多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授

第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称

教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法

教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法

教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法

一、教学引导:

现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。

二、学生课前准备:

复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则

三、课堂教学过程:

第一节课:多元复合函数的求导法则:

1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形:

定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有

dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdt

dzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt

2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形:

定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导

数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～

,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有

教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，,

～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y

,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y

讨论:

,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y

,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy

,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y

,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y

,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看

作 ,x,x,x

,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x

,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区

别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y

222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y

3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形

定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxy

v,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函

数z,f[,(x～ y)～ ,(y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有

,z,z,u,z,z,u,zdv ,, ～ , ,,，,,x,u,x,y,u,y,vdy

,w,w,w,,例4设求. w,f(x,xy,xyz), ,x,y,z

教学过程

设计 ,w,w,w,,例5设求. w,f(x，xy，xyz),,x,y,z

2,w,w例6设,(，，～ )～具有二阶连续偏导数～求及 wfxyzxyzf,x,x,z 解令u,x，y，z～ v,xyz ～则w,f(u～ v),

,f(u,v),f(u,v),,,,,,,fff引入记号: ～ , 同理有～～等,

f,f,22211112,u,u,v

,f,f,w,u,v,,～ ,,，,,f，yzf12,x,u,x,v,x

2,,,f,f,w,12,,, ,f，yzf,，yf，yz()122,x,z,z,z,z

22,,,,,,,,,,,,,,,,,f，xyf，yf，yzf，xyzf,f，y(x，z)f，yf，xyzf , 1112221221112222

,,,,,,,f,f,f,f,f,f,u,v,u,v111222,,,,,,,, 注:～ , ,,，,,f，xyf,,，,,f，xyf11122122,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z

课堂练习:习题6-6:1:(1)、(2)(3)，2

全微分形式不变性: 设z,f(u～ v)具有连续偏导数～则有全微分

,z,zdz,du，dv,如果z,f(u～ v)具有连续偏导数～而u,,(x～ y)～ v,,(x～y),u,v

也具有连续偏导数～则

,z,u,z,v,z,u,z,v,z,z dz,dx，dy,(，)dx，(，)dy,x,y,u,x,v,x,u,y,v,y ,z,u,u,z,v,v,z,z,du，dv , ,(dx，dy)，(dx，dy),u,v,u,x,y,v,x,y

由此可见～无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数～它的全微分

形式是一样的, 这个性质叫做全微分形式不变性,

四、作业:习题6-6:1、3

课后记

,z,z。一、全微分形式不变性。设z,f(u～ v)具有连续偏导数～则有全微分dz,du，dv,u,v无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数～它的全微

分形式是一样的, 这个性质叫做全微分形式不变性。

Fdyx二、F(x～ y),0隐函数存在定理1:; ,,dxFy

22例1 验证方程x，y,1,0在点(0～ 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续

导数、当x,0时y,1的隐函数y,f(x)～并求这函数的一阶与二阶导数在x,0的值,

三、F(x～ y～ z),0隐函数存在定理2:

设函数F(x～ y～ z)在点P(x～ y～ z)的某一邻域内具有连续的偏导数～且

F(x～ y～ z),0～ F(x～ 000000z0y～ z),0 ～则方程F(x～ y～ z),0在点(x～y～ z)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续00000

FFy,z,zx,,,,偏导数的函数z,f(x～ y)～它满足条件z,f(x～ y)～并有

～。例2. 设000,yF,xFzz

2,z222x，y，z,4z,0～求。2,x

,z,z,u,,3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情

形:，,x,u,x,z,z,u,zdv,,，,。例1---例5。 ,y,u,y,vdy

第二节课讲述:

四、作业:p185 1—5

简单复合函数求导

简单复合函数的导数 一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则 （二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± （三）复合函数求导法则 1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。 则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推 二、典型例题分析： 例1、求下列函数的导数； 1）、3 (23)y x =- 2）、ln(51)y x =+

练习：求下列函数的导数 1）、2 (23)y x =+ 2）、3 (13)y x =- 例2、求下列函数的导数； 1）、1 31 y x = - 2)、cos(12)y x =- 练习：求导数； 1）、1ln y x = 2）、2x y e = 3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。 例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+ 3）、()2 ()() f x h x g x +=

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数 一、二元函数的一阶偏导数 1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数 z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定 义，若一元函数z f(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数 z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作 f x (x 0，y 0) ，或z x |x x 0，或 y y 0 f(x 0，y 0) z ； ，或 |x x x x yy 若一元函数z f(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函 数 z f (x ，y) 在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |x x 0，或 f(x 0，y 0) ，或 y y y 0 z x 0。 |x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。 3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数 z f(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都 有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导 数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新 的二 元函数分别称 为 z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z ，或 和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z 。 x x y y 二、二阶偏导数 1、定义——二元函数 z f(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数 z f (x ，y) 的二阶偏导数，共有四个，分别记作 f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2 (x ，y) 2z x 2 ，或 x 2 2 ， 2 f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或 f(x y)，或 z y x x y 2 ， 2

简单复合函数的导数

简单复合函数的导数 1. 函数f(x)=cos(?2x)的导函数是( ) A.2cos2x B.?2cos2x C.2sin2x D.?2sin2x 2. 已知函数f(x)=e2x+1?3x，则f′(0)=( ) A.0 B.?2 C.2e?3 D.e?3 3. 设函数f(x)=?cos x?x4的导函数为g(x)，则|g(x)|的图象大致是( ) A. B. C. D. 4. 设f(x)=sin x cos x，则f(x)在点(π 6,f(π 6 ))处的切线的斜率为( ) A.1 2B.√3 2 C.?1 2 D.?√3 2 5. 函数f(x)=ln x x ，则f′(e)值为( ) A.0 B.1 C.1 e D.1 e2 6. 若函数f(x)=(2x?x2)e x的导数为f′(x)，则f′(x)=（） A.2(x+1)e x B.(2?x2)e x C.(2+x?x2)e x D.2(x?1)e x 7. 已知函数f(x)=x3?2x2+x?3，则f′(2)=( ) A.?1 B.5 C.4 D.3 8. 已知函数，则的导函数() A. B. C. D. 9. 函数y=x2sin x的导函数为________. 10. 函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=x2+2f′(0)x+tan x，则f′(0)+f(0)=________. 11. 设函数f(x)=x2+1 e x . (1)求f(x)的导数f′(x)；

(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程． 12. 求下列函数的导数： (1)f(x)=x3+6x?2 ； x (2)f(x)=cos x ； e x x. (3)f(x)=(x?1)2log 2 13. 已知函数f(x)=(2x?1)2+5x． (1)求f′(x)； (2)求曲线y=f(x)在点(2,19)处的切线方程．14. 分别求下列函数的导数. (1)y=e x ； x (2)y=(2x2?1)(2x+1)+2sin x?cos x.

数学选择性必修二 第五章 5.2.3 简单复合函数的导数

5.2.3简单复合函数的导数 学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 知识点复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ 答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√) 2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×) 3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√) 一、求复合函数的导数 例1求下列函数的导数： (1)y＝1 (1－3x)4 ； (2)y＝cos(x2)； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 解(1)令u＝1－3x，则y＝1 u4＝u －4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝ 12 (1－3x)5 .

(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2). (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2 (2x ＋1)ln 2. (4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2， 则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′ ＝3e u ＝3e 3x ＋ 2. 反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝ 1 1－2x ； (2)y ＝5log 2(1－x )； (3)y ＝sin ????2x ＋π3. 解 (1)() 12 =12,y x -- 设y ＝12 u -，u ＝1－2x ， 则y ′x ＝()1212u 'x '?? - ???- ()32212u -?? -? ??? ＝－ ()32 =12x .- - (2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′ ＝ －5u ln 2＝5 (x －1)ln 2 .

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3) 2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8)

本科生毕业论文 2 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈， 就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合 D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限 为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,) |x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义， 对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为

多元复合函数求导法则【包含偏导数】

§8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为 (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数 的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有 这里,当时,。 上式两边除以得 而当时,有,从而 所以 故复合函数在点可导,其导数可用(1)式计算。 用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如, 设与复合而得到 函数。 若在点可导, 对具有连续偏导数, 则复合函数在点可导, 且 (2)在公式(1)与(2)中的导数称为全导数。

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。 例如, 设 与 复合而得到 函数 ,若 在点 具有对及的偏导数, 函数 在对应点具有连续偏导数, 则在点的两个偏导数存在, 且 (3) 事实上,求时,看作常量,因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理。 但均是的二元函数,所以应把(1)式中的 直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。 类似地, 设及 均在点具有对及的偏 导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数 在点的两个偏导数都存在,且 (4) 例如,若有连续偏导数,而 偏导数存在,则复合函数 可看作上述情形中当的特殊情形, 因此 (4)式变成

等式两边均出现了 或,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明: 左边的是将复合函数 中的看作常数,而对求偏导数； 右边的是把函数中的及看作常数,而对 求偏导数。 因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为 由该复合函数变量间的关系链，可对此求（偏）导数法则作如下解释： 求,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。 而沿第一条线路对 求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的 函数,求导结果自然是 ( 这与一元复合函数求导法则很类似)；而沿第二条线路对 求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的 函数,求导结果自然是。

多元函数的一阶偏导数练习1

多元函数的一阶偏导数练习题 1.Z=ln(e x+e y),y=2x3,求dZ/dx。 2.设Z=arctan(v/u),u=xsiny,v=xcosy,求Z'x，Z'y。

3.z=f(u,v),u=2x2-3y2,v=e x,求dz/dx,dz/dy。 4.设Z=f(2x2-y2,3x+2y),求Z'x，Z'y。

5.设z3+2xyz=33,求?z/?x,?z/?y。 6.设函数z=z(x,y)由方程x+y2-e^2-3z=0所确定,求?z/?y。

7.设函数z=z(x,y)由方程x3+y3+z3-2xyz+2=0所确定,求?z/?x,?z/?y。 8.(x+2)/z=lnz/y,求?z/?x，?z/?y。

9.设u=3x+sin(y/2)+e xyz+33,求?u/?x,?u/?y,?u/?z。 10.u=xyz*e^(x2+2y2+3z2),求?u/?x，?u/?y,?u/?z。

参考答案： 1.dZ/dx=(e x+6x2*e y)/(e x+e y). 2.Z'x=(ucosy-vsiny)/(u2+v2),Z'y=-x(usiny+vcosy)/(u2+v2). 3.dz/dx=4xf'u+e^xf'v，dz/dy=-6yf'u. 4.Z'x=4xf1'+3f2'，Z'y=-2yf1'+2f2'. 5.?z/?x=-2yz/(3z2+2xy)，?z/?y=-2xz/(3z2+2xy). 6.?z/?y=2y/3. 7.?z/?x=(3x2-2yz)/(2xy-3z2),?z/?y=(3y2-2xz)/(2xy-3z2). 8.?z/?x=y/(1+lnz)，?z/?y=(x+2)/(1+lnz). 9.?u/?x=3+yze xyz,?u/?y=(1/2)cos(y/2)+xze xyz,?u/?z=xye xyz. 10. ?u/?x=yz*(1+2x2)e^(x2+2y2+3z2), ?u/?y=xz*(1+4y2)e^(x2+2y2+3z2), ?u/?z=xz*(1+6z2)e^(x2+2y2+3z2).

高三数学复习教案：简单复合函数的导数

高三数学复习教案：简单复合函数的导数 【高考要求】：简单复合函数的导数(B). 【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数. 2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征. 3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值. 【知识复习与自学质疑】 1.复合函数的求导法则是什么? 2.(1)若，则 ________.(2)若，则 _____.(3)若，则 ___________.(4)若，则 ___________. 3.函数在区间_____________________________上是增函数, 在区间__________________________上是减函数. 4.函数的单调性是_________________________________________. 5.函数的极大值是___________. 6.函数的值,最小值分别是______,_________. 【例题精讲】 1. 求下列函数的导数(1) ;(2) . 2.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同,求的值. 【矫正反馈】 1.与曲线在点处的切线垂直的一条直线是___________________. 2.函数的极大值点是_______,极小值点是__________.

(不好解)3.设曲线在点处的切线斜率为 ,若 ,则函数的周期是 ____________. 4.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直, 为原点,且 ,则的面积为______________. 5.曲线上的点到直线的最短距离是___________. 【迁移应用】 1.设 , , 若存有 ,使得 ,求的取值范围. 2.已知 , ,若对任意都有 ,试求的取值范围.

高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的导数习题 苏教版选修2-2

1.2.3 简单复合函数的导数 明目标、知重点 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)． 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积． 探究点一复合函数的定义 思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数． 思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？ 答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))． 思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？ 答A?B. 小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法． 例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x. 解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的； (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授 第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称 教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法 教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法 教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法 一、教学引导: 现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。 二、学生课前准备: 复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则 三、课堂教学过程: 第一节课:多元复合函数的求导法则: 1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形: 定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有 dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdt dzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt 2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形: 定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导

数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～ ,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有 教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，, ～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y ,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y 讨论: ,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y ,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy ,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y ,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y ,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看 作 ,x,x,x ,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x ,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区 别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y 222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y 3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形 定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxy v,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函

5.简单复合函数的求导法则导学案

主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： §5简单复合函数的求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 【自主探究】 1.复合函数 对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量. 2.复合函数的导数 如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】 求下列函数的导数 （1）82)21(x y += （2）33x x y += （3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += （6）x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--，a 为常数。(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线() y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。 【巩固提高】 1、求下列函数的导数

（1）y = 2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x （3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限 （1）求点0P 的坐标 （2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。 【课堂小结】

多元函数偏导数(第七讲)

第七讲 多元函数偏导数与最值问题 一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组） 例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f x y z kf x y z x y z ???++=???． 证明：令, ,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为 (,,)(,,)k f u v w t f x y z =， 上式两边对t 求导得 1(,,)k f u f v f w kt f x y z u t v t w t -??????++=??????， 又 ,u v w x y z t t t ???===??? 有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -???++=??? 上式两边同乘以t ，得 (,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ???++=??? 即有 (,,)f f f u v w kf u v w u v w ???++=??? 于是得 (,,)f f f x y z kf x y z x y z ???++=???． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且 0x j ?1?，求du dx ． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图： 有复合关系，有 x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx ???￠￠￠=++=++??? x y z x y x u U n R e g i s t e r e d

5.2.3 简单复合函数的导数

5.2.3简单复合函数的导数 基础过关练 题组一复合函数的求导法则 1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=() A.3(2020-8x)2 B.-24x C.-24(2020-8x)2 D.24(2020-8x)2 2.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=() A.e x ln2x+e x 2x B.e x ln2x-e x x C.e x ln2x+e x x D.2e x·1 x 3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为() A.1 2B.2 3 C.3 4 D.1 4.若函数f(x)=√4x-3,则f'(x)=. 5.函数f(x)=cos2x e x 的导函数f'(x)=. 6.求下列函数的导数. (1)y=x 2 (2x+1) ; (2)y=e-x sin2x; (3)y=ln√2x+1-1; (4)y=cos(-2x)+32x+1. 深度解析

题组二复合函数求导的综合运用 7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是() A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 8.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=√10t,则在时刻t=40min的降雨强度为() A.20mm/min B.400mm/min C.1 2mm/min D.1 4 mm/min 9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则lim Δx→0f(1-2Δx)-f(1) Δx 的值为() A.10 B.-10 C.-20 D.20 10.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 11.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1 x ,则 f(0) f'(0) =() A.2 B.-2 C.1 D.e+1 12.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则 a=. 13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为. 14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y 轴交于点(0,6),试确定a的值.

多元复合函数的偏导数(一)

多元复合函数求导 （一）

证一元函数求导法则： 一元函数的链式法则 链式法则 ()()(())=()y f u u x y f x y x ??==???→=复合 ，()()dy dy du f u x dx du dx ?''==dy du du dx y u x ??→??→

多元函数的复合情况要复杂一些（一）多元与多元的复合 （二）多元与一元的复合 （三）一元与多元的复合

证链式法则（多元套多元） 如果),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，且函数) ,(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数 )],(),,([y x y x f z ψφ=在对应点),(y x 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z ????+????=??， y v v z y u u z y z ????+????=??.

u v x z y 链式法则如图示 =??x z ???u z x u ?????+v z ,x v ??=??y z ???u z y u ?????+v z .y v ??

类似地再推广，设),(y x u φ=、),(y x v ψ=、),(y x w w =都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，复合函数)],(),,(),,([y x w y x y x f z ψφ= 在对应点),(y x 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z ????+????+????=??, y w w z y v v z y u u z y z ????+????+????=??. z w v u y x

2019版高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 简单复合函数的求导法则 参考教案

2019版数学精品资料（北师大版） §5 简单复合函数的求导法则 一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。 二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用 教学难点：简单复合函数的求导法则的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 ' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? （二）、引入新课 海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。 油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ?。 油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？ 分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S π?。 油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ?=的导函数。 ∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππ?， ∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππ?。 又 r r f π2)(='， 2)(='t ?，

简单复合函数的导数(文科补充)教师版

1.2.3 简单复合函数的导数 （文科：补充） 教师版 班级：高二（ ）班 姓名： 时间： 月 日 一、学习目标 1. 了解复合函数的概念； 2. 理解简单复合函数的求导法则； 3. 会求简单的复合函数的导数. 教学重、难点：简单复合函数的求导法则的理解与应用. 本课内容简析：本课从两个实例入手，归纳、总结出了简单复合函数的求导法则. 在学习中，要注意对简单复合函数的求导法则的准确理解和应用. 二、自学内容 阅读选修2-2 P23（文科 见导学案附），然后尽可能．．．用多．．种．方法．． 完成下列练习. 1. 已知sin 2y x =，求y '. （教材P23） 解：法一：[](sin 2)2(sin cos )2(sin )cos sin (cos )y x x x x x x x '''''===+ 222(cos sin )2cos2x x x =-=. 法二：sin 2y x =可由sin y u =及2u x =复合而成，从而cos 22cos2x y u x '=?=. 2. 已知2x y e =，求y '. 解：法一：22()()()()2x x x x x x x x y e e e e e e e e '''''==?=?+?=. 法二：2x y e =可由u y e =及2u x =复合而成， 从而2()222u u x x u x y y u e e e ''''=?=?==. 3. 已知2(23)y x =+，求y '. 解：法一：∵24129y x x =++，∴812y x '=+. 法二：[](23)(23)(23)(23)(23)(23)812y x x x x x x x ''''=++=+++++=+. 法三：2(23)y x =+可由2y u =及23u x =+复合而成，从而22812x y u x '=?=+. 三、问题探究 例1 求下列函数的导数： （1）3(23)y x =-； （2）ln(51)y x =+； 解：（1）3(23)y x =-可由3y u =及23u x =-复合而成， 从而322()266(23)x u x y y u u u x ''''=?=?==-. （2）ln(51)y x =+可由ln y u =及51u x =+复合而成， 从而55(ln )551 x u x y y u u u x ''''=?=?==+.

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数 一、二元函数的一阶偏导数 1、 在某点处的一阶偏导数——已知二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处及其附近有定 义，若一元函数)(0y x f z ，=在点0x 处对x 可导，则称此导数值为二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处对x 的一阶偏导数，记作)(00y x f x ，'，或00|y y x x x z =='，或x y x f ??)(00，，或00 |y y x x x z ==??； 若一元函数)(0y x f z ，=在点0y 处对y 可导，则称此导数值为二元函数) (y x f z ，=在点)(00y x ，处对y 的一阶偏导数，记作)(00y x f y ，'，或00|y y x x y z =='，或y y x f ??)(00，，或0 0|y y x x y z ==??。 2、 可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。 3、 在某区域上的一阶偏导数——若二元函数)(y x f z ，=在区域E 上每一点)(y x ，处都 有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域E 上每一点)(y x ，都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为)(y x f z ，=对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作)(y x f x ，'，或x z '，或 x y x f ??)(，，或x z ??和)(y x f y ，'，或y z '，或y y x f ??)(，，或y z ??。 二、二阶偏导数 1、 定义——二元函数)(y x f z ，=一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数) (y x f z ，=的二阶偏导数，共有四个，分别记作 x x xx y x f y x f ))(()(''=''，，，或xx z ''，或22)(x y x f ??，，或22x z ?? y x xy y x f y x f ))(()(''=''，，，或xy z ''，或y x y x f ???)(2，，或y x z ???2

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 1.2.3 简单复合函数的导数 导学案

1.2.3《简单复合函数的导数》导学案 一、教学目标 1．掌握简单复合函数的导数的推导 2．简单复合函数的导数的应用 二、教学重点:掌握简单复合函数的导数的推导 三、教学难点:简单复合函数的导数的应用 四、教学过程 【基础知识梳理】 1.复合函数的求导数公式 2.根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示

3.运算法则 法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即： [()()]()().f x g x f x g x '''±=± 法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数 法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+ 法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[ ]()() f x f x g x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中 4.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ?= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量. 【问题探究】 问题1：求函数2 (32)y x =-的导数 . 问题2：考察函数sin 2y x =的导数.

【建构数学】 一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u ),u =ax +b ，则'''x u x y y u =?，''x u y y a =?即： ? 对于一般的复合函数，结论也成立 . ? 复合函数的求导法则 ? 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =? 【数学运用】 例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数： 31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31 y x y x y y x x =-=+= =-- 练习：试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数： 22(1)(2);(2)sin ;(3)cos()(4)ln sin(31).4 y x y x y x y x =-==-=π ;－ 例2 写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数. （1）cos y u =,21u x =+; （2）ln y u =,ln u x =. 解：

(统编版)2020学年高中数学第一章1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数教学案苏教版选修231

1.2.3 简单复合函数的导数 [对应学生用书P11] 已知函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2 . 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数． 问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2 是如何复合的？ 提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2 是由 g (u )＝u 2 ，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2 ，g (u )＝u 2 ，u ＝3x ＋2的导数． 提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2 ]′＝[9x 2 ＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′. 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数． [对应学生用书P11] 复合函数的求导 [例1] (1)y ＝ 12x ＋3 3 ；

(2)y ＝e －0.05x ＋1 ； (3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )． [思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)y ＝ 12x ＋3 3 ＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －3 2 ，u ＝2x ＋3的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －3 2)′·(2x ＋3)′ ＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52. (2)y ＝e －0.05x ＋1 是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝ (e u )′·(－0.05x ＋1)′ ＝－0.05e u ＝－0.05e －0.05x ＋1 . (3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)． (4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1 u ln 2 ＝ －35－3x ln 2＝3 3x －5ln 2 . [一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量． 1．若函数f (x )＝ln 1 x ，则f ′(x )＝________. 解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1 x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·? ?? ??1x ′