点不解析,但在0z 的00z z δ
<-<内
解析。
2。孤立奇点的类型：
1）可去奇点：展开式中不含
z z -的负幂项；
()()()2
102
0f
z c c z z
c z
z
=
+
-+-+ 2）极点：展开式中含有限项0z z -的负幂项；
()(1)2
101020
1000()()()()()m m m m c c c f z c c z z c z z z z z z z z -----=+++++-+-+--- ()0,()m
g z z z =- 其中()1(1)01000()()()m m m m g z c c z z c z z c z z -----=+-++-+-+ 在0z 解析， 且()00,1,0m g z m c -≠≥≠；
3）本性奇点：展开式中含无穷多项0z z -的负幂项；
()1010000()()()()
m
m m m
c c f z c c z z c z z z z z z --=+
++++-++-+-- （十四）孤立奇点的判别方法
1．可去奇点：()0
0lim
z z
f z c →=常数； 2．极点：()0
lim z z
f z →=∞ 3．本性奇点：()0
lim z z
f z →不存在且不为∞。 4．零点与极点的关系
1）零点的概念：不恒为零的解析函数()f z ，如果能表示成
()()0()m f z z z z ?=-，
其中()z ?在0z 解析，()00,z m ?≠为正整数，称0z 为()f z 的m 级零点； 2）零点级数判别的充要条件
0z 是
()f z 的m 级零点?()()()()000,(1,2,1)
n m
f z n m f z ?==-?
?≠??
3）零点与极点的关系：0z 是()f z 的m 级零点?0z 是()
1
f z 的m 级极点；
4）重要结论
若z a =分别是()z ?与()z ψ的m 级与n 级零点，则 ●
z a =是()z ? ()z ψ的m n +级零点；
● 当m n >时，z a =是()()
z
z ?ψ的m n -级零点；
当m n <时，z a =是()()z
z ?ψ的n m -级极点；
当m n =时，z a =是()()
z
z ?ψ的可去奇点；
● 当m n ≠时，z a =是()()z z ?ψ+的l 级零点，min(,)l m n =
当m n =时，z a =是()()z z ?ψ+的l 级零点，其中()l m n ≥ （十五）留数的概念
1．留数的定义：设0z 为()f z 的孤立奇点，()f z 在0z 的去心邻域00z z δ<-<内解析，c 为该域内包含0z 的任一正向简单闭曲线，则称积分
()
1
2c f z d z i
π? 为()
f z 在
z 的留数（或残留），记作
()0Re [,]s f z z =
()1
2c f z dz i π?
2．留数的计算方法
若0z 是()f z 的孤立奇点，则()0
Re [,]s f z z
=1c -，
其中1c -为()f z 在0z 的去心邻域内洛朗展开式中10()z z --的系数。
1）可去奇点处的留数：若0z 是()f z 的可去奇点，则()0
Re [,]s f z z =0
2）m 级极点处的留数
法则I 若0z 是()f z 的m 级极点，则
()0Re [,]s f z z =()01
011lim [()](1)!m m m z z d z z f z m dz
--→--
特别地，若0z 是()f z 的一级极点，则()0
Re [,]s f z z
=()0
0lim()z z z z f z →-
注：如果极点的实际级数比m 低，上述规则仍然有效。
法则II 设()()()
P z
f z Q z =，()(),P z Q z 在0z 解析，()00,P z ≠
()()000,0Q z Q z '=≠，则()()()
()
000Re [
,]P z P z s z Q z Q z =' （十六）留数基本定理
设()f z 在区域D 内除有限个孤立奇点12,,n z z z 外处处解析，c
为
D
内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
()()1
2Re [,]n
c
n f z dz i s f z z π∞
==∑?
说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数()f z 在c 内各孤立奇点处留数的局部问题。
积分变换复习提纲
一、傅里叶变换的概念 ● [()]()()j wt F f t f t e dt F w +∞--∞
==?
●
11
[()]()()2j t F F F e d f t ωωωωπ
+∞--∞
=
=?
二、几个常用函数的傅里叶变换 ●
1
[()]F e t j βω
=
+
● 1
[()]()F u t j πδωω
=
+ ● [()]1F t δ= ●
[1]2()F πδω=
三、傅里叶变换的性质 ● 位移性（时域）：0
0[()]jwt
F f t t e --=[()]F f t
● 位移性（频域）：0
0[()]()()j w t w w w F e f t F w F w w =-==-
● 位移性推论：0001
[sin ()][()()]2F w t f t F w w F w w j =
--+ ● 位移性推论：0001[cos ()][()()]2
F w t f t F w w F w w =-++ ● 微分性（时域）：[()]()()F f t jw F w '= （,()0t
f t →+∞→）， ()[()]()()n n F f t jw F w =，(1),()0n t f t -→+∞→
● 微分性（频域）：()()()[()],[()()]()n n F jt f t F w F jt f t F w '-=-= ● 相似性：1[()]()w
F f at F a a
=
(0)
a ≠ 四、拉普拉斯变换的概念 ●
[()]()()st L f t f t e dt F s +∞-==?
五、几个常用函数的拉普拉斯变换 ● 1
[]kt L e s k
=
-； ● 11(1)；（
1
(1)1,(),(1)()2
m m m πΓ=Γ=Γ+=Γ） ● 1
[()][1]L u t L s ==；
● [()]1L t δ= ● 2222[sin ],[cos ]k
s
L kt L kt s k s k ==
++ ●
22
22
[s ],
[]k
s
L hkt L chkt s k s k ==--
● 设
()()f t T f t +=，则0
1
[()]()1T Ts L f t f t dt e
-=-?。（()f t 是以T 为周期的周期
函数）
六、拉普拉斯变换的性质
● 微分性（时域）：()()()2[]0,[()]()(0)(0)L f t sF s f L f t s F s sf f ''''=-=-- ● 微分性（频域）：()
(
)[()]L tft F s '-=，()()()[()]n n L t f t F s -=
● 积分性（时域）：()()0[]t F s L f t dt s
=?
●
积分性（频域）：()
()[
]s f t L F s ds t
∞=?（收敛） ● 位移性（时域）：()()[]at L e f t F s a =-
● 位移性（频域）：()()[]s L f t e F s ττ--=（0τ>,0,()0t f t <≡）
● 相似性：1[()]()s L f at F a
a
=
(0)
a > 七、卷积及卷积定理 ● 1212()*()()()f t f t f f t d τττ+∞-∞
=-?
● 1212[()()]()()F f t f t F w F w *=?
● 12121
[()()]()()2F f t f t F w F w π
?=
* ●
1212[()()]()()L f t f t F s F s *=?
八、几个积分公式 ● ()()(0)f t t dt f δ+∞
-∞=? ● 00()()()f t t t dt f t δ+∞
-∞-=?
● 0
00()
[()]()f t dt L f t ds F s ds t
+∞
∞∞==???15 ● 0
()[()]
kt s k
f t e dt L f t +∞-==?
模拟试卷一
一.填空题
1. =??
?
??+-7
11i i i . 2. I=
()的正向
为其中0,sin >=-?a z c dz z e
z c
z
,则I=
0 .
3. z 1
tan 能否在R z <<0内展成Lraurent 级数？ 否
4．其中c 为
2=z
的正向：dz z z c
1
sin 2
?=
5. 已知()ωω
ωsin =F ，则()t f = 二.选择题 1.
()()z z z f Re =在何处解析 d
(A) 0 (B)1 (C)2
(D)无
2.沿正向圆周的积分. dz z z
z ?=-2
21sin = a
(A)21sin i π. (B) 0. (C)1sin i π. (D)以上都不对. 3．()∑+∞
-∞=--n n n
z 14
的收敛域为 a
(A) . 4141
<- 法确定 4. 设z =a 是()z f 的m 级极点,则() ()z f z f '在点z =a 的留数是 c . (A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对. 三.计算题 1.()iv u z f +=为解析函数，3 22333y xy y x x v u --+=-，求 u 2．设函数()z f 与分别以z=a 为m 级与n 级极点，那么函数 ()()z g z f .在z=a 处极点如何？ 3．求下列函数在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。 ()1,1 02-==z z z f 4．求拉氏变换()t t f 6sin =（k 为实数） 5. 求方程t e y y y -=+'+''34满足条件()()100='=y y 的解. 四.证明题 1.利用e z 的Taylor 展式，证明不等式z z z e z e e ≤-≤-11 2.若()=?F ?()[]t f (a 为非零常数) 证明：?()[]?? ? ??= a F a at f ? 1 模拟试卷一答案 一.填空题 1. i 2. 0 3.否 4．1/6- 5. ()0.5,10,1 0.25,1 t f t t t ??? =?二.选择题 1. (D) 2. (A) 3．(A) 4. (C) 三.计算题 1. 23 3u x y y c =-+ 2．函数()()z g z f 在z=a 处极点为m+n 级 3． ()() 1 21 111n n f z n z R z ∞ -===+=∑ 4． 26 36s + 5. ()3371442t t t y t e e te ---=-++. 模拟试卷二 一.填空题 1. C 为1=z 正向，则?c dz z = 2. ()()2 323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，则l, m, n 分 别为 . 3.2Re ,0shz s z ??=???? 4. 级数() ∑ ∞ =-1 2 2n n n z .收敛半径为 5. δ-函数的筛选性质是 二.选择题 1． ()()1-=-t u e t f t ，则?()f t =???? (A) .()11---s e s (B) () 11---s e s (C)2 ()11---s e s (D) 以 上都不对 2．?()[]()ωF t f =，则?()()[]=-t f t 2 (A)()()ω?F F 2-' . (B)()()ω?F F 2-'-. (C) ()()ω?F F i 2-'. (D) 以上都不对 3．C 为3=z 的正向，() .2103?-c z z dz (A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对 4. 沿正向圆周的积分dz z z z ? =? ?? ? ?-2 2 2sin π = (A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对. 三.计算题 1. 求sin(3+4i). 2．计算()()?--c b z a z dz ,其中a 、b 为不在简单闭曲线c 上的 复常数，a ≠b. 3．求函数()1,1 1 0=+-=z z z z f 在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。 4．求拉氏变换()kt e t f =（k 为实数） 四.证明题 1.∑∞ =0 n n C 收敛，而∑∞ =0 n n C 发散，证明∑∞ =0 n n n z C 收敛半径为1 第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 4）若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 121212i z z z z e θθ+=； ()121122 i z z e z z θθ-= 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 连续性 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 ). ( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设. )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<= . )( , )( . )( ),()(lim 000 内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→ 习题三 3.1计算积分 2C z dz ? ，其中C 是： （1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。 解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t ti t =+=+≤≤ ()2dz i dt =+ 于是 ()()()222 1 222113 C i i d z d t i z t +++== ? （2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z t t =≤≤， 2C 参数方程为()201z it t =+≤≤ ()()1 2 2 21 2 2 2 2 1 22113 C C C z dz z dz z dz t dt id it i t += +=+=+? ???? （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z it t =≤≤， 2C 参数方程为()02z t i t =+≤≤ ()()()1 2 2 1 2 2 2 22 1 2113 C C C z dz z dz z dz it idt dt t i i += +++==????? 3.2设C 是,i z e θ θ=是从π-到π的一周，计算： （1） ()Re C z dz ? ；（2）()Im C z dz ?；（3）C zdz ? 解：cos sin i z e i θ θθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+ （1）()()Re cos sin cos C z dz i d i π π θθθθπ-=-+=??； （2）()()Im sin sin cos C z dz i d π π θθθθπ-=-+=-? ?； （3） ()()cos sin sin cos 2C zdz i i d i π π θθθθθπ-=--+=? ? 3.3计算积分C z zdz ? ，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭 曲线。 解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=； 一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-? (3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. Matlab在复变函数中应用 数学实验（一） 华中科技大学数学系 二○○一年十月 MATLAB在复变函数中的应用 复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。 使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。 1 复数和复矩阵的生成 在MATLAB中，复数单位为)1 j i，其值在工作空间中都显示为 =sq rt = (- 0+。 .1 i 0000 1.1 复数的生成 复数可由i z+ =。 a =语句生成，也可简写成bi a z* + b 另一种生成复数的语句是) exp(i theta r =，也可简写成) =， z* exp(theta * i r z* 其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。 1.2 创建复矩阵 创建复矩阵的方法有两种。 （1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：)] i A* * i i = + 3[i * - + * , ), 23 5 33 6 exp( 2 3 , exp( 9 （2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例如： )2,3( re=； rand im=； )2,3( rand im i re com *+= ] 5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i i i com ++++++= 注意 实、虚矩阵应大小相同。 2 复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。 调用形式 )(x real 返回复数x 的实部 )(x imag 返回复数x 的虚部 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj 实现。 调用形式 )(x conj 返回复数x 的共轭复数 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。 调用形式 )(x abs 复数x 的模 )(x angle 复数x 的辐角 例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1） i 231 + （2）i i i --131 （3）i i i 2)52)(43(-+ （4）i i i +-2184 由MATLAB 输入如下： 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） .2 argtg 20,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg ππ πππ<<-???? ?????=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏ b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π) e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln) 能够区分： 的计算。 f.三角函数和双曲函数： 只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到 11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9) 5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz iz iz iz ---=+=???????=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos 第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z 第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： ∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k) n k=1 C 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， f(z)= φ(z) (z?a)n , 其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则 Res(f(z),a)=φ(n?1)(a) (n?1)! 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， φ(z)=(z?a)f(z),则 Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 φ(z)=(z?a)2f(z)则 Res(f(z),a)=φ′(a) 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： Res(f(z),∞)= 1 2πi ∫f(z)dz Γ? =?c?1 即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1 z 这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。 8.计算留数的另一公式： Res (f (z ),∞)=?Res (f (1t )1t 2,0) §2.用留数定理计算实积分 一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ 注：注意偶函数 二.∫P(x)Q(x)dx +∞?∞型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上 lim R→+∞zf (z )=λ 则 lim R→+∞∫f(z)dz S R =i(θ2?θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中 P (z )=c 0z m +c 1z m?1+?+c m (c 0≠0) Q (z )=b 0z n +b 1z n?1+?+b n (b 0≠0) 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m ≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 ∫ f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0 +∞ ?∞ 注：lim R→R+∞ ∫f(x)dx +R ?R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞?∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞?∞ 型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且 lim R→+∞g (z )=0 在ΓR 上一致成立。则 lim R→+∞ ∫g(z)e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g (z )=P (z )Q (z )，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件： 毕业论文 学生姓名林文强学号160901074 学院数学科学院 专业数学与应用数学 题目复变函数在中学数学中的应用 熊成继 指导教师 （姓名）（专业技术职称/学位） 2013 年 5 月 毕业论文独创性声明 本人郑重声明： 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。本论文除引文外所有实验、数据和有关材料均是真实的。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 摘要：本文通过对代数、几何以及三角函数等问题的探讨来说明复数在中学数学中的应用。将一些解决起来非常复杂的非复数问题，依据题目所给出的条件的特性，将该题目经过一定方式转换成复数问题，然后运用复数的性质及意义解决它。例如在代数问题中，利用复数模的性质；几何问题中，可以利用复数的几何意义及其与向量的关系；在三角函数中，可以利用复数的三角形式。运用复数解题的方法突破了常规的解题方法，有助于培养学生的创新思维。 关键词：复数；代数；几何；三角函数 Abstract：Based on the algebra, geometry and trigonometry problems to illustrate the application of the complex in the middle school mathematics.Some solutions are very complicated non complex problems, according to the characteristics of the given conditions, the title after a certain conversion into a complex problem, and then use the nature and meaning of complex number to easily solve.For example, in the algebraic problem, using the properties of complex modes; geometric problems, can the geometric meaning of complex utilization and its relationship with the vector; in the trigonometric function, can use the triangle form of complex https://www.sodocs.net/doc/5b16011590.html,ing the method of complex problem solving through the method of solving problems of conventional, contributes to the cultivation of students' creative thinking. Keyword:Complex Number; Algebra; Geometry; Trigonometric Function 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数. 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ + 复变函数在信号分析处理中的应用 班级021161 姓名张秋实 学号02116013 前言 复变函数学了一个学期了，不敢说自己学习十分认真努力，也不敢说自己理解这个学科，有自己的见解，很多对复变函数的理解仅仅建立在人云亦云的基础之上。而且，对于信号的分析处理这门更加复杂，更需要科研精神的学科，我之前根本就没有多少的关注，对此我感到十分惭愧。基于以上几点，这篇文字对于我来说没有多少东西是真正属于我的，大部分为参考资料和前人的论文得来的，希望老师理解。 何为复变函数？何为信号分析？ 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。而复变函数在工程领域有很多的应用，其中在电气电子领域中，用的比较多的就是在信号的分析和处理上了。那么什么是信号分析与处理呢？ 为了充分地获取信息和有效利用信息，必须对信号进行分析和处理。信号分析就是通过解析方法或者测试方法找出不同信号的特征，从而了解其特性，掌握它随时间或频率变化的规律的过程。 通过信号分析，可以将一个复杂的信号分解成若干个简单信号的分量之和，或者用有限的一组参量去考察信号的特性。信号分析是获取信号源或信号传递系统特征信息的重要手段，人们往往通过对信号特征的深入分析，得到信号源或者系统特征、运行情况甚至故障等信息，这正是故障的诊断基础。 而信号分析的基本方法有：时域分析法；频域分析法；复频域分析法。时间信号的频域分析和复频域分析中，复变函数的应用比较典型。 一、连续时间信号的频域分析 在时域中，将信号分解为不同时延、强度的冲激信号；在频域中，信号可以分解为不同频率、相位及振幅的简单信号（傅氏变换与反变换）。频率特性是信号的第二个特性，频率特性就是通过变换将时间变量转变为频率变量，在频域中分析信号的方法。 复变函数与积分变换重要知 识点归纳 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 第六章留数理论及其应用 § 1■留数 1.(定理6.1柯西留数定理)： 2.(定理6.2):设a为f(z)的m阶极点, 其中在点a解析，，则 3. (推论6.3):设a为f(z)的一阶极点, 则 4. (推论6.4)：设a为f(z)的二阶极点则 5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6. 无穷远点的留数： 即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7. (定理6.6)如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为，则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点(或解析点)，则可以不为零。 &计算留数的另一公式: § 2■用留数定理计算实积分 型积分一引入 注：注意偶函数 型积分 1.(引理6.1大弧引理)：上 2.(定理6.7)设为有理分式，其中 为互质多项式，且符合条件: (1)n-m> 2; (2)Q(z)没有实零点 于是有 注: 可记为 型积分 3.(引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周充分大上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理6.8）:设,其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件: (1)Q的次数比P高; (2)Q无实数解； (3)m>0 则有 特别的，上式可拆分成： ——及—— 四■计算积分路径上有奇点的积分 5.(引理 6.3小弧引理)： 于上一致成立，则有 五■杂例 六■应用多值函数的积分 § 3■辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1■对数留数： 2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n阶零点，贝U a必为函数------ 的一阶极点，并且 (2)设b为f(z)的m阶极点，贝U b必为函数--- 的一阶极点，并且 3. (定理6.9对数留数定理)：设C是一条周线，f(z)满足条件: 复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…， z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度 ={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =??z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0. ∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a ∴=b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则 ∑1= （）(z k-z k-1) 有可设?k=z k，则 ∑2= （）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得： 第三章 教学课题：第三节 柯西积分公式及其推论 教学目的：1、充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理； 2、了解柯西高阶导数分公式； 3、切实掌握解析函数的无穷可微性； 4、理解柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画。 教学重点：柯西积分公式； 教学难点：柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式。 教学过程： 1、柯西积分公式： 定理3.11设f (z )在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，则有 其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。 证明：设D z ∈，显然函数在z f -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析。 以到z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC 。在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD 。在ρD 上，ζ的函数)(ζf 以及z f -ζζ)(解析，所以有 其中，沿曲线C 的积分是按关于D 的正向取的，沿ρC 的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。 说明：f(z)沿C 的积分为零。考虑积分 则有：（1）被积函数在C 上连续，积分I 必然存在； （2）在上述闭圆盘上0 )(z z z f -不解析，I 的值不一定为0，例如i I z f π21)(=≡时，； 现在考虑f (z )为一般解析函数的情况。作以为 0z 心，以)0(0ρρρ<<为半径的圆ρC ，由柯西定理，得 因此，I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关。令θρi e z z =-0， 则有 由于I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关，与ρ无关，由f (z )在点0z 的连续性，应该有)(20z if I π=，即 事实上，当ρ趋近于0时，有 由于由f (z )在点0z 的连续性，所以)(0,00ρδδε≤>?>?，使得当ρδρC z ∈<<,0时，ε<-|)()(|0z f z f ，因此 即当ρ趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而i dz z z C πρ210 =-?，因此，结论成立。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 2、解析函数的无穷可微性 定理3.12 设D 是以有限条简单闭曲线C 为边界的有界区域。设f (z )在D 及C 所组成的闭区域D 上解析，那么f (z )在D 内有任意阶导数 ,...)3,2,1( )()(2!)(1 )(=-=?+n d z f i n z f C n n ζζζπ, 证明：先证明结论关于n =1时成立。设D h z ∈+是D 内另一点。 只需证明，当h 趋近于0时，下式也趋近于0 现在估计上式右边的积分。设以z 为心，以2d 为半径的圆盘完全在D 内，并且 复变函数的应用 数学与应用数学班 数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际 联系起来。经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比 较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。 我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复 杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多 工程问题迎刃而解。可以通过 RCL 电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身 并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。 我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复 变函数。信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值 |z|表示信号 的幅度，辐角 arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表 示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其 中ω对应角频率，复数z 包含了幅度和相位的信息。于是当我们要的信息得以传递。 所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电 视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。 一、复变函数的简介 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数 开平方的情况 ,它的一般形式是： a bi ，其中 i 是虚数单位。 多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单 复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别 .因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区 域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性 质的逐步的转移 .它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻 学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数论的全面发展是 在十九世纪，这个新的分支统治了十九世纪的数学 .当时的数学家公认复变函数论 是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学 中最和谐的理论之一 .为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔， 法国的 Laplace 也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先 驱 .。 二、复变函数的应用 近代有些函数论研究工作是考虑把具有某种性质的一族函数合在一起研究。事 实上， P·蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威 力 .从这种观点出发的研究有了很大发展 .它与其他数学分支产生了较密切的联 系 . 复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析 . 但是多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具 .。复变函数总结
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